拉姆达矩阵
矩阵拉普拉斯公式
矩阵拉普拉斯公式 矩阵拉普拉斯公式是线性代数中的重要公式之一，用于计算矩阵的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种通过将函数或信号从时间域转换到频率域来研究函数性质的数学工具。
在信号处理、图像处理等领域有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵拉普拉斯公式的定义、推导过程以及应用举例，以帮助读者更好地理解。
矩阵拉普拉斯公式表示了矩阵函数的导数与矩阵本身之间的关系。
设A是一个n阶矩阵，函数f(A)表示将函数f作用于矩阵A后的结果，那么矩阵拉普拉斯公式可以表示为： f'(A) = ∑(C_k * (A - λ_kI)^(-1)) 其中，f'(A)表示函数f对矩阵A求导的结果，C_k表示函数f在特征值λ_k处的导数值，I表示单位矩阵。
二、矩阵拉普拉斯公式的推导过程 为了推导矩阵拉普拉斯公式，首先需要使用特征值分解将矩阵A 分解成特征向量和特征值的形式，即：A = PDP^(-1) 其中，P是由A的特征向量组成的矩阵，D是由A的特征值构成的对角阵。
然后使用泰勒级数展开将函数f(x)近似表示为一系列幂函数的和： f(x) = c_0 + c_1 * x + c_2 * x^2 + ...将矩阵A代入函数f(x)中，应用线性性质，可以得到： f(A) = c_0I + c_1A + c_2A^2 + ...接下来，对上述等式两边分别求导，得到： f'(A) = c_1I + 2c_2A + 3c_3A^2 + ... 最后，将特征值分解的表达式A = PDP^(-1)代入上述等式，利用特征值和特征向量的性质，可以得到矩阵拉普拉斯公式： f'(A) = ∑(C_k * (A - λ_kI)^(-1))三、矩阵拉普拉斯公式的应用举例 为了更好理解矩阵拉普拉斯公式的应用，以下将以信号处理领域中的卷积运算为例进行说明。
在信号处理中，卷积运算是一种常用的运算方式，用于将两个信号进行混合。
假设有两个信号f(x)和g(x)，它们的卷积运算可以表示为： (h * g)(x) = ∫(f(t)g(x - t)dt) 将卷积运算转化为矩阵形式，可以利用矩阵拉普拉斯公式来计算。
数学符号的读法
数学符号的读法α( 阿而法)β( 贝塔)γ(伽马）δ（德尔塔）ε（艾普西龙）ζ（截塔）η（艾塔）θ（西塔）ι约塔）κ（卡帕）λ（兰姆达）μ（米尤）ν（纽）ξ（可系）ο（奥密克戎）π （派）ρ （若）σ （西格马）τ （套）υ （英文或拉丁字母）φ（斐）χ（喜）ψ（普西））ω（欧米伽）更全面：1 Α α alpha a:lf 阿尔法角度；系数2 Β β beta bet 贝塔磁通系数；角度；系数3 Γ γ gamma ga:m 伽马电导系数（小写）4 Δ δ delta delt 德尔塔变动；密度；屈光度5 Ε ε epsilon ep`silon 伊普西龙对数之基数6 Ζ ζ zeta zat 截塔系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数7 Η η eta eit 艾塔磁滞系数；效率（小写）8 Θ θ thet θit 西塔温度；相位角9 Ι ι iot aiot 约塔微小，一点儿10 Κ κ kappa kap 卡帕介质常数11 ∧ λ lambda lambd 兰布达波长（小写）；体积12 Μ μ mu mju 缪磁导系数；微（千分之一）；放大因数（小写）13 Ν ν nu nju 纽磁阻系数14 Ξ ξ xi ksi 克西15 Ο ο omicron omik`ron 奥密克戎16 ∏ π pi pai 派圆周率=圆周÷直径=3.141617 Ρ ρ rho rou 肉电阻系数（小写）18 ∑ σ sigma `sigma 西格马总和（大写），表面密度；跨导（小写）19 Τ τ tau tau 套时间常数20 Υ υ upsilon jup`silon 宇普西龙位移21 Φ φ phi fai 佛爱磁通；角22 Χ χ chi phai 西23 Ψ ψ psi psai 普西角速；介质电通量（静电力线）；角24 Ω ω omega o`miga 欧米伽欧姆（大写）；角速（小写）；角希腊字母读法Αα：阿尔法 AlphaΒβ：贝塔 BetaΓγ：伽玛 GammaΔδ：德尔塔 DelteΕε：艾普西龙 Epsilonζ ：捷塔 ZetaΖη：依塔 EtaΘθ：西塔 ThetaΙι：艾欧塔 IotaΚκ：喀帕 Kappa∧λ：拉姆达 LambdaΜμ：缪 MuΝν：拗 NuΞξ：克西 XiΟο：欧麦克轮 Omicron∏π：派 PiΡρ：柔 Rho∑σ：西格玛 SigmaΤτ：套 TauΥυ：宇普西龙 UpsilonΦφ：fai PhiΧχ：器 ChiΨψ：普赛 PsiΩω：欧米伽 Omega希腊字母怎么打打开Office文档之后，在你需要输入希腊字母的时候，先将输入法切换为英文状态，然后同时按下三个键Ctrl+Shift+Q ，工具栏上的“字体”就会发生变化此刻，你再对照下表输入a,b,c……即可得到您想要的希腊字母。
第08章 λ-矩阵
注：① diag {d 1 (λ ), ⋯,d r (λ ),0, ⋯,0} 为 A( λ) 的（相抵）标准形。 ②称 r 为 A( λ) 的秩。 ③ r = n ⇒ A (λ )可逆。 ④ A( λ ) 可逆 ⇔ A ≅ E 。 ⑤任一可逆 λ -矩阵可表示为初等 λ -矩阵的乘积。 ⑥ λ E − A ≅ diag{1, ⋯,1, d1 ( λ ), ⋯, d r ( λ )} 。
B (λ ) ≅ diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} P( λ ) B (λ )Q (λ ) = diag {d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ),0,⋯ ,0}
0 ⎞ ⎛ b11 (λ ) A (λ ) ≅ ⎜ ⎟ ≅ diag {d1 ( λ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ ), 0,⋯ , 0} 0 B ( λ )⎠ ⎝ d 1 ( λ ) = c −1b11 ( λ )， d i ( λ ) | d i+1 (λ )， i = 2,⋯ , r 例 设 A =⎜ 3 ⎜
⎛0 ⎜ −1 ⎝ 1 −2 1 −1⎞ ，求 0⎟ ⎟ ⎟ −1⎠
必修一数学符号
必修一数学符号以下是数学中常用的符号：
1. ∈ 属于
2. ∉不属于
3. ∪ 并集
4. ∩ 交集
5. ∃存在
6. ∀任意
7. ≠ 不等于
8. ≢恒不等于
9. ≤ 小于或等于
10. ≥ 大于或等于
11. ≪远远小于
12. ≫远远大于
13. ≈ 约等于
14. ≠≠ 不恒等于
15. ≨不严格小于或等于
16. ≨≨不严格严格小于或等于
17. ≩不严格大于或等于
18. ≩≩不严格严格大于或等于
19. ∠ 角
20. ∟ 直角
21. ∫ 积分
22. π 圆周率
23. e 自然对数的底数
24. i 虚数单位
25. a,b,c,d 等表示实数、向量、矩阵等具体内容。
26. x,y,z 等表示未知数。
27. f(x) 表示函数。
28. Σ 表示求和。
29. λ 表示特征值。
30. λ 表示拉姆达。
31. → 表示向量。
32. →→ 表示向量。
33. →→→ 表示向量积。
34. · 表示点乘。
35. g 表示矩阵。
36. A 表示矩阵 A 的行列式。
37. A^(-1) 表示矩阵 A 的逆矩阵。
38. A^T 表示矩阵 A 的转置矩阵。
39. A^H 表示矩阵 A 的共轭转置矩阵。
40. x₊表示 x 的共轭复数。
41. i₊表示虚数单位 i 的共轭复数。
格拉姆矩阵特点
格拉姆矩阵特点格拉姆矩阵是对称的，这就像一面镜子一样神奇。
你看，无论从哪个角度看，它都保持着对称的美。
就像一个圆形的镜子，你站在它前面，左边和右边的影像完全一样。
数学家小明在研究格拉姆矩阵的时候，一看到这种对称性，就像发现了宝贝一样，眼睛都亮了，大喊：“哇，这太酷了！”格拉姆矩阵的半正定性质可重要啦。
它就像一个永远积极向上的小太阳。
不管你怎么去检验，它都散发着这种正能量。
比如说在向量空间里，它就像一个守护者，保证了一些奇妙的性质。
老师在课堂上给学生们讲这个的时候，学生们一开始不太理解，后来明白了，就像打开了一扇神奇的知识之门，都很兴奋呢。
格拉姆矩阵能反映向量组的线性相关性哦。
这就像一群小伙伴，如果他们之间的关系很紧密，格拉姆矩阵就能告诉我们。
要是向量组像一群手拉手的好朋友，线性相关程度高，格拉姆矩阵的值就会体现出来。
就像看一群人跳舞，他们的动作整齐划一，通过格拉姆矩阵就能分析出这种整齐背后的数学关系。
有个研究者在做数据分析的时候，用到了这个性质，解决了大问题，高兴得像中了彩票。
格拉姆矩阵在计算向量内积的时候有大用处。
这内积计算就像给向量之间搭建了一座沟通的桥梁。
格拉姆矩阵就像是这座桥的设计师。
你想想，两个向量本来各自独立，通过格拉姆矩阵计算内积，就像在它们之间拉了一条线，把它们联系起来了。
程序员小王在写代码处理向量计算的时候，利用格拉姆矩阵，代码运行得又快又准，他像个打了胜仗的将军，得意洋洋。
格拉姆矩阵在基变换下有独特的表现，这就像演员换了不同的舞台，但依然有自己的风格。
向量空间的基变了，格拉姆矩阵也跟着变，但它还是保留了一些本质的东西。
就像一个魔术师在不同的场景表演魔术，虽然场景不同，但魔术的精彩不变。
研究人员在做不同基下的数学模型分析时，对格拉姆矩阵的这种特性又爱又惊，像发现了一个神秘的魔法。
格拉姆矩阵与向量的长度也有关系呢。
向量的长度像是向量自己的身高，格拉姆矩阵能帮忙测量。
它像一把神奇的尺子，准确地量出向量的长度信息。
高量12-gamma矩阵
7
A1 1 1 , A2 1 2 , A3 1 3
则
A1 A2 A2 A1 1 11 2 1 2 1 1 111 2 2 11 1 1 2 2 1
1 ( x, y , z ) 3 ( x, y, z ) 1 ( x, y, z ) , 2 ( x, y, z ) 2 4 (17 .6)
(17.6)式形式的量为旋量,而(17.5)式形式的量为双旋量。 二. 自由电子的Dirac方程的求解
i Et
(17.8)
代入上式，得 满足的定态狄拉克方程
ˆ (c P mc 2 ) E (17.9)
即 是自由电子哈密顿
ˆ ˆ c P mc 2 H (17.10)
的本征矢量。 然而对于自由电子来说，这样的本征矢量是高度简 并的, 为求出确切的态矢量, 应当找一组包括H 在内的 厄米算符完备组,去求这组厄米算符的共同本征矢量。
三. 矩阵的确定 在不同的文献中，不同的表象选用不同的 矩阵， 教材中都有介绍。这里介绍两组比较通用的标准表 象或Pauli-Dirac表象，其中第一组给 1 , 2 , 3 , ， 第二组给出 1 , 2 , 3 , 4 , 5。见下表 Pauli-Dirac表象中的 i , , i
i i 1 :
0 1 1 1 0 ,
0 i 2 i 0 ,
1 0 3 0 1
上两式中，处于矩阵元地位的 i 是2×2矩阵(Pauli)， 1代表2×2单位矩阵，而i代表2×2单位矩阵乘以i。 升格为4×4矩阵后，可以验证三个 i 仍是平方为 1和反对易的，三个 i 也是如此。下面证明：
矩阵分析 史荣昌 魏丰 第三版 第一章-第四章 期末复习总结
定义：若v1 ∩ v =0，则称v1与v 2 的和空间v1 + v 2 是直和，用记号v1 ⊕ v 2 表示
交
定理：设v1与v 2 是线性空间 v 的两个子空间，则下列命题是等价的
与
和
1) v1 + v 2 是直和
直和
2) dim(v1 + v 2 )= dim v1 + dim v 2
3)
设
α1， αn1
α α α 定理：(1) R(T)=span{T( 1 ),T( 2 ),……T( n )} (2)rank(T)=rank(A)(A 为线性映射在基下的矩阵表示)
值
域
性质:
设 A 是 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线性映射，α1，α2， αn
是V1
的一组基，β1,
β
2
,
,βm
是V2 的一组基。线性映射 A 在这组基下的矩阵表示是 m*n 矩阵 A=( A1，A2， An
特征子
空间
V 性质：特征子空间 λi 是线性变换 T 的不变子空间。
定义：设v1和v 2 是数域 F 上的两个线性空间，映射 A:v1 → v 2 ,如果对任何两个向量 α1,α2 ∈ v1和任何数λ ∈ F
有 A（ α1 + α2 ）=A（ α1 ）+A（ α2 ），A（ λα1 ）= λ A（ α1 ），便称 映射 A 是由v 1到v 2 的线性映射
α1,α
2
,
αr
生成的子空间为
T
的不变子空间。
0 0 an,r +1 ann
λ α λ λ λ 定义：设 T 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中存在非零向量α，使得 T(α)= 0 , 0 ∈F.那么称 0 是 T 的一个特征值，称α是 T 的属于 0 的一个特征向量。
第三章 特征值与矩阵的Jordan标准型
74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证 注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加 到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是 与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由 例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个 块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂 可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给 出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这 就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命 题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证 注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
λ-矩阵一、λ矩阵的不变因子及初等因子定义1 设多项式矩阵()A λ的秩1r ≥，而1k r ≤≤. ()A λ中所有k 阶子式的首相系数为1的最大公因子()k D λ，称为()A λ的k 阶行列式因子. 当k r >时，由秩的定义可知()0k D λ=. 另外，为了讨论方便，规定0()1D λ=.定理1 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子. 因而等价的矩阵有相同的各阶行列式因子.定义2 1()()()i i i D d D λλλ−=（1,2,,i r =⋯），称为()A λ的不变因子. 规定：()0i d λ=()n i r ≥>. 暗含了1()()i i d d λλ+的结论.定义3 下面的矩阵称为λ-矩阵()A λ的Smith 标准形12()()()()00r d d J d λλλλ=⋱⋱.定理2 λ-矩阵()A λ的Smith 标准形是唯一的.推论1 λ-矩阵()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的行列式因子或有相同的不变因子.定义4 设λ-矩阵()A λ的不变因子为12(),(),,()r d d d λλλ⋯. 将()i d λ分解为C 上的一次因式之积：11112221221211221212()()()()()()()()()()()()s srs r r k k k s k k ks k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ =−−− =−−−=−−− ⋯⋯⋯⋯⋯()∗ 其中12,,,s λλλ⋯互不相同，0ij k ≥，1,1.i r j s ≤≤≤≤ 因1()()i i d d λλ+，所以1,,11,1.ij i j k k i r j s +≤≤≤−≤≤ 在()∗中所有指数大于零的因子(),11,1,0ij kj ij i r j s k λλ−≤≤−≤≤>称为()A λ的初等因子.由初等因子求不变因子：由初等因子的定义可知，如果给定()A λ的不变因子，则其初等因子就唯一确定. 反之，如果给定了()A λ的所有初等因子及()A λ的秩，则其不变因子也唯一确定. 不妨设()A λ的秩为r . 把()A λ的所有初等因子按不同的一次因子分类，并按各因子的幂从大到小排成一个有r 列的表（若某一行或若干行的初等因子不足r 个，则在后面补1，直到够r 个为止）：1,11111,22121,1111222(),(),,()(),(),,()(),(),,()r r r r r s rs s k k k k k k k k k s s sλλλλλλλλλλλλλλλλλλ−−− −−− −−−−−− ⋯⋯⋯⋯⋯其中1,10,1.rj r j j k k k j s −≥≥≥≥≤≤⋯ 因而1212()()()(),1.i i i k k k i s d i r λλλλλλλ=−−−≤≤⋯至此可知，当已知一个λ-矩阵()A λ的秩r 后，求不变因子或行列式因子的问题等价于求初等因子的问题.定理3 设λ-矩阵()A λ为分块对角阵12()()()()s B B A B λλλλ=⋱ 则各子块(),1,2,,i B i s λ=⋯的初等因子的全体构成()A λ的全部初等因子. 次定理给出一个求λ-矩阵()A λ的Smith 标准形的方法： （1） 先将()A λ通过初等变换化为准对角阵的形式：12()()((),(),,())s A B diag B B B λλλλλ→=⋯使得每块()i B λ的初等因子（或不变因子）可以相对来说容易求出来；（2） 求出每块()i B λ的初等因子；（3） 把()i B λ的所有初等因子放在一起，即得到()A λ的初等因子，进而求 出()A λ的不变因子及Smith 标准形.注意：这个方法不是求Smith 标准形的唯一方法，可以用定义求. 先求各阶行列式因子，再求不变因子，然后写出Smith 标准形即可. 二、Jordan 标准形 定义5 形如111i ii i i i i m m J λλλλ×=⋱⋱ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块，i C λ∈，通常记为()i m i J λ.定义6 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J=⋱ 称为Jordan 标准形.定义7 设n n A C ×∈，E A λ−称为数字矩阵A 的特征矩阵.定理4 复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔E A λ−与E B λ−等价.推论2复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔A 与B 的特征矩阵E A λ−与E B λ−有相同的不变因子或有相同的初等因子.定理5（Jordan 标准形定理） 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似. 这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列顺序外被A 唯一决定. 我们称其为A 的Jordan 标准形，并记为.A J推论3 复矩阵A 与对角阵相似⇔E A λ−的初等因子都是一次的.我们简称λ-矩阵E A λ−的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.设A n n C ×∈的所有互不相等的特征值为12,,,s λλλ⋯，并设它们的重数分别为12,,,s k k k ⋯，则1si i k n ==∑. 设i λ对应的初等因子为12(),(),,()is i i i kk k i i i λλλλλλ−−−⋯.其中111,,0,1,2,,,1,2,,.i is s s ij i ij ij i j i j k k k n k j s i s =====>==∑∑∑⋯ 每个初等因子对应一个Jordan 块(),1,2,,,1,2,,.ij k i i J j s i s λ==⋯⋯ 则A 的Jordan 标准形为()111212112,,,,,,,,,s s s ss sA k k k k k k J diag J J J J J J =⋯⋯⋯⋯其中Jordan 块的顺序可以换. 可见，A J 的Jordan 块由A 的初等因子唯一决定.若记1(,,)i is ii k k J diag J J =⋯，即i J 为与特征值i λ相关联的Jordan 块生成的准对角矩阵，则12(,,,).A s J diag J J J =⋯Jordan 标准形的变换矩阵的求法：幂零矩阵的定义：设n n A C ×∈ 且0A ≠，若m N +∃∈使10,0m m A A −=≠，则称方阵A 为幂零矩阵. 其中m 称为A 的幂零指数.引理1 A 为幂零矩阵⇔A 的特征值全是零.定理6 设n n A C ×∈ 且0A ≠，A 是幂零指数为m 的幂零矩阵. 设A J 有s 个Jordan 块，第i 个Jordan 块的阶数为i n . 则（1）{}12max ,,,s m n n n =⋯；（2）A 的零度（线性方程组0AX =解空间的维数）等于A J 的块数s ； （3）记A J 中k 阶Jordan 块的个数为k l ，k A 的零度为k η，1k n ≤≤. 则112222,l s ηηη=−=− 112,2.k k k k l k m ηηη−+=−−≤≤注：由于0A ≠，A J 与A 相似，则0A J ≠，故2m n ≤≤. 当,k m =m n =时1.n n η+=设A 为如上定义的幂零矩阵，则存在可逆矩阵P 使1A P AP J −=. 可推出.A AP PJ =不妨设0104,010A n J==. 可见2m =. 对P 按列分块1234(,,,)P αααα=，可得1234123413010(,,,)(,,,)(0,,0,)010A αααααααααα==由此可得P 的各个列向量应满足的方程组分别为1213430,,0,A A A A αααααα====这表明13,αα是特征向量，而24,αα是广义特征向量. 具体操作如下：取13,αα为0AX =的一组基本解组，再由2143,A A αααα==去解24,αα. 对不是幂零矩阵的方阵有类似的方法，现在已4阶的Jordan 块为例，设111A J λλλλ=由A AP PJ =可得1234123411(,,,)(,,,)1A λλααααααααλλ=即11212323434,,,A A A A αλαααλαααλαααλα==+=+=+可得1213243()0,(),(),()A E A E A E A E λαλααλααλαα−=−=−=−=可见1α是特征向量，234,,ααα是广义特征向量.注意：变换矩阵P 并不唯一. 线性方程组解的不唯一性，决定了P 的不唯一性. 三、最小多项式定义8 设n n A F ×∈，()f x 是多项式，若()0f A =，则称()f x 是A 的零化多项式.由哈密顿—凯莱定理可知，任何方阵的特征多项式是该矩阵的零化多项式，因此零化多项式总是存在的. 并且存在无穷多个次数最低的零化多项式，称其中唯一的首一多项式（首相系数为1的多项式）为A 的最小多项式，记作()A m x 或().m x定理7 设()m x 是A 的最小多项式，()f x 是A 的任一零化多项式，则()().m x f x定理8 设A 是数域F 上的任意方阵，0F λ∈. 则0λ是A 的特征值⇔0λ是A的最小多项式()m x 的零点.注：此定理表明数域F 上的方阵的最小多项式的根（零点），包含了该矩阵在数域F 上的特征值. 若F C =，则()0m x =的所有根就是A 的所有特征值. 另外，分块对角矩阵的最小多项式等于各块的最小多项式的最小公倍式. 定理9 相似矩阵具有相同的最小多项式.定理10 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 的最小多项式()m x 没有重根. 推论4 设n 阶方阵A 的一个零化多项式为()f x ，若()f x 无重根，则A 可以对角化.注：A 的任何一个零化多项式()f x 的根，包含了A 的所有特征值. 特征多项式、最小多项式与初等因子的关系：设n n A C ×∈，多项式(),()f m λλ分别为A 的特征多项式和最小多项式. 由于A 是数字矩阵，则A 的特征矩阵E A λ−一定满秩，即()r E A n λ−=，故E A λ−的Smith 标准形的秩为n . 这表明A 有n 个不变因子. 设A 的不变因子为12(),(),,()n d d d λλλ⋯. 则12()()()(),()().n n f d d d m d λλλλλλ=⋅⋅⋅=⋯知道这个关系后，若给出了方阵A 的阶数与其最小多项式()m λ，再由给出的条件结合1()()i i d d λλ+的永恒条件，就可求出A 的不变因子. 四、特征值的几何重数与代数重数n 阶矩阵A 的特征多项式1212()()()()s n n n A s f E A λλλλλλλλ=−=−−−⋯其中12,,,s λλλ⋯为A 的所有互不相同的特征值. 显然1si i n n ==∑. 我们称j n 为特征值(1,2,,)j j s λ=⋯的代数重数. 对(1,2,,)j j s λ=⋯，其所对应的线性无关的特征向量的个数等于齐次线性方程组()0j E A X λ−=的解空间的维数，记此数为j g ，称其为j λ的几何重数.定理11 特征值的几何重数不超过其代数重数.定理12 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵⇔其每个特征值的代数重数等于几何重数⇔所有特征值的几何重数之和为.n定理13 设n 阶矩阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ⋯，()f x 为任一多项式. 则()f A 的n 个特征值为12(),(),,()n f f f λλλ⋯.推论5 若()f x 是A 的零化多项式，则12()()()0.n f f f λλλ====⋯ 几何重数、代数重数与Jordan 标准形的关系：沿用之前对A 及其Jordan 标准形A J 的相关符号，则i λ的几何重数等于i J 中的Jordan 块的块数；i λ的代数重数等于i J 的阶数.。