最新幂零矩阵的质及应用

幂零矩阵的质及应用嘉应学院本科毕业论文（设计）（2015届）题目：幂零矩阵的性质及应用姓名：李丹学号：113010022学院：数学学院专业：数学与应用数学指导老师：刘光明老师申请学位：学士学位嘉应学院教务处制摘要在高等代数中矩阵是研究问题的重要工具，在讨论矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义。

我们在研究矩阵及学习有关数学知识时，经常要讨论其性质。

幂零矩阵作为特殊的矩阵，无论在矩阵理论方面，还是在实际应用方面都有着很重要的意义。

幂零矩阵具有很多良好的性质，文章从矩阵的定义出发得到其一些简单的性质，然后从各个角度更深入挖掘其性质。

由给出的论点进行论证，讨论了幂零矩阵的若干性质，还通过例子说明其应用性，这对于解决若干矩阵问题大有益处。

关键词：幂零矩阵；特征值；若尔当形AbstractMatrix in higher algebra is an important tool to research problem, When discussing matrix multiplication of the definition of nilpotent matrix is given. In the study of matrix and learning about mathematics knowledge, often to discuss its properties. As a special matrix, nilpotent matrix in terms of matrix theory, or in the actual application has very important significance. The properties of nilpotent matrix has a lot of good, The article starting from the definition of matrix to get some simple properties, And then from different angles to dig deeper into its nature more. By the given arguments, Discussed some properties of nilpotent matrix, but also through the example is given to show its application, this is a great benefit to solve the problem of several matrix.Key words：Nilpotent matrix;eigenvalue;Jordan form1． 引言随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。

诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用，获得了许多重要的研究成果。

近年来幂零矩阵得到了进一步发展，在1964年Give 证明了n 阶矩阵A 是幂零矩阵的充要条件是0 k A ，当然还有其他衍生出来的几个充要条件在下文中给出。

在我们学到矩阵的乘法运算时给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。

目前，国内很多学者对幂零矩阵的性质已有较深入的研究，本文我将从在给出的有关幂零矩阵的知识上，得出些其简单性质。

然后再通过教材知识和文摘的借鉴，进一步归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，同时与若当儿标准形，对角形等方面的联系，还有其性质的多方面具体应用，更加的体现 了幂零矩阵的优越性。

2. 幂零矩阵的相关概念及简单性质为了叙述的需要,我们首先引入幂零矩阵的相关概念.2.1 幂零矩阵的相关概念定义2.1.1令A 为n 阶矩阵，若存在正整数k ，使0=k A ，则A 称幂零矩阵。

也称为k 阶幂零矩阵。

如A 为2阶幂零阵，则02=A 。

定义2.1.2若A 为幂零矩阵，满足0=k A 的最小正整数称为A 的幂零指数。

显然，n 阶零矩阵是特殊的幂零矩阵且其幂零指数为1。

定义2.1.3设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111，称⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='nn n n a a a a A 1111为A 的转置； 称⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=*nn n n A A A A A 1111为A的伴随矩阵 其中ij A ()n j i ,,2,1, =为A 中元素ij a 的代数余子式。

定义2.1.4 设A 为一个n 阶方阵，A 的主对角线上所有元素的和称为A 的迹，记为()A tr 。

显然A 的全体特征值的和等于()A tr .其中()0=-=A E f λλ称为矩阵A 的特征多项式，满足()0=-=A E f λλ的λ的值称为矩阵A 的特征值。

定义2.1.5 形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001010λλλJ 阶数为()s i n i ,2,1= 的矩阵称为若尔当块,其中λ为复数。

当00=λ时（若尔当矩阵的特例）称J 为幂零若尔当矩阵。

定义2.1.6 形为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=S J J J J 0021， 其中，由⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i i iJ λλλ0101阶数为()s i n i ,2,1=的若干个若尔当块组成的准对角称为若尔当形矩阵.定义2.1.7 设A 为n 阶方阵，A 的首项系数为1的最低次的化零多项式称为A 的最小多项式。

2.2 关于幂零矩阵的一些简单性质由上述所描述的有关幂零矩阵的定义，可以得出一些幂零矩阵的几条简单性质。

性质2.2.1 幂零矩阵都不可逆。

证明：设A 是任一n 阶幂零矩阵，则+Z ∈∃k ，使0=k A ，假设A 可逆，则0≠A ，于是0≠=kk A A ，故k A 也可逆，这与0=k A 矛盾。

性质2.2.2 幂零矩阵与一个与之可交换的矩阵之积仍是幂零矩阵。

证明：设0=m A ,BA AB =于是()()()()00=*===m m m mB B A AB AB AB AB ，所以AB 是幂零矩阵性质2.2.3 设A 是n 阶幂零矩阵，则T A ，)(Z ∈m mA 均为幂零矩阵。

证明：因为A 为幂零矩阵，+Z ∈∃k ,使得0=k A ，因为 ()()0==Tk kTA A()()()00=*==kk kkm A m mA所以T A ，)(Z ∈m mA 均为幂零矩阵。

性质2.2.4 幂零矩阵的行列式值为零。

证明：设A 是n 阶幂零矩阵，则存在一个自然数k ，使0=k A ，由行列式性质得0==kk A A所以0=A性质2.2.5 与幂零矩阵相似的矩阵是幂零矩阵证明：设A 是n 阶幂零矩阵，则存在一个自然数k ，使0=k A ，另设B 与A 相似，则存在可逆矩阵T ，使AT TB 1-=，因此()011===--T A T ATT B k kk ，得证。

3. 幂零矩阵的性质我们在给出有关幂零矩阵的定义和基本性质的基础上以及根据以下引理,同时参考多篇文献，进一步探讨幂零矩阵,并进行归纳和推理，得到一些更深一层的性质。

3.1 幂零矩阵的充分必要条件引理3.1.1 (哈密顿-凯莱定理)设A 是n 阶方阵,A 的特征多项式设为()A E f -=λλ，则()0=A f引理3.1.2设n λλλ,,,21 为n 阶矩阵A 的特征值,则有n trA λλλ+++= 21，n A λλλ 21=引理3.1.3 设A ，B 为n 阶方阵，则***=''='A B AB A B AB )(,)( 性质3.1.1 A 为幂零矩阵的充分必要是A 的特征值全为0。

证明：⇒设A 是n 阶幂零矩阵，+Z ∈∃k ，则0=k A ，于是，0==kk A A ，因此0=A 。

由此得()010=-=-=-A A A E n，这说明0是n 阶幂零矩阵A的特征值。

若λ为A 的任一特征值，α为相应的特征向量，则λαα=A ，0==αλαk k A ，则有0=k λ，故0=λ⇐：由于A 的特征值全是0，所以A 的特征多项式()n A E f λλλ=-= 由哈密顿-凯莱定理得()0==n A A f 由幂零矩阵的定义，A 是幂零矩阵。

借助这个结论，要证明幂零矩阵的伴随矩阵还是幂零矩阵就很方便了，证明如下：由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：推论3.1.1 设A 是n 阶幂零矩阵，则*A 为幂零矩阵。

证明：由于A 为幂零矩阵，故0=A ，则*A 得秩只能为0或1 当0)(=*A r 时，0=*A 也是幂零矩阵，成立。

当1)(=*A r 时，有当1)(-=n A r 时，又A 的特征值全为0，存在可逆矩阵T ， 使得T T A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010101 同样也由这个充要条件，可以得出以下的几个推论：推论3.1.2 A 为幂零矩阵的充分必要条件为+Z ∈∃k 0=k trA 。

证明： ⇒为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即021====n λλλ 则k A 的特征值为021====kn kkλλλ 从而有 021=+++=kn kkk trA λλλ⇐由已知，+Z ∈∃k 021=+++=kn k k k trA λλλ （1） 令t λλλ,,,21 为A 的不为0的特征值 且i λ互不相同重数为()t i n i ,,2,1 = 由（1）式得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00002211332231122222112211t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ （2） 由于方程组（1.2）的系数行列式为()∏≤<≤-===ti j j ittttt tttttt t t B 111212111212222121111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ又()t i i ,,2,1 =λ互不相同且不为0，0≠∴B 从而知，方程（2）只有0解，即()t i n i ,,2,10 == 即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得A 为幂零矩阵，得证。

推论3.1.3 若A 为幂零矩阵,则一定有1,1=-=+A E E A 成立 证明： 由性质1得A 的特征值021====n λλλ ,所以A E E A -+, 的特征值分别是11021=+='=='='n λλλ , 10121=-=''==''=''n λλλ , 且有11,112121==''''''=-=='''=+n n n n A E E A λλλλλλ ,. 即1,1=-=+A E E A .推论3.1.4 若E A +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令,,,,21n λλλ 为A 的特征值.若A 退化,则有021==n A λλλ ,所以至少存在00=i λ为A 的特征值,从而有0110≠=+i λ为E A +的一特征值,这与E A +为幂零矩阵相矛盾,得证A 为非退化.性质3.1.2 一个n 阶幂零矩阵A 的特征多项式()n f λλ=，从而它只有一个特征值零。