幂零矩阵迹的特征

设A ，B 是n 阶矩阵，令C A B B A =-，且C 同A ，B 可交换，求证：存在整数m 使 0mC =.证明 因为C同A ，B 可交换即,AC C A B C C B ==，所以有22()()()C A C C A C AC C A C AC ====,即2C 与A 可交换.同理可证kC （1,2...k n =）与A 可交换，k C （1,2...k n =）与B 可交换. 下证0ktrC=（1,2...k n =）.()()()0trC tr AB BA tr AB tr BA =-=-=2[()]()()()()()()0trC tr C AB BA tr CAB tr CBA tr ACB tr CBA tr CBA tr CBA =-=-=-=-=同理可证：0,1,2...ktrCk n ==.下证C 的所有特征值为零.设C 的所有特征值为n λλλ...,21，所以kC 的所有特征值为kn kkλλλ...,21.下面证明n λλλ...,21都为零.由0k trC =，12...k =，可得： 设C 的不为零的特征值分别为n λλλ...,21，且分别为12,,...,rss s 重.则上式可写成：221222221120101......012.........r r k k krr r r s s s s s s s s s λλλλλλλλλ⎧+=⎪⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩++++++ 令122221212.....................rr r r r r L λλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以上式可写成120...r L s s s ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.而由范德蒙行列式可知121...()ni j i j nL λλλλλ≤<≤=⋅-∏，又C 的特征值n λλλ...,21互不相等，所以0L ≠，所以上式只有零解，所以C 的特征值全为零.若C 的所有特征值为零，则根据哈密尔顿-凯莱定理知存在m 使0mC=.命题得证.12222121200...............n nk k k nλλλλλλλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩++++++注：对于][x P 中的线性变换B A ,，令)()(),()('x xf x Bf x f x Af ==，则有e BA AB =-（e 为恒等变换）.[13]命题1 若,n nA B C ⨯∈，且AB BA =，则A 与B 一定存在公共的特征向量.证明 因为n nA C ⨯∈，则A 在复数域上一定存在特征值，取A 的任一个特征值λ，考虑λ的特征子空间{}nV CA λξξλξ=∈=设dim V k λ=，则0k >，设12,,,k εεε 为V λ的一组基，则i V λε∈，于是有i i A ελε=，1,2,,i k = .在下面的证明中，我们将证明存在A 的属于λ的一个特征向量η，使η也是B 的一个特征向量，即存在某数μ使B ημη=成立，从而η为A 与B 的公共特征向量.由于12,,,k εεε 为V λ的一组基，设1122k k c c c ηεεε=++ （1）由i i A ελε=，则()()()()i i i i A B B A B B εελελε===，即得i B V λε∈，1,2,,i k = .则有ij l C ∈，,1,2,,i j k = ，使得11112121212122221122k kk kkk k kk k B l l l B l l l B l l l εεεεεεεεεεεε=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ 下步将寻找不全为零的12,,,k c c c ，使（1）成立，并且使η为A 与B 的公共特征向量.1122()k k B B c c c ηεεε=+++ 1122k k c B c B c B εεε=+++1111212111()()k k k k kk k c l l l c l l εεεεε=+++++++1111111()()k k k kk k k l c l c l c l c εε=++++++而112211()()()k k k k c c c c c μημεεεμεμε=+++=++ 由B ημη=及12,,,k εεε 线性无关，得11112211211222221122k k k k k k kk k k l c l c l c c l c l c l c c l c l c l c cμμμ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）即111111k k kk k k l l c c l l c c μ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记()ijk kL l ⨯=，即得11kk c c L c c μ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 也即()100kc L c μ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪E -= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3） 当0L μE -=时，上式有非0解，此式说明μ是L 的特征值.命题1证毕.命题1证明了A 与B 有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于A 的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在B 的特征向量.于是有推论：推论 1 若复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有r 个互不相同的特征值，则A 与B 至少有r 个线性无关的公共特征向量.证明 设12,,,r λλλ 是A 的r 个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在A 的每个特征子空间i V λ中都存在B 的特征向量i ξ，1,2,,i r = ，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得12,,,r ξξξ 是A 与B 的r 个线性无关的公共特征向量.推论 2 若n 阶复方阵,A B 满足AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.证明 由推论1知A 与B 有n 个线性无关的公共特征向量12,,,n ξξξ ，作矩阵12(,,,)n P ξξξ= ，则1P AP -与1P BP -都是对角矩阵.下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量. 例1 求可换矩阵,A B 所有的公共特征向量.300131201A ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，121011220B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解 容易验证AB BA =，A 的特征多项式为2300131(1)(3)21E A λλλλλλ--=--=----.所以11λ=，233λλ== .对11λ=，由1232001210200x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得 10x =，2312x x =-，从而基础解系为1012ε⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，而11121000111122022B εε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，定理1中的()1L =-为11⨯矩阵，于是1μ=-， 于是公共特征向量为111102c c c ηε⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任一不为零的常数对233λλ==，由1230001010202x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得 13x x =，从而基础解系为1101ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2010ε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而1121211201101222012B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2121210201111222002B εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由命题1可知2211L ⎛⎫=⎪⎝⎭，22011L μμμ--E -==--，从而有(3)0μμ-=，对0μ=，12220110c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 21c c =-，于是公共特征向量为112()c ηεε=-，即111c c c η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，其中1c 为任意不为零的常数.对3μ=，12120120c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得 122c c =，于是公共特征向量为212(2)c ηεε=+，即22222c c c η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中2c 为任意不为零的常数.于是所有公共特征向量的形式为：02kk η⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，k k k η⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭，22k k k η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭k 为任意不为零的常数.4 逆命题 设C 为n 阶矩阵，且tr 0C =，则必存在n 阶矩阵A 与B ，使A B B A C -=证明 若tr 0C =，则C 一定相似于一个主对角元全是零的方阵.证明为参考文献[12]定理1的证明，在此略.下证必存在n 阶矩阵A 与B ，使A B B A C -=分两种情况讨论：（1）若C 是主对角元全是零的方阵，即()ij C c =，0ii c =，1,2,,i n = .取12n A λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,,,n λλλ 两两互异.取()ij B b =，其中ijij i jc b λλ=-（i j ≠），而ii b (1,2,,)i n = 任意，可验证A B B A C -=.（2）对任何tr 0C =的n 阶矩阵C ，由引理存在可逆阵P ，使1P CP -为一个主对角元全是零的方阵.由（1）所证，存在n 阶矩阵1A 与1B ，使11111A B B A P C P --=于是，有11111111()()()()P A P P B P P B P P A P C -----=，令11P A P A -=，11P B PB -=，则A B B A C -=.命题得证.5 一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献[2]中P261却有如下一道习题：习题[2] 设矩阵A 与B 可交换，试证：如果A 有特征向量，则,A B 一定有公共特征向量. 在文献[3]中对该习题作出了如下解答：解[3] 设,A B 是两个可交换的矩阵，系数在数域P 中，并设其阶数为n .,A B 可看成n 维线性空间n P 的线性变换,A B 在基12(1,0,,0),(0,1,,0),,εε==(0,0,,1)n ε= 下的矩阵，从,A B 可交换可推出,A B 可交换.如果A 有特征向量，则A 有特征值0λ.在A 对于0λ的特征子空间中，,A B 有公共特征向量α，α也是矩阵,A B 的公共特征向量.上述结论不真.事实上，在实数域R 上，取A E =，令B 是在实数域R 没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则A E =与B 可交换，A E =有特征向量，但B 没有特征向量.例1 在实数域R 上，A E =（单位阵），0110B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则AB BA =，A 有特征值1，从而有特征向量，但B 在实数域R 上没有特征值，自然没有特征向量.6 进一步的讨论结论 1 若AB BA =，且A 有n 个互不相同的特征值，则∃可逆阵P 使得1100n P AP λλ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ， 1100n P BP μμ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ .结论 2 已知 A B AB +=，则（1）1不是A 的特征值，也不是B 的特征值；（2）若B 相似于对角阵，则A 也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.结论3 若A B AB +=，,A B 至少有一个可以对角化，则 （1）B 一定能表成A 的多项式.（2）A 每一个特征向量都是B 的特征向量.（3）,A B 至少有一个公共特征向量.结论4 若A B AB +=，A 可对角化，则,A B 有n 个公共特征向量，且它们线性无关.。