第四章 4.1.1-4.1.2 第1课时 n次方根
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2
4．1 指数4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．3.掌握幂的运算.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点一n次方根及根式预习教材，思考问题如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在,(2)根式①定义：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋)(ⅰ)(na )n ＝a .(ⅱ)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.知识点二 指数幂及运算 知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1amn＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[自主检测]1．已知x 5＝6，则x 等于( )A.6B.56C ．－56D ．±56答案：B2．234化成根式形式为( )A.324B.423C.432D.243答案：B3．(0.027)－23的值是( )A.1009B.9100C.103D.310解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝10.32＝10.09＝1009. 答案：A4．当8<x <10时，x －82＋x －102＝________.解析：由8<x <10， 得x －82＋x －102＝|x －8|＋|x －10|＝(x －8)＋(10－x )＝2. 答案：2授课提示：对应学生用书第51页探究一 利用根式的性质化简求值[例1](1)化简a ＋41－a 4的结果是( )A ．1B ．2a －1C ．1或2a －1D ．0(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( )A ．(6a －6b )6＝a －b B.8a 2＋b 28＝a 2＋b 2C.4a 4－4b 4＝a －b D.10a ＋b 10＝a ＋b(3)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[解析](1)a ＋41－a 4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C.(2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.[答案](1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．若n <m <0，则 m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n 解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝m ＋n2－m －n 2＝|m ＋n |－|m －n |.∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0，∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化 [例2]用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)：(1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3) a a ；(4)y 2xx 3y3y 6x 3.[解析](1)a 2·a ＝a 2·a12＝a 2＋12＝a 52.(2)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(3) a a＝(a·a12)12＝(a32)12＝a34.(4)y2xx3y3y6x3＝y2xx3y⎝⎛⎭⎪⎫y6x313＝y2xx3y·y2x＝y2xx2·y12＝⎝⎛⎭⎪⎫y2x·xy1212＝y54＝y4y.(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的X围，以防错解．1．2－23等于( )A.322B.223C．－322D.1322答案：D2．计算：23×31.5×612＝________.解析：23×31.5×612＝2×312×⎝⎛⎭⎪⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.答案：6探究三 指数幂的运算[例3]计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤140.02723＋50×0.001 634－12. [解析](1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简求值：(1)0.000 1－14＋2723－(4964)－12＋(19)－1.5；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.解析：(1)原式＝(0.14)－14＋(33)23－[(78)2]－12＋[(13)2]－32＝0.1－1＋32－(78)－1＋(13)－3 ＝10＋9－87＋27＝3147.(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.授课提示：对应学生用书第52页一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值．[解析]∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)，由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47，∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322. 2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析]∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a 12＋a －12＞0，∴a 12＋a －12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题 常用指数幂的变换技巧则a k 积：3k 乘方：(a k )3＝a 3k[典例] 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：c ＝a ＋b.[证明]令3a ＝4b ＝6c ＝t ，则.因为3×2＝6，所以，即1a ＋12b ＝1c，所以2c ＝2a ＋1b.。
新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 教案
第四章 指数函数与对数函数4.1 指数【素养目标】1．弄清nn 次方根的运算．(数学抽象)2．能够利用m na=(数学运算)3．通过对根指数n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理) 【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4.1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识提示：不一定．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，且互为相反数，当n 为奇数时，正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数．知识点二 根式(1)定义：式子叫做根式，这里n 叫做___根指数__，a 叫做___被开方数__. (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ∈(na )n ＝a .∈na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.思考2：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R .思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：(1)当a <0时，若n 为偶数，m 为奇数，则m na ，m na -无意义；(2)当a ＝0时，a 0无意义．知识点四 有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r ，s∈Q) (1)r s r s a a a +=. (2)()r srsa a =. (3)()rr rab a b =.思考4：同底数幂相除a r÷a s，同次的指数相除a rbr 分别等于什么？提示：(1)a r ÷a s ＝a r －s ； (2)a r b r ＝(a b )r .基础自测1.3－8等于( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－8[解析]3－8＝3(－2)3＝－2.2．下列各式正确的是( A )A．3a = B．47=-C．5||a =Da =[解析] (3a )3＝a ，(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)，故选A ．3．324-可化为( C )A ．8B ．432 C ．18D ．342[解析] 3233322211114284(2)-====. 4．若a >0，n ，m 为实数，则下列各式中正确的是( D ) A ．m m nna a a ÷= B ．n m m n a a a ⋅⋅= C ．( )n mm na a+=D ．01n n a a -÷=[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0－n正确，故选D ．5．若66－x 有意义，则实数x 的取值范围为_____(－∞，6]___. [解析] 要使式子66－x 有意义，应满足6－x ≥0， ∴x ≤6.关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；(2)已知x7＝6，则x＝__76__；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∈(±4)2＝16，∈16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∈x7＝6，∈x＝7 6.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】∈ 计算下列各值：(1)27的立方根是__3___；(2)256的4次算术方根是__4___；(3)32的5次方根是__2___.[解析](1)∈33＝27，∈27的立方根是3.(2)∈(±4)4＝256，∈256的4次算术方根为4.(3)∈25＝32，∈32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)3＋22＋3－22；(2)5＋26－6－42＋7－43；(3)32＋5＋32－ 5.[分析](1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．[解析](1)原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以32＋5＋32－5＝1.[归纳提升] 形如A ±B 的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： (1)5(－a )5＝_______； (2)6(3－π)6＝________； (3)614－3338－30.125＝______. [解析] (1)5(－a )5＝－a . (2)6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. (3)614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2； (2)b 3a·a 2b 6(a >0，b >0)； (3)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a 3·3a 2＝a 3·a23 ＝a 3＋23 ＝a 113 .(2)∵a >0，b >0， ∴b 3a ·a 2b 6＝(a－1b 3)12 ·(a 2b －6)12＝(a －12 b 32 )·(ab －3)＝a 12b －32 ＝(a 12 b －32 )12 ＝a 14 b －34 . (3)∵a >0，b >0，∴a－4b 23ab 2＝a－4b 2a13 b 23 ＝a －113 ·b 83 ＝(a －113 b 83 )12 ＝a －116b 43 .[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N ＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式． (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为____；(2)4b －23 (b >0)化为分数指数幂的形式为____16b -____；(3)13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为____53x-____.[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125. (2)原式＝(b －23 )14 ＝b －23 ×14 ＝b －16 .(3)原式＝13x ·(x 25 )2＝13x ·x 45 ＝13x 95＝1(x 95 )13 ＝1x 35＝x －35 .题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a 72 a －3÷3a－83a 15÷3a－3a －1.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a 72 a －32 ÷a －83 a 153 ÷3a －32 a －12＝3a 2÷a 73 ÷3a －2＝a 23 ÷(a 73 )12 ÷(a －2)13 ＝a 23 ÷a 76 ÷a －23＝a 23 －76 ÷a －23 ＝a －12 ＋23 ＝a 16 .[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷(1－23b a )×3a .[解析] 原式＝a 13 (a －8b )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ÷a 13 －2·b 13 a 13·a 13＝a 13 (a 13 －2b 13 )(a 23 ＋2a 13 b 13 ＋4b 23 )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ·a 13a 13 －2b 13 ·a 13＝a 13 ·a 13 ·a 13 ＝a .课堂检测·固双基1．化简[(－3)2]－12的结果是( C )A ．－33B ．3C ．33D ．－3[解析] [(－3)2]－12＝3－12＝1312＝13＝33.2．已知m <23，则化简4(3m －2)2的结果为( C )A ．3m －2B ．－3m －2C ．2－3mD ．－2－3m[解析] ∵m <23，∴3m －2<0，排除A ，B ，又(3m－2)2>0，所以4(3m－2)2为正，所以选C．3．若2＜a＜3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．负数没有n次方根[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，∴B错误；对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4(－43)4＝__43__.[解析]4(－43)4＝4(43)4＝43.素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．－416的结果是(B)A．2B．－2C．±2D．以上都不对[解析]－416＝－424＝－2.故选B．2．下列各式正确的是(C)A．6(－3)2＝3(－3)B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．3．若2 019<m <2 020，则(3m －2 019)3＋4(m －2 020)4等于( A ) A ．1 B ．4 031－2m C ．4 031D ．2m －4 031[解析] 因为2 019<m <2 020，所以m －2 020<0. 故原式＝m －2 019＋|m －2 020| ＝m －2 019＋2 020－m ＝1. 故选A ．4．若6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≥2 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤3D ．x ∈R[解析] 由题意，知x －2≥0，且3－x ≥0，所以2≤x ≤3. 二、填空题5．64的6次方根是__±2__，计算64－23的值是__116__.[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－23＝13642＝13(43)2＝13(42)3＝142＝116.6．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义． 三、解答题7．写出使下列各式成立的实数x 的取值范围：(1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3；(2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.[解析] (1)由于根指数是3，故x 只需使1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.故实数x 的取值范围是x ≠3.(2)∵(x －5)(x 2－25)＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )·x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，∴－5≤x ≤5. ∴实数x 的取值范围是－5≤x ≤5.B 组·素养提升一、选择题1．化简(－x )2－1x的结果是( B ) A ．x B ．－x －x C ．x x D ．x －x[解析] 由 －1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD ) A ．x 2＝x B ．6y2＝y 13C ．(x y )－52 ＝(yx)5(x 、y ≠0) D ．x－12＝1x[解析]x 2＝|x |，6y 2＝|y |13，(x y )－52 ＝(y x )52 ＝(yx)5(x 、y ≠0)， x－12＝1x 12＝1x ，故CD 正确．二、填空题3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β等于3[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3， ∴10β＝ 3.∴1 0002α－13β＝106α－β＝106α10β＝643＝6433.4．2723＋16－12－(12)－2－(827)－23 ＝__3__. [解析] 原式＝(33)23＋(42)－12－22－[(23)3]－23 ＝32＋4－1－4－94＝3. 三、解答题5．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 由x >0，y >0且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )得x ＋xy ＝3xy ＋15y ，即x －2xy －15y ＝0，整理有(x －5y )(x ＋3y )＝0，因为x >0，y >0，所以x ＝5y ，即x ＝25y ，11 所以2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3.。
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2.根式
(1)式子 n a 叫做根式,n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:当n>1,n∈N*时,
① (_n_a__)n a;
②
_n_a_n_
a, n为奇数， | a |, n为偶数.
【思考】 (n a )n 与n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子n an 中,a∈R.
2.若 (2a－1)2＝3 (1－2a)3，则实数a的取值范围为______. 【解析】 (2a－1)2＝| 2a－1|，
3 (1－2a)3＝ 1-2a. 所以|2a-1|=1-2a, 故2a-1≤0,
所以a≤ 1 .
2
答案: (－，1]
2
类型二 根式与分数指数幂的互化
【典例】1.根式 1 1 (式中a>0)的分数指数幂形式为
2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是偶数时,被开方数非负,根指数为奇数时, 被开方数为任意实数.
【类题·通】 1.n(n>1)次方根的个数及符号的确定 (1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任 意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式 n a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方 数a的符号共同确定:
义;若n为奇数,则
a
m
n，a
m n
有意义.
(2)当a=0时,a0无意义.
4.有理数指数幂的运算性质(a>0,b>0,r,s∈Q) (1)aras=ar+s. (2)(ar)s=ars. (3)(ab)r=arbr.
【思考】
同底数幂相除ar÷as,同次的指数相除 ar 分别等于
n次方根与分数指数幂
3.(教材二次开发：习题改编) （6 x－2-2|=
x－2，x 2－x，x
2， 2.
答案：2x－－2x，，xx
2， 2.
关键能力·合作学习
类型一 n次方根的概念及相关的应用(数学运算)
【题组训练】
1. （3 6）3 （4 5 4）4 （3 5 4）3 的值为 (
第四章 指数函数与对数函数 4.1 指 数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·自主学习
1.在初中学过平方根、立方根、根号，那么还有没有其 导 他次方的方根？怎样表示？ 思 2.在初中学过正整数指数幂的含义、运算性质，当指数
不是正整数时，有什么含义和运算性质？
1.n次方根 如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.可用下表表示：
8
1
)3
(
2
31
)3
2.
27
3
3
答案： 2
3
2.用分数指数幂表示a· 5 1 =_______.
a3
【解析】原式=a·
a
3 5
2
a5.
答案：a
2 5
类型三 分数指数幂运算性质的应用(数学运算)
角度1 化简问题
【典例】(2020·衡阳高一检测)
(a
2 3
b
1
)
1 2
a
1 2
b
1 3
6 ab5
正数)
(1)方法：根指数
分数指数的分母，
被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用
有理数指数幂的运算性质解题.
提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.
4,1,1 n次方根与分数指数幂(第1课时)(PPT) (人教A版2019 必修第一册)
3
(2)
(3)
解析
−7 3 ；
− 4 2；
2
−1 ＋
1 − �� 2 ＋
3
3.
1 − ��
3
（1）
−7 3 = −7；
(2)
−4
2
= − 4 = 4 − ；
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
（三）典例透析
【类题通法】
5
，则这样的x有1个，它叫做3的五次方根，记作 3
；
若x5＝－3 ，则这样的x也只有1个，它也叫做-3的五次方根，记作 −3
5
.
；
（二） n次方根
的n次方根的定义 ：
一般地，如果
x a
n
，那么x叫做的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
的n次方根的表示 求解 的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论：
斯
（一）新知导入
创设情境、问题生成
【想一想】
根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长
是如何计算出来的呢？
【提示】根据勾股定理正方形的对角线长为 12 12 2
.
（一）新知导入
探索交流、解决问题
【问题1】 (1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若 x2＝ － 3呢？
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
n为奇数
n
n为偶数
n a
a
a的取值范围
R
[0，＋∞)
（二） n次方根
【做一做】
1.10的平方根为________.
2.－243的5次方根为________.
2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n次方根与分数指数幂课件新人教A版必修第一册
解析
答案
金版点睛 1.判断关于 n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；
(2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路 解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后 运用根式的性质进行解答.
[跟踪训练1] (1)下列说法正确的个数是( )
答案
解析
3.若 6 4a2－4a＋1＝3 1－2a，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2) C.12，＋∞
B.12，＋∞ D.－∞，12
答案 D
解析 ∵6 4a2－4a＋1＝ 6 2a－12＝ 6 1－2a2＝3 1－2a，∴1－ 2a≥0，即 a≤12.
答案 (1)①5 a ②4 a3 ③ 1 ④ 1
5 a3
3 a2
7
3
1
(2)①(a－b) 5 ②(a2－b2) 4 ③(a2b－ab2) 4
2
④(a2－b2) 4
(3)x≥1
答案
核心素养形成
题型一 根式的概念 利用根式的性质化简 例 1 (1)①16 的平方根为________，－27 的 5 次方根为________； ②已知 x7＝6，则 x＝________；
D．±10 2
(3)化简下列各式： ①3 －27；②(3 －9)3；③ a－b2.
答案 (1)B (2)D (3)见解析 解析 (1)①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，③④正确． (2)∵m10＝2，∴m 是 2 的 10 次方根．又∵10 是偶数，∴2 的 10 次方根 有两个，且互为相反数，
解析
当 n 为奇数时， n x－πn＝x－π. 综上， n x－πn＝πx－－πx， ，nn为 为偶 奇数 数， ，nn∈ ∈NN**， . ②∵a≤12，∴1－2a≥0， ∴ 4a2－4a＋1＝ 2a－12＝|2a－1|＝1－2a.
第四章 4.1 4.1.1 4.1.2 第一课时 n次方根
规律方法 对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只 要n a有意义，n a必不为负.
【训练 1】 若 a2－2a＋1＝a－1，求 a 的取值范围. 解 ∵ a2－2a＋1＝|a－1|＝a－1， ∴a－1≥0，∴a≥1.
题型二 利用根式的性质化简或求值 【例2】化简：化简时要看清根指数的奇偶
答案 －2
5. （a－b）2＋5 （a－b）5的值是________.
解析 答案
（a－b）2＋5 （a－b）5＝|a－b|＋(a－b)＝02， （aa≤ －bb， ），a>b. 0或2(a－b)
题型一 由根式的意义求范围 利用 a2＝|a|进行讨论化简 【例 1】 求使等式 （a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 （a－3）（a2－9）＝ （a－3）2（a＋3）＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，需aa－ ＋33≤ ≥00， ，解得 a∈[－3，3].
二、素养训练 1.已知 x5＝6，则 x 等于( )
A. 6
B.5 6
C.－5 6 答案 B
D.±5 6
2.(4 2)4 运算的结果是( )
A.2
B.－2
C.±2
D.不确定
答案 A
3.m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B.3 m
C.6 m
D.5 －m
答案 C
3
4. －8的值是________.
(1)4 （3－π）4； (2) （a－b）2(a>b)；
3
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ （1－a）3.
解 (1)4 （3－π）4＝|3－π|＝π－3.
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§4.1指数4．1.1n次方根与分数指数幂4．1.2无理数指数幂及其运算性质第1课时n次方根学习目标 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值．知识点一n次方根，根式1．a的n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数na R[0，＋∞)n为偶数±n a3.根式：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．思考根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？答案当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为n a，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a≥0时，a才有n次方根，可表示为±n a.知识点二根式的性质根式的性质是化简根式的重要依据(1)负数没有偶次方根．(2)0的任何次方根都是0，记作n0＝0. (3)(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． (4)n a n ＝a (n 为大于1的奇数)．(5)na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．思考 根式化简开偶次方根时应注意什么问题？答案 开偶次方根时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值号化简，化简时要结合条件或分类讨论．1．实数a 的奇次方根只有一个．( √ ) 2．当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2.( × )3．当a ≥0时，n a 表示一个数．( √ ) 4．当n 为偶数，a ≥0时，na ≥0.( √ ) 5.na n ＝(na )n .( × )一、由根式的意义求范围例1 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]． 反思感悟 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点(1)只有a ≥0才有意义． (2)只要na 有意义，na 必不为负．跟踪训练1 若(3a －1)2＝3(1－3a )3，求实数a 的取值范围． 解(3a －1)2＝|3a －1|，3(1－3a )3＝1－3a .因为|3a －1|＝1－3a ，故3a －1≤0，所以a ≤13.二、利用根式的性质化简或求值 例2 化简下列各式： (1)5(－2)5＋(5－2)5； (2)6(－2)6＋(62)6； (3)4(x ＋2)4.解 (1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.反思感悟 正确区分na n 与(na )n(1)( na )n 已暗含了n a 有意义，根据n 的奇偶性可知a 的范围． (2)na n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． 跟踪训练2 化简下列各式： (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4. 解 (1)7(－2)7＝－2.(2)∵a ≤1，∴4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.三、有限制条件的根式的化简例3 已知－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3<x <3，∴当－3<x <1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(教师) 延伸探究本例中，若将“－3<x <3”变为“x ≤－3”，则结果又是什么？ 解 原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵x ≤－3，∴x －1<0，x ＋3≤0， ∴原式＝－(x －1)＋(x ＋3)＝4. 反思感悟 有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．跟踪训练3 已知－1<x <2，求x 2－4x ＋4－x 2＋2x ＋1的值． 解 原式＝(x －2)2－(x ＋1)2＝|x －2|－|x ＋1|.因为－1<x <2，所以x ＋1>0，x －2<0， 所以原式＝2－x －x －1＝1－2x .1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4a 2 B.5a C.5－a D.4a答案 D解析 当a <0时，a 的偶次方根无意义． 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102C.210 D ．±102答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.3．当x <0时，x ＋4x 4＋3x3x＝________.答案 1解析 原式＝x ＋|x |＋xx ＝x －x ＋1＝1.4．化简：(x ＋3)2－3(x －3)3＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝6；当x <－3时，原式＝－2x .5．若(x 2－2x －3)2＝－x 2＋2x ＋3，则实数x 的取值范围是________． 答案 [－1,3] 解析 因为(x 2－2x －3)2＝|x 2－2x －3|＝－x 2＋2x ＋3，所以x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3.1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质． (2)根式的性质． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：(1)对于na ，当n 为偶数时，a ≥0. (2)混淆(na )n 和na n .1．(42)4运算的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定 答案 A解析 因为(na )n ＝a ，所以(42)4＝2.2．若a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，∴a ≥2且a ≠4.3．下列说法正确的个数是( ) ①16的4次方根是2； ②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. 4．若a <14，则化简(4a －1)2的结果是( )A ．4a －1B ．1－4aC ．－4a －1D ．－1－4a答案 B 解析 ∵a <14，∴4a －1<0，∴(4a －1)2＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .5．(多选)若n ∈N ，a ∈R ，则下列各式中一定有意义的是( ) A.4(－4)2n B.4(－4)2n ＋1 C.5a 4 D.4a 5答案 AC解析 (－4)2n >0，故A 有意义；(－4)2n ＋1<0，故B 无意义；C 显然有意义；当a <0时，a 5<0，此时4a 5无意义，故D 不一定有意义． 6.3－8的值是________． 答案 －2 解析3－8＝3(－2)3＝－2.7．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 答案 －1 解析 ∵x >3，∴x 2－6x ＋9－|2－x |＝(x －3)2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.8．化简：(a －b )2＋5(a －b )5＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧0，a <b ，2a －2b ，a ≥b解析(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b |＋(a －b )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a <b ，2(a －b )，a ≥b .9．化简：(1)n(x －π)n (x <π，n ∈N *)； (2)4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 解 (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n(x －π)n ＝x －π.综上，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴2a －1≤0，∴4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a .10．已知－2<x <2，求x 2－2x ＋1－x 2＋4x ＋4的值． 解 原式＝(x －1)2－(x ＋2)2＝|x －1|－|x ＋2|，∵－2<x <2，∴当－2<x <1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋2)＝－2x －1； 当1≤x <2时，原式＝x －1－(x ＋2)＝－3.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，－2<x <1，－3，1≤x <2.11．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( ) A ．2x －5 B ．－2x －1 C ．－1 D ．5－2x答案 C 解析 因为2－x 有意义，所以2－x ≥0，即x ≤2， 所以原式＝(x －2)2－(x －3)2＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1. 12．下列式子中成立的是( ) A ．a －a ＝－a 3 B ．a －a ＝－a 3 C ．a －a ＝－－a 3 D ．a －a ＝a 3答案 C解析 由题意知a <0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－(－a )2(－a )＝－－a 3.13.3－223＋22＝________.答案 3－2 2 解析3－223＋22＝(3－22)2(3＋22)(3－22)＝(3－22)2＝3－2 2.14．把a－1a根号外的a 移到根号内等于________． 答案 －－a 解析 要使－1a有意义，需a <0. ∴a －1a ＝－|a |－1a＝－|a |2·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－－a .15.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4(a －b )4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a 答案 D解析 由题图知f (－1)＝a －b ＋0.1<0，∴a －b <0. ∴4(a －b )4＝|a －b |＝－(a －b )＝b －a .16．计算：(1)614－3338＋30.125； (2)3(－8)3＋4(3－2)4－3(2－3)3； (3)3⎝⎛⎭⎫34－143·(3＋1)＋( 2 020－ 2 019)0. 解 (1)原式＝254－3278＋318＝52－32＋12＝32. (2)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋3＝－8. (3)原式＝⎝⎛⎭⎫34－14·(3＋1)＋1 ＝⎝⎛⎭⎫32－12·(3＋1)＋1＝12(3－1)·(3＋1)＋1＝12(3－1)＋1 ＝1＋1＝2.。