极值和极值点的概念

请阅读书上第41页例1和例2 例1 求函数 f (x) 2x3 3x2 12 x 1 的极值．
例2 求函数 f (x) 3x 2sin x在区间 0,2 内的极值．
３．函数的最大最小值 在很多实际问题中，需要求出最大或最小值．表示这些
问题的函数 f (x)一般在区间 a,b 上是连续的．根据以上讨
x
x
故 f (x)在定义域内有最小值 f (0)=0，无最大值 .
特例 (1) f (x)C( [a, b] ) ，且在(a, b)内只有唯一 极值点x=x0. 则当 f (x0) 极大时便也最大，当f (x0) 极小时便也最小.
y
y
0a
x0 b x
0
a x0
x b
(2) f (x)C( [a,b] ), 且在(a, b)内单调增加，则f (a) 最小，f (b)最大. 单调减少则相反.
即函数的极值点必为驻点或不可导点
<2> (极值的第一充分条件)
设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)， 若当 x 在该邻域内 由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， 其导数 f (x) 改变 符号， 则 f (x0) 为函数的极值. x0 为函数的极值点， 并且
(1)当 f (x0) > 0 时，则 x0 为极小值点，f (x0) 为极小值；
(2)当 f (x0) < 0 时，则 x0 为极大值点，f (x0) 为极大值.
运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是： (1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导 数不存在的点；
(2) 考 察 上 述 点 两 侧 一 阶 导 数 的 符 号 ( 或 考 察 上 述点的二阶导数的符号)，确定极值点；
y
y
0a
bx0 a
bx
补充例题8. 某企业开发出一种新产品. 已知生产 销售 x件产品所需成本费用C = 25000+5x(元). 若 每件产品销售价为P 30(1 x )，问生产销售多少件
6000 产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的
销售价定为多少？
解：目标函数: 利润 L = 收入成本 = x ·P C x·30(1 x ) 25000 5x 6000
x2 25x 25000 200
求解： L ' 25 x , 100
令L ' 0
得驻点x 2500
由L" 1 0 . 知x 2500为极小值点 . 100
亦即最大值点. 故生产销售 x=2500 件产品可 使企业的利润最大，此时
P 30(1 2500) 35 17.5(元) 6000 2
(1)若导数 f (x) 由正值变成负值，则 x0 为极大 值点，f (x0) 为 f (x) 的极大值；
(2)若导数 f (x) 由负值变成正值， 则 x0 为极小 值点， f (x0) 为 f (x) 的极小值.
<3> ( 极值的第二充分条件 )
设函数 y = f (x) 在 x0 处的二阶导数存在， 若 f (x0) = 0，且 f (x0) 0， 则 x0 是函数的极值点， f (x0) 为函数的极值， 并且
解 (1)定义域为 (- , + ).
因为
f (x) = 4x3 – 20x = 4x(x2 - 5)，
所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点
x 5, x 0, x 5.
(2)因为 f (x) = 12x2 – 20，
所以有
f ( 5) 12( 5)2 20 0; f (0) 20 0;
5 5 5 3125
有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：
x (-, 1)
1
1, 7 5
7 5
f (x) +
0
-
0
7 , 2 5
+
2 (2, + )
0
+
f (x)
极大值0
极小值 108 3125
无极值
补充例题 5 求函数 f (x) = x4 – 10x2 + 5 的极值.
f (0) = 4， f (1) = - 3，f (2) = - 4，f (3) = 13，
将它们加以比较 可知在区间[0, 3]上 f (x) 的最大值 为 f (3) = 13， 最小值为 f (2) = - 4.
5
时， f (x) > 0. 因此，由定理 3 可知， x = 1 为极大
值点，x 7 为极小值点, x = 2 不是极值点(因为在
5
x = 2 的两侧 f (x) 同为正号).
(3)计算极值
极大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，
2
3
极小值 f 7 7 1 7 2 108 .
4
f (5 ) 2 为极小值
4
由周期性知 x 2k 和 x 5 2k (k Z)
4
4
分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.
补充例 题4 求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值.
解 (1)定义域为 (- ,+ ).
f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7). 所以由 f (x) = 0 可得 f (x) 的三个驻点：x 1, x 7 , x 2,
补充例题 7. 求 f (x)=x2ex的最大值和最小值.
解： f (x)在定义域(, )上连续可导且 f ' (x) = x (2x)ex
令 f ' (x)=0得驻点 x=0, x=2
y=x2ex
有 f (0)=0，f (2)=4e2
02
且 lim f (x) , lim f (x) 0,
(2)比较 f (a), f (x1), f (x2 ), , f (xn ), f (b) 的大小．其中最大的 便是最大值，最小的便是最小值
补充例题 6. 求f (x)=x48x2+2在[1, 3]上的最大值和最小值. 解：f '(x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2) 令 f '(x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去) 计算 f (0)=2, f (2)= 14 f (1)= 5, f (3)= 11 所以最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11
论，具备这种条件的函数 f (x) 的最大、最小值总是存在的 ，它们只可能在 f (x) 0的点、 f (x)不存在的点或区间端 点处取得．
求 y f (x) 在 a,b上最大、小值的步骤：
(1)求出 f (x) 0 及 f (x)不存在的点 x1, x2 , , xn ；
f ( 5 ) 12( 5 )2 20 0.
由定理 2.6 可知： x 5 和 x 5 为极小值点 ，
x 0 为极大值点.
(3)计算极值：
极 小 值 f ( 5 ) ( 5 )4 10( 5 )2 5 20; 极大值 f (0) 04 10 02 5 5; 极 小 值 f ( 5 ) ( 5 )4 10( 5 )2 5 20.
2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法
2.6.1 极值和极值点的概念 定义2.6 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义，
若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有 (1) f (x0) > f (x)，则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值，
x0 称为 f (x) 的极大值点；
解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间[0, 2 )
令 f '(x)=cosxsinx = 0
得驻点

x1 4 ,
x2Biblioteka 54又 f ''(x) sin x cos x
有 f "( ) 0, f "(5 ) 0.
4
4
由定理2.6知 f ( ) 2 为极大值
5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义 区间分为四个子区间 (, 1), 1, 7 , 7 , 2, (2, ).
5 5
(2) 当 x (-, 1)时， f (x) > 0；当 x 1, 7 时,
5
f ( x) 0; 当 x 7 , 2时, f (x) > 0；当 x (2, + )
(2) f (x0) < f (x)，则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值， x0 称为 f (x) 的极小值点；
函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大 值点、极小值点统称为极值点.
显然，在图中，
x1，x4 为 f (x) 的极 大值点， x2，x5 为 f (x) 的极小值点.
课常练习 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 – 24x + 4 在区间[0,3]上的最大值和最小值.
解 f (x) = 12x3 - 48x2 + 60x – 24
= 12(x - 1)2(x - 2)， 令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，它们为 f (x) 可 能的极值点， 算出这些点及区间端点处的函数值：
(3)求出极值点处的函数值，得到极值.
补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值.
解: f '(x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3) 令f '(x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3 x = 1: x<1时 f '(x)>0. x>1时 f '(x)<0 极大值f (1)=10. x=3: x<3时 f '(x)<0. x>3时 f '(x)>0 极小值 f (3)= 22.