函数的零点、极值点、驻点与拐点的关系
拐点和驻点的区别
拐点：二阶导数为零，三阶导数不为零；停滞点：一阶导数为零或不存在。
区别：导数函数f（x）的极点必须是其固定点。
拐点和停滞点的区别停滞点和拐点之间的差异停滞点只是一阶导数等于零的点。
拐点是凹凸变化的点。
函数的一阶导数为0的点称为函数的停滞点，停滞点可以划分函数的单调间隔。
（停滞点也称为稳定点，临界点。
在数学中，拐点是指改变曲线的向上或向下方向的点。
从直觉上讲，拐点是使切线与曲线相交的点（即曲线的凹凸边界点）。
如果曲线图的函数在拐点处具有二阶导数，则该二阶导数必须为零或不存在。
停滞点与拐点之间的差异可能在停滞点处发生变化，而在拐点处会发生单调性，但凹度和凸度肯定会发生变化。
拐点和停滞点的定义停滞点：一阶导数为0的点。
拐点：函数的凸度发生变化的点。
极值点：在附近具有最大值的点。
如何确定固定点：在某个点上只有函数是可微的，并且一阶导数值为0。
如何确定拐点：1.如果函数是二阶导数，则一个点的二阶导数为零，并且两端的二阶导数也不同。
2.如果函数的三阶导数是可微的，则二阶导数为0而三阶导数不为0的点为拐点。
如何确定极值点：将极值点的一阶导数设为0或导数不存在。
1，当一阶导数为0时，如果一阶导数的两端是不同的符号，则极值点为。
2.当二阶导数为二阶导数时，一阶导数为0，如果二阶导数不为0，则为极值。
二阶导数大于最小值0，而二阶导数小于最大值0。
谈论关系。
极限点不一定是静止点，静止点不一定是极限点。
因为极值不必是可微的，所以固定点必须是可微的。
对于微分函数，极点必须是固定点。
拐点不一定是固定点，例如，y = x等于三阶幂+X。
因为二阶导数的某个点为零，所以我们不能判断一阶导数在某个点上为零。
停滞点显然不一定是拐点，停滞点只需要一阶导数为0，而拐点则需要二阶导数（此处网民提醒注意，拐点可能不需要导数）。
高教社2024高等数学第五版教学课件-3.4 函数的凹凸性和拐点
第四节
函数的凹凸性与拐点
一.函数的凹凸性
在中学里，我们主要依靠描点作图画出一些简单函数的图形，一般来
说，这样得到的图形比较粗糙，无法确切反映函数走向。也就是说函数是
升的还是降的？是直线上升，还是曲线上升？可见，仅知道函数的单调区
间是不够的，我们还必须知道曲线的凹凸.
定义1
设函数()在区间上有连续. 如果在区间上，曲线 = ()总
(2) ′ = 3 2 − 2 − 1 = (3 + 1)( − 1) " = 6 − 2
(3) 令′ = 0 得 =
1
− ，
3
=
1令 ″
= 0,得 =
1
;
3
(4) 列表分析如下
(−∞, − )
′
+
”
-
-
y
单调增加
凸
极大值27
−
(− , )
一般作函数 = ()的图形，可以按如下步骤进行：
（1） 确定函数 = ()的定义域
（2） 求出函数的一阶、二阶导数′()与 ″ ()
（3） 求出′()、 ″ ()为零的点和不存在的点
（4） 列表作图
例4
解
作函数 = 3 − 2 − + 1的图形．
(1) 函数的定义域为(−∞, +∞)
位于其任意一点的切线的上方，则称曲线 = ()在区间上是凹的；
如果在区间上曲线 = ()总位于其任意一点的切线的下方，则称
曲线f (x)在区间上是凸的．
y
y
O
x
O
x
曲线上“凹”与“凸”的分界点称为曲线的拐点．
拐点问题方法总结
拐点问题方法总结1. 引言拐点问题在数学和物理学中起到了重要的作用。
它用于描述函数在特定点处由上升变为下降（或由下降变为上升）的变化趋势。
拐点问题的解决可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
本文将总结一些解决拐点问题的方法和技巧。
2. 寻找函数的拐点寻找函数的拐点可以通过以下步骤进行：步骤 1：求函数的二阶导数首先，我们需要求出函数的二阶导数。
二阶导数表示函数的斜率的变化率，它可以帮助我们确定函数的曲线是否存在拐点。
步骤 2：求函数的导数为零的点接下来，我们需要找到函数的导数为零的点，即函数的驻点。
驻点是函数曲线上的点，对应着函数的极值或拐点。
步骤 3：判断函数的拐点最后，我们可以利用二阶导数的正负性来判断函数的拐点。
当二阶导数在某个点上由正变为负或由负变为正时，该点就是函数的拐点。
3. 示例让我们通过一个简单的例子来说明寻找函数的拐点的方法。
假设我们有一个函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2。
我们可以按照以下步骤来找到函数的拐点：步骤 1：求函数的二阶导数首先，我们需要求出函数 f(x) 的二阶导数。
对 f(x) 进行求导，得到f’’(x) = 6x - 8。
步骤 2：求函数的导数为零的点接下来，我们需要找到函数 f(x) 的导数为零的点，即求解方程f’(x) = 0。
对 f(x) 进行求导，得到f’(x) = 3x^2 - 8x + 5。
解方程f’(x) = 0，我们可以得到 x = 1，x =5/3。
步骤 3：判断函数的拐点最后，我们使用二阶导数的正负性来判断函数的拐点。
将 x = 1 和 x = 5/3 分别代入二阶导数f’‘(x) = 6x - 8，我们可以得到f’‘(1) = -2 和f’’(5/3) = 2/3。
根据二阶导数的正负性，我们可以得出结论：函数 f(x) 在 x = 1 处由下降变为上升，是一个拐点；而在 x = 5/3 处由上升变为下降，也是一个拐点。
高考数学知识点解析函数的极值与拐点
高考数学知识点解析函数的极值与拐点高考数学知识点解析：函数的极值与拐点在高考数学中，函数的极值与拐点是一个重要的知识点，也是考试中经常出现的考点。
理解和掌握这两个概念对于解决函数相关的问题至关重要。
接下来，让我们深入探讨一下函数的极值与拐点。
一、函数的极值1、极值的定义函数的极值是指在函数定义域内的某个局部区域内，函数取得的最大值或最小值。
具体来说，如果在函数定义域内的某一点 x₀处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值都小于（或大于） f(x₀)，那么f(x₀) 就是函数的一个极大值（或极小值）。
2、极值的判定（1）一阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 x₀为函数的驻点（即 f'（x₀) ＝0）。
当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值。
当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。
（2）二阶导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处二阶可导，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。
若 f'＇（x₀) ＜ 0，则 f(x₀) 为极大值；若 f'＇（x₀) ＞ 0，则 f(x₀) 为极小值。
3、求极值的步骤（1）求出函数的导数 f'（x)。
（2）令 f'（x) ＝ 0，求出驻点。
（3）根据一阶导数判别法或二阶导数判别法判断驻点是否为极值点，并求出极值。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 1，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜ x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
三角函数与导数的关系解析与应用
三角函数与导数的关系解析与应用在数学中，三角函数是研究三角形及其内部角度的一种重要工具。
与之相对应的导数是研究函数的变化率以及曲线的切线方程的重要概念。
本文将探讨三角函数与导数之间的关系，并介绍一些相关的应用。
一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等。
以角度为自变量，取值范围在0到360度之间。
它们的定义如下：1. 正弦函数：由一个直角三角形的对边长度除以斜边长度得到。
2. 余弦函数：由一个直角三角形的邻边长度除以斜边长度得到。
3. 正切函数：由一个直角三角形的对边长度除以邻边长度得到。
二、三角函数的导数三角函数的导数是指对三角函数进行微分运算得到的结果。
通过求导可以得到三角函数在不同点上的斜率，进而研究其变化规律。
具体来说：1. 正弦函数的导数：cos(x)，即正弦函数的导数等于其对应的余弦函数。
2. 余弦函数的导数：-sin(x)，即余弦函数的导数等于其对应的负正弦函数。
3. 正切函数的导数：sec^2(x)，即正切函数的导数等于其对应的余割函数的平方。
在求导过程中，我们可以利用基本的导数公式和三角恒等式来简化计算。
三、三角函数与导数的关系三角函数与导数之间有一些重要的关系存在。
这些关系在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
1. 函数的最大值与最小值：通过求导得到函数的导函数，可以找出函数的极值点。
在三角函数中，最大值和最小值可以通过导数为零的点来确定，例如在正弦函数中，最大值和最小值都是在导数等于零的点上取得。
2. 驻点与拐点：驻点是函数的导数为零的点，拐点是函数的导数发生变化的点。
在三角函数中，通过求导可以确定驻点和拐点的位置，这对于研究函数的变化趋势和曲线的形状非常重要。
3. 同一函数的不同变化情况：以正弦函数为例，当自变量增加时，正弦函数在0到90度之间逐渐增加；而在90到180度之间，正弦函数逐渐减小。
这种变化规律可以通过导数来解释，导数的正负与函数的递增和递减有关。
根据函数图像求出极值点与零点
根据函数图像求出极值点与零点在数学中，函数是一种描述数值之间关系的工具。
图像是函数的可视化表示，通过观察函数图像，我们可以推断出函数的一些性质，例如极值点和零点。
本文将探讨如何根据函数图像求出极值点与零点，并介绍一些常见的方法和技巧。
一、极值点的求解极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，也称为极点。
求解极值点的方法有很多种，下面将介绍两种常用的方法：导数法和二次导数法。
1. 导数法导数法是一种基于微积分的方法，通过求函数的导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：首先，我们需要找到函数图像上的所有驻点，即导数为零的点。
这些点可能是极值点，也可能是拐点。
然后，我们计算这些驻点的导数的符号。
如果导数在驻点的左侧为负，右侧为正，则该驻点是一个极小值点；如果导数在驻点的左侧为正，右侧为负，则该驻点是一个极大值点。
最后，我们可以通过进一步的分析和计算，确定极值点的具体数值。
2. 二次导数法二次导数法是导数法的一种扩展，通过计算函数的二次导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：首先，我们计算函数的一阶导数和二阶导数。
然后，我们找到所有使得二阶导数等于零的点。
这些点可能是极值点，也可能是拐点。
接下来，我们计算这些点的一阶导数的符号。
如果一阶导数在该点的左侧为负，右侧为正，则该点是一个极小值点；如果一阶导数在该点的左侧为正，右侧为负，则该点是一个极大值点。
最后，我们通过进一步的分析和计算，确定极值点的具体数值。
二、零点的求解零点是函数图像上的横坐标为零的点，也称为根。
求解零点的方法有很多种，下面将介绍两种常用的方法：图像法和方程法。
1. 图像法图像法是一种直观的方法，通过观察函数图像来估计零点的位置。
具体步骤如下：首先，我们绘制函数的图像。
然后，我们观察函数图像与x轴的交点，即横坐标为零的点。
这些点就是函数的零点。
最后，我们可以通过进一步的计算和逼近，确定零点的具体数值。
2. 方程法方程法是一种基于方程求解的方法，通过将函数转化为方程来求解零点。
函数极值知识点总结
函数极值知识点总结一、函数极值的定义函数的极值包括最大值和最小值两种情况。
如果一个函数在某一点的函数值大于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极大值点；如果一个函数在某一点的函数值小于这一点邻近的函数值，那么这一点就是函数的极小值点。
二、函数极值的求解方法1. 求导数要确定一个函数的极值，最常用的方法是求导数。
利用导数求函数的极值，可以分为以下几个步骤：（1）求出函数的导数；（2）令函数的导数等于零，解出函数的驻点；（3）利用二阶导数的符号来判定这些驻点是极大值点还是极小值点。
2. 利用导数的性质在求函数的极值时，还可以利用导数的性质，即函数在极值点处的导数为零。
通过这一性质，可以帮助我们求出函数的极值点。
三、解决函数极值问题的常用方法1. 一元函数的极值对于一元函数来说，我们可以通过求导数的方法，根据导数的零点和符号来求函数的极值点，进而求出函数的极值。
同时，也可以利用函数的单调性来判定函数的极值点。
2. 二元函数的极值对于二元函数而言，函数的极值点可以通过偏导数的方法来求解。
通过求出函数的偏导数，并令偏导数等于零，可以求得函数的驻点，从而判定函数的极值。
3. 隐函数的极值当函数以隐式形式给出时，我们可以通过求导的方法来求解函数的极值。
需要注意的是，在求导的过程中，要将变量视为函数，将未知的函数视为自变量，从而利用导数的性质和求导法则来求解隐函数的极值。
四、函数极值的应用函数的极值在数学中有着广泛的应用，其中包括最优化问题和微积分问题等。
1. 最优化问题在经济学、物理学、工程学等领域中，最优化问题是十分常见的。
对于一个最优化问题来说，往往需要求解一个函数的最大值或最小值，而函数的极值就提供了一个很好的解决方法。
2. 微积分问题在微积分中，函数的极值也有着重要的应用。
对于曲线的凹凸性、函数的单调性等问题，都离不开函数的极值。
因此，深入理解函数的极值知识，可以对解决微积分问题有着重要的帮助。
五、函数极值问题的深入研究除了常见的函数极值概念和求解方法外，函数极值问题还有着许多深入的研究方向。
关于驻点与拐点的关系
参 考 文 献
［］张 国铭 ．改 进 的 Ｌ Ｈｏ ｐｔｌ 则 的 证 明 及 其 应 用 ＣＪ １ ’ ｓｉ 法 ａ Ｊ 高 等 数 学 研 究 ，０ ０ １ （ ） ４—６ ２ １ ，３ ５ ：５４ ．
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问题 ｌ 对 于连 续 的 函数 ， 其 驻 点 不 是 极值 若
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△ … ｚ— ０ 。 Ｃ
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可 以证 明 ， ． ０两侧 附 近 ｆ （ 在 ｚ一 ）的符 号相 同． 事
实 上 ， 为 因
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在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如：
有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。
但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。
还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如：
“知识与阅读量成正比例关系。
”显然是不准确，甚至错误的。
人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。
但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。
例如：
函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。
函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。
例如：
f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。
函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。
当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。
例如：
f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。
或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。
且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。
再如：
g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。
函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。
但函数的驻点不一定是函数的极值点。
当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。
例如：
f(x)=x^3，x=0是函数的驻点（也是零点），但不是极值点。
我们常常从函数的驻点中找极值点。
函数的拐点是函数的凹凸性发生变化的点，或者是函数二阶导数为零，且三阶导数不为零的点。
例如：
f(x)=x^3，x=0是函数的拐点（也是驻点和零点，但不是极值点）。
再如：g(x)=x^4，x=0是函数的驻点、极小值点和零点，但不是函数的拐点。
最后，需要说明的是，这里说的函数的零点、极值点、驻点和拐点都是一个实数，并非几何意义上的点。