开n次方根的直式计算与原理
次方根的概念
次方根的概念次方根是数学中的一个重要概念，在代数学中经常会涉及到次方根的运算。
次方根是指对一个数进行幂运算的逆运算，即给定一个正整数n和一个非负实数a，求出满足x^n = a的数x，这个x就称为a的n次方根。
在代数学中，常见的次方根有平方根（n=2）、立方根（n=3）、四次方根（n=4）等，分别表示对一个数开平方、开立方、开四次方。
以平方根为例，对于任意一个非负数a，可以找到一个非负数x，满足x^2 = a。
其中，当a为正数时，x 就是a的平方根；当a为零时，x为零；当a为负数时，则不存在实数x满足该等式。
在实际应用中，次方根有广泛的用途，涉及到许多领域。
以下将从不同维度介绍次方根的概念和其应用。
首先，次方根在几何中起到重要作用。
在几何中，次方根与平方、立方运算密切相关。
通过求平方根，可以得到给定的正实数的边长。
例如，在正方形中，平方根可以用来计算对角线的长度。
同样，在立方体中，立方根可以用来计算边长。
其次，次方根在物理学中也有广泛应用。
在牛顿力学中，速度是位置的一次方根对时间的导数，加速度是位置的二次方根对时间的导数。
光的强度也与其传播距离的平方成反比关系。
通过应用次方根的概念，可以推导出这些物理现象背后的数学模型，从而更好地理解和描述自然界的运动规律。
此外，次方根在统计学和概率论中也有重要应用。
例如，在概率分布函数中，正态分布曲线的形状可以通过对数函数求平方根来得到。
在统计学中，次方根经常用来计算方差和标准差。
方差是观测值与均值之间差异程度的平方和的平均，而标准差则是方差的平方根。
通过将方差和标准差应用于数据集，可以揭示数据分布的离散程度，帮助分析和解释实际问题。
此外，次方根还在金融计算、信号处理和图像处理等领域中得到广泛应用。
在金融计算中，次方根常常用于计算利息的本质增长率。
在信号处理和图像处理中，次方根可以用来进行信号和图像的压缩和解压缩操作。
通过对信号和图像的分解和合成，可以减小数据的存储和传输开销，提高处理效率。
高中数学实数指数幂及其运算1理解n次方根的概念及性质课件人教版必修一
a
m n
（2）（a ） a am mn （3） n a （m n，a 0） a
m n
nm
（4）（ab）
m
a b
m m
由
am an
=
a
mn
（m n，a 0）
a0
a a 3 3 a3
3
3
a
0
1
a 35 1 2 a a a2 5 a
将正整数指数幂推广到整数指数幂
an
和
1.5 ， ， ，（ 2的过剩近似值）； 1.42 1.415 .....
来近似地计算无理指数幂 3 2的不足或过剩近似值。如果 ２ 的任何一个有理数 不足近似值记为 a ，其相应的有理数过剩近似值为 b ， 那么当 n 无限增大
3 ， ， 3 3
1.5 1.42
n
1.415
时，
数
an , bn 就逼近于一个实数
a a 2b 2c 1 2 bc
2
2 分数指数
若x a，则x叫a的平方根（或二次方根）
2
a 0时，两个平方根： ， a a a 0时，有一个平方根： 0 a 0时，无实根
若x a，则x叫a的立方根（或三次方根）
3
a只有一个立方根
方根
若存在实数x，使x n = a a ? R ，n （ 则x叫a的n 次方根。 1，n N + ），
求a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方 ,称作开方运算
偶次方根 奇次方根
n
实 a0 n a 数 a a 0 不存在
n
a 0 a 0
a 根式
n 根指数
n
笔算n次方根和笔算正余切值方法
徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
x的n次方根的公式
x的n次方根的公式我们需要明确一点，x的n次方根只有在x大于等于0的时候才有意义。
因为在实数范围内，负数的n次方是不存在的。
那么，x的n次方根的计算公式是什么呢？我们可以通过以下方式来求解：假设x的n次方根为y，即y = x^(1/n)，其中^表示乘方运算。
我们可以将这个问题转化为求解方程x = y^n，即求解y使得y^n = x成立。
接下来，我们来讨论一下具体的计算方法。
当n为正整数时，我们可以使用迭代法来逼近解。
具体步骤如下：1. 初始化一个值y0，作为迭代的起始点。
2. 根据迭代公式y(i+1) = (1/n) * ((n-1) * y(i) + x / (y(i)^(n-1)))，来生成新的逼近值y(i+1)。
3. 不断重复步骤2，直到y(i+1)与y(i)的差值足够小，即满足要求的解近似值。
当n为分数时，我们可以将其转化为一个整数次方根的问题。
具体步骤如下：1. 将n写成分数的形式，即n = a/b，其中a和b为整数，且b不等于0。
2. 将x的a次方根记为y1，即y1 = x^(1/a)。
3. 将y1的b次方记为y，即y = y1^b，即y = (x^(1/a))^b。
4. 则y即为x的n次方根。
需要注意的是，当n为负数时，x的n次方根是不存在的，因为在实数范围内，负数的n次方是没有意义的。
当n为0时，x的n次方根定义为1，无论x的值是多少。
总结一下，求解x的n次方根可以通过迭代法、转化为整数次方根、以及特殊情况的处理来实现。
在实际应用中，我们可以利用计算器或编程语言中的数学函数来求解。
通过本文的介绍，相信大家对求解x的n次方根有了更深入的了解。
数学中的公式和运算方法可以帮助我们解决各种实际问题，是我们学习和探索的重要工具之一。
希望大家能够在数学学习中取得更好的成绩，运用数学知识解决实际问题。
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1
n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。
分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。
教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。
将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。
教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。
对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。
根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。
但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。
二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。
然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。
教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。
由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。
然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。
通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。
三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。
笔算n次方根和笔算正余切值方法
笔算n次方根和笔算正余切值方法徒手开n次方根的方法:原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:我们求2301781.9823406 的5次方根:第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;23'01781.98234'06000'00000'00000'..........从高位段向低位段逐段做如下工作:初值a=0,差c=23(最高段)第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1差c=23-b^5=22,与下一段合成,c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234第4步:a=18,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,b取最大值7说明:这里可使用近似公式估算b的值:当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即: b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值差c=1508808527;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000第5步:a=187,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=2833590858436800000第6步:a=1872,找下一个b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000 .............................最后结果为:18.724....../doc/5d60660203d8ce2f006623ec.html/question/8563091.html论三角函数的笔解方法三角数学发展到今天，已经达到相当完美的程度，但它却并不完善，是因为在解题时须通过查表或计算器才能完成，试想，在生活中，我们随时随地都有可能去计算一个数据，但我们不可能随时随地都带着函数表或计算器，没了它们怎么办呢？这人问题不容忽视，它的解决在三角数学领域里应该占有举足轻重的地位。
次方根的公式
次方根的公式次方根这个概念啊，在数学里那可是相当重要！咱们先来说说啥是次方根。
比如说，2 的 3 次方等于 8，那么 2 就是 8 的三次方根。
这就好比你有一堆积木，摆成一个大的正方体需要 8 块，那每一条边上的积木数量 2 就是这个大正方体的三次方根。
再比如，9 的平方根是 3 和 -3 。
这就像你有 9 个苹果，要平均放在两个篮子里，每个篮子里要么放 3 个，要么放 -3 个（当然啦，现实中苹果个数不能是负数，咱们这只是数学上的说法）。
次方根的公式有不少呢。
对于正数 a 的 n 次方根，当 n 为偶数时，它有两个，分别是正负的 n 次根号下 a ；当 n 为奇数时，就只有一个 n 次根号下 a 。
这就好像是走迷宫，偶数次的时候有两条路能走，奇数次的时候就只有一条路。
我记得我之前教过一个学生，叫小李。
这孩子呀，刚开始学次方根的时候，那叫一个迷糊。
有一次做作业，题目是求 16 的四次方根。
他居然给我写了个2 就交上来了。
我问他怎么想的，他挠挠头说：“老师，我以为四次方根就是两个数相乘四次得到 16 就行。
”我一听，乐了，这孩子把概念完全搞混啦。
我就给他耐心地解释：“小李呀，16 的四次方根，就像是要找四个一样的数相乘能得到 16 ，那可不止 2 哦，还有-2 呢。
”我一边说，一边在纸上给他比划，“你看，2 的四次方是 16 ，（-2）的四次方也是 16 呀。
”经过这么一番细致的讲解，小李终于恍然大悟，后来再遇到这类题目，就很少出错啦。
在解题的时候，次方根的公式可得用对咯。
比如说，要化简根号下16 ，这其实就是求 16 的二次方根，那答案就是 4 。
可要是根号下 256 呢？这就是求 256 的二次方根，答案就是 16 。
还有啊，在方程里次方根也经常出现。
比如 x 的平方等于 4 ，那 x 就等于正负 2 ，这里面就是用到了 4 的平方根。
总之，次方根的公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习，多琢磨，就一定能把它拿下！就像小李同学一样，刚开始迷糊，后来通过努力不也搞明白了嘛！相信大家都能在数学的海洋里畅游，把次方根的知识运用得得心应手！。
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補充教材
開n 次方根的直式計算與原理
范志軒 編輯
壹、二次方根
在10進位的數字中，若要建構開次方根號的直式計算，得要先觀察數字在次方運算下的進位規律，譬如以二次方為例：
一位數字x ：010x <<20100x ⇒<<
二位數字x ：10100x ≤<210010000x ⇒≤<
三位數字x ：1001000x ≤<2100001000000x ⇒≤< ………
n 位數字x ：11010n n x -≤<2(1)221010n n x -⇒≤<
上述的規律顯示：2n 或21n -位數字的平方根為n 位數字，因此若要反向求出二次方根，例如622521 的平方根，可以先觀察到此數為6位數，所以平方根為3位數。
其次，若已知622521 的平方根為3位數，如何決定其值？
二次方根直式計算法
(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每二位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第
二小節，……，以622521為例，共可分成三小節，而每一小節恰可計算出平方根的一位數字
(2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得2a 最接近此節的數字
將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列
(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()12a b +乘以b 最接近此列上的數 用此列上的數減去()12a b +乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列
62'25'2
149 13252a =7a =取
749 132511
841
41
21
777148b =取8
8
()12a b +=
()1=2a b b
+⨯8
1
10a a =
(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()22a c +乘以c 最接近此列上的數
用此列上的數減去()22a c +乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列
(5) 若此時降下的數字為0，則開二次根號結束，平方根為10010a b c ++
否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位
數為止
計算二次方根的原理 x a β=+
()()2
222x a a a βββ=+=++ ⇒ ()222x a a ββ-=+ 令b βγ=+，代入上式
()()222x a a b b γγ-=+++()()222a b b a b γγ
=++++
⇒()()22
222x a a b b a b γγ--+=++
令c γω=+，代入上式
()()()22222x a a b b a b c c ωω--+=++++()()22222a b c c a b c ωω=++++++
()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++
…………
重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗
例如對622521的平方根運算進行觀察
622521()2
700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =
()26225217002700ββ⇒-=⨯+
令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b = ()()262252170027008080γγ⇒-=⨯+++
()()2622521700270080802700280γγ⇒--⨯+=⨯+⨯+
令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c = ()()262252170027008080270028099⇒--⨯+=⨯+⨯+
()()262252170027008080270028099⇒--⨯+-⨯+⨯+ 622521490000118400141210=---=
49 1325118414121141210777148
8()22a c +=89
15699()2=2a c c +⨯9
c =取()2
1010a b a ⨯+=
故62251的平方根為70070080700809789βγ+=++=++=
貳、三次方根
開三次方根的直式運算
若是仿照求二次方根的原理與步驟，考慮三次方根的求法，可得以下直式求法：
(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每三位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第
二小節，……，而每一小節恰可計算出立方根的一位數字 (2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得3a 最接近此節的數字並將第一小節的數減去2a ，
連同次一小節的數字下降至下一列
(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()221133a a b b ++乘以b 最接近此列上的數並用此列上
的數減去()221133a a b b ++乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列
(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()2
22233a a c c ++乘以c 最接近此列上的數，
並用此列上的數減去()2
22233a a c c ++乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列
(5) 若此時降下的數字為0，則開三次根號結束，立方根為10010a b c ++
否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位
數為止
例如對491169069開立方根，其直式運算如下：
計算三次方根的原理
x a β=+
()()3
332233x a a a a ββββ=+=+++ ⇒ ()332233x a a a βββ-=++
令b βγ=+，代入上式
()()
(
)()2
33233x a a a b b b γγγ-=+++++()()
()()
2
2223333a ab b b a b a b γγγ
=+++++++
⇒()()()()
2
332223333x a a ab b b a b a b γγγ--++=++++ 令c γω=+，代入上式
343 148169131552166170
6916617069
7897a =取3a =8b =取9c =取1
10a a =()221133a a b b b ++=()222233a a c c c ++=()2
1010a b a ⨯+=
()()()()()
(
)()
2
233223333x a a ab b b a b a b c c c ωωω--++=+++++++()
()(
)()
()()2
2
2
2
3333a b a b c c c a b c a b c ωωω=+++++++++++
()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω
--+-++=+++
()()()(
)()()()
2
2
332222333333x a a ab b b a b a b c c c a b c a b c ωωω
⇒--++-++++=++++++…………
重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗
例如對491169069的立方根運算進行觀察
491169069()3
700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =
()32249116906970037003700βββ⇒-=⨯+⨯⨯+
令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b =
()()
(
)()2
3249116906970037003700808080γγγ⇒-=⨯+⨯⨯++++
()()322224911690697003700370080808037803780γγγ⇒--⨯+⨯⨯+=⨯+⨯⨯+
令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c =
()()322224911690697003700370080808037803780999⇒--⨯+⨯⨯+=⨯+⨯⨯+ ()()322224911690697003700370080808037803780999
⇒--⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+ 491169069343000000131552000166170690=---=
故491169069的立方根為70070080700809789βγ+=++=++=
參、n 次方根
很明顯的，由前文中平方根與立方根的求法不難發現，此方法可推廣至n 次方根，只要利用二項式定理將()n
n x a b =+展開，首項n a 移至等號左側，而右側則提出b ，此時令b c d =+並且估算c 的值使得等號兩側數字最接近，將c 代入後乘開，再重複上述步驟直到求出所需要的位數即可，方法雖然有規律性變化，但是從實際的計算中可以發現，在估算最接近數字時，計算過程異常龐大，在進行三次或三次以上方根的計算時，若無計算機協助，以人工進行直式運算顯然不切實際，甚至不如採用十分逼近法恰當，然而在求次方根的過程中，同學仍可觀察到規律變化的優美性質，若是具有程式設計能力的同學，可嘗試設計開n 次方根的演算法，這會是一個不錯的練習。