幂零矩阵
论文幂零矩阵的性质与应用
本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质与应用学生姓名：白雪学号：1004970231专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导教师：徐颖玲完成日期：年月日幂零矩阵的性质与应用内容摘要在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词：幂零矩阵线性变换逆矩阵若尔当标准型特征值迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstractMatrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words:Nilpotent matrix Linear transformation Inverse matrix Jordan canonical form Characteristic T race.目录一、预备知识 (1)（一）概念 (1)（二）引理 (2)二、幂零矩阵的性质 (3)（一）幂零矩阵的特性 (3)（二）矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (4)（三）幂零矩阵和若尔当块 (5)（四）幂零矩阵的其他性质 (7)三、幂零矩阵的应用 (10)（一）幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (10)1．可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (10)2．求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (11)（二）幂零矩阵在其他方面的应用 (13)结论 (14)参考文献 (15)随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
n阶n-1次幂零矩阵彼此相似
n阶n-1次幂零矩阵是一种特殊的矩阵，它具有一些独特的性质。
通过对零矩阵的特性进行分析和比较，我们可以得出一些有趣的结论。
在本文中，我们将深入探讨n阶n-1次幂零矩阵的相似性质，以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、什么是n阶n-1次幂零矩阵1.1 n阶n-1次幂零矩阵的定义在线性代数中，n阶n-1次幂零矩阵是指所有主对角线上元素为1，其余元素为0的n阶方阵。
具体来说，对于一个n阶n-1次幂零矩阵A，其元素满足如下形式：A[i][i] = 1 (1 <= i <= n)A[i][j] = 0 (i ≠ j, 1 <= i, j <= n)1.2 n阶n-1次幂零矩阵的矩阵表示对于一个3阶2次幂零矩阵A，其矩阵表示如下：| 1 0 0 || 0 1 0 || 0 0 1 |从上述定义和表示可以看出，n阶n-1次幂零矩阵具有一些特殊的规律和性质，这使得它在数学和实际领域中具有重要的应用价值。
二、n阶n-1次幂零矩阵的相似性质2.1 n阶n-1次幂零矩阵的相似概念在线性代数中，矩阵的相似是一个重要的概念。
两个矩阵A和B被称为相似矩阵，如果它们可以通过一个非奇异矩阵P相似变换而得到，即存在非奇异矩阵P使得P^-1AP=B。
对于n阶n-1次幂零矩阵，我们可以通过相似性的概念来研究其特殊性质。
2.2 n阶n-1次幂零矩阵的相似特性对于任意一个n阶n-1次幂零矩阵A，它与任意一个n阶单位矩阵I 是相似的。
具体来说，存在一个非奇异矩阵P，使得P^-1AP=I。
这种相似性特性使得n阶n-1次幂零矩阵在矩阵理论和线性代数中具有重要的地位。
三、n阶n-1次幂零矩阵的数学和应用价值3.1 n阶n-1次幂零矩阵在数学理论中的应用在数学理论中，n阶n-1次幂零矩阵常常出现在线性代数、矩阵论等领域的理论证明中。
其特殊的相似性质和规律使得它在矩阵变换、矩阵相似性等方面具有重要作用，为相关理论的研究和推导提供了便利。
幂零矩阵的性质及应用
本科毕业论文论文题目：幂零矩阵的性质及应用学生姓名：学号：76专业：数学与应用数学指导教师：学院：数学科学学院2014 年4月22 日毕业论文（设计）内容介绍目录Liu Yan ......................................................................................................................................... - 1 -Abstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful. ............................................ - 1 -一、相关的大体概念.................................................................................................................. - 2 -二、相关的一些引理.................................................................................................................. - 2 -三、性质...................................................................................................................................... - 4 -四、关于幂零矩阵的简单应用................................................................................................ - 12 -（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆.......................................................................... - 12 -（二）、有关幂零矩阵的其他应用举例.......................................................................... - 15 -参考文献：................................................................................................................................ - 20 -幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有超级重要的作用，而且在数学领域和其他领域应用都超级普遍，因此对幂零矩阵进行探讨具有超级重要的意义.本文主如果对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有专门好作用，因此对幂零矩阵的研究很成心义. .............................................................................................................................................. - 31 -幂零矩阵的性质及应用刘妍摘要：幂零矩阵是一类比较特殊的矩阵，不仅在矩阵领域有超级重要的作用，而且在数学领域和其他领域应用都超级普遍，因此对幂零矩阵进行探讨具有超级重要的意义.本文主如果对幂零矩阵的一些性质和结论进行归纳总结，从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质.在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法.幂零矩阵具有良好的性质，在解相关矩阵问题有专门好作用，因此对幂零矩阵的研究很成心义.关键词：幂零矩阵, 若尔当块, 特征值, 幂零指数, 幂零矩阵的秩The properties of nilpotent matrix and its applicationLiu YanAbstract: A special matrix, nilpotent matrix is a kind of not only has a very important role in the field of matrix, and in the field of mathematics and other fields are widely used, thus to explore the nilpotent matrix has very important significance. This article is mainly to some properties of nilpotent matrix and conclusions are summarized , from different angles of matrix related to the properties of nilpotent matrix is discussed. In the general matrix, matrix inverse more troublesome, in this paper, using the nilpotent matrix particularity discussed three kinds of special matrix inverse method. Nilpotent matrix has good properties and has good effect in solving problems related matrix, so the study of nilpotent matrix is very meaningful.Key words:Nilpotent matrix, Jordan, characteristic number, Nilpotent index,Nilpotent matrix rank引言在高等数学的学习研究进程中，幂零矩阵是超级特殊且实用的工具，许多问题都会借助幂零矩阵的相关性质来进行研究，比如说求矩阵的逆和许多证明题目中都会用到，求矩阵的逆一般比较麻烦，对于一些特殊矩阵能够用幂零矩阵的性质来简单化解计算.一、相关的大体概念一、 设A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，则A 称为幂零矩阵. 二、 若A 为幂零矩阵，则知足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数.3、 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭，则称111'1n n nn a a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵. 其中(),1,2,,ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式.4、设A 是复数域上全部m n ⨯矩阵，在A 中任意取定k 行k 列,}{min m n k ≤，.位于这些行和列的交点上的2k 个元素依照原来的顺序组成一个k 级行列式M 称为A 的一个k 级子式.五、设A 是复数域上m ⨯n 矩阵，A 中非零子式的最高阶数称为A 的秩， 记为()r A .六、 主对角线上元素为0的上三角矩阵称为严格的上三角矩阵.7、形为()0010,00J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若尔当块，其中λ为复数，由若干个 若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵. 八、 设A 为一个n 阶方阵，()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式.知足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值.九、 次数最低的首项系数为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式.二、相关的一些引理引理1：设,A B 为n 阶方阵，则()()***,tt t AB B A AB B A ==. [1]引理2：()(),A f E A m λλλ=-，别离为矩阵A 的特征多项式和最小多项式，则有()0,0A f A m ==.引理3：每一个n 阶的复矩阵A 都与一若尔当形矩阵相似，那个若尔当形矩阵除去若尔当块的排序外被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.引理4：若尔当形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.引理5：n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 和最小多项式无重根. 引理6：相似矩阵具有相同的特征值. 引理7：设12,,,n λλλ为n 阶矩阵A 的特征值，则有12n trA λλλ=+++，12n A λλλ=，且对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为()()()12,,,n f f f λλλ. 引理8：k 阶若当块11k a J a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的最小多项式为()k x a -且有 ()0kk J aE -=.引理9：矩阵的最小多项式就是矩阵A 的最后一个不变因子.引理10：,A B 为n 阶复数域上的矩阵，若AB BA =，则存在可逆矩阵T ，使得121*N T AT λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 121*N T BT μμμ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 引理11：任意n 阶,A B 方阵，有()()tr AB tr BA =.引理12：设A 是n 阶方阵，若20A =，则()n2r A ≤.引理13：设A 是n 阶方阵，若30A =，则（1）()23nr A ≤；（2）()()()222r r n r A ≤A ≤-A .引理14：设A 是n 阶方阵，则()()()r kr k-1n k A A ≥- ()k 1≥. 引理15：设A 是n 阶方阵，则()()()()()2k 21r r r 0k k A k ++A ≤A +≥，. 引理16: 设A 是n 阶方阵，则()()()()B -+≥AB r BC r AB r C r .三、性质性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0. 证明：⇒因为 A 为幂零矩阵,所以k =0k Z A +∃∈使,使0k A =. 令0λ为A 任意一个特征值，则00A ααλα∃≠=使.由引理7知，0λ为k A 的特征值. 因为0β∃≠使0k βλβA = ,即有00λ=. 又有0k A =，知00kk A A A ==⇒=. 因为()()0*1100kkE A A A -=-=-=-⋅=, 所以 00λ=为A 的特征值. 由0λ的任意性知,A 的特征值为0. ⇐（方式一）因为A 的特征值全为0,所以A 的特征多项式为()n f E A λλλ=-=. 由引理2知，()0n f A A ==. 所以A 为幂零矩阵,得证.（方式二）因为存在可逆矩阵T,使得10*0T T B -⎛⎫ ⎪⎪A == ⎪ ⎪⎝⎭ (B 为上三角矩阵） [2] 由上三角矩阵的性质知， 0n B =，从而0n A =（n 为A 的阶数）. （方式三）因为A 的所有特征根全为0,所以A 的Jordan 标准型J 的若尔当块只能是110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 取正整数m ≥i J 的所有阶数，则m i J =0 所以有m J =0， 故11()0m m m A PJP PJ P --===所以A 为幂零矩阵. 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0=∈∀+k trA Z k . 证明：⇒ 因为A 为幂零矩阵，由性质1，知:A 的特征值全为0 即12n λλλ===.又由引理7，知k A 的特征值为120n λλλ====,从而有120k k k k n trA λλλ=+++=.⇐由已知，12k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=令12,,,t λλλ为A 的不为0的特征值,且t λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =由（）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩（）由于方程组（）的系数行列式为122221212121212121111()t t t tttttttt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-又因为()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠B , 从而知，方程（）只有0解，即()t i n i ,,2,10 ==即A 没有非零的特征值所以A 的特征值全为0,由性质1,得A 为幂零矩阵得证.性质3：若A 为幂零矩阵，则A的若尔当标准形J 的若当块为幂零若尔当块，且J 的主对角线上的元素为0.证明：因为A 为幂零矩阵，再由性质1，知A 的特征值全为0. 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中11ii i J λλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为()s i n i,,2,1 =.由引理4，知()s i i ,,2,1 =λ为J 的特征值.又因为A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值. 所以()s i i ,,2,10 ==λ 即J 的主对角线上的元素全为0.由引理8，知()()()s i J E J i i n i n i ,,2,100 ===⋅-, 故S J J J ,,,21 为幂零矩阵,得证.性质4：若A 为幂零矩阵，则A 必然不可逆但有A E +及A E -可逆， 且1,1A E E A +=-=其中E 为单位矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =.故00kk A A A ==⇒=,A 必然不可逆.由性质1，得A 的特征值为120n λλλ====由引理7， 得A E +,A E -的特征值别离为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=所以,A E +及A E -可逆， 且有1211n n A E λλλ'''+===,1211n n E A λλλ''''''-===.即1,1A E E A +=-=,得证. 性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化. 证明：令12,,,n λλλ为A 的特征值,若A 退化，则有0A =.由引理7，得120n A λλλ==.所以至少存在00i λ=为A 的特征值，又由引理7，得0110i λ+=≠为A E +的一特征值，这与A E +为幂零矩阵矛盾,故A 为非退化，得证.性质6：若A 为幂零矩阵,B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.又因为AB BA =,()00k k k k AB A B B ==⋅=.所以1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠故AB 也为幂零矩阵，得证.性质7：若A 为幂零矩阵且0k A =，则有121()k E A E A A A ---=++++.证明：因为0k A =，所以k k k E E A E A =-=- 21()()k E A E A A A -=-++++.即121()k E A E A A A ---=++++.对任意0m ≠，有[()]k k k k k AmE mE A mE A m E m=+=+=+211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++- 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-= 所以12111211111()((1))k k k mE A E A A A m m m m ----+=-+++-21123111(1)k k k E A A A m m m m--=-+++-性质8：若A 为幂零矩阵且0A ≠，则A 不可对角化.但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化. 证明：因为A 为幂零矩阵，所以k Z +∃∈使0k A =且A 的特征值全为零. ()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0n f A A ==, 令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ. 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤.由于0,A ≠所以01k >，又现在00()2k A m k λλ=≥，即A 的最小多项式有重根，由引理5，知A 不可对角化因为B 为n 阶方阵，由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T BT J -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭,其中11i ii J λλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)i n i s =. 令iii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =,则有0110i i i J J D ⎛⎫ ⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =.由引理8，知(0)()0i i i n n i n i J E J ''-⋅==,即i J '(1,2,,)i s =为幂零矩阵.现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭,12s D D D D ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭， 即111()(1)B T J D T TJ T TDT ---''=+=+ 又D 为对角阵，由（1）式知11B TJ T TDT --'-=可对角化.令1N TJ T -'=- 且取12max(,,,)s k n n n =,则有120kkkk s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭,111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J T T T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵,得证.性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若尔当形矩阵中阶数最高的若尔当块的阶数.证明:令A 为n 阶幂零矩阵,由性质3知，存在可逆矩阵T , 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ .其中0110iJ ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =，且()0i n i J =,1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.取12max(,,,)s k n n n =，则k n ≤且有 1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即0k A =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤,00k A =.若0k k <，则0i ∃使00i n k >且000k i J ≠. 由（）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这与00k A =矛盾. 故0k k n =≤,得证.性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 .证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0.若B 与A 相似,由引理6，得A 与B 有相同的特征值. 所以B 的特征值也全为0，由性质1，知B 也为幂零矩阵. A 为幂零矩阵由性质3知,存在可逆矩阵T,使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,阶数为(1,2,,)in i s =,且()0i n i J =, 1(1,2,,)i n n i s ≤≤=.由性质9，知{}12max ,,,A s k n n n =为A 的幂零指数又A 与B 相似，A 与J 相似 ,从而有B 也与J 相似所以∃可逆矩阵P ,使得121s J J P BP J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 又由性质9，知12max{,,,}B s k n n n =为B 的幂零指数,从而有A B k k =.又0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(1,2,,)i s =为严格上三角,所以12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭也为严格上三角形, 即A ,B 都相似于严格上三角形J . 得证 .性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,A A A mA *'-()m Z +∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=.证明：因为A 为幂零矩阵,所以k Z +∃∈,使0k A =.由引理1，知()()00k k A A '''===,()()00k k A A ***===, ()(1)(1)00k k k k A A -=-=-⋅=. 所以,,A A A *'-都为幂零矩阵.因为()()()00k k k k mA m A m ==⋅=， 所以()mA m Z +∈也为幂零矩阵. 又因为A 为幂零矩阵，所以0A =，即()1r A n ≤-. 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0. 则有0A *=,从而有2()0A A **==.若()1r A n =-，则由性质3知,存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0110i J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭阶数为(1,2,,)in i s =且()1i i r J n =-.又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1sssi i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑所以1s =,即有10110T AT J B -⎛⎫ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭. 又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 所以2()0B *=. 由（）式及引理1，知11()()A TBT T B T *-*-***==, 21212()[()]()()0A T B T T B T *-***-***===, 得证. 性质12：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则 （1）()1r k nA k -≤；（2）()()()11(1)k k k r A r A n r A ---≤≤-. 证明：因为0k =A ，由引理16知()()()()()21120k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （1） ()()()()()322130k k k k k r A r AA A r A r A r A ----==≥+- （2）()()()()()k k-2210k r A r AAA r A r A r A -==≥+- （3） 把上式相加取得：()()()110k k r A r A ---≤. （4） 由定理知：()()()()110k k k r A r AA r A r A n --==≥+-, 则()()1k r A r A n -+≤. 故()1k kr A n -≤,即()1k n r A k-≤. 所以()()1k r A n r A -≤-，所以()()()11k k r A r A --≤ 所以()()()()111k k k r A r A n r A ---≤≤-,得证. 性质13：设A 是为n 阶矩阵，且0k A =，则（1）k 为偶数且4≥k ，则()()12212k k r A r A -≤；（2)k 为奇数且3≥k ，则()()11212k k r A r A --≤.证明：由引理16知：()()()()21202k k k k r A r AA A r A r A ---==≥-, 即()()212k k r A r A --≥. 再由引理16知：()()()()2422402k k k k r A r A A A r A r A ---==≥- 即()()422k k r A r A --≥，由此类推， （1）k 为偶数且4≥k ，则()()()()12422111242k k k kr A r A r A r A ---≤≤≤≤.（2)k 为奇数且3≥k ， 则()()()()12412111242k k k k r A r A r A r A ----≤≤≤≤,得证.四、关于幂零矩阵的简单应用（一）、利用幂零矩阵求下列矩阵的逆1、求可表为幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆.若矩阵A 可表示为幂零矩阵和单位矩阵的和，则可借用二项式展开定理将求矩阵A 的逆转化为单位矩阵和幂零矩阵的乘幂.例 1 4615135124A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求1A -. 解：46153615100135125010124125001A B E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其中3615125125B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭3615125125B -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭且有2361536151251250125125B BB --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭.1110036152615()010125115001125126A B E E B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∴=+=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 4121031200210001求1-A .解：E +B =A ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 3121021200110000 且03=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=B +B -E =B +E =A ∴--62530841200121200024241211. 2、求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆.对于主对角线元素完全相同的三角矩阵可表示为数量矩阵和幂零矩阵的和.例1 ()0000000000110≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A λλλλλ 求.1A -解：B +E =A m ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B 0000000000001100且02=B . ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B -E =B +E =A ∴--λλλλλλλλλ10000100001011011122211. 例2 已知0000000000000n nx y x y A x y x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求1A -. 解：0000000000000x y x y A x y x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10000010000001000001x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭01000001000000100000y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪+ ⎪⎪⎪⎝⎭n xE yJ =+， 其中01000001000000100000n J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且有0nn J =.211123()(1)n n n nn n n J J J E A xE yJ x x x x---=+=-+++- 1122211(1)10(1)00100n n n n n n y y x x x y x x x -----⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3、求可表为若尔当块的幂的矩阵和的矩阵的逆。
幂零矩阵的定义
幂零矩阵的定义在线性代数中，幂零矩阵是一种特殊类型的方阵。
它具有一些独特的性质和特征，对于理解线性代数中的各种概念和定理具有重要意义。
幂零矩阵的定义幂零矩阵是一个方阵，其所有元素的幂次均为零。
换句话说，对于一个n×n的幂零矩阵A，对于任意i和j（1 ≤ i, j ≤ n），A的第i行第j列元素aij满足aijk=0，其中k是一个大于等于1的整数。
可以用符号表示一个幂零矩阵：A = [aij] = ⎡⎡⎡⎡⎡⎡ a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … aNN ⎡⎡⎡⎡⎡⎡其中每个元素满足aijk=0。
幂零矩阵的性质幂零矩阵具有以下重要性质：1. 幂零性质幂零矩阵的定义表明，对于幂零矩阵A中的任意元素aij，存在一个正整数k，使得aijk=0。
这意味着幂零矩阵的每个元素都有一个幂次，使得它等于零。
2. 幂零指数最小对于一个给定的幂零矩阵A，存在一个最小的正整数k，使得所有元素aijk=0。
这个最小的正整数k被称为该幂零矩阵的指数。
指数越小，说明矩阵中元素变为0所需的次数越少。
3. 幂零矩阵的乘积如果A和B是两个幂零矩阵，并且它们可以相乘（即A的列数等于B的行数），那么它们的乘积AB也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于AB中的任意元素cij，存在一个正整数k，使得cijk=0。
4. 幂零矩阵的幂对于一个幂零矩阵A和一个正整数m，A的m次幂Am也是一个幂零矩阵。
具体而言，对于Am中的任意元素dij，存在一个正整数l，使得dijl=0。
幂零矩阵的应用幂零矩阵在线性代数中有广泛应用，特别是在理解和证明一些重要定理时起到关键作用。
以下是一些幂零矩阵的应用示例：1. 特征值和特征向量对于一个幂零矩阵A，0是它唯一的特征值。
此外，所有非零列向量都是A的特征向量，并且它们对应于特征值0。
2. 线性变换幂零矩阵可以表示一些特殊类型的线性变换。
例如，在空间中进行投影或旋转等操作时，可以使用幂零矩阵来表示这些变换。
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。
证明：?A Q 为幂零矩阵k Z +∴?∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα?≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴?≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==?=0*(1)(1)00k kE A A A ∴-=-=-=-?=00λ∴=为A 的特征值。
由0λ的任意性知，A 的特征值为0。
?A Q 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A == 所以A 为幂零矩阵。
得证性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +?∈=。
证明：?A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====L由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====L从而有 120k k k kn trA λλλ=+++=L由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∈=+++=L (1.1)令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =L L由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=??+++=??+++=+++=?L L L L L L (1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t tttt tt t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-L L LLL MM L MM M L MLL又(1,2,)ii t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==L L即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0，由性质1，得 A 为幂零矩阵得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵，由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -??= ? ??O其中11i i i J λλ??= ? ??O O O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i ni i J E J i s -===g L12,,,s J J J L L 为幂零矩阵得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴?∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==?= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L且有1211n n A E λλλ'''+===g L g1211n n E A λλλ''''''-===g L g即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值若A 退化，则有 0A =由引理7，得120n A λλλ==gL L g ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。
幂零矩阵的性质与应用
目录摘要 (1)Abstract (1)1 引言 (2)2 预备知识 (2)2.1 概念 (2)2.1 引理 (3)3 幂零矩阵的性质 (4)3.1幂零矩阵的特性 (4)3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 (6)3.3幂零矩阵和若尔当块 (7)3.4幂零矩阵的其他性质 (8)4幂零矩阵的应用 (11)4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 (11)4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 (11)4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 (13)4.2幂零矩阵在其他方面的应用 (14)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (18)幂零矩阵的性质与应用摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。
幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。
同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。
关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹.Properties and Applications of Nilpotent MatricesAbstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples.Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace.1 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。
幂零矩阵性质及应用
幂零矩阵性质及应用数本041 严益水 学号：摘要：幂零矩阵是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中有重要的作用。
它具有一些很好的性质。
本文从矩阵的不同角度讨论了幂零矩阵的相关性质。
幂零矩阵与若当形矩阵结合可得一个很好性质，在解相关矩阵问题有很好作用，由此我们举例说明，从例子中发现了问题并对此问题进行思考得出了一些结论，对幂零矩阵的研究很有意义。
在一般矩阵中，求矩阵的逆比较麻烦，本文最后利用幂零矩阵特殊性讨论了三类特殊矩阵逆的求法。
关键词：幂零矩阵 若当块 特征值 幂零指数 一、 预备知识（下面的引理和概念来自《高等代数解题方法与技巧》 李师正 高等教育出版社、《高等代数》（第二版） 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 高等教育出版社、 《高等代数选讲》 陈国利 中国矿业大学出版社及《高等代数习题集》（上册） 杨子胥 山东科学技术出版社）（一） 一些概念1、令A 为n 阶方阵，若存在正整数k ，使0k A =，A 称为幂零矩阵。
2、若A 为幂零矩阵，满足0k A =的最小正整数称为A 的幂零指数。
3、设1111n n nn a a A a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，称1111n nnn a a A a a ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭为A 的转置， 称111*1n nnn A A A A A ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随矩阵。
其中(,1,2,,)ij A i j n =为A 中元素ij a 的代数余子式4、设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为trA 。
5、主对角线上元素为0的上三角称为严格的上三角。
6、形为010(,)000001J t λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的矩阵称为若当块，其中λ为复数，由若干个若当块组成和准对角称为若当形矩阵。
7、()f E A λλ=-称为矩阵A 的特征多项式。
满足()0f E A λλ=-=的λ的值称为矩阵A 的特征值。
幂零矩阵的几个注记
： … ห้องสมุดไป่ตู้ ：
－
：
●
●
Ｉ ＋Ａ＋Ａ ＋… ＋Ａｎ 一Ａ— 一… 一Ａ￣Ｉ Ａ －Ａｍ
０ ０ ０ … ０ ０ ０ ０ ０ … Ｏ ０
＝． Ｉ
故 （— 一 ＩＡ Ａ ＋ Ａ ＩＡ）＝＋ ＋ …＋ ｌ
所 以 ， 在 １ ∈ ＋ 得 Ａ 一 ， ｍ０ 存 Ｔ Ｚｆ Ｉ 吏 ｍ ≠０ Ａ ＝ ．
＝Ｉ ．
０ ０ ０ … Ｏ ０ 有 Ｏ Ｏ ０ … Ｏ ０
然
进 而
有
一 ． ，
Ｏ ０ ０ … 奉 ０ Ｏ ０ … 木
Ａ３ ：Ａｚ Ａ＝
：
●
幸
（＋ ＋ … ＋ 一 ） １ Ａ） Ｉ Ａ Ａ ＋ Ａ （ 一
＝
：
解 因为 Ａ ＝
０ ０ Ｏ Ｏ ０ １ ０ ０ ０ ０ Ｏ Ｏ ０
０ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
Ｏ ０ ０ Ｏ Ｏ
ｌ ０ Ｏ ０ Ｏ
的 ， ［ ］ 值使 得Ａ ．
（ ） ｍ为奇数时 ： ２当
（＋ （－ Ａ Ｉ Ａ） Ｉ Ａ＋ 一…＋ Ａ一 ）
＝
推论 １ 若 Ａ∈Ｔ（ ）这 里 Ｔ（ ） 示 Ｆ上 ｎ阶严格 下 ｎＦ （ ｎＦ 表
三 角 矩 阵 的 全 体 ）则 Ａ是 幂 零矩 阵 ． ，
Ｉ —Ａ＋Ａ 一… ＋Ａ ＋ Ａ—Ａ ＋… 一Ａ￣％ Ａｍ ＝Ｉ
３
第 １ 第 ２ （ ０ １ ６卷 期 ２ １）
樊 正恩 ： 幂零 矩 阵的 几 个 注记
Ｖ １ ６Ｎ ． ２ ｌ ） ｏ． ｏ２ ０ １ （ １
０ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ
Ｏ Ｏ Ｏ ０ ０
例 设 ＝ ］ 中 ，ｃ 实 ． ａ， 切 能 Ａ［ ， ａ， 数 求 ，ｃ 可 其 ｂ 为 试 ｂ一