向量和矩阵的简单操作
矩阵的转置 向量空间
矩阵的转置向量空间
矩阵的转置是线性代数中一个重要的概念，它在向量空间中具有广泛的应用。
所谓矩阵的转置，就是将原矩阵的行与列互换，得到一个新的矩阵。
在向量空间中，我们可以将每个向量看作是一个列矩阵。
当我们对一个向量进行转置操作时，实际上就是将其变成一个行矩阵。
这个操作可以用来描述向量的各个分量在不同方向上的取值。
转置操作可以方便地用来描述向量的运算。
例如，当我们需要对两个向量进行点乘时，可以将其中一个向量进行转置操作，然后与另一个向量进行矩阵乘法运算，得到一个标量值。
这个标量值可以用来衡量两个向量之间的相似性或夹角大小。
除了点乘运算，矩阵的转置还可以应用于矩阵的乘法、逆矩阵的求解等问题。
在这些应用中，转置操作可以帮助我们简化计算或者得到更加直观的结果。
除了在向量空间中的应用，矩阵的转置还有其他一些重要的性质。
例如，转置操作满足分配律和结合律，可以方便地与其他线性运算进行组合。
同时，转置操作还具有对偶性，即对一个矩阵进行两次转置操作，可以得到原矩阵。
矩阵的转置是向量空间中一个重要的概念，具有广泛的应用。
通过转置操作，我们可以方便地描述向量的各个分量在不同方向上的取
值，进行向量的运算，简化计算或者得到更加直观的结果。
同时，转置操作还具有一些重要的性质，可以与其他线性运算进行组合，得到更加灵活的计算方式。
MAGMA操作教程
MAGMA操作教程MAGMA（矩阵代数工具）是一个用于计算数学和代数问题的计算机程序。
它在计算线代或数论问题时非常有用，同时也可以用于多项式插值、点计数和椭圆曲线等其他领域。
本教程将向您介绍如何使用MAGMA进行常见操作。
一旦您进入MAGMA界面，您就可以开始输入和执行各种操作。
下面是一些常见操作的示例：1.简单的矩阵和向量操作:- 创建一个2x2的矩阵A：`A := Matrix([[1, 2], [3, 4]])`- 创建一个长度为4的向量v：`v := Vector([1, 2, 3, 4])`- 计算矩阵A的逆矩阵：`InvA := A^-1`-计算向量v与矩阵A的乘积：`Av:=A*v`2.矩阵特征问题：- 计算矩阵A的特征多项式：`p := CharacteristicPolynomial(A)` - 计算矩阵A的特征值：`eigenvalues := Eigenvalues(A)`3.矩阵分解：- 计算矩阵A的QR分解：`Q, R := QRFactorization(A)`- 计算矩阵A的特征值分解：`A = P*D*P^-1, D := DiagonalMatrix(Eigenvalues(A)), P := EigenvectorMatrix(A)`4.矩阵方程：- 解线性方程组Ax = b：`x := Solution(Transpose(A),Transpose(b))`- 解齐次方程组Ax = 0 的零空间：`NullSpace(A)`- 解非齐次方程组Ax = b 的特解：`ParticularSolution(A, b)`5.矩阵运算：- 计算矩阵A的迹：`Trace(A)`- 计算矩阵A的秩：`Rank(A)`- 计算矩阵A的行列式：`Determinant(A)`6.数论问题：- 计算一个数n的质因数分解：`Factorization(n)`- 计算一个数n是否为素数：`IsPrime(n)`- 计算一个数n的欧拉函数值：`EulerPhi(n)`值得一提的是，MAGMA是一款商业软件，虽然它提供了免费试用版本，但在进行商业和科研项目时可能需要购买正式许可证。
mathematica 行向量 列向量 矩阵
mathematica 行向量列向量矩阵摘要：一、Mathematica软件简介二、行向量与列向量1.定义及特点2.基本操作与运算三、矩阵的概念与运算1.矩阵的定义2.矩阵的分类3.矩阵的运算4.矩阵的性质四、Mathematica在矩阵运算中的应用实例五、总结与展望正文：【一、Mathematica软件简介】Mathematica是一款功能强大的数学软件，自1988年问世以来，广泛应用于科学计算、数据分析、教育等领域。
它具有丰富的函数库，能解决诸如线性代数、微积分、概率统计等各种数学问题。
在本文中，我们将重点探讨Mathematica在向量、矩阵运算方面的应用。
【二、行向量与列向量】行向量和列向量是线性代数中的基本概念。
在Mathematica中，行向量和列向量分别表示为rows和columns。
【1.定义及特点】行向量：一个由n个元素组成的1×n矩阵，其中n为自然数。
行向量有n 个分量，分别表示该向量在各个方向上的分量值。
列向量：一个由n个元素组成的n×1矩阵，其中n为自然数。
列向量有n 个分量，分别表示该向量在每个方向上的分量值。
【2.基本操作与运算】在Mathematica中，行向量和列向量的基本操作与运算主要包括以下几点：1.加法：两个向量相加，结果为一个新向量，其元素为两个向量对应分量之和。
2.减法：两个向量相减，结果为一个新向量，其元素为两个向量对应分量之差。
3.数乘：向量与实数相乘，结果为一个新向量，其元素为原向量对应分量乘以实数。
4.标量积：两个向量的标量积为一个实数，等于两个向量对应分量的乘积之和。
5.向量积：两个向量的向量积为一个新向量，其分量依次为两个向量对应分量的向量积。
【三、矩阵的概念与运算】矩阵是线性代数中的核心概念，它可以看作是一个由行向量或列向量组成的矩形阵列。
在Mathematica中，矩阵表示为一个二维数组。
【1.矩阵的定义】矩阵是一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵和向量
向量的加法、减法、数乘
向量加法：将两个向量对应元素相加，得到新的向量 向量减法：将两个向量对应元素相减，得到新的向量 向量数乘：将向量的每个元素乘以一个常数，得到新的向量 向量点乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量 向量叉乘：将两个向量对应元素相乘，得到新的向量
向量的外积、内积和混合积
解最优解
数值分析：使用矩阵和向量进 行数值分析，如数值积分、数
值微分等
在数学建模中的应用
线性方程组求解：利用矩阵和向量的运算，可以快速求解线性方程组 优化问题：矩阵和向量可以用于解决优化问题，如线性规划、非线性规划等 概率统计：矩阵和向量可以用于概率统计中，如随机变量、协方差矩阵等 图论：矩阵和向量可以用于图论中，如最短路径、最小生成树等
矩阵和向量的扩 展知识
矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵中 线性无关的行（或 列）的最大数目
矩阵的秩等于其 行向量组的秩
矩阵的秩等于其 列向量组的秩
矩阵的秩等于其 非零特征表示向 量的长度，是向量 的绝对值
向量的方向：表示 向量的方向，是向 量的指向
向量的模和方向的 关系：模和方向共 同决定了向量的位 置和方向
向量的坐标：向量中每个元素的位置
向量的长度：向量中元素的平方和的平 方根
向量的方向：向量中元素的符号和顺序
向量的基本性质
向量的长度：表示向量的大小，也称为 模
向量的方向：表示向量的方向，也称为 方向余弦
向量的加法：两个向量相加，得到新的 向量
向量的减法：两个向量相减，得到新的 向量
向量的数乘：向量与标量相乘，得到新 的向量
外积：两个向量 的叉乘，结果是 一个向量，其方 向垂直于两个向 量所在的平面
内积：两个向量 的点乘，结果是 一个标量，表示 两个向量的夹角 大小
稀疏矩阵向量乘
稀疏矩阵向量乘1.引言1.1 概述稀疏矩阵向量乘是指针对稀疏矩阵和向量进行相乘的一种运算方法。
稀疏矩阵是指其中大部分元素都为0的矩阵，而向量是由一列数值组成的有序集合。
相比于密集矩阵和向量，稀疏矩阵和向量在存储和计算上具有更高的效率。
在现实生活和科学工程领域中，很多数据都呈现出稀疏的特性，比如文本分析中的词频矩阵、网络分析中的邻接矩阵等。
因此，稀疏矩阵向量乘的算法研究和优化具有重要的意义。
本文将首先对稀疏矩阵的定义与特点进行介绍，包括稀疏矩阵的存储方式和稀疏性的度量方法。
然后，我们将详细探讨稀疏矩阵向量乘的算法，包括传统的普通稀疏矩阵向量乘算法以及近年来涌现的一些优化算法。
通过对比实验和性能分析，我们将评估这些算法的优缺点，并探讨它们的适用场景。
在结论部分，我们将探讨稀疏矩阵向量乘的应用领域，包括机器学习、计算机图形学以及科学工程等领域。
同时，我们也将总结本文的主要内容，并展望未来在稀疏矩阵向量乘算法优化方面的研究方向。
通过本文的研究，读者将更深入地了解稀疏矩阵向量乘的算法和应用，并对如何选择合适的算法进行稀疏矩阵向量乘有一定的指导意义。
最终，我们希望本文能够为稀疏矩阵向量乘算法的研究和应用提供一些有益的参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们首先对本文的研究对象进行概述，即稀疏矩阵向量乘。
稀疏矩阵是一种特殊的矩阵，其大部分元素为0，只有少数非零元素。
稀疏矩阵向量乘是指将稀疏矩阵与向量相乘的操作。
接着，我们将介绍文章的结构，为读者提供一个整体的预览。
最后，我们说明本文的目的，即探讨稀疏矩阵向量乘的算法和应用。
在正文部分，我们将首先介绍稀疏矩阵的定义与特点。
我们将解释稀疏矩阵的特点，如大部分元素为0、稀疏矩阵的存储方式等。
然后，我们将详细介绍稀疏矩阵向量乘的算法。
我们将介绍常见的算法，如CSR格式、COO格式等，并对这些算法进行比较和分析，寻找最高效的方法。
矩阵等价与向量组等价的关系及应用
等价是描述两个对象之间的一种关系,当这种关系具有自身性、对称性和传递性时,这种关系可被称为“等价”[1-3]。
矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念,前者是指一个矩阵可以经过有限次初等变换得到另一矩阵,后者是指两个向量组能够相互线性表示。
矩阵和向量组具有一一对应性,由于等价矩阵具有相同的行数和列数,从向量组的角度,两个向量组包含相同个数的向量;而当列(行)向量组等价时,从矩阵的角度,两个矩阵的列(行)数可以不同。
初等变换作为矩阵理论的重要工具,当两个向量组包含相同个数的向量时,项梁组等价和矩阵等价之间是否具有联系呢？如果能获得这种联系,则向量组的等价问题在某种程度上可以借助初等变换研究以简化其讨论步骤。
1 理论为方便起见,不妨设有两个矩阵A 和B 且A～B ,从而存在两个可逆阵P,Q ,满足:PAQ =B 。
可将A 和B 表示为列向量组的形式,则有:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a P ΛΛ= (1)如果P =E ,由初等变换理论可知,A 到B 只进行了初等列变换,且(1)式可改写为:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a ΛΛ= (2)两边同时右乘1-Q ,得:12121),,,(),,,(-=Q b b b a a a n n ΛΛ(3)由(2)式可知,向量组n b b b ,,,21Λ能由向量组n a a a ,,,21Λ线性表示,由（3)式可知,向量组n a a a ,,,21Λ能由n b b b ,,,21Λ线性表示,故n a a a ,,,21Λ与n b b b ,,,21Λ等价。
因此获得下面结论:结论1：只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的列向量组等价。
对上面的(2)式,两边同取转置,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T T n T T T b b b a a a Q M M 2121 (4)两边同时左乘1)(-T Q ,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T T n T Tb b b Q a a a M M 21121)( (5)同理,(4)式和(5)式表明行向量组T nT T b b b ,,,21Λ与Tn T T a a a ,,,21Λ等价,由此获得下面结论:结论2：只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的行向量组等价。
Matlab中的向量和矩阵操作方法
Matlab中的向量和矩阵操作方法Matlab是一种非常强大的数值计算和科学计算软件，广泛应用于工程、科学和金融等领域。
在Matlab中，向量和矩阵是最常用的数据结构之一，使用它们可以进行各种数值运算和数据分析。
本文将介绍Matlab中的向量和矩阵操作方法，包括创建、索引、运算等方面的内容。
1. 向量的创建和索引向量是一维的数组，可以包含任意数量的元素。
在Matlab中，我们可以通过以下方法创建向量：- 手动输入：可以使用[ ]来手动输入向量的元素。
例如，向量a = [1, 2, 3]表示一个包含3个元素的向量，分别为1、2和3。
- 使用冒号运算符：可以使用冒号运算符(:)创建一个连续的向量。
例如，向量b = 1:5表示一个包含1到5这5个连续元素的向量。
- 使用linspace函数：linspace函数可以创建一个指定起始值、结束值和元素数量的等差数列向量。
例如，向量c = linspace(1, 10, 10)表示一个从1到10的等差为1的数列向量，包含10个元素。
对于已经创建的向量，我们可以使用索引来访问和修改其中的元素。
Matlab中的索引从1开始，使用圆括号()进行索引操作。
2. 向量的运算在Matlab中，向量的运算包括数学运算和逻辑运算两种类型。
- 数学运算：可以对向量进行加、减、乘、除等数学运算。
例如，向量a = [1, 2, 3]与向量b = [4, 5, 6]相加，可以得到向量c = a + b，结果为向量c = [5, 7, 9]。
此外，还可以对向量进行数学函数的运算，如求和、平均值、最大值、最小值等。
- 逻辑运算：可以对向量进行逻辑运算，如与、或、非运算等。
在Matlab中，逻辑运算的结果为逻辑向量，其中每个元素的值为true或false。
例如，向量a = [1, 2, 3]与标量值2进行大于比较，可以得到逻辑向量b = (a > 2)，结果为逻辑向量b = [false, false, true]。
opencv mat乘向量
opencv mat乘向量
在OpenCV中，可以使用cv::Mat类的乘法运算符来实现矩阵与向量的乘法操作。
假设我们有一个大小为m x n的矩阵A和一个大小为n x 1的列向量B，我们可以通过以下方式进行矩阵与向量的乘法：
cpp.
cv::Mat A; // m x n 矩阵。
cv::Mat B; // n x 1 列向量。
cv::Mat result = A B;
在这里，result将会是一个大小为m x 1的列向量，它是矩阵A和向量B相乘的结果。
需要注意的是，在进行矩阵与向量的乘法操作时，矩阵的列数必须与向量的维度相匹配，否则将会导致运行时错误。
另外，OpenCV中还提供了一些其他的矩阵与向量的乘法函数，比如gemm
函数，可以实现更加灵活和复杂的矩阵运算操作。
除了使用C++进行矩阵与向量的乘法操作之外，OpenCV还提供
了Python接口，可以使用类似的方法来实现矩阵与向量的乘法。
在Python中，可以使用numpy数组来表示矩阵和向量，然后通过numpy库提供的乘法函数来实现矩阵与向量的乘法操作。
总之，通过使用OpenCV提供的矩阵乘法运算符或者相关的函数，我们可以很方便地实现矩阵与向量的乘法操作，从而进行各种复杂
的图像处理和计算机视觉任务。
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Matlab基础与应用 20170208
2.4 矩阵及其运算
2.4.1矩阵的定义 2.矩阵与向量的互相转换
矩阵转为向量 x = A(:) % 矩阵转为列向量
如: 将矩阵 A转为向量 >> A = [1, 2, 3;4 5 6;7 8, 9]; >> x = A(:)
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2.4 矩阵及其运算
2.矩阵与向量的互相转换 向量转为矩阵 A = reshape(x, [m, n]) % 将向量x转为m行n列的矩阵 如: 定义长度为18的向量，将其转为3行6列的矩阵。 >> x = 1:18 ; >> A = reshape(x, [3, 6])%
%A = reshape(x,3,[]) 或 A = reshape(x,[],6])
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2.3 向量及其运算
2.3.3向量的基本运算
如: x=a+b=[8 10 12]; y=a+2=[3 4 5]
如: z=a*2=[2 4 6]；w=a/2=[0.5000 1.0000 1.5000] 如: x=a.*b=[7 16 27]
加减
数乘/数除
点乘
点积 叉积
如: y=dot(a,b)=50 %dot(a,b)=sum(a.*b)，力学：合力
如: z=cross(a,b)=[-6 12 -6] %空间几何：法向量
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课堂练习
1. P39-41 例子的命令
2. 创建等差向量a，在10~99之间，步长为4。
P44例2.15
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矩阵旋转
格式 B = rot90 (A) %将矩阵A逆时针方向 旋转90° B = rot90 (A,k) %将矩阵A逆时针方向旋转 (k×90°)，k可取正负整数。
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2.4 矩阵及其运算
矩阵的翻转
利用M文件建立矩阵
2. 存盘(文件名为mymatrix.m)。 3. 在命令窗口中输入mymatrix，即运行该M文 件，就建立一个名为MYMAT的矩阵。
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使用冒号表达式建立矩阵
A=[1:3; 4:6; 7:9]
A =[linspace(1,100,4); logspace(1,3,4)]
2.4 矩阵及其运算
2.4.7 特殊矩阵
零矩阵：zeros 一矩阵：ones 单位阵：eye 对角阵：diag 随机阵：rand 、randn
魔方阵：magic
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2.4 矩阵及其运算
2.4.7 特殊矩阵
函数名 zeros(m) zeros(m,n) ones(m) ones(m,n) 说明 创建m×m的全零矩阵 创建m×n的全零矩阵 创建m×m的全1矩阵 创建m×n的全1矩阵
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2.4 矩阵及其运算
2.4.3 矩阵拼接 B = repmat(A, [m,n]) % 将矩阵A拼接为大矩阵
示例：通过矩阵拼接定义新的矩阵。
>> A = [1 2 3; 4 5 6]; >> B = repmat(A,3,2)
% 3×2共6个A矩阵
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矩阵的存储方式（顺序）与索引访问
通过:，把矩阵转为向量 x = A(:) % 矩阵转为列向量
>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]; >> x = A(:) 在矩阵中，按列存储
1st
4th
7th
2nd
5th
8th
3rd
6th
9th
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2.2 MATLAB数据类型
Matlab基础与应用
矩阵和向量的基本运算
郑中杰 实验教学部 2017年
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2.2 MATLAB数据类型
理解术语：Matlab的标量、向量、矩阵、数组
名称 说明
单个数据 一行或一列数据
a=2 (1行1列)
示例
1×1矩阵 1×4矩阵
4×1矩阵 2×3矩阵
标量
向量 矩阵
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2.3 向量及其运算
2.3.2 向量的数据提取 matlab将矩阵的全部元素按列存储，矩阵中的元素可 用序号标示，也可用行列标示。
利用序号提取数据（序号即索引号）
如: a(2)=8，a(3)=9，b(4)=4
利用冒号提取数据
如: a(2:4) %表示a(2)、a(3)、a(4) 如: a(:) %表示全部元素
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] >> B1 = flipud(A)
>> B2 = fliplr(A)
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按指定维度（x还是y方向）
函数 flipdim 格式 B = flipdim(A,dim) 说明： flipdim(A,1) = flipud(A) flipdim(A,2)=fliplr(A)。
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示例
2.4 矩阵及其运算
均匀分布随机矩阵（均值为0.5） 利用随机数函数生成矩阵P44
函数名 说明 示例
rand(n) rand(m,n)
产生一个0~1区间的n×n的均匀 随机数矩阵 产生一个0~1区间的m×n的均匀 随机数矩阵
产生m×n的随机整数[A,B]公式： round((B-A)*rand(m,n)+A)
3. 创建等差向量b，在10~99之间，点数为20。 4. 提取向量a的第9个和第19个元素。 5. 提取向量b的第9~19个元素。
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矩阵的定义方式：直接输入
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矩阵的定义方式：直接输入
注意输入的时候，(空格)…
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矩阵及其简单运算
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2.3 向量及其运算
向量：一行或一列数据，即1×n或n×1的矩阵。 2.3.1 向量的定义P39 1.逐个输入向量元素 a = [7, 8, 9, 4, 5] c = a'
% 定义行向量
b = [7; 8; 9; 4; 5] % 定义列向量
% a' 表示 a 的转置: b=a'=c
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利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门 建立一个M文件。 1. 启动MATLAB文本编辑器，输入： MYMAT=[101,102,103,104,105; 201,202,203,204,205; 301,302,303,304,305]
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双下标访问 x = a(i, j) % 访问矩阵a的第i行第j列的元素 >> x=a(2,3) %x=? 单下标访问 x = a(k) % 访问矩阵a的第k个元素，即序号为k >> x=a(7) % x=? 注：矩阵按列进行存储。
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如何提取多个 元素？冒号
P44例2.15
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2.4 矩阵及其运算
正态分布随机矩阵 利用随机数函数生成矩阵P44
函数名 说明 示例
randn(n)
产生一个均值为0，方差为1的 n×n的正态分布随机数矩阵
randn(m,n)
产生一个均值为0，方差为1的 m×n的正态分布随机数矩阵
产生m×n的均值为x，标准差为y的正态随机数公式： x+y*randn(m,n)
示例
数组
m*n*p*……*q的多维数据 多维矩阵：除了行和列以外还有一个维度
在工程应用中，数组和矩阵这两个术语常常交互使用。 但并非所有的数组都是矩阵，二者的运算有明显区别。 如：矩阵乘法不满足交换律(A*B≠B*A) 矩阵常应用于线性代数，定义比较严格，也称矩阵代数。
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2.3 向量及其运算
2.规模化定义向量 调用linspace函数生成等间隔向量
调用格式： x = linspace(初值, 终值, 向量长度)
a=linspace(1,12)
% 1~12范围内生成100个等差等间隔数据
b=linspace(1,12,6) % 1~12范围内生成6个等间隔数据
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2.3 向量及其运算
2.3.1 向量的定义 2.规模化定义向量
利用冒号生成等间隔向量
a=1:2:12 b=12:-2:1 c=1:1:6
% 表范围内，-2为步长
% 表示1~6范围内，1为步长（可省略），即c=1:6
data1 = A(2:3, 2:3)
data2 =A(:, 1:3)
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%若要访问不连续的元素，可以通过把索引写 出向量的形式进行访问 data = A([1 3],[2 3])
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end：表示某一维的末尾元素下标。