N阶矩阵高次幂的求法及应用
n阶矩阵m次幂的计算方法及其应用分析
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教 育科 学
ｎ 阶矩阵 ｍ次幂 的计算方法及其应用分析
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【 摘
要 】 方 阵 的高 阶 次 幂 计 算 相对 较 为 繁 琐 ， 文 给 出 了 ｎ阶 矩 阵 ｍ次 幂 的几 种 简 便 易 行 的计 算 方 法 ， 过 这 几 种 计 算 方 法 的 运 用 ， 本 可 解 决 一 本 通 基
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矩阵高次幂的实用计算方法(Ⅱ)
（ 青海 大学 基础 部 ， 海 西宁 青 ８０ １） １０ ６
摘要 ： 文［ ］ 在 １的基础上 对一般 ｎ阶矩 阵 高次 幂 Ａ 的计 算 问题 作 了进 一步探 讨 ， 出了几种 给 具有 普遍意义 的实用计 算方 法。
关 键 词 ： 阵 高次 幂 ； 阵 多项 式 ； 小 多项 式 ；ｏｄ ｎ标 准形 ； 阵 函数 矩 矩 最 Ｊｒａ 矩
｛：。 解： 。。。 ：： 得 ：５’ ： 。 ｛ 一 ２ 二 二， ：：ｏ ￣ｉ’ 。 １ｌ 。 。 ０ ２ 二
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显 然 ， 结果 与文 ［ ］ 该 １ 中所 得结果一样 。 该方法计 算 Ａ 的优点是 ： 出 Ａ 的特征值后不必再去求 用 求 对 应特征 向量 ， 这样不但 方法简 明 、 计算量小 ， 且具有 一定的普遍性 。 而 需要指 出的是 ， Ａ 的互不相 同 当 的特征值个 数小于 ｎ时 ， 只要用 ） 的导数来补 足确定 ｂ（ ｉ＝０ １… ， ， ， ｎ一１ 的方 程个 数 即可 。 ）
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２ 用 最 小 多 项 式 计 算 矩 阵 高 次 幂
据上述讨 论及 Ｃ ｙ ｅ－ Ｈ ｍ Ｌｏ 定理可知 ， ａＬ ｙ－ ａ ｉｔ ｎ 以矩 阵 Ａ 为根 的多项式有 很 多个 ， 是把 首项 系数为 但 １次数最小且 以 Ａ为根的多项式 ｍ（ 称 为 Ａ的最小 多项 式 。 、 ） 这说 明 Ａ的最小 多项式 ｍ（ 是其特征 多项 ） 式Ｐ ） （ 的因式 ， 这个 事实具有一 般性 ， 有 以下结论 ： 且 矩阵 Ａ的ｍ 可整除 以 Ａ为根 的任何首项 系数 （ ） 为１ 的多项式 ）且 ｍ（ 是唯一 的 ； ， ） 矩阵 Ａ的 ｍ（ Ｐ 有相 同的根 （ （ ） ） 不计 重数 ）两 个相似矩 阵的最小 多 ；
n阶方阵高次幂的计算方法
，
因为这样 的矩 阵可对 角化 ， 即一 定存在 可逆矩 阵 Ｐ， 使
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第 ２ 卷 ２期 ｌ
Ｖｏ ． １ ２１ Ｎｏ ２ ．
四川文理学 院学 报
Ｓｃ ｕ ｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｆＡｒｓａ ｄ Ｓ ｉｎ ｅＪ ｕ ｎ ｌ ｉｈ ａ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｔ ｎ ｃｅ ｃ ｏ ｒ ａ ｔ
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作 者 简介 ： 跃 玉 （９９ ） 女 ， 川 达 州人 ． 师 ， 士 ， 余 １６ 一 ， 四 １ 讲 硕 主要 从 事 计 算数 学研 究
２ ２
余跃 玉 ｜ 阶方 阵高 次 幂 的 计 算 方 法 Ｉ 】
２ １ 年 第 ２期 ０１
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矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法
矩阵幂和矩阵指数函数的计算方法矩阵幂和矩阵指数函数是矩阵运算中比较重要的两个概念。
在矩阵幂和矩阵指数函数的计算过程中，我们需要用到一些特殊的算法和方法。
本文将介绍矩阵幂和矩阵指数函数的概念、计算方法和应用等方面的内容，帮助读者更好地了解和掌握这两个概念。
一、矩阵幂的概念对于一个$n$阶矩阵$A$，设$k$为一个自然数，则$A^k$表示$k$次幂。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k\text{个} A}$其中，当$k=0$时，$A^k$等于$n$阶单位矩阵$I_n$。
矩阵幂的计算过程中，我们需要用到矩阵乘法的定义。
对于两个$n$阶矩阵$A$和$B$，它们的乘积$AB$定义为：$AB=[c_{ij}]=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$其中，$c_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素，$a_{ik}$和$b_{kj}$分别表示第$i$行第$k$列的元素和第$k$行第$j$列的元素。
二、矩阵幂的计算方法矩阵幂的计算方法有两种：直接幂法和快速幂法。
1. 直接幂法直接幂法是一种比较简单的计算矩阵幂的方法。
对于一个$n$阶矩阵$A$和一个自然数$k$，我们可以通过$k-1$次连乘的方式计算出$A^k$的值。
即：$A^k=\underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k-1\text{个} A} \times A$由此可见，计算矩阵幂的直接幂法需要进行$k-1$次矩阵乘法运算，时间复杂度为$O(kn^3)$。
2. 快速幂法快速幂法是计算矩阵幂的高效方法，它能够有效地减少运算次数，提高计算效率。
该方法基于指数的二进制表示，通过不断地平方和乘以相应的权值，最终计算出矩阵幂的值。
具体步骤如下：（1）将指数$k$转换成二进制数，例如，$k=13$转换成二进制数为$1101$。
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法
求矩阵的n次幂有如下几个常用方法1、求矩阵的n次幂的矩阵乘法法：求矩阵的n次幂的矩阵乘法法是用矩阵的乘法来求n次幂的一种方法，假设n>1。
令A为一个n阶矩阵，将A^n表示为A•A•…•A(n个A表示n次乘积)，这样就可以用矩阵的乘法运算，把矩阵的n次幂表示出来。
这种方法适合任意阶数的矩阵，但是运算量大，一般在n大于4时会给计算机造成较大压力。
快速乘法法是将连乘拆成若干小段，用平方法计算这些小段，最后把平方结果合成出原来的积，这样就可以利用矩阵的平方法降低运算的复杂度，近似时间复杂度仅为O(logn)。
遗传算法(GA)是一种模拟自然辅助搜索算法，其可利用遗传运算(Genetic Operation)求解难以用传统算法求解的复杂问题，也可用来求矩阵的n次幂。
此方法通过使用遗传运算对n次幂矩阵A求解，其中有“选择(selection)”、“交叉(crossover)”、“变异(mutation)”等随机算法组成，在一定时间内，做出一定代数运算就能求出矩阵的n次幂，这种方法的效率取决于遗传算子的设计，但是因为这种方法涉及较少的运算，所以可能运算效率会很高。
线性矩阵分解法是把矩阵A事先分解成正交矩阵和对角矩阵的向量形式，将n次幂矩阵A^n分解成m分，从而减少计算量，缩短计算时间。
这种方法可以有效减少计算过程的数量，但对于大矩阵来说，可能由于分解矩阵的复杂度过高而无法令效率上升。
树结构法是一种求解n次方矩阵A的技术，它是建立树，由树的叶节点求出矩阵A的n次方。
由于每一层都有一个乘积，树结构法可以有效减少计算次数，较为高效。
通常来说，这种方法的复杂度降低到O(logn)。
总之，上面提到的几种方法都可以用来求矩阵的n次幂，根据矩阵的阶数和n的大小，可以合理选择合适的算法，从而提高求解效率。
n阶方阵的幂开题报告
n阶方阵的幂开题报告方阵高次幂的计算方法一、选题的背景、意义矩阵概念和线性代数学科的进和发展是研究线性方程组系数而产生的，矩阵是数学中的一个甫要的基本概念，代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形年列这别于行列式而发明了这个述语，从行列式的大量工作明显的看出，不管行列式的值是今与问趣有关，方阵本身都是可以研究和使用的，矩阵的许多其本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
英国的凯莱是首先把矩阵作为…个独立的数学概念提山来的数学家，同时他首先引进了矩阵以简化记号，并系统地阐述了短阵的理论。
他在《矩阵论的研报告》中定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵竹转置以及矩阵的逆等一系列基本极概念，另外他还给山了方阵的特征方程和特征根以及有关矩阵的些基本结果。
在矩阵的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的。
他论了最小多项式问题，引进了矩阵的秋、止交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念。
1854年，约当研究了矩阵化为标准形的问题。
1892年，梅某某进了矩阵的超越函数的概念并将其写成矩阵的幂级数形式。
傅某某、西某某和庞某某的著作中还讨论了无限阶烂阵问题，这上要是适方程发展的需要而开始的。
矩阵木身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支？矩阵论。
矩阵论作为一种基本工具，在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等有着泛的应用。
这些学科的发展反过来义做大地促进了矩阵论的发展。
而矩阵是线性代数中一个很币要的组成部分，它儿乎贯穿于线性代数的各个章节，在自然科学各分支及经济管理等不同的学术领域和实际应用中已经起着不可替代的作用。
用矩阵的理论和方法处理规代工程技术中的各种问题史加普遍。
在工程技术中使用矩阵理论不仅使工程理论表达形式更加简洁，而出对理论实质的刻画史圳深刻，计算机的普及和计算方法的发展，不仅为矩阵理论的应用开辟广广阔的前景，也使上程技术的所究发生新的变化，开拓了崭新的研究途径，例如系统上程、优化方法、稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密结合，在矩阵函数及养分方程组的究中，常常涉及到矩阵方幂的计算。
矩阵高次幂的计算方法
矩阵高次幂的计算方法在计算机科学中，矩阵是一种非常常见的数据结构，而计算矩阵高次幂也是很重要的算法问题之一。
在本文中，我们将介绍一种可行的计算方法，通过利用矩阵的乘法性质来简化计算。
首先，让我们来看一下矩阵乘法的性质。
假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度分别是 m * n 和 n * p，那么它们的乘积C的维度就是 m * p。
具体地，C的第i行第j列上的数值就是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列对应位置数值的乘积之和。
也就是说：C[i][j] = sum(A[i][k] * B[k][j]) for k in range(n)通过这个性质，我们可以得知，如果我们想要计算矩阵A的k 次幂，那么我们只需要多次地对它进行自乘就可以了。
例如，如果我们要计算A的3次幂，就可以写成 A * A * A。
但是，这种方法的时间复杂度为O(kn^3)，其中n是矩阵的大小。
这个复杂度非常高，尤其是当k很大时，计算的时间就会变得非常长。
所以我们需要采用一些更高效的算法去计算矩阵高次幂。
在实现高效的算法之前，我们先来看一下幂的性质：如果 k 是偶数，那么 A 的 k 次幂等于 A 的 k/2 次幂的平方；如果 k 是奇数，那么 A 的 k 次幂等于 A 的 (k-1)/2 次幂的平方再乘上 A。
利用这个性质，我们可以通过递归的方式去计算矩阵的高次幂，而且时间复杂度可以优化到O(n^3 * logk)。
具体地，我们可以写一个递归函数matrix_power(matrix, k)，这个函数可以接受一个矩阵 matrix 和一个整数 k，它会返回matrix 的 k 次幂。
实现这个函数的关键在于，我们需要在递归的过程中不断地平方矩阵，而不是每次都重新计算矩阵的乘积。
也就是说，我们需要在每次递归的时候传递 matrix 的平方作为下一级递归的参数。
下面是伪代码：def matrix_power(matrix, k):if k == 0:return identity_matrix(len(matrix))elif k % 2 == 1:return matrix_multiply(matrix,matrix_power(matrix_power(matrix, (k-1)/2), 2))else:return matrix_power(matrix_power(matrix, k/2), 2)其中，identity_matrix(n)是一个生成 n * n 单位矩阵的函数，而matrix_multiply(A, B)是一个计算矩阵 A 和矩阵 B 乘积的函数。
矩阵的运算的所有公式
矩阵的运算的所有公式矩阵是线性代数中非常重要的一种数学工具，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、计算机科学等。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置以及求逆等操作。
下面将详细介绍这些矩阵运算的公式。
一、矩阵的加法和减法设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的大小相同。
矩阵的加法和减法操作定义如下：1.加法：A+B=C，其中C是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：C(i,j)=A(i,j)+B(i,j)，其中i表示矩阵的行数，j表示矩阵的列数。
2.减法：A-B=D，其中D是一个和A、B大小相同的矩阵，其每个元素的计算公式为：D(i,j)=A(i,j)-B(i,j)。
二、矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
矩阵的乘法操作定义如下：1.乘法：A×B=C，其中C是一个m行p列的矩阵。
计算C的方法如下：C(i,j)=A(i,1)×B(1,j)+A(i,2)×B(2,j)+...+A(i,n)×B(n,j)，其中i表示C的行数，j表示C的列数。
需要注意的是，两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
三、矩阵的转置给定一个矩阵A，它是m行n列的矩阵。
矩阵的转置操作定义如下：1.转置：A'，表示矩阵A的转置。
即将A的行变为列，列变为行。
例如，如果A是一个3行2列的矩阵，那么A的转置A'是一个2行3列的矩阵。
四、矩阵的求逆对于一个非奇异的n阶矩阵A，它的逆矩阵记作A^{-1}。
求逆的公式如下：1.A×A^{-1}=I，其中I是单位矩阵。
即矩阵A与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
需要注意的是，只有方阵（行数等于列数）并且满秩的矩阵才有逆矩阵。
五、矩阵的幂运算给定一个n阶矩阵A，A的幂运算定义如下：1.A^k=A×A×...×A（共k个A相乘），其中A^k表示A的k次幂，k是一个正整数。
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可以整除任何一个以矩阵 为根的且首项系数为1的多项式；
和 是有一样的根（不算重复的，且两个根的数目不一定相等）；
如果两个矩阵是相似矩阵，那么它们两个的最小多项式就是相同的；
，而 是矩阵 的第 个不变因子.
例11已知 ，求 .
关键词:数学归纳法;二项展开式;矩阵的幂;相似矩阵.
Abstract
Matrix is a concept many practical problems in the abstract, it is an important part of the linear algebra, it is almost throughout the various sections of linear algebra, in the field of natural sciences and economic management of the branch has a wide range of applications. Just because it wide range of applications and is a powerful tool for solving many problems, so learn and master the operation and their method of operation rules and good matrix is a matrix of knowledge we learn a very important part. For matrix power calculations, it is Matrix multiplication is based; however, the matrix exponential operation is more complex but also particularly troublesome, so look for a simple calculation method has become an important part of computing power matrix high regard, for many scholars have spent a lot of research effort to investigate, the paper will be on the basis of their research, application examples by mathematical induction, multiplication associative approach, binomial expansion method, the method block diagonal matrix, standard form method, minimal polynomial a variety of methods and special methods to solve the matrix method phalanx of high-power, and thus the power to order matrix operations to provide a reference.
目前，关于矩阵的高次幂的计算问题，有很多学者对此都进行了大量的研究，文献[1，2-13,15]从不同角度阐述了矩阵的高次幂的计算问题.本文在这些研究基础之上，用分类讨论的办法，系统而又全面地介绍了一般的 阶矩阵和一些特殊的矩阵的高次幂的求解方法.对于那些简单的矩阵，有关它们的低次幂求解，我们就可以直接按照矩阵乘法的定义去求解；但对于矩阵的秩为1的 阶矩阵，我们可以考虑用矩阵乘法结合律的方法求解；此外，我们还可以用二项式展开法，分块对角矩阵的方法；对于一般情况下的 阶矩阵的求解，我们可以采用Jordan标准形的方法、最小多项式的方法去求解；然而我们还可以用一些特殊的矩阵去求解（比如对合矩阵，幂等矩阵）.
定义1 假设矩阵 是 矩阵（ 阶方阵）， 是正整数，那么就把形式 称为 的 次幂.
方阵的幂运算规律：
，
其中 ， 均为非负整数.
2 阶矩阵 的高次幂的一些求法以及应用
2.1 利用数学归纳法求解 阶矩阵的高次幂
数学归纳法在初等数学中就有很广泛的应用，是在计算数学命题中常用的一种方法.在求矩阵方幂问题的时候，在一些特别的情况下就可以利用数学归纳法来计算出矩阵的高阶次幂.关于求矩阵高次幂的根本思路就是：先计算出方阵的 等较低次幂的矩阵，再利用 等较低次幂矩阵的计算结果，由归纳法猜测 的表达式，最后利用数学归纳法加以证明 对于一切自然数都成立（其中 下同）.
例3 已知矩阵 ，试求 .
解 首先我们将矩阵 分解为
，而其中 ，
容易得出并验证矩阵 满足
，也就是说 和 是可以交换的，根据二项式展开公式得
.
例4已知 ，求 .
解首先我们将矩阵 分解为 ，也就是
，
而其中的 为 ，又因为 ，所以
.
注通过观察我们可以知道，在求解这一类的矩阵问题的时候，我们首先要做的就是判断这个所给出的矩阵能否被分解，其次分解的矩阵的高次幂是比较容易计算出来的.
2.3 利用 标准形求矩阵的高次幂
定义2 我们将形式为
的矩阵称为 块，其中 是复数，由这样若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为 矩阵，其一般形式为 ，其中
，
并且 中有一些是可以相等的.
根据 定理我们可以得出，假如矩阵 ，那么矩阵 与一个 矩阵 相似，这个 矩阵 除去 块的排列顺序以外是被矩阵 唯一确定了的，那么我们就称这样的矩阵 为矩阵 的 标准形式.也就是存在 阶可逆矩阵 ，使得
如果题目所给出的 阶矩阵 是可以分解，也就是 ，并且 和 的高次幂都是比较容易计算出来的，还要求 （也就是 和 是矩阵乘法适合交换律的，如果分解开的这两高次幂矩阵不能相互交换的话，那么二项式展开式公式对于这个矩阵是不成立的，也就是二项式展开法不适用于这个矩阵），如果满足要求，所以就有以下的公式
.
特别地，当 阶矩阵 的主对角线上元素相同的时候，那么这样的矩阵 可以表示为一个纯量矩阵 与另外一个矩阵 的和，也就是 ，并且所给出的矩阵 的高次幂是比较容易计算出来的，那么这样的矩阵就可以用这种方法比较简单明了 .
.
注通过观察这两个矩阵可以知道，在求解矩阵高次幂问题的过程中，数学归纳法的关键就是通过较低矩阵次幂的计算结果来正确的总结出 ，进而来进行验证所总结出来的是否正确，但是这种方法不是所有的矩阵高次幂都可以应运，它只能用于一些较为简单矩阵而且较为特殊的矩阵，就类似于上面的两道例题.
2.2利用二项式展开法求矩阵的高次幂
例1 已知矩阵 ,试求 .
解因为 所以
，由 这两个矩阵的规律就可以得出， 的第一行元素就是 展开式的三个元素，而 的第一行的元素是 展开式的前三个元素，所以可以归纳总结出 的第一行元素就应该是 的展开式的前三个元素，也就是 ，所以猜测 为
.
下面利用数学归纳法进行证明.显然当 的时候是成立的；假设 是成立的，则求出 的结果
，
而 是 阶 块，因为 ，所以有 .那么
这时候要求 块的高次幂就可以得出以下结果：
，
而其中 ，且 . 为矩阵 的特征根 .
例5已知矩阵 试求 （ 为自然数）.
解因为 ，所以 的初等
因子为 ，故矩阵 相似于 标准形
.
现在我们求可逆矩阵 ，使得 .假设 所以有
，
通过计算我们可以得出 ，所以
，且 ，
.
例6 求矩阵 的 次幂.
在这些诸多的方法中，它们都只不过为 阶矩阵的幂运算提供了一个参考.所以在实际应用中，我们可以根据矩阵的不同，采用不同的运算方法去化简矩阵的幂计算.
1 准备知识
在矩阵的计算中，乘法是最常用的一种方法.特别是，当一个矩阵是方阵的时候，也就是这个矩阵有 行 列，可以定义这个矩阵和它本身的乘法运算，那就是我们所说的矩阵的幂.
2.5 利用乘法结合律求方阵的高次幂
如果矩阵 ，那么就说明这个矩阵至少有一行元素不为零，而其它每一行元素都是它的倍数，所以秩为1的 的矩阵就有以下的形式
，假设
都是不为零的实数，那么就有 记
，
那么就有 .这种计算方法就叫做矩阵的乘法结合律 .
例9 已知 ，求 （ 为自然数）.
解对 进行初等变换，我们发现矩阵的秩为1，即 ，假设
，
显然当 时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的.所以求得 的结果也就是 .
例2 设 ，计算 .
解因为 ， ， .
所以猜想 .
下面利用数学归纳法进行证明.当 时，结论显然成立；假设 时，结论也是成立的，也就是 ，则当 时，
显然当 时结论也是成立的，故上述所假设的结论是正确的，由数学归纳法知 的求解结果是
Keywords：Mathematical induction; power matrix;; binomial expansion similar matrix.
引 言
矩阵是高等代数的主要内容之一，是处理线性方程组、二次型、线性变换等问题的重要工具，基本上贯穿于研究高等代数问题的始终.矩阵的理论和计算方法对于我们研究的许多问题都起着很重要的推动作用，同时也是解决数学以及大多数的科学领域中问题的重要工具，它有着十分广泛的应用.学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了在计算矩阵高次幂幂方面的重要课题.
本科毕业论文
摘 要
矩阵是许多实际问题中抽象出来的一个概念，它是高等代数的一个重要组成部分，它几乎贯穿于高等代数的各个章节，在自然学科各分支及经济管理等领域有着广泛的应用.正因为它广泛的应用又是解决众多问题的有力工具，所以，学习并掌握好矩阵的运算以及它们的运算规律和方法是我们学好矩阵知识的一个非常重要的环节.对于矩阵方幂的运算，它是以矩阵的乘法运算为基础；然而，矩阵的幂运算是比较复杂同时也是特别麻烦的，所以寻找简单的运算方法就成了计算矩阵高次幂方面的重要环节，为此很多学者都花了很大的精力去探讨研究，本文将在他们的研究基础上，应用实例通过数学归纳法，乘法结合律的方法，二项式展开式的方法，分块对角矩阵的方法， 标准形法，最小多项式的方法和特殊矩阵法等多种方法来求解方阵的高次幂，进而为 阶矩阵的幂运算来提供一个参考.