《2.1.1椭圆及其标准方程》导学案(新部编)3
人教A版高中数学高二版选修2-1 《椭圆及其标准方程》导学案
2.1.1《椭圆及其标准方程》导学案一、【学习目标】1、知识与技能：理解椭圆的定义，掌握求椭圆的方程.2、过程与方法:通过亲身操作加深定义的认识.3、情感、态度与价值观:让学生在发现中学习，提高学生的积极性。
培养解析法的思想。
二、【重点难点】【重点难点】椭圆的定义和标准方程。
三、【教学过程】【回顾知识，提出问题】(一) 新课复习:(1)圆是如何定义的？(2)到两定点距离之和为定值的点的集合又是什么曲线呢？（二）问题导学:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作教具，画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式________________________________________问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。
两个定点的距离用______表示。
常数用______表示【合作探究】:椭圆的定义为什么要满足2a >2c呢？(1)当2a >∣F1F2∣时，轨迹是_____(2)当2a =∣F1F2∣时，轨迹是_____(3)当2a <∣F1F2∣时轨迹是. _____【小试牛刀】动点P到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离和是8,则动点P 的轨迹为（）（A）椭圆（B）线段F1F2（C）直线F1F2（D）不能确定。
问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，写出推导椭圆方程的过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c三个量满足的关系式为：___________问题8：如何判断焦点在何轴?【小试牛刀】根据下列方程，分别求出a 、b 、c(1)椭圆标准方程为161022=+y x ，则a = ,b = , =c ； (2)椭圆标准方程为1522=+y x ，则a = ,b = , =c ； (3)椭圆标准方程为8222=+y x ，则a = ,b = , =c .四、【例题讲解】 例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式题：1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.变式题：2.已知椭圆经过两个点P(-2,2)和Q(0,-3)，求此椭圆的标准方程.【规律方法总结】五、【课堂检测】1.如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是_____.2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) 1,4==b a ，焦点在x 轴上； (2)15,4==c a ，焦点在x 轴上.六、【归纳总结】1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程.3.会根据条件求椭圆的标准方程，掌握其方法.附答案：1.14 2. 2222(1)116(2)116x y y x +=+=。
椭圆及其标准方程导学案(第1课时)
§2.1椭圆及其标准方程导学案（第1课时）【学习目标】1.能准确的说出椭圆的定义；2.会推导椭圆的标准方程并掌握椭圆的标准方程的写法． 3会用待定系数法求椭圆的标准方程 【学习过程】 一．自学探究 1.椭圆的产生 2.椭圆的定义我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思②：若将距离之和（| P F 1|+| P F 2|）记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试一试：1若动点P 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F 1F 2 C.直线F 1F 2 D.不存在2命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)命题乙:P 点轨迹是椭圆， 则命题甲是命题乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件小结：理解椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >二．椭圆标准方程的推导 1．标准方程的推导步骤 (1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式 (4)化简 (5)检验2．两种标准方程的比较2三：典型例题例1. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．方法总结：椭圆的标准方程的两种求法：（1）定义法：定义是研究椭圆问题的基础和根本，根据椭圆的定义得到相应的,,a b c ，再写出椭圆的标准方程。
（2）待定系数法，先设出椭圆的标准方程22221x y a b +=或22221x y b a+=（0a b >>），然后求出待定的系数代入方程即可四、练习提升1求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的两焦点分别为F 1（-3,0）、F 2（3.，0），且椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8；（2）求经过两点(1，0)，(0，2)，且焦点在y 轴上。
《2.2.1 椭圆及其标准方程(1)》导学案(新部编)3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.1 椭圆及其标准方程（1）》导学案3一、学习目标：1.掌握椭圆的定义、标准方程的推导及形式；2.知道焦点、焦距的概念；3.体会建立坐标系的原则.二、重点：椭圆的定义及标准方程。
难点：椭圆标准方程的推导。
三、复习回顾：圆的定义是什么?圆的标准方程的形式怎样？如何推导圆的标准方程呢？四：自学指导：导读：阅读课本P32-P34，并回答下列问题。
导思：1、固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动,在纸上你得到了怎样的图形?2、如果调整细绳的两端的相对位置,细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化? 得出怎样三个结论？3、椭圆的定义：4、在解析几何中，如何建立恰当的坐标系能使椭圆的方程简单，请讨论？5、请在你建立的坐标系下推导椭圆的方程：6、椭圆标准方程: ， 。
7、已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？8、在椭圆中a 、b 、c 的关系及其几何意义是什么？五、导练展示：1、方程191622=+y x 表示曲线为 ，焦点坐标为 2、方程62322=+y x 表示曲线为 ，焦点坐标为3、方程8)2()2(2222=+++-+y x y x 表示曲线是 ，标准方程是 若将等式右边的数改为4,2又是何曲线？4、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭圆上一点p 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点P )25,23(-. 六、 达标检测：课本P36 1、2七、反思小结：。
《2.1.1椭圆及其标准方程》教案及课堂实录(精)
《2.1.1 椭圆及其标准方程》教案及课堂实录保俶塔实验学校张小妹一、教学目标1．知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程；2．能力目标：学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力；3．情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
二、重点、难点及关键重点：椭圆的定义和标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；三、教学方法启发、探索四、教学媒体运用多媒体教学五、教学过程1．创设情境，引入概念。
首先用几何画板展示地球绕太阳公转的轨迹，形象地给出椭圆，然后请同学们列举一些实际生活中的椭圆形的例子。
以生活中的椭圆引入。
此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。
那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。
设计意图：本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲，提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。
课堂实录：师：在上课之前呢，我们先来看一下太阳公转的轨迹 (几何画板展示) 。
思考太阳公转的轨迹是什么？生：椭圆。
师：是的。
其实生活中椭圆形状的东西也很多，如我们的操场，我们吃的西瓜、鸡蛋等。
今天我们就来研究下椭圆及其标准方程。
2．尝试探究，形成概念——动手作图。
工具：纸板、细绳、图钉作法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线。
完成表格：提出问题：M点在动的时候，有没有发现什么是不变的？1． F1、F2——定点。
2．∣MF1∣+∣MF2∣=2a。
给出椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。
两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。
学案3：2.2.1 椭圆的标准方程
2.2.1 椭圆的标准方程学习目标核心素养1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助于标准方程的推导过程，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.新知初探1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．(2)相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的．思考1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形焦点坐标(±c,0)(0，±c) a，b，c的关系a2＝初试身手1．已知点M 到两个定点A (－1,0)和B (1,0)的距离之和是定值2，则动点M 的轨迹是( ) A 一个椭圆 B ．线段ABC ．线段AB 的垂直平分线D ．直线AB2．以下方程表示椭圆的是( ) A.x 225＋y 225＝1 B.2x 2－3y 2＝2 C.－2x 2－3y 2＝－1D.x 2n 2＋y 2n 2＋2＝0 3．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是( ) A.x 25＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1 C.x 25＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 D.x 29＋y 24＝1或x 23＋y 24＝1 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)． 规律方法确定椭圆方程的“定位”与“定量”提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 跟踪训练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．如何用集合语言描述椭圆的定义？2．如何判断椭圆的焦点位置？3．椭圆标准方程中，a ，b ，c 三个量的关系是什么？例2 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 为椭圆上的点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．母题探究(改变问法)在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标．类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．规律方法椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量. 当堂达标 1．思考辨析(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( ) (2)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是(±3,0)． ( )(3)y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆． ( )2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为( )A ．1B ．5C ．2D ．73．椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为( )A ．10B ．20C ．40D ．504．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若椭圆C 上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________．参考答案新知初探 1．(1)和等于常数 (2)焦点 焦距思考1：[提示] 2a 与|F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：思考2：[提示] a ，b 的值及焦点所在的位置． 初试身手 1．【答案】B【解析】定值2等于|AB |，故点M 只能在线段AB 上． 2．【答案】C【解析】A 中方程为圆的方程，B ，D 中方程不是椭圆方程． 3．【答案】C【解析】若椭圆的焦点在x 轴上，则c ＝1，b ＝2，得a 2＝5，此时椭圆方程是x 25＋y 24＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，此时椭圆方程是x 23＋y 24＝1.] 合作探究类型1 求椭圆的标准方程例1 解：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5. 又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)法一：①当焦点在x 轴上时，a b依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a >b >0，所以无解．综上，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.跟踪训练1．解：(1)法一：因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6. 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(2)法一：若椭圆的焦点在x 轴上，a b由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.类型2 椭圆的定义及其应用 [探究问题]1．[提示] P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a ＞|F 1F 2|}．2．[提示] 判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．3．[提示] 椭圆的标准方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a ，b ，c (都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a >b ，a >c ，且a 2＝b 2＋c 2(如图所示)．例2 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|. ①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|. ②②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是35 3.母题探究解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由本例解答可知S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝353，解得|y 0|＝353，即y 0＝±353， 将y 0＝±353代入x 24＋y 23＝1得x ＝±85，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±85，±353. 类型3 与椭圆有关的轨迹问题例3 解：由垂直平分线性质可知|MQ |＝|MA |， |CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |. ∴|CM |＋|MA |＝5.∴M 点的轨迹为椭圆，其中2a ＝5， 焦点为C (－1,0)，A (1,0)， ∴a ＝52，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求轨迹方程为：x 2254＋y 2214＝1.跟踪训练2．解：如图所示，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意动圆M 内切于圆C 1， ∴|MC 1|＝13－r . 圆M 外切于圆C 2，∴|MC 2|＝3＋r .∴|MC 1|＋|MC 2|＝16＞|C 1C 2|＝8，∴动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16,2c ＝8， b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48， 故所求轨迹方程为x 264＋y 248＝1.当堂达标1．[提示] (1)× 需2a ＞|F 1F 2|. (2)× (0，±3)．(3)× a ＞b ＞0时表示焦点在y 轴上的椭圆． 2．【答案】D【解析】由|PF 1|＋|PF 2|＝10可知到另一焦点的距离为7. 3．【答案】B【解析】由椭圆的定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10，所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝20，故选B. 4．【答案】x 24＋y 23＝1【解析】由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2，∴原方程化为x 24＋y 2b 2＝1，将A ⎝⎛⎭⎫1，32代入方程得b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。
学案9：2.1.1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程．重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．难点：椭圆标准方程的建立和推导．教材新知知识点1 椭圆的定义思维导航思维导航在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出椭圆呢？给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？新知导学1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为______________________________．也曾讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的轨迹的情形．那么平面内到两定点距离的和(或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2．平面内与两个定点F1、F2的距离的_____等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的______，_______间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为__________，当常数小于|F1F2|时，轨迹_______．牛刀小试1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8，(1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是______.(2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是_______.知识点2 椭圆的标准方程思维导航思维导航1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简单．答：求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单，必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能简单，在求椭圆的标准方程时，选择x 轴经过两个定点F 1、F 2，并且使坐标原点为线段F 1F 2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，便于推导方程．2．在推导椭圆方程时，为何要设|F 1F 2|＝2c ，常数为2a ？为何令a 2－c 2＝b 2？答：在求方程时，设椭圆的焦距为2c (c >0)，椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a (a >0)，这是为了使推导出的椭圆的方程形式简单．令a 2－c 2＝b 2是为了使方程的形式整齐而便于记忆．3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？答：(1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方．4．椭圆的标准方程 ，参数a 、b (a >b >0)有什么意义？方程x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1有何不同？a 、b 、c 满足什么关系？答：a 表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a 、b 、c 的关系如图．当a >b >0时，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，方程y 2a 2＋x 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就大．牛刀小试2．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)3．椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．44．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8；(2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过点(3，－5)．命题方向1 椭圆的定义例1 (1)椭圆x 225＋y 216＝1上一点M 到一个焦点的距离为4，则M 到另一个点的距离为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．2(2)如果方程x 24－m ＋y 2m －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( ) A ．3<m <4B ．m >72C ．3<m <72D ．72<m <4 方法规律总结1.由椭圆的标准方程可求a 、b 、c 的值，进而可求焦点坐标等．2.椭圆标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在哪个轴上．3.当问题中涉及椭圆上的点到焦点距离时，注意考虑可否利用定义求解．跟踪训练1(1)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)椭圆x 225＋y 29＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 2交椭圆于P 、Q 两点，则△PQF 1的周长为__________.命题方向2 求椭圆的标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4，32)；(3)经过两点(2，－2)，(－1，142)．方法规律总结 求椭圆的标准方程常用的方法有：定义法和待定系数法．无论何种方法都应做到：①先定位：即确定焦点的位置，以便正确选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，就需分类讨论，或者利用椭圆方程的一般形式(通常设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B ))，避免讨论；②后定量：根据已知条件，列出方程组求解未知数．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)，且过点(－32，52)，则椭圆的标准方程为__________.(2)已知椭圆经过点(3，12)，(152，－14)，求其标准方程．命题方向3 焦点三角形问题例3 如图所示，已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．方法规律总结 在解焦点三角形问题时，一般有两种方法：(1)几何法：利用两个关系式：①|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；②利用正余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|的关系式，然后求出|PF 1|，|PF 2|.但是，一般我们不直接求出，而是根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体来处理．(2)代数法：将P 点坐标设出来，利用条件，得出点P 的坐标间的关系式，再由点P 在椭圆上，代入椭圆方程，联立方程组，解出点P 的纵坐标，然后求出面积．跟踪训练3已知椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8命题方向4 定义法解决轨迹问题例4 已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．方法规律总结如果在条件中有两定点，涉及动点到两定点的距离，可考虑能否运用椭圆定义求解．利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．跟踪训练4已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．参考答案新知导学1．连结这两点的线段的垂直平分线2．和 焦点 两焦点 线段|F 1F 2| 不存在牛刀小试1．【答案】 (1)以F 1、F 2为焦点，焦距为8的椭圆 (2)线段F 1F 2【解析】 (1)因为|F 1F 2|＝8且动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10>8＝|F 1F 2|，由椭圆定义知，动点M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，焦距为8的椭圆．(2)因为|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2.牛刀小试2．【答案】 C【解析】 ∵椭圆方程为x 225＋y 2169＝1， ∴椭圆焦点在y 轴上，又∵a ＝13，b ＝5，∴c ＝12，∴椭圆焦点坐标为(0，±12)．3．【答案】 B【解析】 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.4．解：(1)椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知，得2a ＝8，得a ＝4.又因为c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7.因此，所求椭圆的标准方程为x 216＋y 27＝1. (2)椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知，得c ＝4.因为c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝b 2＋16. ①因为点(3，－5)在椭圆上， 所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.将①式代入②，得5b 2＋16＋3b 2＝1， 解得b 2＝4(b 2＝－12舍去)．由①得a 2＝4＋16＝20.因此，所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 命题方向1 椭圆的定义例1 【答案】 (1)B (2)C【解析】 (1)设椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，不妨令|MF 1|＝4， 由|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，得|MF 2|＝10－|MF 1|＝10－4＝6，故选B ．(2)由题意，得4－m >m －3>0，∴3<m <72. 跟踪训练1【答案】 (1)B (2)20【解析】 (1)若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时， 可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．(2)如图，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝10，∴△PQF 1的周长等于|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝|PF 1|＋|PF 2|＋|QF 1|＋|QF 2|＝4a ＝20.命题方向2 求椭圆的标准方程例2 解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)解法一：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6.又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝32.∴椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. 解法二：∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 18a 2＋16b 2＝1a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36b 2＝32. ∴椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1. (3)解法一：若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝11a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8b 2＝4. ∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在.综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 解法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，(1，142)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4A ＋2B ＝1A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧ A ＝18B ＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 跟踪训练2(1)【答案】y 210＋x 26＝1 【解析】(定义法)由椭圆的定义知，2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋(－32)2＋(52－2)2＝210， ∴a ＝10.又c ＝2，∴b 2＝6.又∵椭圆的焦点在y 轴上，∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)解：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，把点(3，12)，(152，－14)分别代入方程， 列方程组为⎩⎨⎧ 3A ＋B 4＝1，15A 4＋B 16＝1，解得A ＝14，B ＝1， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 2＝1. 命题方向3 焦点三角形问题 例3 解：在椭圆y 25＋x 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1，又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25 ① 由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° ＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4 ②①式两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③ ③－②得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3. 跟踪训练3 【答案】 A【解析】 解法一：几何法如图，由已知得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝64. 由此可得|PF 1||PF 2|＝18，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|＝9.解法二：代数法设点P 坐标为(x ，y )，由已知得a ＝5，b ＝3，∴c ＝4.∵PF 1⊥PF 2，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即：x 2＋y 2＝16，又∵点P 在椭圆上，所以x 225＋y 29＝1， 联立方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x 2＋y 2＝16，解得：y ＝±94， ∴S △F 1PF 2＝12|F 1F 2||y P |＝12×8×94＝9. 命题方向4 定义法解决轨迹问题例4 解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．跟踪训练4解：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M和内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，∴|MC2|＝3＋r.∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求椭圆方程为x264＋y248＝1.。
【数学】2.1.1《椭圆及其标准方程(三)》教案(新人教A版选修1-1)
2.1.1椭圆及其标准方程（三）教学目标：理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导方法. 重点难点分析教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程. 教学难点：椭圆标准方程的推导. 教学设计： 【讲授新课】 【复习引入】1．椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）【讲授新课】.,.2,,1的轨迹中点求线段段轴作垂线向从这个圆上任意一点半径为标原点已知一个圆的圆心为坐如图例M P P P P x P ''解: (相关点法)设点M (x , y ),点P (x 0, y 0),则x ＝x 0, y ＝ 20y得x 0＝x ， y 0＝2y.∵x 02＋y 02＝4, 得 x 2＋(2y )2＝4,即.142=+y x 所以点M 的轨迹是一个椭圆. 解法二:设线段PQ 中点为M (x , y )．∵圆的参数方程：⎩⎨⎧==.sin 2cos 2θθy x ，∴点M 轨迹的参数方程：⎩⎨⎧==.sin cos 2θθy x ，M 点的轨迹方程：.1222=+⎪⎭⎫⎝⎛y x.94)6,0()6,0(.2的轨迹方程求顶点，的斜率的乘积是、另两边和的两个顶点坐标分别是例C BC AC B A ABC --∆解:设顶点C 的坐标为(x , y ).由题意得.9466-=+⋅-x y x y y O F 1F 2x Mc cxF 2F 1O y M c cy xPO P 'M 6yxBAO-6∴顶点C 的轨迹方程为1368122=+y x (x ≠0).(y ≠±6) .,94,)0,6()0,6(的轨迹方程求顶点的斜率的乘积是、另两边和的两个顶点坐标分别是练习C BC AC B A ABC --∆1163622=+y x (x ≠±6)(y ≠0)课堂练习1. 如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB |＝5，点M 是AB 上一点.且|AM |＝2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.)(14 .2212122==+PF P x F F F y x ，则交点为一个轴的直线与椭圆相交，作垂直于，过，的两个焦点为椭圆4 D. 27 C. 3 B. 23A. 【课堂小结】1.两种椭圆的标准方程：当焦点在x 轴上，则标准方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）当焦点在y 轴上，则标准方程为12222=+bx a y （a ＞b ＞0）2.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法【课后作业】1. 阅读教科书；2. 《习案》作业十.B A O6-6y x y x BAO M。
椭圆及其标准方程导学案
2.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）导学案【学法指导】1.仔细阅读教材（P28—P30），独立完成导学案，规范书写，用红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。
2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。
【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式。
2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
【学习重、难点】学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．【预习案】预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P28，回答下列问题）1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数． 2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。
3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是 将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹存在吗？结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a2>|1F 2F | )。
a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ； a2<|1F 2F |时，点的轨迹 。
预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
【探究案】探究一、椭圆定义的应用 1.设P 是椭圆1162522=+yx 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）A.10B.8C.5D.4 （解法指导：由椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。
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精品教学教案设计| Excellent teaching plan
教师学科教案
[20 -20学年度第—学期]
任教学科：________________ 任教年级：________________ 任教老师：________________
xx市实验学校
《椭圆及其标准方程》导学案
第一课时
学习目标:
1 •从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2 •掌握椭圆的定义；
3 •掌握椭圆的标准方程.
自主学习：(认真自学课本P32-P34)
新知1 :我们把平面内与两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数(大于FT ?)的点的轨迹叫 做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
思考：若将常数记为 2a
当2a |F i F 2时，其轨迹为 ____________ ; 2a 丁应］时，其轨迹为 ___________ . 试试：
已知F i ( 4,0) , F 2(4,0)，到F i , F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是 _______________ 应用椭圆的定义注意两点：
2 2
新知2：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程笃爲i a b 0 ,其中a 2 b 2 c 2.若焦点
a b
在y 轴上，两个焦点坐标 ___________ ，则此时椭圆的标准方程是 ___________ .
预习自测：
2、 椭圆的焦点坐标为(-6, 0) , (6, 0) , PF | PF 2 20则其方程为 _________ .
2 2
x y 3、 椭圆一一1的焦点坐标
25 9
合作探究：
例1 .(教材P34例1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是
2,0 , (2,0)，并且经过点
5 3
, ，求它的标准方程. 2 2
例2.焦点在x 轴上的椭圆过点
2,0 , (2,0) , (0,1)，求它的标准方程.
目标检测:
①分清动点和定点;
②看是否满足常数2a F 1F 2 .
X 2
1、设P 是椭圆一
25 2
y
16
1上的一点, R, F 2是椭圆的两个焦点, PF 1 PF 2
M 到两定点F i 、F 2距离之和为常数2a ,则点M 的轨迹为（）
距离是（）
的另外一个焦点在 BC 边上，贝U ABC 的周长是（
A . 2 .3
B . 6
C . 4 .3
D . 12
4. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴a 4,b 1，焦点在x 轴上;
⑵a 4,c - 15，焦点在y 轴上;
⑶ a b 10,c 2 5 .
A .椭圆
B •圆
C .无轨迹
D •椭圆或线段或无轨迹
2.如果椭圆 x 2 100
36
1
上一点P 到焦点
F i 的距离等于6,那么点P 到另一个焦点F 2的
1 •平面内一动点 A . 4 B . 14 C . 12
2
X
3. 已知 ABC 的顶点B 、C 在椭圆 一
3
1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆
《椭圆及其标准方程》导学案
第二课时
学习目标:
1.掌握点的轨迹的求法；
2 •进一步掌握椭圆的定义及标准方程.
自主学习：（认真自学课本P34-P36）
2 2
复习1椭圆上—1 一点P 到椭圆的左焦点F i 的距离为3，则P 到椭圆右焦点F 2 25 9 的距离是 ________________ .
复习2：在椭圆的标准方程中， a 6 , b v'35，则椭圆的标准方程是 ____________________
2 2
复习3•椭圆—
1的焦距为2，则n 等于
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n
合作探究:
y 2 4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD , D 为垂
例2（教材P35例3）设点A,B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 ,.直线AM ,BM 相交于点M ,
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且它们的斜率之积是
-，求点M 的轨迹方程. 9
例1.（教材P34例2）在圆x 2 足.当点P 在圆上运动时，线段 PD 的中点M 的轨迹是什么?
学习小结
①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点M的坐标x，y与中间x°,y°的关系，然后消去“y。
，得到点M的轨迹方程.
目标检测
1.若关于x,y的方程x2sin y2 cos 1所表示的曲线是椭圆，则在（）.
A.第一象限
B.第二象限 C .第三象限 D .第四象限
2.若ABC的个顶点坐标A( 4,0)、B(4,0), ABC的周长为18 , 则顶点C的轨迹方程为（）.
22 2 22222
x A. 乂1y x B. 1 (y 0) C .- 1 (y 0)D. x 1 (y 0) 25925 9169259
B（3, 0）连线的中点P的轨迹方程?
3. 一动点C在曲线x2+ y2= 1上移动时，求它和定点
4. 点A,B的坐标是1,0 , 1,0，直线AM ,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？。