幂零矩阵的性质及的应用

幂零矩阵性质及应用性质1：A 为幂零矩阵的充要条件是A 的特征值全为0。

证明：⇒ A Q 为幂零矩阵 k Z +∴∃∈ .0k s tA =令0λ为A 任意一个特征值，则00,.s t A ααλα∃≠= 由引理7知，0kλ为k A 的特征值 00.k k s t A ββλβ∴∃≠= 从而有0k λ=0即有00λ=又有0kA =，知00kkA A A ==⇒=0*(1)(1)00k kE A A A ∴-=-=-=-⋅=00λ∴=为A 的特征值。

由0λ的任意性知，A 的特征值为0。

⇐A Q 的特征值全为0A ∴的特征多项式为()nf E A λλλ=-=由引理2知，()0nf A A ==所以A 为幂零矩阵。

得证 性质2：A 为幂零矩阵的充要条件为0k k Z trA +∀∈=。

证明：⇒A Q 为幂零矩阵，由性质1，知：A 的特征值全为0 即120n λλλ====L由引理7，知 kA 的特征值为120k k k n λλλ====L从而有 120k k k kn trA λλλ=+++=L⇐由已知，120k k k k n k Z trA λλλ+∀∈=+++=L (1.1)令12,,,t λλλL L 为A 的不为0的特征值且i λ互不相同重数为(1,2,,)in i t =L L由（1.1）式及引理7，得方程组11222221122333112211220000t t t t t t t t t t t n n n n n n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪⎪+++=⎩L L L L L L (1.2)由于方程组（1.2）的系数行列式为122221212121212121111()t t ttt t t t t tt t t i j j i tB λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ≤<≤===∏-L L LL L MM LMMM LML L L又(1,2,)ii t λ=L L 互不相同且不为0，0B ∴≠从而知，方程（1.2）只有0解，即0(1,2,,)i n i t ==L L即A 没有非零的特征值A ∴的特征值全为0， 由性质1，得 A 为幂零矩阵 得证性质3：若A 为幂零矩阵则A 的若当标准形J 的若当块为幂零若当块，且J 和主对角线上的元素为0 证明：A 为幂零矩阵， 由性质1，知 A 的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中11i i i J λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理4，知(1,2,,)i i s λ=L 为J 和特征值 又A 与J 相似，由引理6，知A 与J 有相同的特征值 所以0(1,2,,)i i s λ==L 即J 的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 (0)()0(1,2,,)i i nni i J E J i s -===g L12,,,s J J J L L 为幂零矩阵 得证性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 证明：A Q 为幂零矩阵，k Z +∴∃∈ .0k s t A =00kk A A A ∴==⇒= A 一定不可逆由性质1，得 A 的特征值为120n λλλ====L 由引理7，得,A E E A +-的特征值分别为1212011,101n n λλλλλλ'''''''''====+=====-=L L且有1211nn A E λλλ'''+===g L g1211nn E A λλλ''''''-===g L g即1,1A E E A +=-= 得证性质5：若A E +为幂零矩阵，则A 非退化 证明：令12,,,n λλλL L 为A 的特征值 若A 退化，则有 0A =由引理7，得 120n A λλλ==gL L g ∴至少存在0i λ=0为A 的特征值又由引理7，得110i λ+=≠为A E +的一特征值这与A E +为幂零矩阵矛盾 得证A 为非退化性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵。

即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s t A +∴∃∈=又AB BA = ()00kkkkAB A B B ==⋅= AB ∴也为幂零矩阵 得证性质7：若A 为幂零矩阵且0kA =， 则（1）121()k E A E A A A ---=++++L L（2）1211231111()(1)(0)k k k mE A E A A A m m m m m---+=-+++-≠L L 证明：0k A =Qk k k E E A E A ∴=-=-21()()k E A E A A A -=-++++L L即121()k E A E A A A ---=++++L L任意0m ≠，有[()]k k k k kA mE mE A mE A m E m∴=+=+=+ 211121111()((1))k k k A m E E A A A m m m m---=+-+++-L L211121111()((1))k k k mE A E A A A m m m---=+-+++-L L 即有2111211111()((1))k k k mE A E A A A E m m m m---+⋅-+++-=L L1211121211231111()((1))111(1)k k k k k k mE A E A A A m m m mE A A A m m m m------∴+=-+++-=-+++-L L L L性质8：若A 为幂零矩阵且A 0≠，则A 不可对角化但对任意的n 阶方阵B ，存在幂零矩阵N ，使得B N +可对角化 证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s t A +∴∃∈=且A 的特征值全为零()n f E A λλλ=-=为A 的特征多项式且()0nf A A ==令()A m λ为A 的最小多项式，则有()|()A m f λλ 从而有00()(1)k A m k n λλ=≤≤由于0A 0,k 1≠∴>，又此时 00()2k A m k λλ=≥即A 的最小多项式有重根，由引理5，知 A 不可对角化B Q 为n 阶方阵 由引理3，知在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得 121s J J T BT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中11i i i J λλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 令 i ii i D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O阶数为(1,2,,)in i s =L则有0110i i i J J D ⎛⎫⎪⎪'=-= ⎪ ⎪⎝⎭OO O 阶数为(1,2,,)in i s =L由引理8，知(0)()0i i i nni n i J E J ''-⋅== 即i J '为幂零矩阵(1,2,,)i s =L现令12s J J J J ⎛⎫' ⎪⎪''= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭O12s D D D D ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O1112122s s s J D J J J D T BT J D J J D -⎛⎫'+⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'+⎪'===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭'+⎝⎭OO即111()(1)B T J D TTJ T TDT ---''=+=+L L又D 为对角阵，由（1）式知 11B TJ T TDT --'-=可对角化令N =1TJ T-'- 且取 12max(,,,)s k n n n =L L 则有120kkk k s J J J J ⎛⎫' ⎪ ⎪''==⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭O111112()()()()()00kkk k k k k k k s J J N TJ T T J TT T T T J ----⎛⎫' ⎪⎪'''=-=-=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭O即有B N +可对角化且N 为幂零矩阵 得证性质9：n 阶幂零矩阵的幂零指数小于等于n 且幂零指数等于其若当形矩阵中阶数最高的若当块的阶数证明；令A 为n 阶幂零矩阵 由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J -⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O其中110i J⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O 阶数为(1,2,,)in i s =L且()0i ni J = 1(1,2,,)i n ni s ≤≤=L取12max(,,,)s k n n n =L L ，则k n ≤ 且有1121112()00(1.5)k kk k k s s J J J J A T T T T T T J J ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪===⋅⋅= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L OO即0kA =若令0k 为A 的幂零指数，则0k k n ≤≤ 00k A =若0k k <，则000.i i s t n k ∃> 且000k i J ≠由（1.5）式，得0000112112()0k k k k k s s J J J J A T T T T J J --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪==≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OO这与00k A=矛盾。

0k k n =≤ 得证性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 证明：令A 为幂零矩阵，则A 的特征值全为0若B 与A 相似 由引理6，得 A 与B 有相同的特征值 B ∴的特征值也全为0，由性质1，知 B 也为幂零矩阵 A 为幂零矩阵由性质3知， 存在可逆矩阵T 使得121s J J T AT J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭O其中10i J⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O阶数为(1,2,,)in i s =L且()0i ni J = 1(1,2,,)i n ni s ≤≤=L由性质9，知 12max(,,,)A s k n n n =L L 为A 的幂零指数 又A 与B 相似，A 与J 相似 从而有B 也与J 相似∴∃可逆矩阵P 使得121s J J P BP J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭O又由性质9，知 12max(,,,)B s k n n n =L L 为B 的幂零指数 从而有 A B k k =又0110i J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O(1,2,,)i s =L 为严格上三角 12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭O也为严格上三角形即A ，B 都相似于严格上三角形J 得证性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'-∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *=证明：A Q 为幂零矩阵 .0k k Z s tA +∴∃∈=由引理1，知 ()()00kkA A '''=== ()()00kk A A ***===()(1)(1)00kkkkA A -=-=-⋅=,,A A A *'∴-都为幂零矩阵 ()()()00k k k k mA m A m ==⋅= ()mA m Z +∴∈也为幂零矩阵又A Q 为幂零矩阵 0A = 即()1r A n ≤- 若()1r A n <-，则有A 的所有1n -阶代数余子式都为0则有 0A *= 从而有2()0A A **==若()1r A n =-，则由性质3知， 存在可逆矩阵T ，使得121s J J T AT J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭O其中0110i J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭OO O 阶数为(1,2,,)i n i s =L 且()1i ir J n =-又显然A 与J ，所以有111()()()(1)1s s si i i i i i r A r J r J n n s n s n ======-=-=-=-∑∑∑1s ∴= 即有10110T AT J B -⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭O O O (1.3)又10(1)0n B +*⎛⎫-⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L O M OM 2()0B *∴= 由（1.3）式及引理1，知 11()()A TBT T B T*-*-***==21212()[()]()()0A TB T T B T *-***-***=== 得证1、A 为实对称矩阵且20A =，则有0A =证明：令n n ij a A ⨯=)(，则由A 实对称 A A ='∴ 且01122=='=∑∑==n i nj ijaA A A又ij a 为实数 n j i a ij ,,2,1,0ΛΛ==∴ 即0=A2、所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都是相似 证明：令A 为n 阶n 次幂零矩阵 即)(00n k A A k n<≠=A ∴的最小多项式 nA m λλ=)(又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0 A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-=由引理9，知 nA n m d λλλ==)()(又1)()()()(11=∴==--λλλλλn nn n n D D D d从而有 1)()()(121====-λλλd d d n ΛΛ所以所有的n 阶n 次幂零矩阵的不变因子都是 nλ,1,,1,1ΛΛ所以所有n 阶幂零指数等于其阶数的幂零矩阵都相似 3、所有n 阶1-n 次幂零矩阵相似（1-n 为幂零指数） 证明：令A 为n 阶1-n 次幂零矩阵， 则)1(001-<≠=-n k A A k nA ∴的最小多项式 1)(-=n A m λλ又A 幂零矩阵 A ∴的特征值全为0 A ∴的特征多项式为 )()(λλλλn n D A E f ==-=又λλλλλλ=∴==--)()()()(11n nn n n D D D d又)()()()(21λλλλλλn nd d d A E f ⋅⋅==-=Λ从而有 1)()()()(1221=====--λλλλλd d d d n n ΛΛ所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵具有相同不变因子 1,,1,,1,1-n λλΛΛ所以所有n 阶1-n 次幂零矩阵都相似1、设n 阶方阵，求证：（1）存在+∈Z k ，使得 ΛΛΛ====++)()()(1s k k kA r Ar A r（2）存在+∈Z k ，而且 n k ≤≤1，Λ==+)()(1k kA r A r证明：（1）、由引理3，知 在复数域上，∃可逆矩阵T 使得111tt s J J T AT J J J -+⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O O(1.4)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i ii J λλ11O OO 阶数为s i n i ,,2,1ΛΛ=令t 21J ,,J ,J ΛΛ 为0=i λ的若当块 t i ,,2,1ΛΛ=s 2t 1t J ,,J ,J ΛΛ++ 为0≠i λ的若当块 s t t i ,,2,1ΛΛ++=由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110O O Oi J 由引理8，得 0)(=in i J 且1()0i n i J -≠ t i ,,2,1ΛΛ=0)(=∴ri J ),,,max(21t n n n k r ΛΛ=≥ t i ,,2,1ΛΛ= 0≠=in ii J λ 即i J 可逆 s t t i ,,2,1ΛΛ++=()0r i r Z J +∴∀∈≠有i i r i n J r J r ==)()( s t t i ,,2,1ΛΛ++=由（1.4）式，知A 与J 相似，且++---∈∀⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==Z p T J J J J TT A T AT T p s pt ptp p p OO11111)(从而，得p A 与pJ 相似， 综上可得，∑∑∑+=++======st i p k ist i k isi k ikkJr Jr Jr J r A r 111)()()()()(且),,,max(21t n n n k ΛΛ= +∈∀Z p 即得证 ΛΛΛ====++)()()(1s k k kA r Ar A r（2）、由（1）知，),,,max(21t n n n k ΛΛ=∃使得 ΛΛΛ====++)()()(1s k k kA r Ar A r又已知 n n i ≤≤1 t i ,,2,1ΛΛ=n k ≤≤∴1得证特别当)()(2A r A r =时，可得 Λ)()()()(4321A r A r A r A r ===2、A ，B 为n 阶方阵，B 为幂零矩阵且BA AB =，则有A B A =+ 证明：由引理10，在复数域上，存在可逆矩阵T ，使得121n T AT λλλ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O121n T BT μμμ-⎛⎫ ⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O又B 为幂零矩阵 所以B 的特征值全为0，即1000T BT -⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O121111()B n T A B T T AT T T TT λλλ----⎛⎫⎪* ⎪+=+= ⎪ ⎪⎝⎭O12111()B nT A B T TA T TT λλλ---*+=+=O又T Θ可逆 0≠T 1212n nA B λλλλλλ*+==⋅⋅L O由121n T AT λλλ-⎛⎫⎪*⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O知nλλλ,,,21ΛΛ为A 的特征值由引理7，得 n A λλλ⋅⋅=Λ21 从而得证 n A B A λλλ⋅⋅==+Λ213、A 为n 阶方阵，求证C B A +=，B 可对角化，C 为幂零矩阵且CB BC = 证明：由性质3，知存在幂零矩阵N ，使得N A +可对角化即存在可逆T ，使得 121()n T A N T D λλλ-⎛⎫⎪⎪+=== ⎪ ⎪⎝⎭O即有)(1N TDTA -+=-由性质11，知 N 幂零矩阵则N -也幂零矩阵 又1-TDT 与D 相似，1-∴TDT 可对角化 令1-=TDT B N C -=，则有C B A += 1-=TDT B 可对角化 N C -=为幂零矩阵又D Θ为对角阵CB CTDT CDTTCD DC DC TT C TDT BC =======----1111Θ 得证4、A ，B ，C 为n 阶方阵，且BA AB C CB BC CAAC -===，证明：存在自然数0.,=≤k C t s n k证明：由于BA AB C CB BC CAAC -===，+∈∀∴Z m AB CB CA ABC B C A BA C AB C BA AB C C m m m m m m m m )()()()()(1111111--------=-=-=-=由引理11，得 ))(())((11A BC trBC A tr m m --=0))(())(()))()(()(1111=-=-=----A BC tr B C A tr A BC B C A tr C tr m m m m m由性质2，得 C 为幂零矩阵 由性质9，知 0.,=≤∃k C t s n k 得证5、在复数域上，n 阶方阵A 相似于对角阵等价于对于A 的任一特征值λ，有A E λ- 与2()A E λ-的秩相同。