N阶矩阵高次幂的求法及应用
n阶矩阵m次幂的计算方法及其应用分析
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教 育科 学
ｎ 阶矩阵 ｍ次幂 的计算方法及其应用分析
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【 摘
要 】 方 阵 的高 阶 次 幂 计 算 相对 较 为 繁 琐 ， 文 给 出 了 ｎ阶 矩 阵 ｍ次 幂 的几 种 简 便 易 行 的计 算 方 法 ， 过 这 几 种 计 算 方 法 的 运 用 ， 本 可 解 决 一 本 通 基
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矩阵高次幂的实用计算方法(Ⅱ)
（ 青海 大学 基础 部 ， 海 西宁 青 ８０ １） １０ ６
摘要 ： 文［ ］ 在 １的基础上 对一般 ｎ阶矩 阵 高次 幂 Ａ 的计 算 问题 作 了进 一步探 讨 ， 出了几种 给 具有 普遍意义 的实用计 算方 法。
关 键 词 ： 阵 高次 幂 ； 阵 多项 式 ； 小 多项 式 ；ｏｄ ｎ标 准形 ； 阵 函数 矩 矩 最 Ｊｒａ 矩
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显 然 ， 结果 与文 ［ ］ 该 １ 中所 得结果一样 。 该方法计 算 Ａ 的优点是 ： 出 Ａ 的特征值后不必再去求 用 求 对 应特征 向量 ， 这样不但 方法简 明 、 计算量小 ， 且具有 一定的普遍性 。 而 需要指 出的是 ， Ａ 的互不相 同 当 的特征值个 数小于 ｎ时 ， 只要用 ） 的导数来补 足确定 ｂ（ ｉ＝０ １… ， ， ， ｎ一１ 的方 程个 数 即可 。 ）
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据上述讨 论及 Ｃ ｙ ｅ－ Ｈ ｍ Ｌｏ 定理可知 ， ａＬ ｙ－ ａ ｉｔ ｎ 以矩 阵 Ａ 为根 的多项式有 很 多个 ， 是把 首项 系数为 但 １次数最小且 以 Ａ为根的多项式 ｍ（ 称 为 Ａ的最小 多项 式 。 、 ） 这说 明 Ａ的最小 多项式 ｍ（ 是其特征 多项 ） 式Ｐ ） （ 的因式 ， 这个 事实具有一 般性 ， 有 以下结论 ： 且 矩阵 Ａ的ｍ 可整除 以 Ａ为根 的任何首项 系数 （ ） 为１ 的多项式 ）且 ｍ（ 是唯一 的 ； ， ） 矩阵 Ａ的 ｍ（ Ｐ 有相 同的根 （ （ ） ） 不计 重数 ）两 个相似矩 阵的最小 多 ；
n阶方阵高次幂的计算方法
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第 ２ 卷 ２期 ｌ
Ｖｏ ． １ ２１ Ｎｏ ２ ．
四川文理学 院学 报
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作 者 简介 ： 跃 玉 （９９ ） 女 ， 川 达 州人 ． 师 ， 士 ， 余 １６ 一 ， 四 １ 讲 硕 主要 从 事 计 算数 学研 究
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余跃 玉 ｜ 阶方 阵高 次 幂 的 计 算 方 法 Ｉ 】
２ １ 年 第 ２期 ０１
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矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。
在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。
本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。
一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。
矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。
对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。
二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。
1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。
对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。
2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。
该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。
具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法1、求矩阵的n次幂的矩阵乘法法：求矩阵的n次幂的矩阵乘法法是用矩阵的乘法来求n次幂的一种方法，假设n>1。
令A为一个n阶矩阵，将A^n表示为A•A•…•A(n个A表示n次乘积)，这样就可以用矩阵的乘法运算，把矩阵的n次幂表示出来。
这种方法适合任意阶数的矩阵，但是运算量大，一般在n大于4时会给计算机造成较大压力。
快速乘法法是将连乘拆成若干小段，用平方法计算这些小段，最后把平方结果合成出原来的积，这样就可以利用矩阵的平方法降低运算的复杂度，近似时间复杂度仅为O(logn)。
遗传算法(GA)是一种模拟自然辅助搜索算法，其可利用遗传运算(Genetic Operation)求解难以用传统算法求解的复杂问题，也可用来求矩阵的n次幂。
此方法通过使用遗传运算对n次幂矩阵A求解，其中有“选择(selection)”、“交叉(crossover)”、“变异(mutation)”等随机算法组成，在一定时间内，做出一定代数运算就能求出矩阵的n次幂，这种方法的效率取决于遗传算子的设计，但是因为这种方法涉及较少的运算，所以可能运算效率会很高。
线性矩阵分解法是把矩阵A事先分解成正交矩阵和对角矩阵的向量形式，将n次幂矩阵A^n分解成m分，从而减少计算量，缩短计算时间。
这种方法可以有效减少计算过程的数量，但对于大矩阵来说，可能由于分解矩阵的复杂度过高而无法令效率上升。
树结构法是一种求解n次方矩阵A的技术，它是建立树，由树的叶节点求出矩阵A的n次方。
由于每一层都有一个乘积，树结构法可以有效减少计算次数，较为高效。
通常来说，这种方法的复杂度降低到O(logn)。
总之，上面提到的几种方法都可以用来求矩阵的n次幂，根据矩阵的阶数和n的大小，可以合理选择合适的算法，从而提高求解效率。
n阶方阵的高次幂的计算
n阶方阵的高次幂的计算摘要：文章采取分类讨论的思想并结合具体实例分别介绍了相似变换法、特征多项式法、乘法结合律方法、二项式展开法、分块对角矩阵法、数学归纳方法、标准形法等多种方法。
其中，数学归纳法适用于计算有规律形的矩阵；二项施展开法适用于可以拆分为计算比较简单的矩阵加法的矩阵；特征多项式法适用于特征多项式求解比较简单的矩阵；相似变换法适用于可以化为对角矩阵的矩阵；乘法结合律法适用于的矩阵；分块对角矩阵法适用于阶数较高可以分成分块对角形的矩阵. 这些方法的研究为n阶方阵的高次幂的计算提供了参考。
关键字：矩阵的幂；对角矩阵；分块矩阵；标准形；特征值多项式；1 预备知识1.1 矩阵的幂的概念及其运算律在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算.尤其是，当一个矩阵为方阵时，我们可以定义为矩阵与它自身的乘法运算，也就是矩阵的幂.1.3 矩阵相似变换法概念定义：对矩阵A施行的的下列三套初等变换，称为矩阵的相似变换.（1）把A的第行互换，接着把所得新矩阵的列互换；（2）把A的第行乘以常数C，接着把所得新矩阵的列乘以；（3）把A的第行的k倍加到第行，把所得新矩阵的第列的-k倍加到第列引理任意方阵A经相似变换后所得新矩阵与相似.2 阶方阵的高次幂的计算方法及应用实例2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂当n阶矩阵A可以拆分为为A=F+G,且矩阵F与G的高次幂比较好运算，FG=GF（也就是F与G可以相互交换位置，不然二项展开公式不成立），那么就会有．特别注意：如果n阶矩阵A的主对角上元素相同，那么A就可以表示为一个纯量矩阵kE与另外一个矩阵G的和，也就是A=kE+G，并且G的高次幂比较好计算，所以用这种方法就比较方便．由二项式定理得：2.5 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂如果阶方阵的阶数比较高时，那么就可以通过用一些横线和竖线把方阵拆分成多个小块，这些小块称为该方阵的子阵.如果阶矩阵可分成分块对角阵的形式，就能把高阶矩阵的高次幂计算问题改变为一些简单子阵的高次幂的运算问题，这样就可以简便运算。
矩阵方幂的一种简单算法
㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３５矩阵方幂的一种简单算法矩阵方幂的一种简单算法Һ邵逸民㊀（苏州市职业大学教育与人文学院，江苏㊀苏州㊀２１５１０４）㊀㊀ʌ摘要ɔｎ阶矩阵Ａ的方幂的计算问题是矩阵计算中很重要的一项内容，在理论研究和工程技术的很多领域中都有着广泛的应用，故探讨矩阵方幂的计算方法是很有意义的，同时对于高职院校的‘线性代数“课程教学也是大有裨益的．本文利用矩阵特征多项式和非齐次线性方程组以及求导法则，给出了矩阵方幂的一种简单算法，论证了此方法的可行性，并通过实例阐述了其具体求解步骤．ʌ关键词ɔ矩阵方幂；特征多项式；特征值；线性方程组一㊁定义及预备知识定义㊀给定任意一个ｎ阶矩阵Ａ和一个大于１的正整数ｋ，用Ａｋ表示ｋ个Ａ的连乘积，称为Ａ的ｋ次方幂．对于一些具有特殊结构的矩阵，文［１ ３］给出了矩阵方幂计算常用的方法，主要有：（１）数学归纳法．如果ｎ阶矩阵Ａ的低次幂是有规律可循的．可以先计算Ａ的低次幂，找出其规律，再归纳出Ａｋ并利用数学归纳法证明结论．例如，可以用数学归纳法证明ｃｏｓθ－ｓｉｎθｓｉｎθｃｏｓθæèçöø÷ｎ＝ｃｏｓｎθ－ｓｉｎｎθｓｉｎｎθｃｏｓｎθæèçöø÷．（２）二项式法．如果ｎ阶矩阵Ａ是主对角元素相同的上或下三角阵，则可以将该矩阵写成两个较为简单的矩阵之和从而求出它的方幂．例如，将已知矩阵分解成ａＥ＋Ｂ（其中Ｅ是ｎ阶单位矩阵，Ｂ是ｎ阶矩阵）的形式，因为单位矩阵Ｅ与矩阵Ｂ乘法可交换，所以可用二项式定理进行展开得到结果．例１㊀计算二阶矩阵的ｎ次方幂：１２０１æèçöø÷ｎ（ｎ＞１且ｎ是整数）．解㊀设Ａ＝１２０１æèçöø÷＝１００１æèçöø÷＋０２００æèçöø÷＝Ｅ＋Ｂ，其中Ｂ＝０２００æèçöø÷．因为Ｂ２＝０，且Ｅ与Ｂ矩阵乘法可交换，所以可用二项式定理，故Ａｎ＝（Ｅ＋Ｂ）ｎ＝Ｅｎ＋Ｃ１ｎＥｎ－１Ｂ＋Ｃ２ｎＥｎ－２Ｂ２＋ ＋Ｂｎ＝Ｅ＋ｎＥＢ＝Ｅ＋ｎＢ＝１２ｎ０１æèçöø÷．（３）对角化法．当ｎ阶矩阵Ａ可对角化时，可通过求与Ａ相似的对角矩阵Ｂ的方幂来求Ａｋ，即如果矩阵Ａ是一个可对角化矩阵，根据相似性，求出可逆矩阵Ｐ，使得Ｐ－１ＡＰ＝Ｂ为对角矩阵，因为对角矩阵的方幂很容易求出，而ＢＫ＝Ｐ－１ＡＫＰ，从而ＡＫ＝ＰＢＫＰ－１，由此即得结果．事实上，实对称矩阵一定可以对角化，故对于实对称矩阵一定可以用这种方法来求．例２㊀计算三阶矩阵的ｋ次方幂：１２２２１２２２１æèççöø÷÷ｋ（ｋ＞１且ｋ是整数）．解㊀记Ａ＝１２２２１２２２１æèççöø÷÷，Ａ的特征值为λ＝－１，λ＝５，对于λ＝－１，有特征向量１０－１æèççöø÷÷，０１－１æèççöø÷÷；对于λ＝５，有特征向量１１１æèççöø÷÷．令Ｘ＝１０１０１１－１－１１æèççöø÷÷，则Ｘ可逆且Ｘ－１ＡＸ＝［－１，－１，５］，所以Ａ＝Ｘ［－１，－１，５］Ｘ－１，Ａｋ＝Ｘ［－１，－１，５］ｋＸ－１＝Ｘ［（－１）ｋ，（－１）ｋ，５ｋ］Ｘ－１＝１３（－１）ｋˑ２＋５ｋ（－１）ｋ＋１＋５ｋ（－１）ｋ＋１＋５ｋ（－１）ｋ＋１＋５ｋ＋１（－１）ｋˑ２＋５ｋ（－１）ｋ＋１＋５ｋ（－１）ｋ＋１＋５ｋ（－１）ｋ＋１＋５ｋ（－１）ｋˑ２＋５ｋæèçççöø÷÷÷．（４）Ｊｏｒｄａｎ标准型法．若ｎ阶矩阵Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准型是矩阵Ｊ，可求出可逆矩阵Ｔ，使Ｔ－１ＡＴ＝Ｊ为Ｊｏｒｄａｎ型矩阵．因为Ｊｏｒｄａｎ型矩阵的方幂比较容易求出，而Ｊｋ＝Ｔ－１ＡｋＴ，于是可求出Ａｋ＝ＴＪｋＴ－１．因为复数域上任意矩阵都相似于一个Ｊｏｒｄａｎ标准型矩阵，Ｊｏｒｄａｎ标准型为准对角矩阵，故对于不能对角化的矩阵，可通过求它的Ｊｏｒｄａｎ标准型的方幂从而求出矩阵的方幂，因此这种方法具有一般性．但当矩阵的阶数ｎ较大时，求Ｊｏｒｄａｎ型矩阵的方幂较为烦琐．㊀㊀㊀㊀㊀１４２数学学习与研究㊀２０２２ ３５例３㊀计算三阶矩阵的ｎ次方幂：２３２１８２－２－１４－３æèççöø÷÷ｎ（ｎ＞１且ｎ是整数）．解㊀记Ａ＝２３２１８２－２－１４－３æèççöø÷÷，Ａ的特征值为λ＝１，λ＝３（二重），对于λ＝１，代数重数是１，在Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形Ｊ的对角线上只出现一次，对于λ＝３，因为矩阵Ａ－３Ｅ的秩ｒａｎｋＡ－３Ｅ()＝２，从而主对角元为３的Ｊｏｒｄａｎ块总数为３－２＝１，于是Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形Ｊ＝１０００３１００３æèççöø÷÷．下面求出可逆矩阵Ｔ，使Ｔ－１ＡＴ＝Ｊ为Ｊｏｒｄａｎ形矩阵，设Ｔ＝（Ｘ１，Ｘ２，Ｘ３），从ＡＴ＝ＴＪ，得ＡＸ１，Ｘ２，Ｘ３()＝Ｘ１，３Ｘ２，Ｘ２＋３Ｘ３()，从而（Ａ－Ｅ）Ｘ１＝０，（Ａ－３Ｅ）Ｘ２＝０，（Ａ－３Ｅ）Ｘ３＝Ｘ２，解齐次线性方程组（Ａ－Ｅ）Ｙ＝０，得Ｘ１＝２０－１æèççöø÷÷，解齐次线性方程组（Ａ－３Ｅ）Ｙ＝０，得Ｘ２＝１－１２æèççöø÷÷，解线性方程组（Ａ－３Ｅ）Ｙ＝Ｘ２，得Ｘ３＝－１００æèççöø÷÷．令Ｔ＝２１－１０－１０－１２０æèççöø÷÷，则Ｔ可逆且Ｔ－１ＡＴ＝Ｊ，求出Ｔ－１＝０２－１０－１０－１－５－２æèççöø÷÷，由二项式法，可求出Ｊｎ＝１０００３ｎｎ３ｎ－１００３ｎæèçççöø÷÷÷．因为Ａ＝ＴＪＴ－１，所以Ａｎ＝ＴＪｎＴ－１＝－７ˑ３ｎ－１－３８ˑ３ｎ－１－４－１４ˑ３ｎ－１－２１０ˑ３ｎ－１５３ˑ３ｎ－１２０ˑ３ｎ－１－２０ˑ３ｎ－１－１０６ˑ３ｎ－１＋２－４０ˑ３ｎ－１＋１æèçççöø÷÷÷（５）乘法结合律法．若矩阵Ａ是秩为１的ｎ阶矩阵，则ＡＡ能分解成一个ｎ维非零列向量和一个ｎ维非零行向量的乘积，即Ａ＝αβＴ（文［４］），这里α，β都是ｎ维非零列向量，βＴ是向量β的转置，则利用矩阵乘法结合律可求得ＡＫ＝（αβＴ）（αβＴ） （αβＴ）üþýïïïïïïｋ个αβＴ＝α（βＴα） （βＴα）βＴüþýïïïïïï（ｋ－１）个βＴα＝（ｔｒＡ）ｋ－１Ａ，其中ｔｒＡ是矩阵Ａ的迹，ｋ为常数．例４㊀设ｎ阶矩阵Ａ＝１１１ １１１１ １ １１１ １æèççççöø÷÷÷÷，求矩阵Ａ的ｋ次方幂Ａｋ．解㊀（１）Ａ＝１︙１æèççöø÷÷（１ １）＝ααＴ，因为ｔｒ（Ａ）＝ｎ，所以ＡＫ＝（ｔｒＡ）ｋ－１Ａ＝ｎｋ－１Ａ＝ｎｋ－１１１１ １１１１ １ １１１ １æèççççöø÷÷÷÷．一般来说，当ｋ较大时，矩阵方幂Ａｋ的计算都是复杂的．本文利用矩阵特征多项式和非齐次线性方程组，根据Ｈａｍｉｌｔｏｎ⁃Ｃａｙｌｅｙ定理，给出了一种简单可行的解决方法，并通过实例给出了具体的计算方法．为叙述方便，首先给出如下结论作为本文的引理．二㊁引㊀理引理１［５］㊀（带余除法）对于任意多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）ɪＰ［ｘ］，其中ｇ（ｘ）ʂ０，一定存在多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）ɪＰ［ｘ］，使得ｆ（ｘ）＝ｑ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｒ（ｘ）成立，其中∂（ｒ（ｘ））＜∂（ｇ（ｘ））或者ｒ（ｘ）＝０．引理２［５］㊀（Ｈａｍｉｌｔｏｎ⁃Ｃａｙｌｅｙ定理）设Ａ是ｎ阶矩阵，ｆ（λ）＝λＥ－Ａ是Ａ的特征多项式，则ｆ（Ａ）＝０．引理３㊀若ｎ阶矩阵Ａ适合一个多项式ｇ（ｘ），即ｇ（Ａ）＝０，则Ａ的特征值λ也必适合等式ｇ（λ）＝０．证明：设α是Ａ的属于特征值λ的特征向量，即Ａα＝λα，通过矩阵和向量的简单计算，可得ｇ（λ）（α）＝ｇ（Ａ）（α）＝０，而向量αʂ０，因此ｇ（λ）＝０．三㊁主要结果及证明定理１㊀任何ｎ阶矩阵Ａ的高次幂Ａｋ（整数ｋ⩾ｎ）或者等于０，或者可以表示为Ａ的次数不大于ｎ－１的多项式．证明：设Ａ的特征多项式ｆ（λ）＝λＥ－Ａ，用ｆ（λ）去除λｋ，根据引理１，得λｋ＝ｆ（λ）ｑ（λ）＋ｒ（λ），这里ｒ（λ）＝０或ｒ（λ）是次数小于ｎ的多项式．如果ｒ（λ）＝０，则λｋ＝ｆ（λ）ｑ（λ），由引理２，知Ａｋ＝ｆ（Ａ）ｑ（Ａ）＝０；如果ｒ（λ）是次数小于ｎ的多项式，此时，由引理２，知Ａｋ＝ｆ（Ａ）ｑ（Ａ）＋ｒ（Ａ）＝ｒ（Ａ）是Ａ的次数不大于ｎ－１的多项式，定理得证．㊀㊀㊀１４３㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３５根据定理１，若矩阵Ａ不是一个ｎ阶幂零矩阵，则存在ｒ０，ｒ１， ，ｒｎ－１，使Ａｋ＝ｒ（Ａ）＝ｒ０Ｅ＋ｒ１Ａ＋ ＋ｒｎ－１Ａｎ－１（１）于是，由引理，当λ是矩阵Ａ的特征值时，有λｋ＝ｒ０＋ｒ１λ＋ ＋ｒｎ－１λｎ－１（２）实际上，（１）式给出了计算矩阵方幂Ａｋ的方法，具体来说，我们有如下定理．定理２㊀设λ１，λ２， ，λｎ是矩阵Ａ的特征多项式ｆ（λ）＝λＥ－Ａ的互不相同的特征值，则（１）中的系数ｒ０，ｒ１， ，ｒｎ－１是线性方程组ｒ０＋λ１ｒ１＋ ＋λ１ｎ－１ｒｎ－１＝λ１ｋｒ０＋λ２ｒ１＋ ＋λ２ｎ－１ｒｎ－１＝λ２ｋｒ０＋λｎｒ１＋ ＋λｎｎ－１ｒｎ－１＝λｎｋìîíïïïïï（３）的解．证明：由定理１，λｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）满足（２）式，于是，将特征值λｉ代入（２）式，得到非齐次线性方程组（３）．若λｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）互不相同，即矩阵Ａ的特征多项式ｆ（λ）＝λＥ－Ａ无重根，线性方程组（３）的系数行列式是ｎ阶Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ行列式１㊀λ１㊀ ㊀λ１ｎ－１１㊀λ２㊀ ㊀λ２ｎ－１１㊀λｎ㊀ ㊀λｎｎ－１＝ᵑ１ɤｊ＜ｉɤｎ（λｉ－λｊ）ʂ０，所以由Ｃｒａｍｅｒ法则，知线性方程组（３）有唯一解．解之，即得ｒ０，ｒ１， ，ｒｎ－１，定理得证．根据定理２，只要知道一个ｎ阶矩阵Ａ的ｎ个不同特征值，就可以由（１）式直接计算出矩阵方幂Ａｋ．定理２的意义主要在于它给出了矩阵方幂与矩阵的特征值之间的明显关系．需要指出的是，若ｎ阶矩阵Ａ的特征多项式ｆ（λ）＝λＥ－Ａ有重根，不妨设λｉ是它的ｍ重根，则λｉ也是ｆ（ｘ），ｆᶄ（ｘ）， ，ｆ（ｍ－１）（ｘ）的根（文［５］），因为λｉ是矩阵Ａ的特征值，由数学分析中的求导法则可知，只需对ｒ（λ）求导即可，也就是对（２）式两边同时求一阶导数㊁二阶导数㊁ ㊁（ｍ－１）阶导数，将λｉ代入上述等式两边，得到ｍ－１个等式，再与（３）联立方程组，可解出ｒ０，ｒ１， ，ｒｎ－１，从而将ｒ０，ｒ１， ，ｒｎ－１的值代入（１）式，即可求出矩阵方幂Ａｋ．四㊁应用举例１．先给出矩阵特征值互不相同的例子．例５㊀已知Ａ＝２１４２æèçöø÷，计算Ａ１００１．解㊀矩阵Ａ的特征多项式ｆ（λ）＝λＥ－Ａ＝λ－２－１－４λ－２＝λ２－４λ，令ｆ（λ）＝０，求出Ａ的特征值λ１＝０和λ２＝４．将特征值代入线性方程组（３），得ｒ０＋０ｒ１＝０１００１ｒ０＋４ｒ１＝４１００１{，解得ｒ０＝０，ｒ１＝４１０００，于是，根据（１）式，计算矩阵方幂，根据定理１和定理２，可得Ａ１００１＝４１０００２１４２æèçöø÷＝２２００１２２０００２２００２２２００１æèçöø÷．２．对于矩阵特征值有重根的情形，再给出如下的例子．例６㊀设Ａ＝３１０－６１－４－３－１５４æèççöø÷÷，求Ａ１００．解㊀矩阵Ａ的特征多项式ｆ（λ）＝λＥ－Ａ＝（λ－１）３＝λ３－３λ２＋３λ－１，求出Ａ的特征值λ＝１（三重根）．由（２）式，可设λ１００＝ｒ０＋ｒ１λ＋ｒ２λ２（４）将特征值代入线性方程组（３），得ｒ０＋ｒ１＋ｒ２＝１１００＝１（５）因为λ＝１是Ａ的三重特征根，故分别对（４）式两边求一阶导数和二阶导数，再将λ＝１代入所得两式，有１００＝ｒ１＋２ｒ２（６）以及９９００＝２ｒ２（７）联立（５）㊁（６）㊁（７），解得ｒ０＝４８５１，ｒ１＝－９８００，ｒ２＝４９５０．于是，（４）式变为λ１００＝４８５１－９８００λ＋４９５０λ２，根据定理１和定理２，可得Ａ１００＝４９５０Ａ２－９８００Ａ＋４８５１Ｅ＝２０１－１０００－６００１００－４９９－３００－１００５００３０１æèççöø÷÷．五㊁结㊀语在ｎ阶矩阵方幂的计算中，针对不同结构类型的矩阵，采用适当的计算方法可以化繁为简．通过以上例题的求解，也可以看出用上述介绍的方法计算矩阵的高次幂能有事半功倍的效果．事实上，这种方法同样适用于一般的矩阵多项式计算．ʌ参考文献ɔ［１］刘文军．求一个特殊矩阵的ｎ次幂的方法［Ｊ］．大学数学，２００７（０２）．［２］戴泽俭．Ｎ阶矩阵方幂的求解方法［Ｊ］．巢湖学院学报，２００９（０６）．［３］刘爱兰．矩阵高次幂的计算方法［Ｊ］．上海电力学院学报，２００７（０１）．［４］邵逸民．秩为１矩阵的性质及应用［Ｊ］．大学数学，２０１０（０５）．［５］北京大学数学系前代数小组．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９．。
矩阵高次幂的计算方法
矩阵高次幂的计算方法在计算机科学中，矩阵是一种非常常见的数据结构，而计算矩阵高次幂也是很重要的算法问题之一。
在本文中，我们将介绍一种可行的计算方法，通过利用矩阵的乘法性质来简化计算。
首先，让我们来看一下矩阵乘法的性质。
假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度分别是 m * n 和 n * p，那么它们的乘积C的维度就是 m * p。
具体地，C的第i行第j列上的数值就是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列对应位置数值的乘积之和。
也就是说：C[i][j] = sum(A[i][k] * B[k][j]) for k in range(n)通过这个性质，我们可以得知，如果我们想要计算矩阵A的k 次幂，那么我们只需要多次地对它进行自乘就可以了。
例如，如果我们要计算A的3次幂，就可以写成 A * A * A。
但是，这种方法的时间复杂度为O(kn^3)，其中n是矩阵的大小。
这个复杂度非常高，尤其是当k很大时，计算的时间就会变得非常长。
所以我们需要采用一些更高效的算法去计算矩阵高次幂。
在实现高效的算法之前，我们先来看一下幂的性质：如果 k 是偶数，那么 A 的 k 次幂等于 A 的 k/2 次幂的平方；如果 k 是奇数，那么 A 的 k 次幂等于 A 的 (k-1)/2 次幂的平方再乘上 A。
利用这个性质，我们可以通过递归的方式去计算矩阵的高次幂，而且时间复杂度可以优化到O(n^3 * logk)。
具体地，我们可以写一个递归函数matrix_power(matrix, k)，这个函数可以接受一个矩阵 matrix 和一个整数 k，它会返回matrix 的 k 次幂。
实现这个函数的关键在于，我们需要在递归的过程中不断地平方矩阵，而不是每次都重新计算矩阵的乘积。
也就是说，我们需要在每次递归的时候传递 matrix 的平方作为下一级递归的参数。
下面是伪代码：def matrix_power(matrix, k):if k == 0:return identity_matrix(len(matrix))elif k % 2 == 1:return matrix_multiply(matrix,matrix_power(matrix_power(matrix, (k-1)/2), 2))else:return matrix_power(matrix_power(matrix, k/2), 2)其中，identity_matrix(n)是一个生成 n * n 单位矩阵的函数，而matrix_multiply(A, B)是一个计算矩阵 A 和矩阵 B 乘积的函数。
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摘要
矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成 部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域 有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学 习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个 非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而， 矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了 计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究， 本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二 项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法， Jordan 标准形法，最小多项式的方 法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为 n 阶矩阵的幂运算来提 供一个参考.
关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵. Abstract
Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear algebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operation and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calculation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial expansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference.
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学校代码 分类号
学号 密级
本科毕业论文
N 阶矩阵 m 次方幂的求法及应用 Solu作专tion者业and姓名Ap名称plication of m-order of n n Martix
学科门类 指导教师
提交论文日期
成绩定
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摘 要..............................................................I Abstract........................................................... II 目 录............................................................III 引 言............................................................... 1 1 准备知识..........................................................1
Keywords ： Mathematical induction; power matrix;; binomial expansion
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