极值的定义
高中数学极值
高中数学极值
摘要：
1.极值的概念与基本性质
2.极值存在的条件
3.求极值的方法
4.极值在高中数学中的应用
正文：
一、极值的概念与基本性质
在高中数学中，极值是函数在某一特定区间内取得的最大值或最小值。
极值是函数图像上的关键点，对于函数的性质和函数图像的形状具有重要意义。
极值有以下基本性质：
1.若函数在某区间上连续，则在该区间内至少有一点取得极值。
2.若函数在某区间上可导，则极值点必为导数为零的点。
二、极值存在的条件
求极值需要满足以下条件：
1.函数在极值点处可导；
2.函数在极值点处的导数等于零；
3.函数在极值点处满足二阶导数测试，即二阶导数大于零时为极小值，小于零时为极大值，等于零时需要结合一阶导数判断。
三、求极值的方法
求极值的方法通常分为以下几个步骤：
1.确定函数的定义域，找到可能的极值点；
2.求函数的导数，找到导数为零的点；
3.求函数的二阶导数，判断极值类型；
4.代入原函数求得极值。
四、极值在高中数学中的应用
极值在高中数学中有广泛的应用，如求解最值问题、函数的单调性、函数的凹凸性等。
学会求极值是解决这些问题的关键。
综上所述，掌握极值的概念与基本性质、极值存在的条件和求极值的方法对于高中数学的学习具有重要意义。
极值定义
一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。
通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。
最值（最优化）问题占有较大比重。
最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。
二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。
这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
附近的所有的点都有f（x）<f（x。
），则f（x。
）是函数f（x）的一个极大值。
如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。
），则f （x）。
是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。
若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。
变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。
（xi,其中i是下标。
下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。
极值的定义
极值的定义：设函数()y f x =在点0x 的某一领域内有定义，若在该领域内异于0x 的点恒 有 (Ⅰ).若()()0f x f x >,那么称()0f x 为函数()f x 的极大值，0x 为极大值点； (Ⅱ).若()()0f x x <,那么称()0f x 为函数()f x 的极小值，0x 为极小值点。
求极值或最值的方法： ⑴ 求()'0f x =的根0x ；⑵ 若0x x <时，()'0f x >；0x x >时，()'0f x <，则()f x 在点0x 处取得极大值； 若0x x <时，()'0f x <；0x x >时，()'0f x >，则()f x 在点0x 处取得极小值； 若0x x <时，()'0f x >；0x x >时，()'0f x >，则()f x 在点0x 处无极值； 若0x x <时，()'0f x <；0x x >时，()'0f x <，则()f x 在点0x 处无极值。
⑶ 若还要求()f x 的最值，则需加一个步骤，对于闭区间，需要算一下两个端点的函数值， 然后将()f x 的所有极值和端点的函数值作比较，得出最大值和最小值。
注意：① 函数()f x 的极大值和极小值可以不止一个，即函数的极值不唯一。
② 函数()f x 极小值可以大于极大值，极大值也可以小于极小值，因此二者之间 没有确定的大小关系。
③ 若()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上必有最大值和最小值。
④ ()f x 的极值是针对局部而言的，而最大值与最小值是针对整体而言的，即定义 域内的最大或最小；函数()f x 的极值点一定在区间内部取得，函数的最大最小 值不一定都在区间的内部取得，也有可能在区间的端点处取得。
极值判别法知识点总结
极值判别法知识点总结极值判别法是数学分析中的一种重要的方法，用于求解函数的最大值和最小值问题。
在高等数学、微积分等课程中，极值判别法是一个重要的内容，对于理解函数的性质和求解实际问题都具有重要意义。
下面将对极值判别法的相关知识点进行总结。
一、极值的概念在解析几何中，极值通常指的是函数的最大值和最小值。
设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，在点x0处取得了极值的情况，分别称x0为函数f(x)的极大值点和极小值点。
如果在x0处左极限和右极限都存在，且f(x)在x0处取得了极大值或极小值，则称f(x)在x0处有极值，x0为极值点。
如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最大值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值，简称最大值；如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最小值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最小值，简称最小值。
二、函数的极值判别法1.必要条件与充分条件如果函数f(x)在点x0处可导，并且取得了极值，则f'(x0)=0。
这是函数极值的一个必要条件。
但是，对于函数的充分条件来说，如果函数f(x)在某点x0可导并且f'(x0)=0，那么极值不一定存在，即可以是极值也可能不是极值点。
所以f'(x0)=0只是极值的一个必要条件，而不是充分条件。
2.李松法求极值设函数f(x)在区间(a,b)上可导，x0为开区间(a,b)上的驻点，则有：（1）若x0为极大值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)<0；（2）若x0为极小值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)>0。
3.二阶导数判别法设函数f(x)在点x0处二阶可导，如果满足以下条件：（1）f'(x0)=0；（2）f"(x0)>0，那么f(x)在x0处取得极小值；（3）f"(x0)<0，那么f(x)在x0处取得极大值。
函数的极值和最值
函数的极值和最值在微积分中，函数的极值和最值是常见的概念。
极值指的是函数在某一区间内取得的最大值或最小值，而最值则是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
一、极值的定义对于一个函数f(x)，如果存在某个数a使得在a的邻域内的任意x，都有f(x)≤f(a)或者f(x)≥f(a)，那么称函数f(x)在点a处有极大值或极小值。
极大值和极小值统称为极值。
二、求解极值的方法为了求解函数的极值，我们需要采用求导的方法。
具体步骤如下：1. 对函数f(x)求导，得到f'(x)。
2. 找出f'(x)的零点，即解方程f'(x)=0。
3. 将零点代入f''(x)，判断它们的正负性。
- 如果f''(x)>0，则在该点处取得极小值。
- 如果f''(x)<0，则在该点处取得极大值。
- 如果f''(x)=0，则无法判断，需要进行其他方法的检验。
三、最值的定义函数的最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值用符号"max"表示，最小值用符号"min"表示。
四、求解最值的方法求解函数的最值需要考虑函数的定义域，并结合求导和极值的方法。
1. 函数定义域的判断- 如果函数是一个有限闭区间上的连续函数，则最值必然存在。
- 如果函数的定义域是整个实数集，则最值可能不存在。
2. 求解最值的步骤- 首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)。
- 然后，找出f'(x)的零点。
- 接着，将零点和函数的端点代入f(x)，求出这些点对应的函数值。
- 最后，比较这些函数值，找出最大值和最小值。
需要注意的是，在求解最值时，还需要考虑函数的边界特性和特殊点，如间断点、开区间端点以及无界区间的端点等。
总结：函数的极值和最值是微积分中的重要概念，通过对函数的导数、零点和二阶导数的分析，可以求解函数的极值和最值。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值在数学中是一个重要的概念，它指的是函数在某一点上取得的最大值或最小值。
在求解数学问题或优化实际情况时，常常需要确定函数的极值点。
本文将详细介绍极值的判定方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为极值。
极值分为最大值和最小值两种情况。
最大值是指函数在该点附近的函数值都不大于该点的函数值，最小值则相反，即函数在该点附近的函数值都不小于该点的函数值。
二、极值的判定方法1. 导数法导数法是判定函数极值最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求得对应的函数值；（4）比较临界点处的函数值和相邻点处的函数值，确定极值点。
2. 二阶导数法二阶导数法是判定函数极值的另一种方法，通过函数的二阶导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）令一阶导数等于零，解方程得到临界点；（3）求出临界点处的二阶导数；（4）根据二阶导数的正负性来判断函数的极值情况。
3. 边界法边界法适用于在一定范围内寻找函数的极值点，通常用于优化问题中。
具体步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出定义域的边界点；（3）将边界点和内部临界点代入函数，比较函数值，确定极值点。
4. 参数法参数法适用于含有参数的函数的极值判定。
具体步骤如下：（1）将参数表示的函数转化为不含参数的函数；（2）按照导数法或二阶导数法求解极值点。
5. 条件极值法条件极值法适用于带有约束条件的优化问题，通过引入拉格朗日乘数法来求解函数的极值点。
三、极值的应用极值在数学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
例如，在经济学中，通过求解函数的极值点可以确定最大化利润或最小化成本的方案；在物理学中，通过求解函数的极值点可以确定物体的最大位移、最小时间等问题；在工程学中，通过求解函数的极值点可以确定最优设计方案等。
函数极值知识点总结
函数极值知识点总结一、函数极值的定义函数的极值包括最大值和最小值两种情况。
如果一个函数在某一点的函数值大于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极大值点；如果一个函数在某一点的函数值小于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极小值点。
二、函数极值的求解方法1. 求导数要确定一个函数的极值，最常用的方法是求导数。
利用导数求函数的极值，可以分为以下几个步骤：（1）求出函数的导数；（2）令函数的导数等于零，解出函数的驻点；（3）利用二阶导数的符号来判定这些驻点是极大值点还是极小值点。
2. 利用导数的性质在求函数的极值时，还可以利用导数的性质，即函数在极值点处的导数为零。
通过这一性质，可以帮助我们求出函数的极值点。
三、解决函数极值问题的常用方法1. 一元函数的极值对于一元函数来说，我们可以通过求导数的方法，根据导数的零点和符号来求函数的极值点，进而求出函数的极值。
同时，也可以利用函数的单调性来判定函数的极值点。
2. 二元函数的极值对于二元函数而言，函数的极值点可以通过偏导数的方法来求解。
通过求出函数的偏导数，并令偏导数等于零，可以求得函数的驻点，从而判定函数的极值。
3. 隐函数的极值当函数以隐式形式给出时，我们可以通过求导的方法来求解函数的极值。
需要注意的是，在求导的过程中，要将变量视为函数，将未知的函数视为自变量，从而利用导数的性质和求导法则来求解隐函数的极值。
四、函数极值的应用函数的极值在数学中有着广泛的应用，其中包括最优化问题和微积分问题等。
1. 最优化问题在经济学、物理学、工程学等领域中，最优化问题是十分常见的。
对于一个最优化问题来说，往往需要求解一个函数的最大值或最小值，而函数的极值就提供了一个很好的解决方法。
2. 微积分问题在微积分中，函数的极值也有着重要的应用。
对于曲线的凹凸性、函数的单调性等问题，都离不开函数的极值。
因此，深入理解函数的极值知识，可以对解决微积分问题有着重要的帮助。
五、函数极值问题的深入研究除了常见的函数极值概念和求解方法外，函数极值问题还有着许多深入的研究方向。
极值定义
一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。
通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。
最值（最优化）问题占有较大比重。
最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。
二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。
这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
附近的所有的点都有f（x）<f（x。
），则f（x。
）是函数f（x）的一个极大值。
如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。
），则f （x）。
是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。
若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。
变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。
（xi,其中i是下标。
下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。
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极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图
②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．
③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。