极值的定义
3.函数的极值及其求法
个人收集整理，仅供交流学习！
定理2(第一充分条件)
(是极值点情形)
求极值的步骤:
(不是极值点情形)
例1 解
列表讨论
极
极大Βιβλιοθήκη 小值值图形如下
定理3(第二充分条件) 证
例2 解
图形如下
注意:
注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例3
解
例4 证
（不易判明符号）
而且是一个最大值点，
例5 设f ( x )连续，且f ( a )是f ( x )的极值，问 f 2( a )是否是 f 2( x )的极值
时
是极小值
时
是极大值
三、小结
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
思考题
下命题正确吗？
思考题解答
不正确． 例
在–1和1之间振荡 故命题不成立．
个人收集整理，仅供交流学习！
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 定义 注意: 例如,
注 ①这个结论又称为Fermat定理
②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号
③不可导点也可能是极值点
可疑极值点：驻点、不可导点
可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步 判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、 右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题 即可得到解决。
函数的极值及其求法
由单调性的判定法则，结合函数的图形可知， 曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函 数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点 处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论 在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义， 值得我们作一般性的讨论。
极值的定义
极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。
高中数学如何求解三角函数的极值和最值
高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。
本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。
二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。
2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。
对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。
令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。
因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。
（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。
例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。
在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。
三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。
2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。
例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。
因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。
在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。
（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。
例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。
从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。
极值定义
一、引言在管理科学，经济学和许多工程、科技问题中，常常需求一个多元函数的最大值或最小值，他们统称为最值问题。
通常我们称实际问题中出现的需求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量，相应的问题在数学上可称为优化问题，在经济管理科学中非常重要的运筹学。
最值（最优化）问题占有较大比重。
最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸多方面，与人们的生活息息相关。
二、极值定义如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。
该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。
极值的概念来自数学应用中的最大最小值问题。
定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值。
如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点。
这里的首要任务是求得一个内点成为一个极值点的必要条件。
设函数f（x）在x。
附近有定义，如果对x。
附近的所有的点都有f（x）<f（x。
），则f（x。
）是函数f（x）的一个极大值。
如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。
），则f （x）。
是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
三、多元函数1、多元函数的定义设D为一个非空的n 元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。
若对于每一个有序数组（x1,x2,…,xn）∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
记为y=f （x1,x2,…,xn），（x1,x2,…,xn）∈D 。
变量x1,x2,…,xn称为自变量；y称为因变量。
（xi,其中i是下标。
下同）当n＝1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D;当n＝2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D.二元及以上的函数统称为多元函数。
极值的定义
极值的定义：设函数()y f x =在点0x 的某一领域内有定义，若在该领域内异于0x 的点恒 有 (Ⅰ).若()()0f x f x >,那么称()0f x 为函数()f x 的极大值，0x 为极大值点； (Ⅱ).若()()0f x x <,那么称()0f x 为函数()f x 的极小值，0x 为极小值点。
求极值或最值的方法： ⑴ 求()'0f x =的根0x ；⑵ 若0x x <时，()'0f x >；0x x >时，()'0f x <，则()f x 在点0x 处取得极大值； 若0x x <时，()'0f x <；0x x >时，()'0f x >，则()f x 在点0x 处取得极小值； 若0x x <时，()'0f x >；0x x >时，()'0f x >，则()f x 在点0x 处无极值； 若0x x <时，()'0f x <；0x x >时，()'0f x <，则()f x 在点0x 处无极值。
⑶ 若还要求()f x 的最值，则需加一个步骤，对于闭区间，需要算一下两个端点的函数值， 然后将()f x 的所有极值和端点的函数值作比较，得出最大值和最小值。
注意：① 函数()f x 的极大值和极小值可以不止一个，即函数的极值不唯一。
② 函数()f x 极小值可以大于极大值，极大值也可以小于极小值，因此二者之间 没有确定的大小关系。
③ 若()f x 在区间[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上必有最大值和最小值。
④ ()f x 的极值是针对局部而言的，而最大值与最小值是针对整体而言的，即定义 域内的最大或最小；函数()f x 的极值点一定在区间内部取得，函数的最大最小 值不一定都在区间的内部取得，也有可能在区间的端点处取得。
极值数学概念
极值数学概念极值是指遍布某一数学函数曲线的极点，即函数值最大值或最小值的点。
极值可帮助我们研究函数在某一区域内的变化趋势，并给出关于函数的有用信息。
一般来说，在实际中极值一般存在两种形态，分别是局部极小值和局部最大值。
局部极小值是指该函数在某一特定点处值最小，而四周的函数值大于该特定点处的函数值；局部最大值即是指函数在某一特定点处的函数值最大，而四周的函数值都小于该点处的函数值。
但很可能当把函数曲线在不同的比例上拉伸或收缩时，函数的局部极小值可能变成局部最大值，反之亦然。
极值的定义从定义上讲，函数极值就是使函数在一定区域内的值达到最大或最小的点。
通常，一个函数f（x）等于零时，即为函数极值点。
如果满足f(x) = 0，就可以表明这个点是函数的极值点。
在求函数极值时，可以通过求解函数的一阶导数来确定是局部最大值点还是局部最小值点。
极值求解极值求解一般都可以分为有理数极值求解和无理数极值求解。
有理数极值求解就是把函数表示成有理数形式，通过对其导数求解来确定极值的位置。
而无理数极值的求解则是通过图形法来求解。
可以先找到函数的改变趋势，然后再确定极值的位置。
极值应用极值理论在数学和实际应用中都有广泛的应用。
数学方面，函数的极值可以用来分析函数在不同点处的性质，以把握函数的总体变化趋势；实际应用方面，函数的极值可以用来分析微积分问题，求解物理量的变化趋势，设计智能控制系统，探索生物系统的过程，研究社会和经济的动态特性，以及分析组织的管理状态等。
总结极值数学概念是数学中的一种基本概念，它主要涉及极值的定义、极值求解以及极值在数学和实际应用中的广泛应用。
极值理论的使用可以帮助我们分析函数的变化趋势，求解实际问题，以及指导实践。
导数的极值与最值
导数的应用二------函数的极值与最值【考点梳理】考点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：（1）一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（2）区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
【典型例题】类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。
（1）2()x f x x e -=； 【解析】（1）函数的定义域为R 。
22'()2()'2(2)x x x x x f x xe x e x xe x e x x e -----=+⋅-=-=-。
令'()0f x =，得x=0或x=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且(0)0f =。
极值的判定方法详解
极值的判定方法详解极值在数学中是一个重要的概念，它指的是函数在某一点上取得的最大值或最小值。
在求解数学问题或优化实际情况时，常常需要确定函数的极值点。
本文将详细介绍极值的判定方法，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为极值。
极值分为最大值和最小值两种情况。
最大值是指函数在该点附近的函数值都不大于该点的函数值，最小值则相反，即函数在该点附近的函数值都不小于该点的函数值。
二、极值的判定方法1. 导数法导数法是判定函数极值最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）令导数等于零，解方程得到临界点；（3）将临界点代入原函数，求得对应的函数值；（4）比较临界点处的函数值和相邻点处的函数值，确定极值点。
2. 二阶导数法二阶导数法是判定函数极值的另一种方法，通过函数的二阶导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）令一阶导数等于零，解方程得到临界点；（3）求出临界点处的二阶导数；（4）根据二阶导数的正负性来判断函数的极值情况。
3. 边界法边界法适用于在一定范围内寻找函数的极值点，通常用于优化问题中。
具体步骤如下：（1）确定函数的定义域；（2）求出定义域的边界点；（3）将边界点和内部临界点代入函数，比较函数值，确定极值点。
4. 参数法参数法适用于含有参数的函数的极值判定。
具体步骤如下：（1）将参数表示的函数转化为不含参数的函数；（2）按照导数法或二阶导数法求解极值点。
5. 条件极值法条件极值法适用于带有约束条件的优化问题，通过引入拉格朗日乘数法来求解函数的极值点。
三、极值的应用极值在数学中有着广泛的应用，特别是在优化问题中。
例如，在经济学中，通过求解函数的极值点可以确定最大化利润或最小化成本的方案；在物理学中，通过求解函数的极值点可以确定物体的最大位移、最小时间等问题；在工程学中，通过求解函数的极值点可以确定最优设计方案等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
•判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，
是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图
②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．
③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。