2.3向量组与矩阵的秩(1)
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩与向量组的秩一致
矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。
“矩阵的秩与向量组的秩一致。
矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。
”怎样证明？就当做习题练一练。
设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。
分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。
（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。
”定理）——已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。
分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。
前n 个等式即c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。
逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。
（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。
）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。
（画外音：画个示意图最好。
）任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。
第四节向量组的秩和矩阵的秩
由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。 因此向量组 α1,α2 ,α3,α4 的秩也是3。
由阶梯形矩阵的最后一行，得 α4 −α3 +α2 +α1 = 0 由此可知
α4 = −α1 −α2 +α3
r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
证 设矩阵 A, B的列向量组分别为 α1,α2 ,⋯,αn和 1, β2 ,⋯, βn， β 则 要证
A+ B = (α1 + β1,α2 + β2 ,⋯,αn + βn ) r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
例2 设向量组 a = (1,0,0), a = (0,1,0), a = (0,0,1). 1 2 3 不难看出，部分组a1, a 2是线性无关的，且 a1, a 2 , a3中的任一 向量都可以由此部分组线性表示：
a1 = a1 + 0ia 2 , a 2 = 0ia1 + a 2 , a3 = a1 + a 2
向量用此极大无关组线性表示。
解 把向量 α1,α2 ,α3,α4看作一个矩阵的行向量组，得矩阵
1 −1 2 −2 A= 3 0 0 3
2 1 0 α1 4 −2 0α2 6 −1 1α3 0 0 1α4
对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换， 把A化为阶梯形矩阵：
所以部分组a1, a 2是向量组a1, a 2 , a3的一个极大无关组。 例3 设向量组 a1, a 2 ,⋯, a s线性无关，其极大无关组就是自身。 如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。
向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。
在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。
但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。
例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z y xv v vt z y x ,,,,,,称为七维向量。
更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。
这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。
§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。
数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。
向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。
向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。
行向量、列向量都表示同一个n 维向量。
设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。
分量全为零的向量称为零向量，记为，即 0=)0,,0,0( 若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。
下面讨论n 维向量的运算。
定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。
矩阵的列向量的秩
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r1 r4
Байду номын сангаас
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
19
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
17
其中 aii 0, i 1,2,
,r
显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。
加上任一零行即相关，所以 矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数 求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形 矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
四. 矩阵的秩 1. 行秩、列秩、矩阵的秩
1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 1 1 3 1 0 2 1 4 例如：矩阵 A 0 0 0 5 的行向量组是 1 (1,1, 3,1) 0 0 0 0 2 (0, 2, 1, 4)
1 0 1 , 2 , 3 线性无关， 2 3
维数增加后得到的 1 , 2 , 3 依然线性无关， 而 1 , 2 , 3 , 4 与 1 , 2 , 3 , 5 都线性无关，
向量组与矩阵的秩
1 2 0 8 6
0 0 0 9 8
1 2 0 1 2
1 2 0 1 2
r3 1 r2
0
2
3
2
0 0 0 0
1
r3
r4
0
2
3
2
0
0 0 0 9
1 8
B
0 0 0 9 8
0 0 0 0 0
R{1,2 , ,n} n ，则向量组 1,2 , ,n 线性无关。
如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即
R{1,2 , ,n} n ，则向量组 1,2 , ,n 线性相关。
性质2.5 (1)若向量组A可由向量组B线性表示，则r(A)<=r(B). (2) 等价向量组的秩相同.
如果 A 为 mχ n 矩阵，则 R(A)≤ min (m,n)。
特别当 R(A)=m 时，称矩阵 A 为行满秩；当 R(A)=n 时，称矩
阵 A 为列满秩；当 R(A)=m=n 时，称矩阵 A 为满秩矩阵。
例 求矩阵的秩
2 1 0 3 2
B
0
3
1 2
5
0 0 0 4 3
1 1,2,0,1,2 0,1,0,1,3 1,3,0,2,4 1,2,1,1
解法1：构造矩阵
1 0 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
A
2
1
3
2
r2
2r1
0
1
1
0
r4
r2
0
第四章-向量组与矩阵的秩
e n 线性无关. 证毕.
例4
维向量组必定线性相关. 含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
证 若向量组 a1, a2, …, as 含有零向量，不妨设 a1= 0， 则有 1⋅a1+0⋅a2+ …+ 0⋅as = 0,
其系数不全为0，按定义此向量组线性相关。证毕。
定理2 定理2 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性相关的 充要条件是其中至少 充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性 是其中至少有一个向量能由其余向量线性 表2+ …+xn an = b,
⇒
定理 1 对于方程组Ax=b， ， 对于方程组 (1) Ax=b有解 有解 性表示； 性表示 向量b能由向量组 向量 能由向量组a1, a2, …,an 线 能由向量组
(2) Ax=b有唯一解 向量 能由向量组 1, a2, …,an 能由向量组a 有唯一解 向量b能由向量组 并且表示方法唯一. 并且表示方法唯一 线性表， 线性表，
关高( 亦无关； 相关矮( 亦相关. 矮(短)无关高(长)亦无关；高(长)相关矮(短)亦相关.
例6 证明：对于矩阵 满足B=PA, 如果 的列 如果A的列 证明：对于矩阵A, B, P满足 满足 向量组线性相关， 的列向量组也线性相关。 向量组线性相关，则B的列向量组也线性相关。 的列向量组也线性相关 证 由已知，方程Ax=0有非零解， 设u为其一个非零解，则有Au=0. 则Bu=PAu=0, 则u也是Bx=0的非零解， 从而u也是Bx=0的一个非零解， 因此B的列向量组线性相关。证毕。
推论5 推论5 向量组a 线性无关， 向量b不能由 不能由a 向量组 1,…ar 线性无关 ， 向量 不能由 1,…ar 线性表示，则向量组a 线性无关。 线性表示，则向量组 1,…ar , b线性无关。 线性无关
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
感谢观赏
小学教育专业群教学资源库
向量组的秩与矩阵秩的关系
Lorem Ipsum is simply dummy text of the printing and typesetting industry
01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！ 这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 1 2 1 r3 r2 0 1 0 3 1 r4 r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2, 因此R(A)=2.
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 14
定义 2.8 设有向量组T, 如果:
1 0 2 3 5 设A 2 6 2 0 2 , 3 6 0 4 3
求A 的列向量组的一个最大无关组及A 的其余列向量 用它们线性表示的表达式。 解
对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
行变换 1 0 2 0 5 A ~ 0 1 1 0 2, 0 0 0 1 0
a11 |A|= ... a12 ... ... a1n ... ... a 21 a 22 ... a 2n an1 a n2 ... a nn
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 3
定义2.6 矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵 A的秩(rank),记为R(A).
1 行变换 0 a1 , a2 , a4 ~ 0 0 1 1 0 0 1 1 , 1 0
R(a1 , a2 , a4 ) 3, 故a1 , a2 , a4线性无关.
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt
22
为把a3 , a5用a1 , a2 , a4 线性表示，
所以R( A) 2,因此向量组a1, a2线性无关.
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
7
推论2.1 任意m(m>n)个n维向量线性相关.
（注：由于没有m阶子式，故R(A)<m）
推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成 的m n矩阵的秩为m(m n).
(1)在T中r个向量1 , 2 , r 线性无关; (2)T中任意r 1个向量(如果有的话)都线性相关.
则称1 , 2 , r是向量组T的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组,数r称为向量组T的秩.
定理2.7 : 矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。
2017年12月23日星期六
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
10
定义2.7
设A为m n矩阵，若A满足下列三个条件：
1 a11 , a22 , , amm以下的元全为零； 2 每一行的第一个非零元前面的零元个数大于前一行这种
零元的个数；
3 如果某一行的元全为零，则以下所有行的元全为零。
1 2 1 0 可验证: R(A)=2,这里A的2阶子式 D 1 1 因此,包含D的两个向量 1 ,2线性无关,
1 ,2 ,3 ,4中任意3个向量都线性相关。
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 9
有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？
实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的 秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。 因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型 矩阵，就可较快求出矩阵的秩。
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
16
2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7
2 1 4 0 4 0 9 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 1 3 0 0
例:讨论下列向量组: (1):a1 (1, 1,1), a 2 (2,1, 1), a 3 (4, 1,1). (2) : a1 (1, 1, 2), a 2 (1,3, 4)的线性相关性.
分析：
1 1 2 (2)设A ,由于矩阵A中有一个2阶子 1 3 4 1 1 式D2 2 0, 1 3
多媒体教学课件
华南农业大学理学院应用数学系
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 1
第2.3节 向量组与矩阵的秩
如何判断向量组是否线性相关？
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
2
A (aij ) mn 矩阵,在A中任取k行k列,由这些行列相交 处的元素按原来的相对位置构成的k阶行列式,称为 A的k阶子式,若A是一个n阶方阵,则只有一个n阶子 式,就是A的行列式
(1)在T中有r个向量1 , 2 ,
一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可 以保证它们都含有相同个数的向量.
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
19
练 习
1.
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
20
2 1 1 1 1 1 2 1 2. 设矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
Spring 2010, 17ppt 21
1 0 A~ 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含3个向量。 而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列， 故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。 这是因为
Spring 2010, 17ppt
15
例2.7 : 求下列向量组的一个最大无关组，并把 其它向量用此最大无关组线性无示。 1＝（2，1，4，3）; 2＝（-1，1，-6，6）;
3＝（-1，-2，2，-9）; 4＝（1，1，-2，7）; 5＝（2，4，4，9）;
解：把它们按列排成矩阵A，对A施初 等行变换化为行最简型矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 2 1 4 0 4 0 9 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 4 3 1 3 0 0
分析 : 利用定理2.4, 那么 1 -1 1 1 -1 1 (1)设A= 2 1 -1 ,由于A中只有一个3阶子式,即|A|= 2 1 -1 0 4 -1 1 4 -1 1 因此R( A) 3, 故a1 , a2 , a3线性相关.
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 6
2 4 , 4 9
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。 解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。
1 行变换 0 A ~ 0 0
2017年12月23日星期六
1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
推论2.3 n 个n维向量线性无关（相关）的充要条件 是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
8
定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r 个行 向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线 性相关。
1 1 矩阵A 2 1 2 1 3 3 1 2 1 1 2 1 1 5 1 2 3 0
在A中，容易看出一个2阶子式 A的三阶子式只有一个
1 2 2 3
0
A
经计算可知
A 0
因此R（A）=2。
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 5
定理2.4 : m n矩阵A的m个行向量线性相关的 充要条件是R(A)<m.
例:讨论下列向量组: (1):a1 (1, 1,1), a 2 (2,1, 1), a 3 (4, 1,1). (2) : a1 (1, 1, 2), a 2 (1,3, 4)的线性相关性.
对n阶方阵, 如果
| A | 0
则称A为满秩矩阵; 否则，称A为降秩矩阵. 另外，零矩阵的秩为0.
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
4
如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子 式都为0，则矩阵A的秩等于r.
例 求矩阵的秩
解
1 2 3 A 2 3 5 4 7 1
1 0 T T T 因为(1 , 2 , 4 ) 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
故1 , 2 , 4线性无关,由以上行最简形矩阵 可知:3 1 2 , 5 41 3 2 3 4 .
2017年12月23日星期六 Spring 2010, 17ppt 17
把 A 再变成行最简形矩阵。 1 行变换 0 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ~ 0 0
即得a3 a1 a2 ,
0 1 1 1 0 0 0 0
0 4 0 3 , 1 3 0 0
a5 4a1 3a2 3a4 .
3.
s中的每一个向量都可以 由向量组1 , 2 , r 线性表示,则称向量组1 , 2 s可以由向量组1 , 2 , r 线性表示.
定义2.9:如果向量组1 , 2
如果向量组1 , 2
s与向量组1 , 2 , r
可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.
2017年12月23日星期六
Spring 2010, 17ppt
12
定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在 列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。
1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ， 0
1 0 0 0 0 1 0 1 都是行最简矩阵。 0 0 1 4 0 0 0 0
2017年12月23日星期六