内蒙古高考数学一模试卷(理科)
2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）1.设，则复数z对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知集合，，则( )A. B.C. D.3.已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D.4.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )A. B.C. D.5.在正四棱柱中，已知，，R为BD的中点，则直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.6.将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有( )A. 2400种B. 1800种C. 1200种D. 1600种7.把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则( )A. B. C. D.8.在区间和中各随机取1个数x和y，则的概率为( )A. B. C. D.9.已知为数列的前n项积，若，则数列的前n项和( )A. B. C. D.10.设，若为函数的极小值点，则( )A. B. C. D.11.设P是椭圆的下顶点，若C上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.12.设，，，则( )A. B. C. D.13.已知向量，，若，则______.14.已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，则C的离心率为______.15.记为数列的前n项和．若，，则______.16.在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥．所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______写出符合要求的一组答案即可17.某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费单位：元与印刷数量单位：千册的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．52307表中，根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？只要求给出判断，不必说明理由根据的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程结果精确到；若该图书每册的定价为9元，则至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元假设能够全部售出附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，18.如图，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和异于村庄设计要求单位：千米若，求BF的值保留根号；若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小即工厂F与村庄B的距离最远，并求其最远距离精确到，取19.如图，四棱锥的底面是长方形，底面ABCD，，，，证明：平面平面SAC；求直线SB与平面SCD所成角的正弦值．20.设函数，已知是函的极值点．求m；设函数证明：21.已知抛物线M：的焦点为F，且F与圆C：上点的距离的最大值为求抛物线M的方程；若点Q在C上，QA，QB为M的两条切线，A，B是切点在B的上方，求面积的最小值．22.在直角坐标系xOy中，的圆心为，半径为写出的一个参数方程；直线l与相切，且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，若l与两坐标轴所围成的三角形OAB的面积为6，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l的极坐标方程．23.已知函数当时，求不等式的解集；若，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设，则，，，，解得，，复数z对应的点在第四象限．故选：根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：因为集合，，所以且，故选：根据交集的定义计算即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，对于p，当时，有，p为假命题，对于q，当时，，q为真命题，则、、是假命题，是真命题，故选：根据题意，分析命题p、q的真假，由复合命题的真假分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称、特称命题的真假，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：A：令，，则，故A满足题意；B：令，，则，即为偶函数，不符合题意；C：，，定义域关于原点不对称，故非奇非偶函数，C不符合题意；D：，，定义域关于原点不对称，故非奇非偶函数，D不符合题意．故选：结合函数的奇偶性的定义分别检验各选项即可．本题主要考查了函数的奇偶性的判断，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：连接，，则，则直线与所成角的平面角为或其补角，又在正四棱柱中，，，R为BD的中点，则，，，所以，所以为直角三角形，所以直线与所成角的正弦值为，故选：连接，，则，则直线与所成角的平面角为或其补角，再解三角形求值即可．本题考查了异面直线所成角，考查了转化思想，属基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将6名教师分为5组，有种分组方法，②将分好的5组全排列，安排到5个学校，有种分法，则有种分配方法，故选：根据题意，分2步进行分析：①将6名教师分为5组，②将分好的5组全排列，安排到5个学校，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意，把函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；再把所得函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，故选：由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在区间和中各随机取1个数x和y，其基本事件可用如图所示的正方形区域表示，则的基本事件可用阴影部分区域表示，则的概率为，故选：先作出各事件对应的平面区域，再求面积之比即可得解．本题考查了几何概型中的面积型，重点考查了作图能力，属基础题．9.【答案】D【解析】解：当时，；当时，，于是是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故选：先将等式化为，的关系式并化简，然后根据等差数列的定义求出，由等差数列前n项和公式可得结果．本题考查了数列的通项和等差数列的求和，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：因为，所以，，，，所以当时，为函数的极小值点，当时，为函数的极大值点，因为，故选：先求导数，再根据极小值必要条件判断即可．本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：点B的坐标为，设，则，，故，，又对称轴，当时，即时，则当时，最大，此时，当时，即时，则当时，最大，此时，则，即，所以满足题意，综上，满足题意，，即，，综上所述的e的范围为故选：设，可得，，结合二次函数的性质即可求出离心率的取值范围．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于难题．12.【答案】D【解析】解：，构造函数，，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以，即，故选：利用对数函数单调性可得，利用函数在上的单调性可得n、k 大小关系，然后可得正确选项．本题考查函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．13.【答案】【解析】解：向量，，，，则，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据条件可得，，则，焦点坐标为，渐近线方程为，故焦点到渐近线距离，故，所以离心率，故答案为：求出双曲线的焦点到条渐近线的距离，可得，求出c，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的几何性质等知识，属于中等题．15.【答案】62【解析】解：由，令，则，若，则，不符合，舍去．数列为等比数列，取，则，，解得，，，则，故答案为：由，令，可得，，进而判断出数列为等比数列，取，可得，解得q，进而得出，利用求和公式即可得出本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】④⑤或⑤④【解析】解：根据题意，在一个正方体中，红过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次为④⑤；如果几何体如图所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次为⑤④．故答案为：④⑤或⑤④根据正视图，结合题意，作出几何体直观图，由此再判断，即可求出结果．本题考查侧视图和俯视图的判断，考查正方体、三棱锥的结构特征，三视图的性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．17.【答案】解：由散点图判断更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程．令，先建立y关于u的线性回归方程．由于，故，所以y关于u的线性回归方程为，从而y关于x的回归方程为假设印刷x千册，依据题意得，解得，所以至少应该印刷12000册图书，才能使销售利润不低于80000元．【解析】根据散点图即可得出答案；令，根据题中数据求出v关于u的线性回归方程，从而可得出答案；假设印刷x千册，依据题意得，解之即可得解．本题考查了非线性回归方程的求解，属于中档题．18.【答案】解：若，又，所以此时，又为边长为3的等边三角形，所以，在中，因为，在中，若，在中，，所以，在中，，其中，所以，即，当且仅当时，即时，取得最大值27，此时千米，所以当为时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小，此时工厂距离村庄B的最远距离约为千米．【解析】由题意可求，利用等边三角形的性质可得，在中，可求，在中利用勾股定理即可求解BF的值．利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，利用正弦函数的性质即可求解．本题主要考查与三角函数有关的应用问题，熟练应用正弦定理，余弦定理以及三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．19.【答案】证明：因为平面ABCD，又平面ABCD，所以又，且，所以平面SAC，又平面SBE，所以平面平面解：由可知，，，在长方形ABCD中，，故可以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，所以，，因为，所以，得，所以注：也可以连接AC交BE于H，证明∽，故，，设，则在中，，又在中，，所以，解得，故因为，，，，，所以，，，设平面SCD的法向量为，则即令，则，设SB与平面SCD所成角为，则所以SB与平面SCD所成角的正弦值为【解析】证明出，结合以及线面垂直的判定定理可得出平面SAC，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；以点A为坐标原点，AB、AD、AS所在直线分别为x，y、z轴建立空间直角坐标系，设，利用求出t的值，然后空间向量法可求得直线SB与平面SCD所成角的正弦值．本题考查线面角，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，，则，因为是函数的极值点，所以，所以，故证明：由得，，设，则，当时，，即，所以在区间单调递增，当时，，即，所以在区间单调递减，因此当时，，的定义域要求有意义，即，同时还要求，即要求，故的定义域为且要证，因为，所以只需证，即需证，令，则且，则只需证，即证，令，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即成立．【解析】求出函数的导数，根据是极值点，得到关于m的方程，解出即可；求出，求出函数的定义域，问题转化为，令，则且，问题转化为证，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．21.【答案】解：由题意知，，圆C的半径为，所以，即，解得，所以抛物线M的方程为设，，直线AB的方程为，联立方程组，消去x，得，则，，所以，因为，所以或，则或，所以切线QA的斜率为，其方程为，即，同理切线QB的斜率为，其方程为联立方程组，解得，即点Q的坐标为，因为点Q在圆C上，所以，且，，即，满足判别式的条件．点Q到直线AB的距离为，所以，又由，得，令，则，且，因为在区间上单调递增，所以当时，t取得最小值4，此时，所以面积的最小值为【解析】由题意知，解得，即可求抛物线M的方程；设直线AB的方程为，联立方程组求得，求得切线QA、QB的方程，联立方程组，即可求点Q的坐标为，又点Q到直线AB的距离为，即可得，利用导数即可求解．本题考查直线与抛物线的综合运用，具体涉及到抛物线的基本性质及应用，直线与抛物线的位置关系、圆的简单性质等基础知识，属于难题．22.【答案】解：由题意可得，圆M的标准方程为，故圆M的一个参数方程为为参数由题意可知，斜率的斜率存在，设切线方程为，即，圆心到直线l的距离为1，，化简可得，，又，，，即，由题意可知，，，故，联立方程组，解得或，所以直线l的直角坐标方程为或，所以直线l的极坐标方程为或【解析】求出圆的标准方程，即可求得圆的参数方程．先求出直线的直角坐标方程，利用公式，即可求出极坐标方程．本题主要考查极坐标方程，考查计算能力，属于中档题．23.【答案】解：当时，，则，故，即，当时，得，解得，当时，得，不成立，当时，得，解得，综上，原不等式的解集为，当x的值在与4之间包括两个端点时取等号，若，则只需，当时，，恒成立，当时，等价于，或，解得，综上，a的取值范围为【解析】代入a的值，求出的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；问题转化为解关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．。
内蒙古自治区高考数学一模试卷(理科)D卷
内蒙古自治区高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)2. （2分）(2013·四川理) 如图，在复平面内，点A表示复数z的共轭复数，则复数z对应的点是（）A . AB . BC . CD . D4. （2分）(2017·武邑模拟) 在平行四边形ABCD中，，则 |=（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二下·福州期中) 已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；正确的有（）A . ①②③B . ①②C . ①③D . ②③6. （2分）函数f(x)=2x-sinx的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2016高一下·宜春期中) 把函数y=sin（2x+ ）的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是（）A . y=sin（4x+ π）B . y=sin（4x+ ）C . y=sin4xD . y=sinx8. （2分） (2016高三上·闽侯期中) 定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（）A . f（2a）＜f（2）＜f（log2a）B . f（2）＜f（2a）＜f（log2a）C .D .9. （2分） (2017高二上·泉港期末) 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为时，则输入的x值为（）A .B . ﹣1C . ﹣1或D . ﹣1或10. （2分） (2018高二下·牡丹江月考) ①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“ 与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③12. （2分）设f（x）=|x﹣1|（x+1）﹣x，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A .B .C . 0＜k＜1D . ﹣1＜k＜1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·聊城期中) 2018年3月22 日,中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛,小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛,赛场-排有个位置,若这人并排而坐,则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有________种．14. （1分）(2017·成武模拟) 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．15. （1分）(2017·九江模拟) 在（1﹣x3）（2+x）6的展开式中，x5的系数是________．（用数字作答）16. （1分） (2015高二下·忻州期中) 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，|BF|=2，则△BCF和△ACF的面积之比为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高三上·闽侯期中) 已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2 +1（1）求证数列{ }是等差数列，并求出an的通项公式；（2）若bn= ，求数列{b}的前n项的和Tn．18. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）﹣1（A＞0，|φ|＜）的图象两相邻对称中心的距离为，且f（x）≤ =1（x∈R）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈ 时，求f（x）的取值范围．19. （10分）(2017·黄石模拟) 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．20. （10分） (2018高三下·滨海模拟) 已知 ,椭圆的离心率 ,是椭圆的右焦点,直线的斜率为 ,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的动直线与椭圆相交于 ,两点,当的面积最大时,求直线的方程.21. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.22. （10分）(2016·南平模拟) 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过定点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，若直线l和曲线C相交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．23. （10分） (2016高三上·贵阳模拟) 设函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣4|；（1）解不等式f（x）≥1；（2）若对∀x∈R，都有f（x）+3|x﹣2|＞m，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)2-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷(理科)解析版
20. 已知椭圆 C：
离心率为 ，直线 x=1 被椭圆截得的弦长为 ．
（1）求椭圆方程； （2）设直线 y=kx+m 交椭圆 C 于 A，B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 x=1 上， 求证：线段 AB 的中垂线恒过定点．
21. 已知函数 f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe1-x． （1）求函数 g（x）在区间（0，e]上的值域； （2）是否存在实数 a，对任意给定的 x0∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同 的 xi（i=1，2），使得 f（xi）=g（x0）成立．若存在，求出 a 的取值范围；若不存 在，请说明理由．
，则 y=f(x)的图象大致为(
)பைடு நூலகம்
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A.
B.
C.
D.
11. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的 外接球表面积（ ）
A.
B. 2
C. 4
12. 已知 2a=3b=6，则 a，b 不可能满足的关系是（ ）
A. a+b=ab
B. a+b＞4
（2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取 出的 3 个数据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列 和期望； （3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了 一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣 传效果，并根据已有数据陈述理由．
16. 数列
的前 n 项和为 Sn，若 S1，Sm，Sn 成等比数列（m＞1），则正整数 n
值为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
内蒙古包头市2021届高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
内蒙古包头市2021届高考数学一模试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设A，B，C为全集R的子集，定义A−B=A∩(∁R B)，则()A. 若A∩B⊆A∩C，则B⊆CB. 若A∩B⊆A∩C，则A∩(B−C)=⌀C. 若A−B⊆A−C，则B⊇CD. 若A−B⊆A−C，则A∩(B−C)=⌀2.已知cosα=1213，α∈(3π2,2π)，则sin(α+π4)等于()A. 7√226B. −17√226C. 5√226D. 6√2133.同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为()A. B. C. D.4.等差数列{a n}中，a1=1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比，则S6=()A. −24B. −3C. 3D. 85.已知圆C：x2+y2−2x−2y−2=0与直线l：x−y+b=0，若直线l与圆相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则b的值为()A. ±√6B. √6C. ±√2D. √26.在数列{}中，若，则()A. 1B.C. 2D. 1.57.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120°的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为()A. 20πB. 20√53π C. 25π D. 25√5π8.已知点A是抛物线y2=4x与双曲线x23−y2b2=1(b>0)的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|=4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为()A. 2√6B. 4C. 2√3D. 29.下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是()A. y=cosxB. y=1xC. y=lgxD. y=e x−e−x10.设a=20.2，b=log30.9，c=1+log0.14，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a11.已知底面半径为1的圆锥的底面圆周和顶点都在表面积为16π的球面上，则该圆锥的体积为()A. 2+√33π B. 2−√33πC. (2+√3)πD. 2+√33π或2−√33π12.已知正项等比数列{a n}，向量a⃗=(a3,−8)，b⃗ =(a7,2)，若a⃗⊥b⃗ ，则log2a1+log2a2+⋯+log2a9=()A. 12B. 16C. 18D. 6+log25二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知两个单位向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则向量a⃗−b⃗ 在向量a⃗方向上的投影为______．14.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品那么安全存放的不同方法种数为______种(用数字作答)15.已知复数z满足(z+i)(1+i)=3−i，则|z|=______．16.下列三个命题：①若函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称，则φ=π2；②若函数f(x)=ax−2x−1的图象关于点(1,1)对称，则a=1；③函数f(x)=|x|+|x−2|的图象关于直线x=1对称．其中真命题的序号是______ .(把真命题的序号都填上)三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b=1，a−b+cb =sinCsinA+sinB−sinC．(1)若A=2B，求△ABC的周长；(2)若CD为AB边上的中线，且CD=√3，求△ABC的面积．18.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动，促销规则如下：到该商场购物消费满100元就可转动如图所示的转盘一次，进行抽奖(转盘为十二等分的圆盘)，满200元转两次，以此类推；在转动过程中，假定指针停在转盘的任一位置都是等可能的；若转盘的指针落在A区域，则顾客中一等奖，获得10元奖金；若转盘落在B区域或C区域，则顾客中二等奖，获得5元奖金；若转盘指针落在其他区域，则不中奖(若指针停到两区间的实线处，则重新转动).若顾客在一次消费中多次中奖，则对其奖励进行累加．已知顾客甲到该商场购物消费了268元，并按照规则参与了促销活动．(1)求顾客甲中一等奖的概率；(2)记X为顾客甲所得的奖金数，求X的分布列及其数学期望．19.已知圆O：x2+y2=43，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为√22，圆O上在一点P处的切线交椭圆C于两点M，N，当P恰好位于x轴上时，△OMN的面积为43．(1)求椭圆C的方程；(2)试判断|PM|⋅|PN|是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．20.三棱锥A−BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A−NP−M的余弦值．21.已知函数(1)求函数的单调区间；(2)设，对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。
内蒙古自治区包头市2024届高三一模数学(理)试题(含答案与解析)_4675
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}2,0,2A =-，{}2230,B x x x x =--≤∈Z，则()UA B =ð（ ） A. {}2,1,1,3--B. {}2,1,3-C. {}1,1,3-D. {}2,1--2. 设复数z 满足32i z z -=，z =，复数z 所对应的点位于第四象限；则z =（）A.B. 1i -C. 1i +D.3. 某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P ，则点P 到它所对的面的距离为（ ）A.B.C.D..4. 已知()()31031x x b f x b b ⋅-=>⋅+是奇函数，则b =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 15. 设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件C 是独立事件 C. ()37P C A =D. ()13P A =6. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. B. 1-C. 2-D. 07. 已知81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7-，则实数a 等于（ ）A. 1-B. 12-C.12D. 18. 如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ，点P 为圆弧AD 上的动点．当三棱锥P BCD -的体积最大时，二面角P BC D --的余弦值为（ ）A.B.C.D.9 已知等差数列{}n a 中，19a =，43a =，设12||||||n n T a a a =++⋅⋅⋅+，则21T =（ ）A. 245B. 263C. 281D. 29010. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为1:3，它们的体积之和为4π，则该球的表面积为（ ）.A. 18πB. 16πC. 12πD. 9π11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线by x a=-上，则ORF 的面积为（ ）A.B. 2C. 3D.12. 如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠= ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =，3BF FC =．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+∈R ，则DM CA ⋅ 等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =______. 14. 执行如图的程序框图，如果输入的[]1,5t ∈-，则输出的s 的取值范围是__________．15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则21S =__________． 16. 已知函数()()2e exxf x x x-=-+，若()()()f a f b f a b <<+，现有下列4个结论：①0ab >；②0ab <；③()0a b b +>；④()0a b a +<．则其中正确的有__________．（填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg ）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值中位数n ，并将日平均降低血压数值超过n 和不超过n 的患者数填入下面的列联表：超过n不超过n服用甲药 服用乙药（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异？附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++， ()20P K k ≥0150.10 0.050k2.072 2.7063.84118.如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是斜边AC 上的一点，AB =，=BC ．的.（1）若60DBC ∠=︒，求ADB ∠和ADB 的面积；（2）若BD =，求CDDA的值． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB CD ，点E 在棱PB 上，2PE EB =，点F ，H 是棱PA 上的三等分点，点G 是棱PD 的中点．223PC CB CD AB ====，AC =（1）证明：HD ∥平面CFG ，且C ，E ，F ，G 四点共面； （2）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（3）求直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值．20. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>，(10,F 是C 的一个焦点，4,3D ⎛- ⎝是C 上一点，R 为C 的左顶点，直线()000y y y =≠与C 交于不同的两点P ，Q ． （1）求C 的方程；（2）直线RP ，RQ 分别交y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点；在x 轴上是否存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 21. 设函数()()2e 2sin 212xf x a x ax a x =+--+． （1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性，并证明()1f x ≥； （2）证明：①当x ∈R 时，e 1x x ≥+；②当0x ≥时，sin x x ≥，当0x ≤时，sin x x ≤； ③当14a =时，函数()y f x =存在唯一的零点． （二）选考题：共10分．请考生在第22、33题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的普通方程为()222001,21x y y x y ++=≤≤-≤≤-，曲线2C 的普通方程为()22420,20x y x y +=-≤≤-≤≤．（1）写出2C 的一个参数方程；（2）若直线极坐标方程为cos sin m ρθρθ+=，且该直线与1C 或2C 有公共点，求m 的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()22f x x x =++． （1）求不等式()6f x x ≥+的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩所确定的平面区域的面积．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}2,0,2A =-，{}2230,B x x x x =--≤∈Z，则()UA B =ð（ ） A. {}2,1,1,3-- B. {}2,1,3-C. {}1,1,3-D. {}2,1--【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将集合B 化简，再由交集以及补集的运算，即可得到结果.【详解】因为{}()(){}{}2230,310,1,0,1,2,3B x x x x x x x x =--≤∈=-+≤∈=-Z Z ，则{}0,2A B =I ，所以(){}2,1,1,3U A B =-- ð. 故选：A的2. 设复数z 满足32i z z -=，z =，复数z 所对应的点位于第四象限；则z =（）A.B. 1i -C. 1i +D.【答案】B 【解析】【分析】设出复数，由题意有2i 2i z y z ==--，且212,0x x +=>，求出,x y 即可得解.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，则()()3i i 2i 2i 2i z z x y x y y ==+--=--=，所以1y =-，又z =，复数z 所对应的点位于第四象限，所以212,0x x +=>，解得1x =，从而1i z =-. 故选：B.3. 某几何体的三视图如图所示，设三视图中三个直角顶点在该几何体中对应的点为P ，则点P 到它所对的面的距离为（ ）A. B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】首先将三视图还原得到三棱锥-P ABC ，,,PA PB PC 两两垂直，2PA PB PC ===，然后根据等体积法求高即可.【详解】考虑三棱锥-P ABC ，,,PA PB PC 两两垂直，2PA PB PC ===，从点P 朝平面ABC 看时，,,A B C 顺时针排列.分别将,,BP AP CP定为看向该几何体的主视图、左视图、俯视图视线方向，即得到所求三视图.考虑将该几何体放入正方体中，此时，该几何体的体积1463V PA PB PC =⋅⋅=， 同时设P 到平面ABC 的距离为h ，则又有3ABC hV S = .容易得到ABC是边长为(2ABCS ==从而3ABC V h S === . 故选：D.4. 已知()()31031x xb f x b b ⋅-=>⋅+是奇函数，则b =（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0b >，则函数()()31031x xb f x b b ⋅-=>⋅+的定义域为R ， 即()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 则()1001b f b -==+，所以1b =.经检验，当1b =时，()f x 为奇函数，满足题意. 故选：D.5. 设甲盒中有4个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，4个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件B 与事件C 是互斥事件 B. 事件A 与事件C 是独立事件 C. ()37P C A = D. ()13P A =【答案】C 【解析】【分析】直接用古典概型、条件概率公式求出()P A ，()P B ，()P C A ，()P C B ，()P C ，然后逐项判断即可.【详解】由于甲盒中有6个球，其中有4个红球，2个白球，故()23P A =，()13P B =. 如果从甲盒中取出了红球，则在乙盒中取球时，有3个红球，4个白球，故()37P C A =，如果从甲盒中取出了白球，则在乙盒中取球时，有2个红球，5个白球，故()27P C B =，同时，我们有()23128373721P C =⋅+⋅=.由于()207P C B =>，故A 错误；由于()821P C =，()()()()()3221673763P AC P C A P A P A P C ==⨯=≠=，故B 错误； 而()37P C A =，()23P A =，故C 正确，D 错误.故选：C.6. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最大值为2，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A. B. 1-C. 2-D. 0【答案】B 【解析】【分析】利用题目条件求出()f x 的解析式，然后讨论()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性即可.【详解】由条件知2A =，ππ2ω=，πsin 012ωϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 从而2A ω==，πsin 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以ππ,Z 6k k ϕ-=∈，即ππ+,Z 6k k ϕ=∈，又因为π2ϕ<，故π0,6k ϕ==.这说明()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，该函数在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减. 又()π01,12f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-. 故选：B.7. 已知81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中第六项的系数为7-，则实数a 等于（ ） A. 1- B. 12-C.12D. 1【答案】C 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可求出二项展开式中第六项的系数，从而得到方程，解得即可.【详解】二项式81ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()()88188821C C 1rr r r r r r rT x a x x a ---+⎛⎫⎭⋅⋅=-=-⋅ ⎪⎝ 其中08r ≤≤且N r ∈，所以二项展开式中第六项的系数为()35833C 156a a ⋅=--，依题意可得3567a -=-，解得12a =. 故选：C8. 如图，底面ABCD 是边长为2的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ，点P 为圆弧AD 上的动点．当三棱锥P BCD -的体积最大时，二面角P BC D --的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意当三棱锥P BCD -的体积最大时,此时点P 处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面BCP ，平面BCD 的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解.【详解】三棱锥P BCD -的体积与P 到平面BCD 的距离成正比，故当三棱锥P BCD -的体积最大时,此时点P 处于半圆弧的正中间位置.点P 处于半圆弧的正中间位置时，记AD 的中点为O ，以其为原点，,,AB AD OP 分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.平面BCD 显然有法向量()0,0,1m =， ()()()0,0,1,2,1,0,2,1,0P B C -，设(),,n x y z =为平面PBC 的法向量， 则该向量与()2,1,1PB =-- 和()2,1,1PC =- 均垂直，所以0n PB n PC ⋅=⋅=，从而220x y z x y z --=+-=.令1x =，解得0,2y z ==， 故()(),,1,0,2n x y z == 符合条件，显然二面角P BC D --为锐角，因此所求余弦值为cos,n mn mn m⋅===⋅.故选：D.9. 已知等差数列{}n a中，19a=，43a=，设12||||||n nT a a a=++⋅⋅⋅+，则21T=（）A. 245B. 263C. 281D. 290【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出等差数列{}n a的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出【详解】等差数列{}n a中，由19a=，43a=，得公差41241a ad-==--，则1(1)211na a n d n=+-=-+，显然当5n≤时，0na>，当6n>时，0na<，所以2112211256721||||||()()T a a a a a a a a a=++⋅⋅⋅+=+++-+++12512215(91)21(931)2()()228122a a a a a a+-=+++-+++=⨯-=.故选：C10. 已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥的高之比为1:3，它们的体积之和为4π，则该球的表面积为（）A. 18πB. 16πC. 12πD. 9π【答案】B【解析】【分析】首先根据同底圆锥高的比得到r R=，两个圆锥的高分别是3,22R R，而由它们的体积之和为4π即可求出R，进而得解.【详解】记该截面和球的半径分别为,r R，由于两个圆锥的高之比为1:3，故球心到该截面的距离为2R 2R =，r R =. 而两个圆锥的高分别是3,22R R ，故体积之和22132ππ3223R R V r r R ⎛⎫=⋅⋅+= ⎪⎝⎭.从而23364r R R ==，故r =，2R =. 该球的表面积24π16πS R ==.故选：B.11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，若F 关于渐近线b y x a =的对称点R 恰好落在渐近线b y x a =-上，则ORF 的面积为（ ）A. B. 2 C. 3 D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由点F 与点R 关于直线b y x a=对称可得60POF ∠=︒，PO PF ⊥，再由三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】设RF 与渐近线b y x a=的交点为P ， 由题意可知2OF =，60POF ∠=︒，PO PF ⊥， 所以1PF PO ==，则12212ORF POF S S ==⨯= 故选：A 12. 如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠= ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =，3BF FC = ．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+∈R ，则DM CA ⋅ 等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】 【分析】以,BE BF 为基底可表示出BM ，由三点共线可构造方程求得x ，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭ ，根据数量积的定义和运算律可求得结果. 【详解】3BE EA = ，3BF FC = ，43BA BE ∴= ，43BC BF = ， 1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF ∴=+=+=--=-- ， ()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF ∴=+=++=+- ， ,,E M F 三点共线，()241133x ∴+-=，解得：34x =，1324DM BA BC ∴=-- ， ()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC ⎛⎫∴⋅=--⋅-=--⋅+ ⎪⎝⎭ 84cos 60122=--+= . 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线l 与C 交于P 、Q 两点，则PQ =______.【答案】5【分析】由题意求出直线l 的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过F 且斜率为2的直线l 方程为：()21y x =-，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()2421y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：2310x x -+=，则123x x +=， 所以12325PQ x x p =++=+=.故答案为：5.14. 执行如图的程序框图，如果输入的[]1,5t ∈-，则输出的s 的取值范围是__________．【答案】[]5,9-【解析】【分析】根据题意，由程序框图代入计算，即可得到结果.【详解】由程序框图可知，当11t -≤<时，5s t =，则[)5,5s ∈-，当15t ≤≤时，()22639s t t t =-=--+，当3t =时，s 取得最大值9，当1t =或5t =时，s 取得最小值5，则[]5,9s ∈，综上所述，s 取值范围是[]5,9-.故答案为：[]5,9-15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则21S =__________．【答案】6 的【分析】根据题意，由递推公式可得数列{}n a 是周期为6的数列，再由60S =代入计算，即可得到结果.【详解】因为12a =，23a =，21n n n a a a ++=-，则3211a a a =-=，4322a a a =-=-，5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=， 所以数列{}n a 是周期为6的数列，且61234562312310S a a a a a a =+++++=++---=， 所以2136331236S S S a a a ⨯+===++=.故答案为：616. 已知函数()()2e e x x f x x x -=-+，若()()()f a f b f a b <<+，现有下列4个结论：①0ab >；②0ab <；③()0a b b +>；④()0a b a +<．则其中正确的有__________．（填上你认为所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】【分析】先证明()f x 是偶函数，且在[)0,∞+上递增，然后利用()()f m f n <当且仅当m n <，为条件变形，从而进一步分析.【详解】显然()f x 定义域为全体实数，又()()()()()22e e e e x x x x f x x x x x f x ---=--+=-=+-，所以()f x 是偶函数， 当0x >时()()()e e 2e e e e 0x x x x x xf x x ---'=+++->->， 从而()f x 在[)0,∞+上递增，故()()f m f n <当且仅当m n <，因为()()()f a f b f a b <<+，所以a b a b <<+，显然,a b 同号，所以0ab >，()0a b b +>，()0a b a +>，从而①③正确，②④错误.故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：关键是得到()()f m f n <当且仅当m n <，由此即可顺利得解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 为了比较两种治疗高血压的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，随机选取20位患者服用甲药，20位患者服用乙药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均降低的血压数值（单位：mmhg ）．根据记录的数据绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种药的疗效更好？并给出两种理由进行说明；（2）求40位患者在服用一段时间后，日平均降低血压数值的中位数n ，并将日平均降低血压数值超过n 和不超过n 的患者数填入下面的列联表：超过n 不超过n 服用甲药服用乙药（3）根据（2）中的列联表，能否有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异？ 附：()()()()()()22a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++， ()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.050k2.072 2.7063.841【答案】（1）乙药的疗效更好，理由见解析（2）18.5n =，列联表见解析 （3）没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异【解析】【分析】（1）根据茎叶图数据分析即可；（2）根据茎叶图数据分析出中位数n ，即可得到列联表；（3）计算出卡方，即可判断.【小问1详解】乙药的疗效更好．参考理由如下：（ⅰ）用各自的平均数说明． 设甲药观测数据的平均数为x ，乙药观测数据的平均数为y ， 由茎叶图可知，()1986551112121314161718192124252627321620x =+++++++++++++++++++=， ()16121214151518202021212222232324252530322020y =+++++++++++++++++++=， 因为x y <，所以乙药的疗效更好．（ⅱ）用茎2和茎3上分布的数据说明．由茎叶图可知，用甲药有30%的患者日平均降低血压数值在20及以上，用乙药有65%的患者日平均降低血压数值在20及以上，所以乙药的疗效更好．（ⅲ）用各自的中位数说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值的中位数为15，用乙药的患者日平均降低血压数值的中位数为21，所以乙药的疗效更好．（ⅳ）用各自的叶在茎上的整体分布说明．由茎叶图可知，用甲药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎1上，且关于茎1大致呈对称分布；用乙药的患者日平均降低血压数值分布集中在“单峰”茎2上，且关于茎2大致呈对称分布，又用两种降压药患者日平均降低血压数值都分布的区间[]5,32内，所以乙药的疗效更好．【小问2详解】由茎叶图可知[)0,10内有6个数据，[)30,40内有3个数据，[)20,30内有16个数据，3161920+=<，则中位数位于[)10,20之间，且[)10,20内的数据从小到大排列为11，12，12，12，12，13，14，14，15，15，16，17，18，18，19，所以中位数181918.52n +==． 列联表如下：超过n 不超过n 服用甲药713 服用乙药137 【小问3详解】由于()2240771313 3.6 3.84120202020K ⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为这两种药物的疗效有差异．18. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是斜边AC 上的一点，AB =，=BC ．（1）若60DBC ∠=︒，求ADB ∠和ADB 的面积；（2）若BD =，求CD DA的值． 【答案】（1）120ADB ∠=︒ （2）2CD DA= 【解析】 【分析】（1）在ADB 中由正弦定理可求ADB ∠，从而确定DBC △是等边三角形，ADB 为等腰三角形，求出边角可得面积.（2）设出DC 长，在BDC 与BDA △中，用双余弦可得CD DA的值. 【小问1详解】由60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，可得30ABD ∠=︒．在ADB 中，由正弦定理可得si n si n AD AB ABD ADB =∠∠，所以sin ADB ∠= 所以120ADB ∠=︒或60︒，又60DBC ∠=︒，故只能有120ADB ∠=︒． 因此，60BDC ∠=︒，又60DBC ∠=︒，所以DBC △是等边三角形，所以DB DC BC ===，又在ADB 中，30ABD ∠=︒，120ADB ∠=︒，故30BAD ∠=︒，所以DA DB ==AB ==，11sin 3024ADB S AD AB =⋅︒== . 【小问2详解】令BDC θ∠=，DC y =，DA x =，则=AB ，在BDC 与BDA △中，由余弦定理可得22262cos 32cos(180)y x x θθ⎧=+-⎪⎨=+-︒-⎪⎩， 消去cos θ，得22422y x y x--=， 整理得()()220y x xy -+=，所以得2y x =，所以2CD DA=． 19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB CD ，点E 在棱PB 上，2PE EB =，点F ，H 是棱PA 上的三等分点，点G 是棱PD 的中点．223PC CB CD AB ====，AC =（1）证明：HD ∥平面CFG ，且C ，E ，F ，G 四点共面；（2）证明：平面PAB ⊥平面PBC ；（3）求直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】 【分析】（1）由中位线得FG HD ∥，结合线面平行的判定定理即可证得HD ∥平面CFG ，要证C ，E ，F ，G 四点共面，只需CE FG ∥，只需CE HD ∥，连接HE ，结合条件证明四边形HECD 是平行四边形即可；（2）由勾股定理得BC AB ⊥，由线面垂直的性质得PC AB ⊥，进一步由线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证；（3）建立适当的空间直角坐标系，分别求出直线PC 与平面CFG 的方向向量、法向量，由向量夹角的坐标公式即可求解.【小问1详解】因为F ，G 分别为,PH PD 的中点，所以FG HD ∥，又FG ⊂平面CFG ，HD ⊄平面CFG ，所以//HD 平面CFG ．连接HE ，在PAB 中，2PE PH EB HA==， 所以HE AB ∥，且23HE AB =， 因为AB CD ，23CD AB =， 所以CD HE =，且CD HE ∥，所以四边形HECD 平行四边形．所以CE HD ∥，又FG HD ∥，所以CE FG ∥，故C ，E ，F ，G 四点共面．【小问2详解】 为由题意可知，3AB =，2BC =，AC =，所以222AB BC AC +=，故BC AB ⊥．又PC ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PC AB ⊥，又,,BC PC C BC PC =⊂ 平面PBC ，故AB ⊥平面PBC ，又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．【小问3详解】因为PC ⊥平面,ABCD BC ，CD ⊂平面ABCD ，所以PC BC ⊥，PC CD ⊥，在平面ABCD 内，AB CD ，AB BC ⊥，所以CD BC ⊥．所以,,CD CB CP 两两互相垂直，以C 为坐标原点，CD的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,0,2P ，()2,0,0D ，()1,0,1G ，()3,2,0A ，241,,33F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 向量()0,0,2CP = ，()1,0,1CG = ，241,,33CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面CFG 的法向量为(),,m x y z = ，则由00m CG m CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得024033x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩， 可取()2,1,2m =--，设直线PC 与平面CFG 所成角为θ，则42sin cos ,323m CP m CP m CP θ⋅====⨯⋅ ． 因此直线PC 与平面CFG 所成角的正弦值为23． 20. 已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>，(10,F 是C的一个焦点，4,3D ⎛- ⎝是C 上一点，R 为C 的左顶点，直线()000y y y =≠与C 交于不同的两点P ，Q ．（1）求C 的方程；（2）直线RP ，RQ 分别交y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点；在x 轴上是否存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）22194y x += （2）存在，H 的坐标为()3,0和()3,0-．【解析】【分析】（1）将点D 坐标代入椭圆方程，再结合椭圆的几何性质，解方程组即可求解；（2）设点()00,P x y ，表示出直线RP 的方程，从而得到点A 的坐标，同理得到点B 的坐标，再由π2OHB OHA ∠+∠=得到2OH OA OB =，坐标代入后结合题中条件进一步计算求出点H 的坐标即可求解.【小问1详解】 由题意可知，椭圆C的半焦距c =， 由222a b c =+得225a b =+，把D 的坐标代入C 的方程得2251619a b +=， 由22225,5161,9a b a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得3,2,a b =⎧⎨=⎩ 所以C 方程为22194y x +=． 【小问2详解】的假设在x 轴上存在点H ，使得π2OHB OHA ∠+∠=． 设(),0H m ，由π2OHB OHA ∠+∠=，可知OHB OAH ∠=∠， 所以tan tan OHB OAH ∠=∠，即OB OHOH OA =，所以2OH OA OB =．因为直线()000y y y =≠交椭圆C 于P ，Q 两点，则P ，Q 两点关于y 轴对称．设()00,P x y ，()00,Q x y -，（022x -<<，且00x ≠）， 由题意得()2,0R -，则直线RP 的方程为()0022y y x x =++，令0x =，得0022A y y x =+， 直线RQ 的方程为()0022y y x x =+-+，令0x =，得0022B y y x =-+， 因为2OH OA OB =，所以2202044y m x =-， 又因为()00,P x y 在C 上，所以2200194y x +=，即22004369y x =-， 所以2220022004369944y x m x x -===--，得3m =±． 当3m =时，由22004369y x =-，得02y == 0022B y OB y x ==-+，0022A y OA y x ==+， 所以002tan 332OBOB y OHB OHx ∠====-，00323tan 2OHx OAH OA OA y +∠====， 所以tan tan OHB OAH ∠=∠，又OHB ∠，OAH ∠为锐角，所以OHB OAH ∠=∠，所以2OHB OHA OAH OHA π∠+∠=∠+∠=，满足题意，同理当3m =-时，也满足题意．所以，在x 轴上存在点H ，使得2OHB OHA π∠∠+=，且H 的坐标为()3,0和()3,0-．21. 设函数()()2e 2sin 212xf x a x ax a x =+--+． （1）当0a ≤时，讨论()f x 单调性，并证明()1f x ≥；（2）证明：①当x ∈R 时，e 1x x ≥+；②当0x ≥时，sin x x ≥，当0x ≤时，sin x x ≤； ③当14a =时，函数()y f x =存在唯一的零点． 【答案】（1）()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，证明见解析（2）①证明见解析；②证明见解析；③证明见解析【解析】【分析】（1）求导得()()e 2cos 412xf x a x ax a '=+--+，令()()g x f x '=，继续求导发现()y g x =即()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=即可得()f x '的单调性，从而()1f x ≥也可得证； （2）①构造函数()()e 1xh x x =-+，求导得其单调性、最值即可得证； ②构造函数()sin r x x x =-，求导得其单调性即可得证； ③当14a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，()13e cos 22x f x x x =+--'，设()()t x f x '=，则()1e sin 12x x t x '=--，由①、②得()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增，然后分类讨论得()f x '在(],0-∞单调递减，从而()()00f x f ''≥=，由此可得()f x 单调，由零点存在定理即可得解.【小问1详解】因为()()2e 2sin 212x f x a x ax a x =+--+，所以()()e 2cos 412xf x a x ax a '=+--+， 设()()g x f x '=，则()()e 2sin 4e 2sin 2x xg x a x a a x '=--=-+， 所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增，的所以()y f x '=在R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x ¢>，因此，当0a ≤时，()f x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()01f x f =≥．【小问2详解】①设()()e 1x h x x =-+，则()e 1xh x '=-， 当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()()00h x h ≥=，即x ∈R 时，e 1x x ≥+．②设()sin r x x x =-，则()1cos 0r x x '=-≥，所以()1cos 0r x x '=-≥在R 上单调递增，且()00r =，所以当0x ≥时，()()00r x r ≥=，即sin x x ≥；当0x ≤时，()()00r x r ≤=，即sin x x ≤． ③当14a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，()13e cos 22x f x x x =+--'， 设()()t x f x '=，则()1e sin 12x x t x '=--， 当[)0,x ∈+∞时，由①、②，得()11e sin 11sin 122x t x x x x '=--≥+-- 111sin 0222x x x x x =-≥-=≥， 所以()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增；当(],0x ∈-∞时，（ⅰ）若[]1,0x ∈-，由①知e 1x x ≥+，得e 1x x -≥-，故1e 1x x≤-， 又由②知当0x ≤时，sin x x ≤成立，则()()()1111e sin 11021221x x x t x x x x x +'=--≤--=≤--，此时()()t x f x '=单调递减，（ⅱ）若(],1x ∈-∞-，则()111e sin 1102e 2x t x x '=--≤+-<， 此时()()t x f x '=单调递减，由（ⅰ）（ⅱ）可知()t x 在(],0-∞单调递减，即()f x '在(],0-∞单调递减．综上，可知当x ∈R 时，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增，又()010f =>，()2π22π2π2πe 2π3πe 6π3πe 3π0f ----=-+<-+=-<，所以根据零点存在定理可知()y f x =在R 上存在唯一零点．【点睛】关键点点睛：第二问③的关键是结合①、②结论得()()t x f x '=在[)0,∞+单调递增，然后分类讨论得()f x '在(],0-∞单调递减，由此即可顺利得解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、33题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的普通方程为()222001,21x y y x y ++=≤≤-≤≤-，曲线2C 的普通方程为()22420,20x y x y +=-≤≤-≤≤．（1）写出2C 的一个参数方程；（2）若直线的极坐标方程为cos sin m ρθρθ+=，且该直线与1C 或2C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】22. 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3ππ2α≤≤）23. 0m -≤≤【解析】【分析】（1）由题意直接三角换元结合,x y 范围即可得α的范围，由此即可得解；（2）将直线的极坐标方程转换为普通方程，通过数形结合的方法分类讨论即可求解m 的范围.【小问1详解】2C ：224x y +=，设2cos x α=，2sin y α=，又20x -≤≤，20-≤≤y ，的所以2C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，3ππ2α≤≤）． 【小问2详解】把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入cos sin m ρθρθ+=中，得y x m +=，即y x m =-+，数形结合可知，若直线y x m =-+与1C 有公共点，则20m -≤≤，若直线y x m =-+与2C 有公共点，当直线y x m =-+与2C 2，结合图像可知得m =-所以当2m -≤≤-时，直线y x m =-+与2C 有公共点，综上，当0m -≤≤时，直线y x m =-+与1C 或2C 有公共点．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知()22f x x x =++．（1）求不等式()6f x x ≥+的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩所确定的平面区域的面积． 【答案】（1）5{|,2x x ≤-或1}x ≥；（2）112. 【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的形式，再分类讨论求解不等式即可；（2）画出不等式组表示的平面区域面积，结合点到直线的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.【小问1详解】因为()34,24,2034,0x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩，故当<2x -时，346x x --≥+，得52x ≤-， 当20x -≤≤时，46x x +≥+，无解，当0x >时，346x x +≥+，得1x ≥；综上，不等式()6f x x ≥+的解集为5{|,2x x ≤-或1}x ≥. 【小问2详解】 如图所示，做出不等式组(),60,f x y y x ⎧≤⎨--≤⎩即34,24,2034,060x y x x y x x y x y x --≤<-⎧⎪+≤-≤≤⎪⎨+≤>⎪⎪--≤⎩所确定的平面区域（图中阴影部分），为四边形ABCD ， 其中57,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,2B -，()0,4C ，()1,7D ， 设直线6y x =+与y 轴的交点为E ，则()0,6E ，所以ABC ACE ECD ABCD S S S S =++四边形△△△，其中11||||21122ECD D S EC x ==⨯⨯=△，1155||||22222ACE A S EC x ==⨯⨯=△． 求ABC S 时，以线段BC 为底，点A 到BC 的距离为高h ，又BC ==，h则可求得122ABC S =⨯= ，所以5112122ABCD S =++=四边形．。
2023年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）1. 设全集，集合N满足，则( )A. B. C. ，0， D.2. 已知，则( )A. 2B.C.D.3. 已知向量满足，则( )A. 8B.C.D. 44. 中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是( )A. 7里B. 8里C. 9里D. 10里5. 已知，是椭圆的两个焦点，点M、N在C上，若，则的最大值为( )A. 9B. 20C. 25D. 306. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. B. C. D.7. 已知数列满足，，若，则( )A. 18B. 16C. 11D. 68. 如图，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，则下列结论中正确的是( )①平面平面②③④平面A. ①②B. ①②④C. ②③④D. ①④9. 已知正六棱锥的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为，则该正六棱锥体积的最大值为( )A. B. C. D.10. 为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是( )附：若，则，A. 该校学生体育成绩的方差为10B. 该校学生体育成绩的期望为85C.该校学生体育成绩的及格率小于 D. 该校学生体育成绩的优秀率大于11. 已知点在双曲线C：上，斜率为k的直线l过点且不过点若直线l交C于M，N两点，且以线段MN为直径的圆过点P，则( )A. B. C. D.12. 定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且则( )A. 30B. 60C. 90D. 12013. 从A，B等5名自愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为______ .14. 已知直线与圆交于A，B两点，直线垂直平分弦AB，则弦的长为______ .15. 记函数的最小正周期为若为的极小值点，则的最小值为______ .16. 已知和分别是函数且的极小值点和极大值点.若，则的最小值的取值范围是______ .17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求A；在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得唯一确定，当唯一确定时，求边BC上的高条件①：；条件②：18. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活.某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识.某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成频数分布表和频率分布直方图.规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”.30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取4人，其中“防疫标兵”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.附：19. 如图，已知矩形ABCD是圆柱的轴截面，P是CD的中点，直线BP与下底面所成角的正切值为，矩形ABCD的面积为12，MN为圆柱的一条母线不与AB，CD重合证明：；当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.20. 已知函数当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；若没有零点，求a的取值范围.21. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，且，，D为垂足，点D的坐标为求C的方程；若点E是直线上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P，Q 为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标．22. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为说明是什么曲线，并将的方程化为极坐标方程；直线的极坐标方程为，是否存在实数b，使与的公共点都在上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.23. 设a，b，，a，b，均不为零，且证明：；求的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，故选：根据补集的运算即可求出集合本题考查了全集和补集的定义，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以，所以，所以，故选：根据复数的运算得，由共轭复数定义求出，再求出即可．本题主要考查了复数的运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，所以，又因为，所以，所以故选：根据模长，结合向量数量积的性质可求本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得故选：由“每天走的路程为前一天的一半”可知这个人每天走的路程是等比数列，再根据等比数列求和公式得出答案．本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：根据椭圆定义可得：，，因为，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，则的最大值为25，故选：利用椭圆定义可得，再利用基本不等式即可求出结果．本题主要考查椭圆的性质，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：当输入的时，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，输出，故选：根据框图结构利用循环语句求解．本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．7.【答案】B【解析】解：故选：分奇偶依次代入递推公式，即可求得答案．本题考查数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题知，在正方体中，E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，如图，连接，，，BD，所以，，平面ABCD，所以，，因为，，平面，所以平面，因为在中，E，F分别为CD，BC中点，所以，所以平面，因为平面所以平面平面，故①正确，由题知，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，因为E，F，M分别为所在棱的中点，P为下底面的中心，所以，，，，，所以，因为，所以成立，不成立；故②正确，③错误；又由①中得，，，所以，因为平面，平面，所以平面，故④正确，故选：对于①，根据题意得，，平面ABCD，得，，得平面，又由，对于②③，以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量法即可解决；对于④，由①中得，，，得，即可解决．本题主要考查空间线、面位置关系的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：如图，过P作平面ABCDEF，则球心O在PM上，设，，，外接球的半径为R，因为球O的体积为，所以解得，在中，，所以，正六棱锥的体积为，设，令解得，令解得或，所以在单调递减，单调递增，单调递减，因为球心O在该正六棱锥的内部，所以，所以在单调递增，单调递减，所以，故选：根据题设条件确定底面正六边形的边长与正六棱锥的高之间的等量关系，从而可将正六棱锥的体积表示为关于高h的函数，利用导函数讨论单调性和最值求解．本题主要考查了棱锥的外接球问题，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：因为，所以该校学生体育成绩的期望为70，方差为100，所以A，B错误；因为60分及以上为及格，所以，C正确；因为90分及以上为优秀，所以，D错误．故选：根据正态分布的特征可求A，B选项的正误，根据优秀和及格的标准可得C，D选项的正误．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：点在双曲线C：上，，解得，，，双曲线C的方程为：，设直线l的方程为，由，消去y得：，且，且，设，，，，以线段MN为直径的圆过点P，，，，，，，，，，，，，或，当时，直线过点，故舍去，当时，直线不过点，符合题意，故选：把点代入可求双曲线方程，设直线l的方程为，设，，联立方程组可得，，进而由，可求k的值．本题考查双曲线的方程的求法，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】D【解析】解：当，时，可化为，令，则，，所以，则，，则，，则，，则，因为，当时，，即，所以，则，则，所以，所以，故选：根据题意可以构造，得到，进而求出、、、的值，当求出、、、、的值，从而求出结果．本题主要考查函数综合问题，需要观察题目特征，适当构造函数，并研究函数的性质，从而解决问题．13.【答案】【解析】解：由题可知则A和B至多有一个入选的概率为，故答案为：利用古典概率模型，结合组合数的运算求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆可以化为，圆心，半径，由垂径定理可得直线过圆心，则，所以，因为直线与直线垂直，所以，则，圆心到直线的距离，则，故答案为：根据题意可得直线过圆心，求出，进而求出，再利用垂径定理求出结果．本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，属于中档题．15.【答案】14【解析】解：因为，所以最小正周期，，又所以，即，又为的极小值点，所以，解得，，因为，所以当时故答案为：首先表示出T，根据求出，再根据为函数的极小值点，即可求出的取值，从而得解．本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：对原函数求导，由题意可得，在定义域中至少有两个变号零点，设，则，当时，易知在R上单调递减，假设此时存在，使得，则在单调递增，在单调递减，若函数在和分别取极小值点和极大值点，则，与矛盾，不满足题意；当时，易知在R上单调递增，此时若存在，使得，则在单调递减，在单调递增，由，得，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故只需满足，即：，即，可得，所以，因为，所以，两边取对数可得，即，整理得，即，解得，即；又因为，所以对求导得，令，可得，令，可得，所以在单调递减，在单调递增，所以在时取到最小值，最小值为，令，可得，设最小值为，则最小值，因为，所以，所以故答案为：先根据函数的极值点的情况求出a的范围，利用导数求出的最小值，结合a的范围，利用换元法得出最小值的取值范围．本题考查导数的综合运用，解题的关键一是通过两次导数确定a的范围，二是利用导数求解的最小值，三是利用构造函数求解新函数的范围，考查分类讨论思想，转化思想以及运算求解能力，属于难题．17.【答案】解：在中，，由及正弦定理得，由余弦定理得，化简得，所以，结合，得；若增加条件①：，，因为，由，得，或，所以不能唯一确定，不合题意．若增加条件②：，将代入，得，解得，或舍去此时唯一确定．由，得所以【解析】根据正弦定理可得，再利用余弦定理即可求出；对于条件①可得，进而或，不符合题意；条件②代入，即可求出，再利用面积公式即可求出结果．本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于分的频率为，故30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人，由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人，男生女生合计防疫标兵181028非防疫标兵122032合计303060故，所以有的把握认为“防疫标兵”与性别有关；名女生样本中有10人成绩在80分以上，所以女生样本中“防疫标兵”的频率为，用样本估计总体，以频率估计概率，从该校女生中随机抽取4人，则“防疫标兵”的人数X服从二项分布，即，X的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以随机变量X的分布列为：X01234P数学期望为【解析】分别分析男女生样本中“防疫标兵”和非“防疫标兵”人数，完成列联表，再计算的数值，并与参考数值作比较得出结论；从该校女生中随机抽取4人，则“防疫标兵”的人数服从二项分布，分别求出概率从而得到分布列，再计算数学期望．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了二项分布的概率公式和期望，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接NC，是底面圆的直径，，，又易知平面BNC，，又，MN，平面MNCP，平面MNCP，又平面MNCP，；根据题意可知，设，则，，又，，，，设，则，由可知平面MNP，又P到MN的距离为NC，，当且仅当，即时，取等号，当时，三棱锥的体积最大，，NB，NM两两互相垂直，以NC，NB，NM所在的直线分别为x，y，z轴，建系如图，则，，设平面BMP的法向量为，则，取，平面BMN，平面BMN的一个法向量为，，，二面角的正弦值为【解析】连接NC，根据线面垂直判定定理，，，得平面MNCP，再由线面垂直性质定理解决即可；，设，则，，由，得，设，则，又平面MNP，得，当且仅当，即时，取等号，即当时，三棱锥的体积最大，由NC，NB，NM两两互相垂直，以N为坐标原点，NC，NB，NM所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可解决．本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．20.【答案】解：当时，，则，故曲线在点处的切线方程为，即因为该切线在x，y轴上的截距分别为和，所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积①当时，，则，由图象可得，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值，且所以此时存在零点，不符合题意．②当时，因为，所以，令，则，因为，，所以，在上单调递增，又，，由零点存在定理得，在上有唯一的零点，即，因此有当时，，即；当时，，即所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．由，得，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以所以，此时没有零点．综上，a的取值范围是【解析】先求出切点，利用导数求得切线斜率，进而得到切线方程，再分别求出在x，y轴上的截距，最后利用直角三角形面积公式求得结果；对a分和两种情况讨论，利用导数探究出函数的单调性，进而求得函数最值分析可得答案．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解零点问题，常用方法：分离参数法：一般给出零点个数，求解参数范围，通常把参数分离出来，利用导数求解新函数的单调性，最值；结合零点个数，列出不等关系．分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类讨论的标准，利用导数求解单调性和最值，有时需要二次求导．21.【答案】解：设点A的坐标为，点B的坐标为，因为，所以，则直线AB的方程为，联立方程组，消去y，整理得，所以有，，又，得，整理得，解得，所以C的方程为由，得，所以，设过点E作抛物线C的切线的切点为，则相应的切线方程为，即，设点，由切线经过点E，得，即，设，，则，是的两实数根，可得，设M是PQ的中点，则相应，则，即，又，直线PQ的方程为，即，所以直线PQ恒过定点【解析】设点A的坐标为，点B的坐标为，根据题意可得到直线AB的方程，联立抛物线的方程，整理可得到关于含参的一元二次方程，从而得到，，再根据，代入即可求解p的值，进而得到C的方程；结合中抛物线，得，设过点E作抛物线C的切线的切点为，则可得到过点E的切线方程，设点，，，从而得到，是方程的两实数根，则得到，，进而得到PQ的中点M的坐标，，从而得到直线PQ的方程，进而得到直线PQ恒过的定点．本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由曲线的参数方程为为参数，，消去参数t得到的普通方程为，因此曲线是以为圆心，b为半径的圆，将代入的普通方程中，得的极坐标方程为，所以曲线是以为圆心，b为半径的圆，其极坐标方程为；曲线，的公共点的极坐标满足方程组，消去整理得，把代入的方程中，得，把代入，得，而，解得，所以存在实数，使与的公共点都在上．【解析】将的参数方程化为普通方程即可得曲线形状，再利用极坐标与直角坐标互化关系求出极坐标方程作答；联立曲线与的极坐标方程消去，联立曲线与直线的极坐标方程消去，求出b 值作答．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于中档题．23.【答案】证明：依题意，，且a，b，均不为零，则，所以解：因为，当且仅当，即，，时取等号，因此，所以的最小值为【解析】根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答．利用柯西不等式求解最小值作答．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．。
2024年内蒙古高考数学(理)试题及答案
2024年内蒙古高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A .10iB.2iC.10D.2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9 C.{}1,2,3 D.{}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð故选：D3.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2-B.73C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A、C，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B.9.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.12.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【答案】4【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以((2121163143S S h V h V h S S h ++-===++甲甲甲乙乙乙.故答案为：4.15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）13【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则43sin ,13m n =，故二面角F BM E --的正弦值为4313.20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 101a xs x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为2222x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）
2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}，则A∩（?R B）=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0＜x＜1}C. {x|l≤x＜2}D. {x|0＜x＜2}2.若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. -2B. 2C.D.3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A. B. C. D.4.函数f（x）=x cosx-x3的大致图象为( )A. B. C. D.5.在等比数列{a n}中，a2-a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A. 9B. 27C. 54D. 816.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是677.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A. 7B. 4C. 5D. 119.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A. 6π+4B. 5π+2C. 5π+4D. 20π+1610.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件11.已知函数f（x）=2x-1+2x+3与g（x）=x-x-1的零点分别为x1，x2，h（x）=（）x且h（x3）=，则x1，x2，x3的大小关系为（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x2＜x3＜x1D. x3＜x1＜x212.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2=a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A. y=B. y=C. y=D. y=二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||=2，是单位向量，且与夹角为60°，则?（-）等于______．14.在（2x-）5的展开式中，x2的系数为______．15.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．16.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n=（-1）n-1，则数列{b n}的前100的项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，．(1)若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；(2)若BD＝2DC，且，求AD的长．18.如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB=BC=CD=2，BD=2，将△ABD沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E-BC=A的大小．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n=EX时取得最大值？20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．21.已知函数f（x）=x2-2x+m ln x+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1-≤＜1．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为θ=θ0（ρ∈R），设1与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0=时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-3|．（1）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴?R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（?R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键，属于基础题．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【解答】解：函数f（-x）=-x cos（-x）-（-x）3=-x cosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，?=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2?+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin （2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x ）得解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．故选：C．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙?丙、丙?乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．【解答】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2＜x2＜3，作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选B．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴?（-）=-?=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得?（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：，∴sin∠ADC=sin∠DAC=，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°；（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD?BD?cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD?CD?cos（π-θ）,可得：，∴解得：AD2=2，可得：AD=.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC=，即可解得∠ADC=120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD的值．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB=BC=CD=2，BD=2，面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩平面BCD=BD，∴AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，又AC2=AB2+BC2=8，AD2=AB2+BD2=12，AD2=AC2+CD2=12，∴AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，∵AC∩AB=A，∴CD⊥平面ABC．解：（2）AB⊥面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B 作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（，0），D（0，2，0），∵E是AD的中点，∴E（0，，1），∴=（，0），=（0，，1），令平面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一个法向量为=（-，0），∴cos＜，＞==，∴二面角E-BC=A的大小为45°．【解析】（1）推导出AB⊥面BCD，从而AB⊥CD，再求出AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABC．（2）以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）=，∴X的分布列为：X 100 300 500P 0.2 0.4 0.4E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，求出E（Y）=420+0.2n，当n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，E（Y）=60+1.4n，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为+=1，证明（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为-k，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y+1=k（x-2），即y=kx+1-2k联立，得（1+2k2）x2+4（k-2k2）x+8k2-8k-4=0．∴2x1=，即x1=设直线PB的方程为y+1=-k（x-2），同理求得x2=∴x2-x1=-∴y1-y2=k（x1+x2）+2-4k=，∴直线AB的斜率k AB==1，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵，∴，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则，当，即m≤0时，令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则；令f’（x）＞0则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则，∴，令，则，令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则，所以h（t）在上单调递减；在上单调递增．∴，∵，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=时，联立得A（-2，）；同理得B（2，），由极径的几何意义有|AB|=2-（-2）=2+2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4sinθ，P为AB的中点，∴ρ==2cosθ+2sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=，其图象为（2）关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，即|2x+1|+|x-3|≥|x-m|在x∈[4，5]上恒成立，∴|x-m|≤3x-2，即2-3x≤m-x≤3x-2，∴2-2x≤m≤4x-2，x∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m≤14，故m∈[-6，14]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．（1）f（x）=，画图即可，（2）关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x-2在x∈[4，5]上恒成立，解得即可.。
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内蒙古高考数学一模试卷（理科）
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2018 高一上·马山期中) 已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D. 2. （2 分） (2017 高二下·黄山期末) 若复数 z 的共轭复数 A.2 B . ﹣1 C.5
，则复数 z 的模长为（ ）
D.
3. （2 分） (2019 高一上·天津月考) 下列函数中，既是奇函数，在
上又是增函数的是（ ）
A.
B. C.
D. 4. （2 分） 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为（ ）
第 1 页 共 14 页
A.2 B.4 C.8 D . 16
5. （2 分） (2017·蔡甸模拟) 已知角 α 终边与单位圆 x2+y2=1 的交点为
，则
A.
B.
C. D.1 6. （2 分） 某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（ ）
=（ ）
第 2 页 共 14 页
A. B.8
C.
D.
7. （2 分） (2019 高二下·南宁期中) 已知函数
和
内，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
的两个极值点分别在
8. （2 分） 随着市场的变化与生产成本的降低，每隔 年计算机的价格降低 ， 则 计算机到 年价格应为（ ）
年价格为
元的
A.
元
B.
元
C.
元
D.
元
9. （2 分） 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示，且 f（0）=f （ ） ，则（ ）
第 3 页 共 14 页
A . f（x）的最小正周期为 2π
B . f（x）的图象关于直线 x= 对称
C . f（ ） =﹣2
D . f（x）在[0， ]上是增函数
10. （2 分） 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F，点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3（x3,y3)在抛物线上，且
2x2=x1+x3 ， 则有
（）
A.
B. C.
D.
11. （2 分） (2020 高一下·温州期末) 圆 （）
A. B. C. D.
被直线
截得的劣弧所对的圆心角的大小为
12. （2 分） (2020 高一下·永济期中) 函数
第 4 页 共 14 页
的部分图象是（ ）
A. B.
C.
D.
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2019 高二下·台州期中) 已知平面向量 ________．
满足
，且
，
，则
14. （1 分） (2019 高二下·长春期末) 若随机变量
，已知
，则
________．
15. （1 分） (2019·茂名模拟)
的展开式中的常数项是________．
16. （1 分） (2016 高二上·如东期中) 设 F1 ， F2 分别为椭圆 若△F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为________．
三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)
第 5 页 共 14 页
的左右焦点，P 为椭圆上一点，
17. （10 分） (2018 高一下·台州期中) 在 .
中，角
的对边分别为
，且
，
（1） 求
的值；
（2） 若 a=2，求
的面积.
18. （10 分） (2019 高二下·佛山期末) 随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国 务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF 快递收取快递费的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，在收费 10 元的基础上，每超过 1kg（不足 1kg，按 1kg 计算）需再收 5 元.某县 SF 分代办点将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如下：
重量（单位：kg）（0，1] （1，2] （2，3] （3，4] （4，5]
件数
43
30
15
8
4
对近 60 天，每天揽件数量统计如下表：
件数范围 件数 天数
0~100 50 6
101~200 150 6
201~300 250 30
301~400 350 1
401~500 450 6
以上数据已做近似处理，将频率视为概率.
（1） 计算该代办点未来 5 天内不少于 2 天揽件数在 101~300 之间的概率；
（2） ①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用. 目前该代办点前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，日工资 110 元.代办点正在考虑是否将前台工作 人员裁减 1 人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员 1 人？
19. （10 分） (2017·包头模拟) 如图，四边形 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，PD∥QA，QA=AB= PD．
第 6 页 共 14 页
（1） 证明：平面 PQC⊥平面 DCQ； （2） 求二面角 Q﹣BP﹣C 的正弦值．
20. （5 分） (2020 高二上·沛县月考) 在平面直角坐标系
与直线 ：
（ ） ，四点
，
椭圆 上，剩余一个点在直线 上.
中，已知椭圆
，
，
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 ， 两点，使得
线
，证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.
（） 中有三个点在
，再过 作直
21. （15 分） (2019 高一上·拉萨期中) 已知函数 ，
（1） 确定函数
的解析式；
是定义在
上的奇函数，且
（2） 用定义证明
在
上是增函数；
（3） 解关于 的不等式
．
22. （10 分） (2018 高二下·黑龙江月考) 在平面直角坐标系
中，抛物线 的方程为
.
（1） 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 的极坐标方程；
（2） 直线 的参数方程是
( 为参数)， 与 交于
两点，
23. （10 分） (2018 高二下·中山期末) 已知函数
.
（1） 求
的最小值；
（2） 若不等式
的解集为 ，且
，证明：
.
，求 的斜率.
第 7 页 共 14 页
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、 15-1、
参考答案
第 8 页 共 14 页
16-1、
三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2
、
第 9 页 共 14 页
第 10 页 共 14 页
19-1、19-2、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、。