《充要条件证明题》
充要条件(习题课)
若x B成立的一个充分不必要条件是x A, 试求实数m的取值范围
2．求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的 充要条件是a-b+c=0.
小结：充要条件的证明一般分两步：证充分性即 证A =>B，证必要性即证B=>A一定要使题目与证明 中的叙述一致 本题的难点是分清：充分和必要二个命题
学例2
“cos2α=
1 (2009· 湖北卷)“sinα= ”是 2 1 2
”的 ( A )
A.充分而不必要条件
B.B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 若sinα=
1 2α=1-2× , 则 cos2 α =1-2sin 2
1 1 但当sinα=- 时，也有cos2α= ，故选A. 2 2
充要条件(习题课)
知识回顾
1.若A=>B且B推不出A，则A是B的充分不必要条件
2.若A推不出B且B=>A，则A是B的必要不充分条件 3.若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件 4.若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件， 也不是B的必要条件.
练习一
1.已知p 是q 的必要而不充分条件，那么┐ p 是┐q的 ___ 2.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D 是C的充分而不必要条件，那么D是A的________ 3. 关于 x 的不等式：｜ x｜+｜x-1｜＞m 的解集为 R 的 充要条件是( ) (A)m＜0 (D)m≤1 答案： (1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)C (B)m≤0 (C)m＜1
2.搞清①A是B的充分条件与A是B的充分非必 要条件之间的区别与联系；②A是B的必要条件与A 是B的必要非充分条件之间的区别与联系是非常重 要的,否则容易在这一点上出错误.
充要条件习题课
3．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根 的充要条件.
小结：本题解答时，一是容易漏掉讨论方程二次项 系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证充分条 件.即以所求的必要条件代替充要条件.
充要条件(习题课)
岳阳市四中：易亚红
1.若A=>B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件
2.若A推不出B且B=>A，则A是B的必要非充分条件
3.若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件
4.若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件， 也不是B的必要条件.
练习一
1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的 ___
［例1］已知p：|1－(x-1)/3 |≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0), 若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式 的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命 题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性. 知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的 文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变 得简单明了. 错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不 清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言 理解上的困难. 技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞 清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集 间的包含关系，进而使问题解决.
的( C ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
充要条件的证明
pq,称p是q的充分条件。
换种叙述格式：q的充分条件是p。
例1：求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个 根为1的充要条件是a+b+c=0。
①由“条件=>结论”是证明命题的充分性， 由“结论=>条件”是证明命题的必要性。所 以证明要分两个环节，一是证明充分性，二 是证明必要性。
②要分清它的叙述格式。分清哪个是条件， 哪个是结论。
若 f (x)是偶函数，则f (x)的函数图像关于y轴对称， 反之也成立。
例２、探求一次函数f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充 要条件。
解：①探求过程： ∵ f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数 ∴ f (－x)= － f (x)
即： k (－x ) + b＝－( k x + b)
∴ b＝0 ②验证过程： 如果b＝0，那么f (x)=kx (k≠0) 此时f (x)=kx (k≠0)是奇函数 ∴f (x)=kx+b (k≠0)是奇函数的充要条是b＝+c=0有一 个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：充分性：
∵ a+b+c=0∴ c=－a－b
∴ax2+bx+c=0
∴ ax2+bx－a－b=0 ∴ ax2 －a+bx－b=0 ∴ a（x2－1）+b（x－1）=0 ∴ a（x－1）（x+1）+b（x－1） =0
∴ （x－1）[a（x+1）+b]=0 ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1。
求证：例1：关于x的方程ax2+bx+c=0 有一个根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：必要性： ∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1 ， ∴将根代入方程中ax2+bx+c=0 ∴ a+b+c=0 综上所述，方程ax2+bx+c=0有一个根为1 的充要条件是a+b+c=0。
充分必要条件(习题
2.
9
判断命题条件的充分性、必要性
例1：已知数列an，那么"对任意的n N*， 点P(n,an )都在直线y=2x+1上是数列an
为等差数列的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10
解析：因为Pn (n，an )在直线y＝2x＋1上， 所以an＝2n＋1(n N*)当n 2时，an－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，
1
上节课我们研究了两个符号:“”、“”
“” 表示: “充分”的意义; “” 表示: “必要”的意义.
对于命题“若 p , 则 q”来说，
⑴“若 p , 则 q ”是真命题记为“ p q ”，
我们说 p 是 q 的充分条件；(“有 p 就可推出 q ”之意）
⑵“若 p , 则 q ”的逆命题是真命题记为“ p q ”，
故必要性得证．所以a c b是方程ax2 bx c 0有一个
根为 1的充要条件．
23
反证法的应用
例例54：已知x为实数，a x2 1 ，b 2 x，c x2 x 1， 2
证明：a、b、c中至少有一个不小于1.
证明：用反证法：设a、b、c都小于1，则a b c 3.
而a b c x2 1 2 x x2 x 1 2(x 1)2 3 3，
4.A与 B没 有 包 含 关系 ， 等 价 于 命 题 没 有 充分 和 必 要 条 件 ， 即 p是 q的 既 不 充 分 也不 必 要 条 件 .
4
1." x 1"是" x2 x"的 A
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
充要条件练习题
充要条件练习题一、选择题1. 已知命题P：x²-4=0，命题Q：x=2或x=-2。
以下哪个选项正确描述了P和Q的关系？A. P是Q的充分条件B. P是Q的必要条件C. P是Q的充要条件D. P和Q是互不相关的2. 如果“x>0”是“x²>0”的什么条件？A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列哪个命题的逆命题是真命题？A. 如果两个角是对顶角，则这两个角相等。
B. 如果两个角相等，则这两个角是对顶角。
C. 两个直角三角形是相似的。
D. 两个相似的三角形是直角三角形。
二、填空题4. 如果命题P：x>0，命题Q：x²>0，那么P是Q的_________条件。
5. 命题P：x>1，命题Q：x>0，Q是P的_________条件。
6. 命题P：x²-1=0，命题Q：x=1或x=-1，P是Q的_________条件。
三、判断题7. 如果命题P是命题Q的充分条件，那么P成立时Q一定成立。
（）8. 如果命题P是命题Q的必要条件，那么Q成立时P一定成立。
（）9. 如果命题P是命题Q的充要条件，那么P和Q是等价的。
（）四、解答题10. 已知命题P：x>3，命题Q：x>2，证明P是Q的充分条件，但不是必要条件。
11. 给定命题P：x²-4x+4=0，命题Q：x=2，证明P是Q的充要条件。
12. 已知命题P：x²+y²=1，命题Q：x和y的绝对值都小于1。
证明P是Q的必要条件，但不是充分条件。
五、证明题13. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
14. 证明：如果一个数的平方根是正数，那么这个数本身是正数。
15. 证明：如果两个角的和是180度，那么这两个角是互补的，并且互补角是互为充要条件。
六、逻辑推理题16. 在一个班级中，如果一个学生是班长，那么他一定是班级的积极分子。
专题04 充分条件与必要条件(原卷版)
专题04充分条件与必要条件一.充分条件与必要条件二.充要条件1．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，则p 是q 的充要条件，记为p ⇔q ．2．如果p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．3．如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，则称p 是q 的充分不必要条件．4．如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，则称p是q 的必要不充分条件．5．设与命题p 对应的集合为A ＝{x |p (x )}，与命题q 对应的集合为B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．6．p 是q 的充要条件是说，有了p 成立，就一定有q 成立．p 不成立时，一定有q 不成立． 重要考点一：充分条件【典型例题】“x 2>2017”是“x 2>2016”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题型强化】1.若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.2.p ：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有交点；q ：判别式Δ=b 2−4ac >0，则q 是p 的什么条件__________.（充分条件、必要条件）【名师点睛】1.判断p 是q 的充分条件，就是判断命题“若p ，则q ”为真命题．2．p 是q 的充分条件说明：有了条件p 成立，就一定能得出结论q 成立．但条件p 不成立时，结论q 未必不成立．例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．重要考点二：必要条件成立的必要条件是（）【典型例题】已知a、b∈R，下列条件中，使a bA．a>b−1B．a>b+1C．|a|>|b|D．a2>b2【题型强化】1.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．2.生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。
充要条件练习题
课时作业(三)[学业水平层次]一、选择题1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A2．(2014·镇海高二检测)已知命题甲：“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b ＝2”，则命题甲是命题乙的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若a b ＋c b ＝2，则a ＋c ＝2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a ＋c ＝2b ，但不一定得出a b ＋c b＝2，如a ＝－1，b ＝0，c ＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．【答案】 A3．(2014·湖南省株洲二中期中考试)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】 A4．(2014·山东省实验中学月考)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】本题综合考查函数零点与充要条件的判断．当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】 B二、填空题5．“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分6．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】充要7．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)记集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间[12，＋∞)上是增函数”的________．【解析】本题考查命题的充要条件的判断．(1)当p＝3时，A＝{－1,2,3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在[12，＋∞)上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间[12，＋∞)上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间[12，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．【答案】 (1)③ (2)①三、解答题8．(2014·陕西省西工大附中月考)下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由．(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC ，p ：sin A >12，q ：A >π6.【解】 (1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |， 所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为A ∈(0，π)时，sin A ∈(0,1]，且A ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，y ＝sin A 单调递增，A ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，y ＝sin A 单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6 sin A >12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．9．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】 充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B .即sin B ＋2sin B cos A ＝sin(A ＋B )．化简，得sin B ＝sin(A －B )．由于sin B ＞0且在三角形中，故B ＝A －B ，即A ＝2B .必要性：若A ＝2B ，则A －B ＝B ，sin(A －B )＝sin B ，sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B .∴sin(A ＋B )＝sin B (1＋2cos A )．∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，∴sin(A ＋B )＝sin C ，即sin C ＝sin B (1＋2cos A )．∴sin C sin B ＝1＋2cos A ＝1＋b 2＋c 2－a 2bc ＝b 2＋c 2－a 2＋bc bc， 即c b ＝b 2＋c 2＋bc －a 2bc. 化简得a 2＝b (b ＋c )．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升层次]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C 的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A D，故选A.【答案】 A2．(2014·马鞍山四校联考)设有如下命题：甲：相交两直线l、m 在平面α内，且都不在平面β内．乙：l、m中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．那么当甲成立时()A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C．乙是丙的充分必要条件D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l、m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l、m中也至少有一条与β相交，否则若l、m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】 C3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________.【解析】 因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4， f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 所以2－t <－1，即t >3.【答案】 (3，＋∞)4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.【证明】 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .。
高中数学充分必要条件10例题
高中数学充分必要条件10例题例题1：命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个内角相等。
分析：- 充分性：如果三角形是等边三角形（条件），根据等边三角形的定义，三条边都相等，那么它的三个内角肯定都是60°，所以三个内角相等（结论），充分性成立。
- 必要性：如果一个三角形的三个内角相等（条件），根据三角形内角和是180°，每个角就是60°，这个三角形的三条边肯定相等，也就是等边三角形（结论），必要性成立。
所以“一个三角形是等边三角形”是“这个三角形的三个内角相等”的充分必要条件。
例题2：命题：若x > 5，则x > 3。
分析：- 充分性：当x > 5的时候（条件），5比3大，那肯定x > 3（结论），充分性是妥妥的。
- 必要性：当x > 3（条件），比如说x = 4，它满足x > 3，但不满足x > 5，所以必要性不成立。
所以“x > 5”是“x > 3”的充分不必要条件。
例题3：命题：若a = 0且b = 0，则ab = 0。
分析：- 充分性：要是a = 0并且b = 0（条件），那按照乘法规则，ab肯定等于0（结论），这充分性没毛病。
- 必要性：如果ab = 0（条件），有可能a = 0而b不等于0，或者b = 0而a 不等于0，或者a和b都等于0，所以由ab = 0不能必然推出a = 0且b = 0，必要性不成立。
所以“a = 0且b = 0”是“ab = 0”的充分不必要条件。
例题4：命题：若四边形是正方形，则四边形是矩形。
分析：- 充分性：正方形的四个角都是直角，对边平行且相等，这完全符合矩形的定义啊。
所以如果四边形是正方形（条件），那它肯定是矩形（结论），充分性成立。
- 必要性：四边形是矩形（条件），但是矩形不一定四条边都相等，也就是不一定是正方形（结论），必要性不成立。
所以“四边形是正方形”是“四边形是矩形”的充分不必要条件。
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《充要条件证明题》
1、数列{}n x 满足：2
*
110,()n n n x x x x c n N +==-++∈ 证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <
证明：必要条件：当0c <时，2
1n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列 充分条件：数列{}n x 是单调递减数列2
2
121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<= 得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <
2、设数列12,,n a a a 中的每一项都不为0.证明，{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N ∈，都有1223111
111n n n n a a a a a a a a +++++= . 证明：先证必要性
设数列{},0,n a d d =的公差为若则所述等式显然成立， 若0d ≠，则
1223132
12112233
12231111111111
1()1111111(()()())1111()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=
+++=-+-++--=
-=
11
.n n
a a +=
再证充分性.
证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切n +∈N 都成立，首先，在等式
122313
112
a a a a a a += ① 两端同乘123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以成等差数列， 记公差为21,.d a a d =+则。