矩阵等价与向量组等价的关系
矩阵合同的定义
矩阵合同的定义篇一：矩阵的合同,等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为AB。
2、矩阵等价的充要条件：AB{同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A成立，则称A,B合同，记作AB该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A BBPAPBT二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得BP1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。
2、矩阵相似的性质：A~B,A~B,AA~BTTkk1~B(前提，A,B均可逆)1|E-A||EB|即A,B有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)tr(A)tr(B)即A,B的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：A~B(EA)(EB) 二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵A(1,2,,n)，B(1,2,,m)1、若向量组（1,2,,m）是向量组（1,2,,n）的极大线性无关组,则有mn，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)r(B)但不能得出AB。
2、若m=n，两向量组（1,2,,n）（1,2,,m）则有矩阵A,B同型且r(A)r(B)A~B,AB,ABr(A)r(B)AB。
3、若ABr(A)r(B)两向量组秩相同，两向量组等价，即有AB(1,2,,n)(1,2,,n)综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。
线性代数疑难问题解答
线性代数疑难问题解答第一章 行列式1. 排列21)1( -n n 的逆序数是2)1(-n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。
,1=n 2)1(-n n ＝0，偶排列； ,2=n 12)1(=-n n ，奇排列； ,3=n 32)1(=-n n ，奇排列； ,4=n 62)1(=-n n ，偶排列； ,5=n 102)1(=-n n ，偶排列； ,6=n 152)1(=-n n ，奇排列 可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4=或14+=k n 时, 2)1(-n n 是偶数，所以排列是偶排列,当24+=k n 或34+=k n 时, 2)1(-n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种： 第一种方式：用递推的方式给出，即 当11)(⨯=a A 时，规定a =A ；当n n ij a ⨯=)(A 时，规定∑∑==+=-=nj ij ij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ij M 为A 中去掉元素ij a 所在的行和列后得到的1-n 阶行列式，称为A 中元素ij a 的余子式，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。
第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即∑-==n np p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数 第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。
第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。
3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。
线性代数笔记
线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价； 也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念 （2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关； 如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基 基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则 八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一 （5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。
4.4_非齐次线性方程组解的结构
(1)矩阵等价和向量组等价是不同的. 不同之处在于： (1)矩阵等价和向量组等价是不同的. 不同之处在于： 矩阵等价和向量组等价是不同的 首先，不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量， 首先，不是每个向量都可以表示成有限维行向量或者列向量， 所以，不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系。 所以，不是每个向量组都和有限阶矩阵相联系。 其次，即使可以表示成矩阵的向量组，也是有区别的，例如： 其次，即使可以表示成矩阵的向量组，也是有区别的，例如： ）（2 这个向量组和向量组（ ），（0 （1，0）（2，0）这个向量组和向量组（0，1），（0，2）当 然是不等价的，因为他们无法互相线性表示。可是作为矩阵， 然是不等价的，因为他们无法互相线性表示。可是作为矩阵， 这两个矩阵是等价的，因为秩相等。 这两个矩阵是等价的，因为秩相等。 （书上90页第2题） 书上90页第2 90页第 最后，我们可以归纳一下：矩阵等价， 最后，我们可以归纳一下：矩阵等价，则无论是行向量组还是列 向量组都未必等价；相同个数的向量组等价( 向量组都未必等价；相同个数的向量组等价(显然向量的维数 相同) 则由它们组成的矩阵(显然是同型矩阵)等价。 相同)，则由它们组成的矩阵(显然是同型矩阵)等价。
由R( A) = R( B ),知方程组有解 . 又R( A) = 2, n − r = 3, 知方程组有解
所以方程组有无穷多解. 所以方程组有无穷多解 且原方程组等价于方程组
x1 + x2 = − x3 − x4 − x5 + 7 2 x2 = x3 + 2 x4 + 6 x5 − 23
.
故原方程组通解为
x=k1α1+ k2α2+α0 .
向量组等价的充分必要条件
向量组等价的充分必要条件
1、向量组等价的充分必要条件：两个向量组可以互相线性表示。
向量组A：a1，a2，…am与向量组B：b1，b2，…bn的等价秩相等条件是R（A）=R（B）=R（A，B）。
2、向量组等价的充要条件：两个向量组可以互相线性表示。
①两个矢量组具有相同的等阶。
有一组矢量，其每个矢量可以被线性地表示为其他矢量集。
②在代数中，矩阵等效与矢量组是不同的。
矩阵等值的充分必要条件是等秩，而矢量群等效的充分必要条件是它们可以被线性表示。
③广义上，矢量群的等值，是用另一种方式，称为“交互线性表达”。
具体情况如下所示：
向量组 A:a1、a2、…、 am与 B为b1、b2、…、 bk等效：
向量组A的每个矢量都可以用向量组 B来直线地表达，每个矢量组B也可以用向量组A来直线地表达。
矩阵等价与向量组等价的关系及应用
等价是描述两个对象之间的一种关系,当这种关系具有自身性、对称性和传递性时,这种关系可被称为“等价”[1-3]。
矩阵等价和向量组等价是两个不同的概念,前者是指一个矩阵可以经过有限次初等变换得到另一矩阵,后者是指两个向量组能够相互线性表示。
矩阵和向量组具有一一对应性,由于等价矩阵具有相同的行数和列数,从向量组的角度,两个向量组包含相同个数的向量;而当列(行)向量组等价时,从矩阵的角度,两个矩阵的列(行)数可以不同。
初等变换作为矩阵理论的重要工具,当两个向量组包含相同个数的向量时,项梁组等价和矩阵等价之间是否具有联系呢？如果能获得这种联系,则向量组的等价问题在某种程度上可以借助初等变换研究以简化其讨论步骤。
1 理论为方便起见,不妨设有两个矩阵A 和B 且A～B ,从而存在两个可逆阵P,Q ,满足:PAQ =B 。
可将A 和B 表示为列向量组的形式,则有:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a P ΛΛ= (1)如果P =E ,由初等变换理论可知,A 到B 只进行了初等列变换,且(1)式可改写为:),,,(),,,(2121n n b b b Q a a a ΛΛ= (2)两边同时右乘1-Q ,得:12121),,,(),,,(-=Q b b b a a a n n ΛΛ(3)由(2)式可知,向量组n b b b ,,,21Λ能由向量组n a a a ,,,21Λ线性表示,由（3)式可知,向量组n a a a ,,,21Λ能由n b b b ,,,21Λ线性表示,故n a a a ,,,21Λ与n b b b ,,,21Λ等价。
因此获得下面结论:结论1：只经初等列变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的列向量组等价。
对上面的(2)式,两边同取转置,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T n T T T n T T T b b b a a a Q M M 2121 (4)两边同时左乘1)(-T Q ,得:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-T n T T T T n T Tb b b Q a a a M M 21121)( (5)同理,(4)式和(5)式表明行向量组T nT T b b b ,,,21Λ与Tn T T a a a ,,,21Λ等价,由此获得下面结论:结论2：只经初等行变换由一个矩阵到另一矩阵,相应的行向量组等价。
问：两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联...
1、问：“两个矩阵的等价与两个向量组的等价有什么区别和联系？”答：矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。
因此，两个不同型的矩阵是不可能等价的；两向量组的等价指的是它们能够相互线性表示，于是，它们各自所含向量的个数可能是不一样的．例如二维向量组A：1 1α⎛⎫= ⎪⎝⎭与二维向量组B：1:1k k Rβ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭是等价的。
但前者只含一个向量；而后者含有无穷多个向量。
两矩阵的等价与两向量组的等价，两者的联系在于：(1) 若矩阵A经初等行变换变成B，即A与B行等价，则A与B的行向量组等价；若A经初等列变换变成C，即A与C列等价，则A与C的列向量组等价；若A既经初等行变换又经初等列变换变成D，那么矩阵A与D等价，但A与D的行向量组与列向量组未必等价。
(2) 反过来，设两列向量组等价。
若它们所含向量个数不相同，则它们对应的两个矩阵是不同型的，因而不等价；若它们所含向量个数相同（例如都含有m 个）．那么它们对应的两个n x m矩阵（这里n为向量的维数）列等价，从而一定等价，但不一定行等价．例如向量组A：12 , 24⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组B：10,20⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，它们对应的矩阵1224A⎛⎫= ⎪⎝⎭，1020B⎛⎫= ⎪⎝⎭列等价，从而A与B等价，但非行等价。
类似地，若两个含向量个数相同的行向量组等价，则它们对应的两矩阵行等价，从而一定等价，但不一定列等价。
2、问：为什么“初等行变换保持矩阵的行向量组等价，而列向量组不等价？”和“初等行变换保持矩阵的列向量组中对应向量的线性相关性不变，而行向量组中对应向量的线性相关性可能改变”。
答：先说明“初等行变换保持矩阵的行向量组等价，而列向量组不等价”。
设,A B为m n⨯矩阵，且A经过行变换变成B。
把A分别按行分块，设1T T i T j T m A αααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭分三种情况：（1）若i jr r A B ↔→，则1T T j T i T m B αααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T j i m αααα 等价；（2）若ikr A B →，则1T T i T j T m k B αααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T i j m k αααα 等价；（3）若i jr kr A B +→，则1T T T i j T jT m k B ααααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭显然向量组1,,,,,T T T T i j m αααα 与向量组1,,,,,T T T T Ti j j m k ααααα+ 等价。
[荐]矩阵分解在考研线代中的应用
![[荐]矩阵分解在考研线代中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/2fa333e04431b90d6d85c7ae.png)
矩阵分解在考研线代中的应用一、矩阵分解是什么？在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。
二、什么时候想矩阵分解？矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示（特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC，其中C 是对应的表示系数矩阵（构思）。
例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。
特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。
[相关知识链接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一组数k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,则称β可以被α1，α2，···αn向量组表示。
α+2β=α+2β+0γ，向量α+2β可被向量组：α、β、γ表示请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？（一）、矩阵分解在行列式中的应用例.设3阶矩阵A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。
一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解B=AC关于C=AB的理解：表示与秩的构思理解角度1：C=AB表示角度结论.矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；.矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。
[对比记忆]：C=AB····即AB=C，对比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。
亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。
一个具体的解决解决几个问题。
同理：对B, C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。
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矩阵等价与向量组等价的关系矩阵是指排成n行m列的一个数表。
在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。
向量是一个数组。
如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。
在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。
向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。
n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。
所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。
例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。
但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！
矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。
矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。
向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。
矩阵等价与向量组等价有如下关系：
1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》理工类338页有说明及具体反例）
2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）
在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？
1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为
（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn），
此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q-1，有A=BQ-1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。
此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。
2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价。
3.矩阵进行初等行变换后，其列向量组不一定等价！矩阵进行初等列变换后，其行向量组不一定等价！（见《2012考研数学复习大全》理工类312页注）
在什么情况下向量组等价其对应的矩阵也等价呢？
1.若向量组A与向量组B均有n个列（行）向量，且两个向量组等价，则这两个向量组所作成的矩阵A与B等价！（因向量组A与向量组B等价，则它们有相同的秩，又A与B 作成的矩阵A与B有相同的行与列，且秩相等，故矩阵A与B等价）
2.要求两个向量组有相同个数的向量，是因为矩阵等价的首要条件是两矩阵具有相同的行数与列数，故只有对于均有n个向量的两个m维向量组A与B，才有可能讨论其对应的矩阵A与B是否等价。