幂零矩阵性质及应用

幂零矩阵性质及应用 性质1：A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。 证明： A为幂零矩阵 kZ .0kstA

令0为A任意一个特征值，则00,.stA 由引理7知，0k为kA的特征值 00.kkstA 从而有0k

=0即有00

又有0kA，知00kkAAA 0*(1)(1)00kkEAAA

00为A的特征值。

由0的任意性知，A的特征值为0。 A

的特征值全为0

A的特征多项式为()nfEA

由引理2知，()0nfAA 所以A为幂零矩阵。 得证 性质2：A为幂零矩阵的充要条件为0kkZtrA。 证明：A为幂零矩阵，由性质1，知： A的特征值全为0 即120n

由引理7，知 kA的特征值为120kkkn 从而有 120kkkkntrA 由已知，120kkkknkZtrA(1.1)

令12,,,t为A的不为0的特征值 且i互不相同重数为(1,2,,)init 由（1.1）式及引理7，得方程组 11222221122333112211220000tttttt

ttttt

nnnnnnnnnnnn









(1.2)

由于方程组（1.2）的系数行列式为 122221212121212121111()tttt

tttttttt

tijjitB

 又(1,2,)iit互不相同且不为0，0B 从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)init 即A没有非零的特征值 A的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证

性质3：若A为幂零矩阵 则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0 证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得

121sJJTATJ







其中11iiiJ阶数为(1,2,,)inis 由引理4，知(1,2,,)iis为J和特征值 又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以0(1,2,,)iis 即J的主对角线上的元素全为0

由引理8，知 (0)()0(1,2,,)iinniiJEJis 12,,,sJJJ为幂零矩阵 得证 性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有1,1AEEA 证明：A为幂零矩阵，kZ .0kstA 00kkAAA A一定不可逆

由性质1，得 A的特征值为120n 由引理7，得 ,AEEA的特征值分别为

1212011,101nn

且有1211nnAE 1211nnEA 即1,1AEEA 得证 性质5：若AE为幂零矩阵，则A非退化 证明：令12,,,n为A的特征值

若A退化，则有 0A 由引理7，得 120nA 至少存在0i=0为A的特征值

又由引理7，得 0110i为AE的一特征值 这与AE为幂零矩阵矛盾 得证A为非退化 性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的n阶矩阵且有ABBA， 则AB也为幂零矩阵。 即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵

证明：A为幂零矩阵 .0kkZstA

又ABBA ()00kkkkABABB AB也为幂零矩阵 得证

性质7：若A为幂零矩阵且0kA， 则（1）121()kEAEAAA （2）1211231111()(1)(0)kkkmEAEAAAmmmmm 证明：0kA kkkEEAEA 21()()kEAEAAA

即121()kEAEAAA 任意0m，有

[()]kkkkkAmEmEAmEAmEm

211121111()((1))kkkAmEEAAAmmmm

211121111()((1))kkkmEAEAAAmmm

即有2111211111()((1))kkkmEAEAAAEmmmm 1211121211231111()((1))111(1)kkkkkkmEAEAAAmmmmEAAAmmmm





 性质8：若A为幂零矩阵且A0，则A不可对角化 但对任意的n阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得BN可对角化

证明：A为幂零矩阵 .0kkZstA且A的特征值全为零

()nfEA为A的特征多项式且()0nfAA

令()Am为A的最小多项式，则有()|()Amf 从而有00()(1)kAmkn 由于0A0,k1，又此时 00()2kAmk 即A的最小多项式有重根，由引理5，知 A不可对角化 B为n阶方阵 由引理3，知

在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 121sJJTBTJ







其中11iiiJ阶数为(1,2,,)inis

令 iiiiD阶数为(1,2,,)inis 则有0110iiiJJD阶数为(1,2,,)inis 由引理8，知(0)()0iiinniniJEJ 即iJ为幂零矩阵(1,2,,)is 现令12sJJJJ 12sDDDD

111

2122sssJDJJJDTBTJDJJD





















即111()(1)BTJDTTJTTDT

又D为对角阵，由（1）式知 11BTJTTDT可对角化 令N=1TJT 且取 12max(,,,)sknnn 则有

120kkkksJJJJ





111112()()()()()00kkkkkkkkksJJNTJTTJTTTTTJ











 即有BN可对角化且N为幂零矩阵 得证 性质9：n阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数 证明；令A为n阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得

121sJJTATJ







其中0110iJ阶数为(1,2,,)inis 且()0iniJ 1(1,2,,)innis 取12max(,,,)sknnn，则kn 且有 11

21112()00(1.5)kkkkkssJJJJATTTTTTJJ

















即0kA 若令0k为A的幂零指数，则0kkn 00kA 若0kk，则000.iistnk 且000kiJ 由（1.5）式，得 0000

0

11

2112()0kkkkkssJJJJATTTTJJ

















这与00kA矛盾。 0kkn 得证 性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 证明：令A为幂零矩阵，则A的特征值全为0 若B与A相似 由引理6，得 A与B有相同的特征值 B的特征值也全为0，由性质1，知 B也为幂零矩阵

A为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得