开n次方
笔算开n次方的方法
笔算开n次方笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向右每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商 659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 92970 61757................................397^5-390^5____________________________________________1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
七数开立方与开N次方
课题 开立方与开N 次方【新知展望】【开立方】1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数；求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。
2、正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。
3、任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根4、3a =，a =例1、求下列各数的立方根 （1）1000- （2）12564（3）0.008 （4）0 （5）49的平方根练习1、（1）27的立方根是_______________；8-的立方根是_______________。
（2）1251-的立方根是____________；7-的立方根是_______________。
（3）27-的立方根的平方的平方根是______________________________。
（4）|641|-的立方根是____________________。
（5）____________________是91的平方根，又是_______________的立方根。
例2、求值（1）336）（- （2）3512 （3）3610- （4）334- （5）3833练习2、（1；；。
（2，=-33)7(____________=_____________。
（3）使33a a --=-成立的条件是______________________________。
练习3、求下列各式中的x（1）273=x （2）0183=-x （3）125)1(3=-x （4）016)2(23=++x练习4、如果3200a 是一个整数，那么最大负整数a 是多少？练习5、 若23253-=+x ，求24+x 的平方根【开n 次方】1、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根；求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
开n次方根的直式计算与原理
補充教材開n 次方根的直式計算與原理范志軒 編輯壹、二次方根在10進位的數字中，若要建構開次方根號的直式計算，得要先觀察數字在次方運算下的進位規律，譬如以二次方為例：一位數字x ：010x <<20100x ⇒<<二位數字x ：10100x ≤<210010000x ⇒≤<三位數字x ：1001000x ≤<2100001000000x ⇒≤< ………n 位數字x ：11010n n x -≤<2(1)221010n n x -⇒≤<上述的規律顯示：2n 或21n -位數字的平方根為n 位數字，因此若要反向求出二次方根，例如622521 的平方根，可以先觀察到此數為6位數，所以平方根為3位數。
其次，若已知622521 的平方根為3位數，如何決定其值？二次方根直式計算法(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每二位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第二小節，……，以622521為例，共可分成三小節，而每一小節恰可計算出平方根的一位數字(2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得2a 最接近此節的數字將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()12a b +乘以b 最接近此列上的數 用此列上的數減去()12a b +乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列62'25'2149 13252a =7a =取749 1325118414121777148b =取88()12a b +=()1=2a b b+⨯8110a a =(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()22a c +乘以c 最接近此列上的數用此列上的數減去()22a c +乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列(5) 若此時降下的數字為0，則開二次根號結束，平方根為10010a b c ++否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止計算二次方根的原理 x a β=+()()2222x a a a βββ=+=++ ⇒ ()222x a a ββ-=+ 令b βγ=+，代入上式()()222x a a b b γγ-=+++()()222a b b a b γγ=++++⇒()()22222x a a b b a b γγ--+=++令c γω=+，代入上式()()()22222x a a b b a b c c ωω--+=++++()()22222a b c c a b c ωω=++++++()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++…………重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗例如對622521的平方根運算進行觀察622521()2700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =()26225217002700ββ⇒-=⨯+令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b = ()()262252170027008080γγ⇒-=⨯+++()()2622521700270080802700280γγ⇒--⨯+=⨯+⨯+令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c = ()()262252170027008080270028099⇒--⨯+=⨯+⨯+()()262252170027008080270028099⇒--⨯+-⨯+⨯+ 622521490000118400141210=---=49 13251184141211412107771488()22a c +=8915699()2=2a c c +⨯9c =取()21010a b a ⨯+=故62251的平方根為70070080700809789βγ+=++=++=貳、三次方根開三次方根的直式運算若是仿照求二次方根的原理與步驟，考慮三次方根的求法，可得以下直式求法：(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每三位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第二小節，……，而每一小節恰可計算出立方根的一位數字 (2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得3a 最接近此節的數字並將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()221133a a b b ++乘以b 最接近此列上的數並用此列上的數減去()221133a a b b ++乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()222233a a c c ++乘以c 最接近此列上的數，並用此列上的數減去()222233a a c c ++乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列(5) 若此時降下的數字為0，則開三次根號結束，立方根為10010a b c ++否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位數為止例如對491169069開立方根，其直式運算如下：計算三次方根的原理x a β=+()()3332233x a a a a ββββ=+=+++ ⇒ ()332233x a a a βββ-=++令b βγ=+，代入上式()()()()233233x a a a b b b γγγ-=+++++()()()()22223333a ab b b a b a b γγγ=+++++++⇒()()()()2332223333x a a ab b b a b a b γγγ--++=++++ 令c γω=+，代入上式343 14816913155216617069166170697897a =取3a =8b =取9c =取110a a =()221133a a b b b ++=()222233a a c c c ++=()21010a b a ⨯+=()()()()()()()2233223333x a a ab b b a b a b c c c ωωω--++=+++++++()()()()()()22223333a b a b c c c a b c a b c ωωω=+++++++++++()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++()()()()()()()22332222333333x a a ab b b a b a b c c c a b c a b c ωωω⇒--++-++++=++++++…………重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗例如對491169069的立方根運算進行觀察491169069()3700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =()32249116906970037003700βββ⇒-=⨯+⨯⨯+令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b =()()()()23249116906970037003700808080γγγ⇒-=⨯+⨯⨯++++()()322224911690697003700370080808037803780γγγ⇒--⨯+⨯⨯+=⨯+⨯⨯+令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c =()()322224911690697003700370080808037803780999⇒--⨯+⨯⨯+=⨯+⨯⨯+ ()()322224911690697003700370080808037803780999⇒--⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+ 491169069343000000131552000166170690=---=故491169069的立方根為70070080700809789βγ+=++=++=參、n 次方根很明顯的，由前文中平方根與立方根的求法不難發現，此方法可推廣至n 次方根，只要利用二項式定理將()nn x a b =+展開，首項n a 移至等號左側，而右側則提出b ，此時令b c d =+並且估算c 的值使得等號兩側數字最接近，將c 代入後乘開，再重複上述步驟直到求出所需要的位數即可，方法雖然有規律性變化，但是從實際的計算中可以發現，在估算最接近數字時，計算過程異常龐大，在進行三次或三次以上方根的計算時，若無計算機協助，以人工進行直式運算顯然不切實際，甚至不如採用十分逼近法恰當，然而在求次方根的過程中，同學仍可觀察到規律變化的優美性質，若是具有程式設計能力的同學，可嘗試設計開n 次方根的演算法，這會是一個不錯的練習。
笔算n次方根和笔算正余切值方法
徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
笔算开n次方的方法
笔算开n次方的方法：1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。
如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n 大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。
6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。
例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。
3 9 7 1. 1 9 2 95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000243________________________________________________744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商659 24199......................................39^5-30^5_____________________________________________85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商83 92970 61757................................397^5-390^5____________________________________________1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5___________________________________________23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。
关于开n次方的极限公式
关于开n次方的极限公式在数学的奇妙世界里，开n 次方的极限公式就像是一座神秘的城堡，等待着我们去探索和解锁。
咱先来说说开 n 次方这回事儿。
想象一下，你面前有一个数，就像是一个大大的宝箱，然后你要把它一次次地开方。
每次开方，就好像是在找宝箱里的宝贝，只不过每次找到的都不太一样。
比如说，咱有个数 16 吧，开平方就是 4，再开平方就是 2，再开呢，就越来越小，靠近 1 了。
这就引出了咱们今天要说的开 n 次方的极限公式。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们搞清楚在不断开方的过程中，这个数到底会怎么变化，会趋近于哪个值。
给大家举个例子啊，有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学就一脸懵地看着我，说：“老师，这也太复杂了，感觉脑袋都要转不过来了。
”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就带着他们从最简单的数开始，一点点去感受开方的变化。
就像搭积木一样，一块一块地往上加，慢慢地，同学们开始有点明白了。
其实啊，开 n 次方的极限公式并不是那么可怕。
比如说，当 n 趋向于无穷大的时候，如果一个正数 a 开 n 次方，那么它的极限就是 1 。
这就好像是一个长跑比赛，跑的距离越来越长，速度就越来越慢，最后就几乎要停下来了。
在实际应用中，这个公式也很有用呢。
比如说在研究一些复杂的函数变化趋势的时候，或者是在解决一些物理问题的时候，都可能会用到。
还记得有一次做一道物理题，是关于一个物体的振动衰减的。
通过把这个问题转化成开 n 次方的形式，用这个极限公式一下子就找到了规律，算出了最终的稳定状态。
总的来说，开 n 次方的极限公式虽然看起来有点神秘，但只要咱们耐心去琢磨，多做几道题，多思考思考，就能把它掌握得牢牢的。
就像我们在学习的道路上遇到的其他难题一样，只要不放弃，一步一个脚印，总能找到解决的办法，走向知识的宝库。
所以啊，同学们，别害怕这个开 n 次方的极限公式，勇敢地去探索它，相信你们都会有新的收获！。
Word中怎么输入根号？
Word中怎么输⼊根号？
⽅根怎么打出来?Word中怎么输⼊根号?上⾯带横线的根号怎么打出来?
发表于：2017年04⽉22⽇
根号是⼀个数学符号。
根号是⽤来表⽰对⼀个数或⼀个代数式进⾏开⽅运算的符。
an=b，那么a是b开n次⽅的n次⽅根或a是b的1/n次⽅。
开n次⽅⼿写体和印刷体⽤√￣表⽰，被开⽅的数或代数式写在符号左⽅√￣形部分的右边和符号上⽅⼀横部分的下⽅共同包围的区域中，⽽不能出界。
开n次⽅的n写在符号√的左边，n=2时n可以忽略不写若被开⽅的数或代数式过长，则上⽅⼀横必须延长确保覆盖下⽅的被开⽅数或代数式。
那么根号怎么打出来呢?Word中的根号⽤√来表⽰，上⾯没有横线，那么有横线的根号怎么打出来呢?
Word中根号怎么打?
最简便的⽅法是在桌⾯浮动的语⾔栏的⼩键盘上点右键选数学符号，软键盘中就有了√。
左⼿按住换档键(Alt键)不放，右⼿依次按41420(不要按键盘上⽅的，要按右边的)，松开双⼿，根号(√)就出来了。
这样输⼊的根号是没有横线的。
如果想输⼊传统的根号，需要安装mathtype，软件可以集成到Word中，单击插⼊⼀公式⼀插⼊新公式；进⼊公式编辑状态，选择根式⼀平⽅根模板就可以了。
笔算开立方和N次方
今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。
当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。
因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。
在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。
它是这么写的：在这里，我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。
在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。
然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。
(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2笔算开立方一天，我遇到了一道需要用到310的近似值的物理题。
我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。
这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法我是掌握的。
我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：1．将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；2．根据最左边一组，求得平方根的最高位数；3．用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；4．用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。
再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。
5．用同样方法继续进行下去。
类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。
关键是第4步如何进行。