两数N次方差的一般计算公式
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
n次方和及n次方差公式
For personal use only in study and research; not for commercial usen 次方和及n 次方差公式（1）n 次方差公式：123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++L ，n N *∈（2）n 次方和公式：123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-++-+L ，n N *∈，n 为奇数注意：n 为偶数时，没有n 次方和公式实际上，12322211,()((1)(1)),n n n n n n n n n n n a b n a b a a b a b ab b a b n -------⎧+⎪+-++--+-=⎨-⎪⎩L 为奇为偶即n 为偶数时，立方和公式有两个：123221123221()()()()n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b ab b a b aa b a b ab b -----------=-+++++=+-+++-L L 常用公式：1.平方差公式：22()()a b a b a b -=+-2.立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+3.四次方差公式：4432233223()()()()a b a b a a b ab b a b a a b ab b -=-+++=+-+- 4.1231(1)(1)n n n n x x xx x x ----=-+++++L ，n N *∈ 1231(1)(1)n n n n x x xx x x ---+=+-+++-L ，n N *∈，n 为奇数For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。
两项差的n次方公式
两项差的n次方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：【两项差的n次方公式】在数学中，两项差的n次方公式是指对两个数相减后再进行幂运算的公式。
这个公式在代数中扮演着非常重要的角色，不仅在数学理论的证明中有用，也在实际问题中有着广泛的应用。
在代数中，两项差的n次方公式通常表示为(a - b)^n，其中a和b 是两个任意的实数，n是一个非负整数。
这个公式可以展开成一系列项的和，每一项都有着特定的系数和幂指数，展开后的结果是一个多项式。
下面我们将详细介绍这个公式的展开过程以及一些相关的性质和应用。
我们来看两项差的一次方的情况。
当n=1时，两项差的n次方公式变为(a - b)^1 = a - b。
这个公式非常简单，它表示了两个数相减的结果。
这个结果可以理解为从a点到b点的距离，或者从起点a出发朝向负方向b移动的距离。
接着，我们来看两项差的二次方的情况。
当n=2时，两项差的n 次方公式变为(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
这个公式的展开过程可以通过平方法进行推导，即(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2。
这个公式表示了两个数相减后再进行平方运算的结果，其中包含了三个部分：a的平方、2ab的负值、和b的平方。
可以看到，随着n的增大，两项差的n次方公式的展开式中会出现越来越多的项，而每一项的系数和指数也会随之变化。
这种多项式的形式在代数中有着很多重要的应用，比如在解方程、求导数等方面都有着关键作用。
除了展开式之外，两项差的n次方公式还有一些有趣的性质。
当n 为偶数时，展开式中含有对称的项，而当n为奇数时，展开式中不含对称的项。
这种对称性质在研究对称多项式和对称函数时有着很大的意义。
两项差的n次方公式还可以通过二项式定理来推导，这种方法更加直观和简洁。
两项差的n次方公式是代数中一个非常重要且有趣的工具。
n次方差的计算公式
n次方差的计算公式（实用版）目录1.引言2.n 次方差的定义3.n 次方差的计算公式4.计算公式的推导过程5.应用实例6.结论正文1.引言在统计学和概率论中，方差是一种衡量数据离散程度的指标。
对于一个随机变量 X，我们可以通过计算其各个取值与期望值之差的平方和的平均值来定义方差。
当随机变量 X 的 n 次方差时，我们需要考虑其各个取值的 n 次方与期望值的 n 次方之差的平方和的平均值，这就是所谓的n 次方差。
2.n 次方差的定义次方差是随机变量 X 的 n 次方与其期望值的 n 次方之差的平方的期望值，用数学公式表示为 E[(X^n - μ^n)^2]，其中 E 表示期望值，X 表示随机变量，μ表示 X 的期望值，n 表示方差的次数。
3.n 次方差的计算公式根据定义，我们可以得到 n 次方差的计算公式为 Var(X^n) = E[(X^n - μ^n)^2] = E[X^(2n)] - [E(X^n)]^2。
其中，Var 表示方差，E[X^(2n)] 表示 X 的 2n 次方的期望值，[E(X^n)]^2 表示 X 的 n 次方的期望值的平方。
4.计算公式的推导过程我们可以通过以下步骤推导出 n 次方差的计算公式：1) 根据期望的线性性，有 E[X^n] = E[X]^n。
2) 根据方差的定义，有 Var(X) = E[X^2] - [E(X)]^2。
3) 将步骤 1) 代入步骤 2) 中，得到 Var(X^n) = E[X^(2n)] -[E(X^n)]^2。
5.应用实例假设有一个随机变量 X，其取值为 1 和 2，概率分别为 0.3 和 0.7，求 X 的 2 次方差的方差。
根据公式，我们可以计算得到 E[X^2] =1^2*0.3 + 2^2*0.7 = 1.2，[E(X^2)]^2 = 1.2^2 = 1.44，E[X^(4)] = 1^4*0.3 + 2^4*0.7 = 16.4，因此，Var(X^2) = E[X^(4)] - [E(X^2)]^2 = 16.4 - 1.44 = 14.96。
不求平均数 方差计算公式
不求平均数方差计算公式
在统计学中，方差是一种用来衡量数据集中数据分散程度的统
计量。
它可以帮助我们了解数据的变化程度和稳定性，是许多统计
分析和决策的重要指标。
通常情况下，我们计算方差时会先求出数
据的平均数，然后计算每个数据与平均数的差值的平方，最后求这
些平方差的平均值。
但是，有时候我们也可以不求平均数，直接使
用另一种公式来计算方差。
不求平均数方差计算公式如下：
方差= (Σx^2 (Σx)^2 / n) / n.
其中，Σ表示求和，x表示数据集中的每个数据，n表示数据
的个数。
这个公式的计算过程与传统的方差计算方法有所不同，它直接
利用了数据的平方和和数据的和的平方，并且不需要先计算平均数。
这种方法在一些特定情况下可能会更加方便和高效，尤其是在处理
大量数据时。
不求平均数方差计算公式的应用范围很广，可以用于各种统计
分析、实验设计、质量控制等领域。
通过计算数据的方差，我们可
以更好地了解数据的分布情况，从而更准确地进行数据分析和决策。
总之，不求平均数方差计算公式是统计学中的重要工具之一，
它为我们提供了一种简单而有效的方式来衡量数据的变化程度，帮
助我们更好地理解和利用数据。
在实际应用中，我们可以根据具体
情况选择合适的方差计算方法，以便更好地分析和解释数据。
n 次方差公式
n 次方差公式N次方差公式详解什么是N次方差公式？N次方差公式是概率论与统计学中的重要概念，用来衡量一组数据的离散程度。
通过计算数据点与其均值之间的差距的N次方的平均值，可以得到数据集的N次方差。
N次方差公式的表达式对于一个包含n个数据点的数据集，其N次方差的表达式为：[N次方差公式](其中，X={x₁, x₂, …, xn}表示数据集，μ表示数据集的均值。
N次方差公式的应用N次方差公式常用于度量数据的分散程度，对于不同的N值有不同的应用场景。
N=2：方差当N=2时，即二次方差公式，对应的为方差。
方差用来衡量数据与其均值之间的偏离程度。
当数据点与均值越接近时，方差越小，反之亦然。
例如，有一组数据集X={1, 2, 3, 4, 5}，均值为3。
按照方差公式计算方差：[方差计算](结果表明该数据集的方差为2。
N=1：平均绝对偏差当N=1时，对应的为平均绝对偏差。
平均绝对偏差用来衡量数据点与均值之间的平均距离，反映数据的整体分散程度。
例如，有一组数据集X={1, 2, 3, 4, 5}，均值为3。
按照平均绝对偏差公式计算平均绝对偏差：[平均绝对偏差计算](结果表明该数据集的平均绝对偏差为。
总结•N次方差公式是用来衡量数据集离散程度的重要工具。
•不同的N值对应不同的公式，如N=2对应方差，N=1对应平均绝对偏差。
•通过计算数据点与均值之间差距的N次方的平均值，可以得到数据集的N次方差。
以上是关于N次方差公式的详细介绍及其应用举例。
在实际应用中，可以根据需要选择不同的N值来分析数据集的离散程度。
N=3：离散程度的度量当N=3时，对应的是离散程度的度量。
通过计算数据点与均值之间的差距的三次方的平均值，可以得到数据集的离散程度。
例如，有一个包含5个数据点的数据集X={1, 2, 3, 4, 5}，均值为3。
按照离散程度的度量公式计算：[离散程度计算](结果表明该数据集的离散程度为。
N=4：峰度当N=4时，对应的是峰度。
n次方差公式推导过程
n次方差公式推导过程显然x=1x=1是xn−1=0x^n-1=0的根，因此x−1x-1是xn−1x^n-1的因式，下面通过比较系数凑出x−1x-1除xn−1x^n-1的商式。
显然商式中最高次项为xn−1,x^{n-1}, 此时(x−1)⋅xn−1=xn−xn−1,(x-1)\cdot x^{n-1} =x^n-x^{n-1},而xn−1x^n-1中xn−1x^{n-1}项的系数为0，因此商式中的第二项应为xn−2,x^{n-2},此时(x−1)⋅xn−2=xn−1−xn−2(x-1)\cdot x^{n-2}=x^{n-1} -x^{n-2}中的xn−1x^{n-1}恰好与−xn−1-x^{n-1}消掉，以此类推，易得xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1).x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1).因此an−bn=bn((ab)n−1)=bn(ab−1)((ab)n−1+(ab)n−2+⋯+ab+1)=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1).\begin{split} a^n-b^n &= b^n \left( \left( \frac{a}{b}\right)^n-1 \right) \\&=b^n \left( \frac{a}{b}-1 \right) \left( \left(\frac{a}{b} \right) ^{n-1} + \left(\frac{a}{b} \right) ^{n-2}+\cdots +\frac{a}{b}+1 \right)\\ &=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}). \end{split}同样的方法可以得到当n 为奇数时an+bna^n+b^n的展开式。
当n 为偶数时，由于an+bn=0a^n+b^n=0没有实根，因此没有一次因式，所以没有相应的展开式。
2018考研高数必会公式：N次方差公式
2018考研高数必会公式：N次方差公式
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两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。
就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。
推导过程：一、由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。
解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2几何上理解为：长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。
同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。
设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)几何上的理解是：长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。
对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为：P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q)三、推广到四次方同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+ 1)^(4-4)*A^(4-1)不相邻两数的四次方之差的一般公式：P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]* (P-Q)四、结论：两个数的n次方之差计算方法，综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出相邻两个数的n次方的差的一般公式：P^n - Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)不相邻两个数的n次方的差的一般公式：P^n - Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)* Q^(n-1)]*(P-Q)五、验证：⑴ 相邻两数的N次方的差的计算验证3^4-2^4=81-16=653^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 + 3^1*2^2 + 3^0*2^3=656^6-5^6=46656-15625=310316^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 + 6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031⑵不相邻两数的N次方的计算验证10^5-5^5=10000-3125=9687510^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=9687511^6-9^6=1771561-531441=124012011^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2=620060*2=1240120方差公式的应用刘君 王永会方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。
然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。
为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：若x 为一组数据x x x x n 123，， 的平均数，S 2为这组数据的方差，则有 S nx x x x x x nx x x nx n n 21222212222211=-+-++-=+++-[()()()][)]由方差定义公式，显然有S 20≥，当且仅当x x x n 12=== 时S 20=1. 求值例1. 已知实数x 、y 、z 满足 x y x y xy z +=<>+-+=<>⎧⎨⎩361322022试求x y z 2+的值。
解：<1>－<2>得：xy z =+<>233<>12得：x y xy2233664+=-<>()将<3>代入<4>得：x y z 2223186+=-()，把x ，3y 视为一组数据，由方差公式，得 Sx y x y z z 2222222123232121861263=+-⨯+=--⨯=-[()()]()因为S 20≥，所以-≥302z 所以z ＝0，所以S 20=所以x y =3代入<1>得x y ==31， 所以x y z 2239+==2. 解方程例2. 解方程4129()x y z x y z +-+-=+++ 解：设x a y b z c =-=-=，，12，则x a y b z c ==+=+22212，，原方程可化为412222()a b c a b c ++=+++ 所以a b c a b c 222412++=++-() 由方差公式，得a 、b 、c 的方差为： S ab c a b c 222221313=++-++[()()] =++--++13412132[()()]a b c a b c=-++-1962()a b c因为S 20≥所以()a b c ++-≤602 所以a b c ++=6所以S 20=，从而a b c ===2故x y z ===456，，，经检验x y z ===456，，是原方程的解。
3. 解方程组例3. 解关于实数x 、y 、z 的方程组23131492153822222x y z x y z x y z ++=<>++-++=<>⎧⎨⎩ 解：由<1>得23316x y z ++=-()<1>＋<2>，得()()2334104222x y z z ++=--+ 由方差公式，得233x y ，+的方差为： Sx y x y 22221223312233=++-++[()()()]=--+--=--1241041216344222[()()]()z z z z因为S 20≥，所以--≥34402()z所以()z -=402所以z =4，所以S 20= 所以233x y =+把z x y ==+4233，代入<1>得y ＝1，从而x ＝3，所以x y z ===314，，4. 证明不等式例4. 已知x y z a ++=，求证：x y z a 222213++≥证明：设x y z w 222++=，由方差公式，得x 、y 、z 的方差为 Sxyz x y z w a 22222213131313=++-++=-[()()]()因为S 20≥，所以131302()w a -≥所以w a ≥132，即x y za 222213++≥5. 证明等式例5. 已知实数a 、b 、c 满足a b =-6，c ab 29=-，求证：a ＝b 证明：由已知得a b +=6a b ab c c 22223623629182+=-=-+=-() 由方差公式，得实数a 、b 的方差为 Sab a bc c 2222222121212182126=+-+=--⨯=-[()()][()]因为S 20≥，所以-≥c 20 所以c ＝0，所以S 20=，则a ＝b6. 求字母的取值范围例6. 设实数a 、b 、c 满足a bc abc bc a 22287016602--+=<>++-+=<>⎧⎨⎪⎩⎪则a 的取值范围是_________。
解：<1>＋<2>得b c a a 2221413+=-+-<2>－<1>得()()b c a +=-221 由方差公式得b 、c 的方差为 S b c b c 22221212=+-+[()()]=-+---=--+12141312134109222[()()]()a a a a a因为S 20≥ 所以--+≥3410902()aa所以a a 21090-+≤ 解得19≤≤a7. 求最值例7. 实数x 、y 满足454522x xy y -+=，设S x y =+22，则1S m ax=_______。
解：设x y t 22+=，由方差公式得x 、y 的方程 Sx y x y 22221222=+-+[()()]=+-++=+-122224222222[()]()x y x xy yx y xy=-t xy 24①因为454522x xy y -+= 所以54522xy x y =+-() 所以xy x y t =+-=4-4515122()，代入①，得St t t 28524310200=-+=-+≥所以3100t -≤所以t ≤103，即S m ax =103所以1310S m ax=8. 判断三角形形状例8. 设∆ABC 的三边a 、b 、c 满足：b c +=8，bc a a =-+21252，试问∆ABC 是什么三角形（按边分类）？并证明你的结论。