波的能量、多普勒效应

（1）动能为零，势能最大； （2）动能为零，势能为零； （3）动能最大，势能最大； （4）动能最大，势能为零；
答案：（2）
练习2：
2. 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从最大位 移处回到平衡位置的过程中：
（1）它的势能转换成动能； （2）它的动能转换成势能； （3）它从相邻的一段媒质元获得能量，
dE
dEk
dEp
2 A2
s in 2
(t
x) dV u
二、能量密度：单位体积内的振动能量。
w dE A2 2 sin2 (t x )
dV
u
三、能流密度（波的强度）：单位时间内通过垂直于
波线的单位面积平均能量。
I
1
A2 2u
2
多普勒效应( Doppler Effect ) 讨论 人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？
2
例：一线状波源发射柱面波，设介质是不吸收能量的
各向同性均匀介质。求波的强度和振幅与离波源距离
的关系。
解： 取半径分别为 r1, r2 , 高 h 的柱面 S1, S2
单位时间内通过S1和S2能量相等
w1 u S1 w2 u S2
1 2
A12 2u
S1
1 2
A22 2u
S2
A1 S2 2 r2h r2
u
dEp
1 2
k(dy)2
Y F S kdy S kdx dy dx dy dx S
1 YS (dy)2 2 dx
k Y S dx
1 Y ( y )2 S dx 2 x
1 2
Y
2 A2
u2
sin 2
(t
x u
)
dV
1 2 A2 sin2 (t x ) dV
2
u
Y 对细棒状
现象：将一软绳（弹性介质）划分为多个微小体积元（介质元）
下上
形变最小 振速 最小
动抖
形变最大 振速 最大
时刻波形
未起振的介质元
在波传播的过程中， 各介质元产生不同程度的弹性形变，具有弹性势能 各介质元以变化的振动速率 上下振动，具有振动动能
四、波的能量 介质元振动能量（Ek、Ep）的总和
1. 介质元的能量 设弹性细棒中有纵波 y Acos(t x ) u 取长dx的介质元 dm dV Sdx
u
介质中的
纵波适
dV ( y )2
t
1 2
2 A2 sin2 (t
x ) dV u
dEp
1 2
k(dy)2
1 2
2 A2
sin2
(t
x ) dV u
介质元振动能量：
dE
dEk
dEp
2 A2
sin2 (t
x ) dV u
波动介质元能量 非孤立系统，dE不守恒
A2
S1
2 r1h
r1
I1
A2 1
r2
I2
A2 2
r1
柱面波波函数
A0 r
cos[
(t
r u
)
0
]
A随r的增加而减小
球面波波函数
A0 r
cos[ (t
r) u
0 ]
A随r的增加而减小
平面简谐波波函数
Ψ
( x, t )
A c os [ (t
x) u
0 ]
A为常数
本节内容回顾：
一、 介质元振动能量：
速度为零、形变为零, dEk dEp 0
横波：
(切变 y ) x
y
形变为零
形变最大
u
x
λ
平衡位置处：
切变
y x
最大、dE
最
p
大、
速度最大、dE
最大
k
最大位移处：
切变 y x
0, 速 度 为 零 ，dEk
dEp
0
练习1：
1. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传 播方向上媒质中某质点在负的最大位移处，则它的能 量是：
v 二 观察者不动，波源相对介质以速度 运动 s
T
s s'
uA
vsT
T'
vT s
,
uu
1 u O T' v T
s
u
uv S s
观察 者接 收的 频率
同学们好！
上讲内容：
一、机械波的产生 二、波动的描述
1. 波线和波面
u
T
2. 波的特征量 (周期T、频率 、 波长、 波速u）
3. 波形曲线 * 4. 波函数（波动方程的积分形式）
三、一维平面简谐行波波动方程
Ψ( x,t ) Acos[( t x ) ]
u
0
1）参考点的振动方程
2）再找出任意点离参考点的距离 x ，带入上式。
x
x dx
S
x
dm
S
y
y dy
动能：
dE k
1 2
dmv2
1 2
dV (
y t
)2
1 2
2 A2 sin2 (t
x ) dV u
势能： dEp取决于介质元的形变 （两端质点的相对位移）
x
x dx
S
x
dm
S
y
y dy
dEp
？ 1
2
ky
2
dEp
1 2
k(dy)2
y Acos (t x )
w 1 T A2 2 sin2 (t x )dt 1 A2 2
T0
u
2
3. 波的能流密度：
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
S u S
t内通过S的能量 E wu t S
ut
I E wu 1 A22u
t S
2
能量传播方向与u方向相同
I
1
A2
2
u
能流密度（波的强度）
发射频率 s
?
s
O
接收频率 O
只有波源与观察者相对静止时才相等.
多普勒效应:当波源和接收器(观察者)有相对运动时,接 收器所测得的频率o不等于波源振动频率s的现象。
一
波源不动，观察者相对介质以速度
v O
运动
观察 者接 收的 频率
u
v O
, 观察者向波源运动
O
u
S
u
v O
, 观察者远离波源
O
u
S
dE
dEk
dEp
2 A2
sin2 (t
x ) dV u
非孤立系统，dE不守恒，dEk , dEp同相变化
波动介质元能量 非孤立系统，dE不守恒
dEk
,
dE
同相变化
p
纵波（体变）
形变最大
y
u x
λ
形变为零
平衡位置处： 最大位移处：
疏 部 或 密 部 中 心 、 形 变最 大 、dEp最 大; 速 度 最 大 、dEk 最 大.
dEk
,
dE
同相
p
变化
比较： 谐振动质点
Ep
1 2
kA2cos2 (
t
0 )
Ek
1 kA2sin2 ( t
2
0 )
E
Ep
Ek
1 kA2 2
孤立系统，机械能守恒，Ek , Ep反相变化
波动介质元能量
dEk
1 2
2 A2
s in 2
(t
x ) dV u
dEp
1 2
2 A2
s in 2
(t
x ) dV u
其能量逐渐增加； （4）它把自己的能量传给相邻的一段媒质元，
其能量逐渐减小；
答案：（3）
2. 波的能量密度 —— 单位体积介质中波的能量
由介质元振动能量：
dE
dEk
dEp
2 A2
sin2
(t
x) u
dV
得能量密度：
w dE A2 2 sin2 (t x ) J m3 (SI)
dV
u
平均能量密度：波的能量密度在一个周期内的平均值