极值和极值点的概念
函数极值的定义
函数极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
具体来说，设函数f(x)在定义域D上有定义，那么：
1. 如果存在x0 ∈D，使得对于任意的x ∈D，都有f(x) ≤f(x0)，则称f(x0) 是函数f(x) 在D 上的最大值，x0 称为极大值点。
2. 如果存在x0 ∈D，使得对于任意的x ∈D，都有f(x) ≥f(x0)，则称f(x0) 是函数f(x) 在D 上的最小值，x0 称为极小值点。
函数的极值点是函数图像上的局部最高点或局部最低点。
在极值点处，函数的导数为零或不存在，即导数为零是极值点的必要条件，但并不一定是充分条件。
需要注意的是，极值点可以出现在函数的内部，也可以出现在定义域的边界上。
因此，在判断函数的极值时，不仅需要考虑导数为零的点，还需要考虑定义域的边界点。
函数极值的判断方法包括导数法、二阶导数法、边界点法等。
具体的判断方法取决于函数的特性和问题的要求。
极值点的判定条件
极值点的判定条件极值点，也称为极大值点或极小值点，是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
判定一个函数是否存在极值点，可以通过一些特定的条件来进行判断。
本文将介绍极值点的判定条件。
1. 极值点的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在某个数c，使得函数在c处的值比它的邻近点的值都要大（或都要小），那么函数在点c处取得极大值（或极小值），这个点c就被称为极值点。
2. 导数的零点对于一元函数f(x)，我们可以通过求导数来找到它的极值点。
导数表示函数在给定点的变化率，当导数为零时，函数在该点可能取得极值。
所以，判定一个函数是否有极值点的第一步是找出导数的零点。
具体做法可以通过求函数f(x)的导数f'(x)，然后将f'(x)等于零的方程解出，得到它的零点。
这些零点即是函数可能的极值点。
3. 导数的符号变化在找到导数的零点后，我们还需要根据导数的符号变化来判定这些零点是否为极值点。
如果在导数的零点的左边，导数由正变负，那么这个零点将对应一个极大值点。
如果在左边导数由负变正，那么这个零点将对应一个极小值点。
对于导数为连续的函数来说，导数的符号变化和函数的极值点是一一对应的。
4. 二阶导数在某些情况下，导数的符号变化无法明确判定极值点的类型，此时可以通过二阶导数来进一步判断。
二阶导数表示函数的导数的导数，即f''(x)。
在一个极值点处，函数的二阶导数存在且不为零。
如果f''(x)大于零，那么这个极值点是一个极小值点；如果f''(x)小于零，那么这个极值点是一个极大值点。
需要注意的是，如果二阶导数不存在，或者为零，那么这个方法就失效了，还需要考虑其他的判定条件。
5. 边界点假设给定的函数在一个区间[a, b]上连续，那么该区间的边界点a和b也可能为极值点。
需要额外检查函数在边界点上的取值来判断是否为极值点。
6. 示例例如，给定函数f(x) = x^2 - 4x + 5。
极值的定义
极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，。
函数的极值点一定是函数的最值点
函数的极值点一定是函数的最值点1. 概述函数是数学中一个重要的概念，而函数的极值点和最值点更是其重要的性质之一。
在数学中，我们经常需要求解函数的极值、最值等问题，在其中函数的极值点和最值点的关系更是一个热点问题。
本文将从数学角度出发，探讨函数的极值点一定是函数的最值点这一命题，希望能够深入剖析这一命题，并对其进行全面的分析。
2. 函数的极值点函数的极值点是指在函数定义域内，函数的局部最大值或局部最小值所对应的点。
对于单变量函数来说，求解函数的极值一般通过求导数来实现。
具体来说，我们通过求函数的导数，然后找出导数为零的点，然后再通过二阶导数的正负来确定该点是函数的极大值点还是极小值点。
3. 函数的最值点函数的最值点是指在函数定义域内取得的最大值或最小值的点。
函数的最值点可以是函数的极值点，也可以是函数的在区间内的端点。
针对函数的最值点，我们一般通过找出函数在定义域内的最大值和最小值，进而确定函数的最值点所在的位置。
4. 函数的极值点是函数的最值点的证明我们来证明函数的极值点一定是函数的最值点。
对于一个单变量函数，如果我们找到了函数的极值点，那么我们可以通过导数的正负来确定函数在该点的最值。
具体来说，如果函数在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么该点就是函数的极大值点；若左侧导数为负，右侧导数为正，那么该点就是函数的极小值点。
而根据函数的最值点的定义，函数的最值点即为在定义域内的最大值或最小值的点。
函数的极值点一定是函数的最值点。
5. 函数的最值点不一定是函数的极值点接下来，我们讨论函数的最值点不一定是函数的极值点。
对于函数的最值点，可能是函数的极值点，也可能是函数在定义域内的端点。
在数学中，我们可以举一些例子来证明这一点。
例如函数f(x) = x^3，该函数在定义域[-1, 1]内取得最大值和最小值分别为1和-1，但是函数的导数f'(x) = 3x^2在x=0处不为零，所以x=0不是函数的极值点。
函数的极值和最值
函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，可以帮助我们研究函数的特性和解决实际问题。
本文将介绍函数的极值和最值的定义、求解方法以及应用。
一、函数的极值函数的极值即函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值分为两种情况：局部极值和全局极值。
1. 局部极值局部极值是指函数在某个开区间内的最值。
设函数f(x)在点x=a处连续，如果在a的某个邻域内，对于任意的x，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在该邻域内的局部最小值（或局部最大值）。
其中，f(a)是该局部极值的函数值，a是极值点。
2. 全局极值全局极值是指函数在整个定义域上的最值。
设函数f(x)在[a, b]上连续，如果对于任意的x∈[a, b]，有f(x)≤f(a)（或f(x)≥f(a)），则称f(a)是f(x)在[a, b]上的全局最小值（或全局最大值）。
其中，f(a)是该全局极值的函数值，a是极值点。
二、函数极值的求解方法根据函数的极值定义，我们可以通过以下方法求解函数的极值：1. 导数法导数法是一种常用的求解函数极值的方法。
首先，我们计算函数f(x)的导数f'(x)，然后找出导数为零或不存在的点。
这些点就是可能的极值点。
接下来，对每个可能的极值点进行二阶导数检查，确认是否为极值。
当二阶导数大于0时，该点为局部最小值；当二阶导数小于0时，该点为局部最大值。
2. 区间法区间法适用于离散函数或无法通过导数法求解的情况。
首先，我们将定义域分为若干个区间，并计算每个区间的函数值。
然后，通过比较函数值得出极值。
例如，当函数值最大时，该点为局部最大值；当函数值最小时，该点为局部最小值。
三、函数极值的应用函数的极值在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景：1. 优化问题函数的极值在优化问题中起到重要作用。
例如，在生产过程中，我们希望找到产量最大或成本最低的方式，这就需要求解函数的最值。
2. 经济学经济学中的需求、供给、收益等问题通常涉及函数的极值。
高中数学第一课时-函数的极值
5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值课标要求素养要求1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 通过理解函数的极值及其应用导数的求解过程，发展学生的直观想象与数学运算素养.新知探究横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部.问题观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？提示有，应用函数的极大值和极小值来描述.1.极值点与极值的概念极值与单调性一样，都是函数的局部性质(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.拓展深化[微判断]1.导数为0的点一定是极值点.(×)提示反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.2.函数的极大值一定大于极小值.(×)提示反例：如图所示：极大值f(x1)小于极小值f(x2).3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.(×)提示反例：f(x)＝x3既没有极大值，也没有极小值.[微训练]1.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有()A.两个极大值，一个极小值B.两个极大值，无极小值C.一个极大值，一个极小值D.一个极大值，两个极小值解析由图可知导函数f′(x)有三个零点，依次设为x1<0，x2＝0，x3>0，当x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值；当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x2<x<x3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值；当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值，故选C.答案 C2.(多空题)函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3，令f′(x)<0得－1<x<3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.答案233－3[微思考]1.对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的什么条件？提示必要不充分条件.2.函数f(x)可以有多个极大值和极小值吗？提示可以，如函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x在R上有无数多个极大值和极小值.题型一不含参数的函数求极值【例1】求下列函数的极值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；(2)f(x)＝3x＋3ln x.解(1)∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝(2)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)无极大值.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 【训练1】 求函数f (x )＝x 2e －x 的极值. 解 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·e －x ·(－x )′＝2x e －x －x 2·e －x ＝x (2－x )e －x . 令f ′(x )＝0，得x (2－x )·e －x ＝0，解得x ＝0或x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当当x ＝2时，f (x )取得极大值， 且极大值为f (2)＝4e －2＝4e 2.题型二 含参数的函数求极值【例2】 已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值.解 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2， 由a ≠23知－2a ≠a －2. 分以下两种情况讨论： ①若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a ，函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2. ②若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2，函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a .规律方法 讨论参数应从f ′(x )＝0的两根x 1，x 2是否相等入手进行. 【训练2】 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值.解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0), ∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a;∵x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a－a ln a ，无极大值.题型三 利用函数极值确定参数的值【例3】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练3】 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值.解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧f ′（－1）＝0，f （－1）＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.一、素养落地1.通过学习极值与极值点的概念，培养数学抽象素养，通过学习求函数的极值以及利用函数的极值求参数，提升数学运算素养.2.函数的极值是函数的局部性质，可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反，所以求函数的极值时要严格按其步骤进行.3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性. 二、素养训练1.下列函数中存在极值的是( ) A.y ＝1x B.y ＝x －e x C.y ＝2D.y ＝x 3解析对于y＝x－e x，y′＝1－e x，令y′＝0，得x＝0.在区间(－∞，0)上，y′>0；在区间(0，＋∞)上，y′<0.故x＝0为函数y＝x－e x的极大值点.答案 B2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A.在(1，2)上函数f(x)为增函数B.在(3，4)上函数f(x)为减函数C.在(1，3)上函数f(x)有极大值D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点解析根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.答案 D3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.答案 D4.函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________.解析f′(x)＝3x2－6，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝ 2.因为当x ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (－2)＝a ＋42， f (x )极小值＝f (2)＝a －4 2. 答案 a ＋42 a －4 25.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ>0，符合题意. 答案 9基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )A.－3是f (x )的一个极小值点B.－2和－1都是f (x )的极大值点C.f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)解析 当x <－3时，f ′(x )<0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD. 答案 ACD2.函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A.－eB.1－eC.－1D.0解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.答案 C3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.[1，4)D.(1，4)解析f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.答案 A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f (x )＝e x －ax －b 在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析 由题意知f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，则f (x )在R 上单调递增，不符合题意. 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝ln a ，∴当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 可知x ＝ln a 为f (x )的极值点，∴ln a <0，∴a ∈(0，1).故选B. 答案 B 二、填空题6.(多空题)函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∵f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① a ＋b ＝－2，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴故答案为1，－3.答案 1 －37.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.答案0 三、解答题9.求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由. 解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－（x －1）（x －2）3x .当x ∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0；所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点， x ＝2是函数f (x )的极大值点.能力提升11.函数f (x )＝e x (x －a e x )恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵函数f (x )＝e x (x －a e x )，∴f ′(x )＝(x ＋1－2a e x )e x .∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根.令x ＋1－2a e x ＝0，可知a ≠0， ∴x ＋12a ＝e x .设y 1＝x ＋12a (a ≠0)，y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a >1，解得0<a <12，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 12.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数.故x ＝1是f (x )的极小值，所以f (x )在x ＝1处取得极小值12. (2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x ＝－（x －1）（2x 2＋x ＋1）x .显然由2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78及x >0可知，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )≤F (1)<0，即F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方.创新猜想13.(多选题)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( ) A.xf (x )在(1，＋∞)单调递增 B.xf (x )在(1，＋∞)单调递减 C.xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12解析由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x>0，则xf′(x)＋f(x)＝ln xx，即[xf(x)]′＝ln xx，设g(x)＝xf(x)，由g′(x)＝ln xx>0得x>1，由g′(x)<0得0<x<1，即xf(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减，即当x＝1时，函数g(x)＝xf(x)取得极小值g(1)＝f(1)＝1 2，故选AD.答案AD14.(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()A.a＝－3，b＝2B.a＝－3，b＝－3C.a＝－3，b>2D.a＝1，b＝2解析记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD. 答案BCD高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
极值和极值点
极值和极值点
一、定义不同
1、极值点：若f（a）是函数f（X）的极大值或极小值，则a为函数f（X）的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。
2、极值：极值是一个函数的极大值或极小值。
如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。
二、所表示的意思不同
极大值点与极小值点说的是横坐标的数值而极值指的是纵坐标的数值。
三、属性不同
极大值点，极小值点都各指的是一个点极值是包括极大值与极小值的一组数据。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
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解:
2 1 2 3 f '( x) x 3 3 3 x
( x 0)
x < 0时, f '(x)<0, x > 0时, f '(x) > 0
y
y 3 x2
故得
极小值f (0)=0
0
x
补充例题3. 求 f ( x) sin x cos x 的极值. 解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间[0, 2 )
x0 称为 f (x) 的极小值点；
函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大 值点、极小值点统称为极值点.
显然，在图中， x1，x4 为 f (x) 的极 大值点， x2，x5 为 f (x) 的极小值点.
y y = f (x)
x1 O
x2
x3
x4
x5 x
再看下面函数曲线： y
y= f ( x )
x
0
极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而 是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定 大于极小值． 如P41书上图2-5
y
ax
1
x2
o
x3
x4
x5
x6
b
x
定理 2.6 <1> (极值的必要条件) 设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 且 f (x0) 为极 值(即 x0 为值点)，则 f (x0) = 0. 即函数的极值点必为驻点或不可导点
<3>
( 极值的第二充分条件 )
设函数 y = f (x) 在 x0 处的二阶导数存在， 若
f (x0) = 0，且 f (x0) 0， 则 x0 是函数的极值点，
f (x0) 为函数的极值， 并且
(1)当 f (x0) > 0 时，则 x0 为极小值点，f (x0)
为极小值；
(2)当 f (x0) < 0 时，则 x0 为极大值点，f (x0)
所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点
令f '(x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3
x = 1:
x<1时 f '(x)>0. x>1时 f '(x)<0
极大值f (1)=10.
x=3: x<3时 f '(x)<0. x>3时 f '(x)>0 极小值 f (3)= 22.
补充例题2. 求 f (x)= 3
x 的极值
为极大值.
运用定理 2.6 求函数极值的一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ步骤是：
(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导 数不存在的点； (2) 考察上述点两侧一阶导数的符号 ( 或考察上 述点的二阶导数的符号)，确定极值点；
(3)求出极值点处的函数值，得到极值.
补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值. 解: f '(x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)
<2> (极值的第一充分条件) 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)， 若当 x 在该邻域内 由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， 其导数 f (x) 改变 符号， 则 f (x0) 为函数的极值. 并且 则 x0 为极大 (1)若导数 f (x) 由正值变成负值， 值点，f (x0) 为 f (x) 的极大值； (2)若导数 f (x) 由负值变成正值， 则 x0 为极小 值点， f (x0) 为 f (x) 的极小值. x0 为函数的极值点，
5 由周期性知 x 2k 和 x 2k 4 4
(k Z )
分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.
补充例 题4
求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值.
解
(1)定义域为 (- ,+ ).
f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7).
7 x 1, x , x 2, 所以由 f (x) = 0 可得 f (x) 的三个驻点： 5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义
7 区间分为四个子区间 ( , 1), 1, , 5 7 , 2 , ( 2, ). 5
7 (2) 当 x (-, 1)时， f (x) > 0；当 x 1, 时, 5 7 当 x (2, + ) f ( x ) 0; 当 x , 2 时 , f (x) > 0 ； 5
令 f '(x)=cosxsinx = 0 得驻点
又
5 x1 , x2 4 4
f ''( x) sin x cos x
5 f "( ) 0, f "( ) 0. 4 4
有
由定理2.6知 f ( ) 2 为极大值
4 5 f ( ) 2 为极小值 4
x
f (x) f (x) (-, 1) + 1 0 极大值0
7 1, 5
7 5
2
3
7 , 2 5
2 0 无极值
(2, + ) +
-
0
极小值 108 3125
+
补充例题 5
解 因为
求函数 f (x) = x4 – 10x2 + 5 的极值.
(1)定义域为 (- , + ). f (x) = 4x3 – 20x = 4x(x2 - 5)，
时， f (x) > 0. 因此，由定理 3 可知， x = 1 为极大
值点， x 7 为极小值点,
5
x = 2 不是极值点(因为在
x = 2 的两侧 f (x) 同为正号).
(3)计算极值
极大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，
108 7 7 7 极小值 f 1 2 . 3125 5 5 5 有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：
2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法
2.6.1 极值和极值点的概念 定义2.6 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有
(1) f (x0) > f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值，
x0 称为 f (x) 的极大值点； (2) f (x0) < f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值，