1421讲义正比例函数1
1421正比例函数1
(1) y x (2) y 3 (3) y 1 1
3
x
2x
（4）y=2x （5）y=x2+1
（6）y=（a2+1）x-2
正比例函数y=kx的结构特征?
下列函数是否是正比例函数？如果 是，比例系数是多少？
(1) y 3x 是，比例系数k=3.
(2)
y
2 x
(3)
y
x 2
(4)s r2
不是.
（3）这只燕鸥飞行1个半月（一个月按30天计算）的 行程大约是多少千米？
当x=45时，y=200×45=9000
下列问题中的变量对应规律可用怎样的 函数表示？
（1）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习 本撂在一起的总厚度h（单位cm）随这些练习
本的本数n的变化而变化； h=0.5n
（2）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，
（1）求正比例函数的解析式；
（2）求当x=
2 3
时，求y的值。
试一试பைடு நூலகம்
2. 已知y-1与x+1成正比例，且当 x=-2时，y=-1，则当x=-1时，y的值 是多少?
1.已知：y=y1+y2，y1与x成 正比例，y2与x2 成正比例，当 x=1时，y=6，当x=3时，y=8， 求y关于x的解析式。
2、已知y=y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x －2成正比例，当x=1时，y=0，当x=－3时， y=4，求x=3时，y的值。
=-3时y的值。
解：∵ y与x－1成正比例 ∴设y=k（x-1）
∴ 当y与∵xx=之当4时间x=，函8y时数=，关76 y系×=6式（是4－∴：16y）==7=k761（78 ∴x-1k ） 76
正比例函数知识点总结
正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。
它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。
下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。
一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。
其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。
正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。
二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。
当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。
2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。
因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。
3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。
4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。
这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。
三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。
当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。
当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。
四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。
速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。
2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。
成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。
3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。
周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。
4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。
温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。
正比例函数
正比例函数正比例函数是一类具有特定形式的数学函数，它是数学中重要的概念之一。
正比例函数在各个学科领域都有广泛的应用，无论是自然科学、社会科学还是工程技术等领域，都可以找到正比例函数的身影。
正比例函数的基本形式可以表示为 y = kx，其中 k 是常数，表示比例系数。
可以看出，正比例函数中，自变量 x 和因变量 y 成正比关系，其比例系数 k 则表示了两个变量之间的比例关系。
当 x 变化一倍时，y 也会相应变化一倍，所以正比例函数也被称为直线函数。
正比例函数的图像在数学坐标系中是直线，其斜率就是比例系数 k。
当比例系数为正数时，图像呈斜正直线，斜率表示了函数的走向与增长速度；当比例系数为负数时，图像呈斜负直线，斜率表示了函数的走向与减小速度。
正比例函数可以用来描述各种实际问题中的变化规律。
比如，在物理学中，牛顿的第二定律 F = ma 中，力 F 和加速度 a 的关系可以用正比例函数来表达。
力的大小正比于物体的加速度，比例系数即为物体的质量。
在经济学中，成本和生产量之间的关系也可以用正比例函数来表示。
成本与生产量正好成正比，比例系数则表示单位生产量的成本。
在生物学中，体积和质量之间的关系也可以用正比例函数来描述。
当生物体的体积增加时，质量也会相应增加，比例系数就是体密度。
在工程中，速度和时间的关系也可以用正比例函数来表达。
车辆行驶的速度和行驶的时间成正比，比例系数就是车辆的平均速度。
通过使用正比例函数，我们可以更加深入地理解各种问题中的变化规律，并可以预测未知情况下的数值。
通过观察其图像特征和计算比例系数，可以直观地了解变量之间的关系。
在实际应用中，我们可以通过观察和分析数据，找到合适的比例系数，并运用正比例函数来解决问题。
除了基本形式 y = kx，正比例函数还可以有其他形式。
比如当自变量和因变量都经过了平移或伸缩时，正比例函数可以写成 y = k(x - a) 或者 y = k(x - a)+b 的形式。
正比例函数课件
contents
目录
• 正比例函数概述 • 正比例函数的图像性质 • 正比例函数的实际应用 • 正比例函数的解析式 • 正比例函数的图像变换 • 正比例函数与反比例函数的关系
01
正比例函数概述
正比例函数的定义
正比例函数是指形如 y=kx（k为常数， k≠0）的函数。
当k<0时，函数图像 过第二、四象限，y 随x的增大而减小。
04
正比例函数的解析式
解析式的推导过程
01
02
03
04
定义正比例函数：$y=kx$， 其中k为比例系数。
从已知的图像中，通过取不同 的x值，计算对应的y值。
利用已知数据，通过最小二乘 法进行线性回归分析，得出k
的值。
得出解析式：$y=kx$，其中 k为比例系数，x为自变量，y
为因变量。
解析式的应用实例
反比例函数的应用场景
反比例函数在工程、技术、经济等领域有广泛的应用。例如，在电子工程中描 述电阻、电容、电感之间的关系，在经济学中描述成本与产量之间的关系。
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日常生活中的应用
身高与年龄
在一定年龄范围内，身高与年龄 之间存在正比例关系。随着年龄
的增长，身高也会相应增加。
收入与工作时间
在一定时间内，收入与工作时间之 间存在正比例关系。随着工作时间 的增加，收入也会相应增加。
路程与速度
当速度保持不变时，路程与时间之 间存在正比例关系。当时间增加时 ，路程也会相应增加。
图像的平移变换
上下平移
正比例函数的图像在垂直方向上平移。
左右平移
正比例函数的图像在水平方向上平移。
平移性质
平移不改变函数的值域和定义域，也不改变函数 的单调性和奇偶性。
正比例函数课件 1
（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习本的本 数n的变化而变化.
解：h = 0.5n .
（4）冷冻一个0℃的物体，使它 每分钟下降2℃，物体的温度T（单位： ℃）随冷冻时间t（单位：分钟）的 变化而变化．
解：T = －2t ．
和性质。
假定刘翔在这次110米 栏决赛中奔跑速度是8.54米 /秒，那么他奔跑的路程y （单位：米）与奔跑时间x （单位：秒）之间有什么关 系？
y= 8.54x (0≤x ≤12.88)
下列问题中的变量对应规律可用怎 样的函数表示？
（1）圆的周长 l 随半径r的 大小变化而变化.
解： l =2πr .
（2）铁的密度为7.8g/ cm3 ，铁 块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的大小变化而变化.
y
y
0
x
1、初步理解正比例函数的概念及其图像 的特征 2、能够画出正比例函数的图像
3、能够判断两个变量是否能够构成正比 例函数关系
4、能够利用正比例函数解决简单的数学 问题
2006年7月12日，我 国著名运动员刘翔在瑞士洛 桑的田经大奖赛110米栏的 决赛中，以12.88秒的成绩 打破了尘封13年的世界纪 录,为我们中华民族争得了 荣誉。在这次决赛中刘翔平 均每秒约跑8.54米.
(4) y 2x 5
2、已知函数
y (m 1)x
是正比例函数，
求m的取值范围。
3、如果 y 5xm1
是正比例函数， 求m的值
由题意可知： m-1≠0 m ≠1
由题意可知： m-1=1 m=1
4、已知y=(m-3)xm2-8，m为何值是，y是
1421正比例函数1
x 3
； （3）y=x2
；
（4） y2=1.5x ；（5）y=πx ； （6）y=7（x+1）．
解：（1）（2）（5）表示y 是x 的正比例函数．
列式表示下列问题中的 y 与 x 的函数关系，并 指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为 x cm，周长为 y cm； （2）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这年（ 12 个月）的总收入为 y 元； （3）一个长方体的长为2 cm，宽为1.5 cm，高为 x cm，体积为 y cm3．
函数的定义：
一般地，在一个变化过程中有两个变量x 与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变 量，y是x的函数．
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318
km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问 题：
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终 点站
反之，若y与x成正比例， 则可设y=kx.
1、下列函数中哪些是正比例函数？
(1) y x 3
(3) y 1 1 2x
(5) y x2 1
(2) y 3 x
(4) y 2x (6) y (a2 1)x 2
2、函数 y (m 3)x 是正比例函数，
则m的取值范围是__m_____3____.
km．设列车的平均速度为300 km/h．考虑以下问 题：
（3）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后， 是否已经过了距始发站1 100 km 的南京南站？
（1）这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ （2）函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？
正比例函数课件
正比例函数的图像是一条经过原点的直线，而二次函数的图像是抛物线，其形状由a的值决定。
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，如购物时支付金额与商品数量之间的关系，行程中时间与速度之间的关系等。
01
正比例函数图像在x轴上方的部分为正值，在x轴下方的部分为负值。
增减性
正比例函数图像的斜率等于函数表达式中自变量系数的绝对值。
斜率
当自变量x的绝对值增大时，函数值y也以相同的绝对值增大或减小。
变化趋势
正比例函数图像的斜率等于函数表达式中自变量系数的绝对值。
斜率定义
正比例函数图像的斜率与直线倾斜角α的关系为tan(α) = |k|，其中k为自变量系数。
当k<0时，函数图像过第二、四象限，y随x的增大而减小。
01
02
任何正比例函数都可以转化为y=kx的形式，其中x是自变量，y是因变量。
正比例函数的基本形式是y=kx（k为常数，k≠0）。
当k>0时，直线通过第一、三象限，且与x轴正方向夹角为锐角；
当k<0时，直线通过第二、四象限，且与x轴正方向夹角为钝角。
正比例函数课件
目录
正比例函数概述正比例函数的图像性质正比例函数的实际应用正比例函数的扩展知识正比例函数与反比例函数的关系正比例函数与一次函数、二次函数的关系
01
CHAPTER
正比例函数概述
正比例函数是指形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数。
当k>0时，函数图像过第一、三象限，y随x的增大而增大；
正比例函数及性质
解决实际问题
正比例函数在解决实际问题中也 有广泛应用，例如速度、加速度 等物理量可以用正比例函数表示。
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与反比例函数的区别
反比例函数的一般形式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和反比例函数在 图像上都是直线，但它们的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而反比例函数的斜率为 $-k$。此外， 正比例函数的图像过原点，而反比例函数的图像不过原点。
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。正比例函数是特殊的一次函数，其形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和一次函数在图像上都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图 像不过原点。
正比例函数和一次函数的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而一次函数的斜率为 $a$。斜率决定了函数的增减性，因此正比 例函数和一次函数的增减性也可能不同。
截距
截距定义
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此没有固定 的截距。但当我们在坐标轴上标出与直线交点的数值时， 这个数值即为该正比例函数的截距。
截距的计算
对于正比例函数$y=kx$，当$x=0$时，$y=0$，因此其 截距为0。
截距的影响
正比例函数的截距不影响函数的增减性，但会影响函数与 坐标轴的交点位置。
正比例函数和二次函数的开口方向也不同。正比例函数的图 像总是向上或向下开口，而二次函数的开口方向取决于 $a$ 的值。当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口；当 $a < 0$ 时，抛 物线向下开口。