几何画板在求函数的极值点和极值中的应用
用几何画板促进学生对函数最值变化的理解
用几何画板促进学生对函数最值变化的理解摘要：文章简要介绍了几何画板的特点和功能，并用几何画板探究函数最值，达到了直观动态地让学生理解函数最值的变化根本所在，分析了用几何画板进行解题教学探究的合理性.关键词：几何画板；函数最值；解题教学函数最值是高中数学问题中最重要的内容之一，加之单调性与最值变化的紧密结合，使得函数最值问题贯穿于高中数学问题解决的多个方面，而函数最值的难点在于当函数含有参数时，参数的变化引起函数图像变化，导致最值发生了改变.在解题教学时，因不能直观整体地呈现和表征问题，使得学生不能很好地理解和掌握该类问题的结构，从而教学效率较低.几何画板是一个极具数学特点和动态效果于一体的教学软件，其最大特点在于能在图形变化中保持数学关系不变，恰能呈现上述问题及相关问题的问题结构.文章便是从这一思考出发，用一个具体例子简要地介绍了几何画板的特点和功能，并用几何画板探究了含参数二次函数和复合函数最值的变化，达到了直观动态地让学生从整体上掌握和理解函数最值变化的根本，分析了用几何画板进行解题教学探究的合理性.1.几何画板的特点数学最大的特征是对事物变化中不变性质的研究，而几何画板的设计原理正是出于数学的这一特征，保证了图形变化中数学关系不变这一特点.即：不管图形如何变化，而事先给定的所有数学关系保持不变，这样更有利于学生对数学知识变化中不变性的把握，深入数学精髓，突破了传统教学的难点.这使得用几何画板制作教学课件能生动形象、直观具体地从根本上揭示数学问题结构的本质特征，符合学生的认知特点.实现了数学思想的动态直观表现，使数学从静态到动态，从抽象到直观，从微观到宏观，从定性到定量的转换，便于学生联系地、整体地思考和把握数学问题.从下面一个简单的例子来说明几何画板的这一重要的特点：例1.已知点p是⊙o上一动点，a为圆外一点，m是ap的中点，当点p在⊙o上运动时，问动点m的轨迹图形[1].如图（1），在几何画板的背景下，可自然地建立直角坐标系，并画出⊙o，绘制出点a.若在⊙o上任取点p，连接线段ap并构造其中点m，则当点p 在⊙o上运动的过程中，点m始终保持其为ap的中点这一几何性质不变，追踪点m，可以看到点m的轨迹是一小圆.这里仅用此例说明几何画板在变换中保持几何关系不变这一特点.除了上述特点以外几何画板还有色彩鲜艳、迭代变化等特点.2.用几何画板探究含参数二次函数的最值例2.求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+1]上的最小值. 分析：二次函数的图像是确定的，但给定的区间受参数t的影响，当t变化时，给定区间上函数的单调性发生变化，从而最小值的取值位置也发生变化.因学生不能整体地理解问题的结构，所以学生无法理解采取分类讨论进行问题解决的缘由.几何画板恰能直观动态地实现上述变化的依赖关系，揭示问题结构.课件解析：如图（2），在几何画板中绘制出函数f（x）=x2-2x-3在自由区间[t，t+1]上的图像，这里几何画板可以自由拖动区间，当区间变化时，区间上的函数图象随之变化（图形变化中保持了数学关系“图像是区间上的图像”不变），并能清楚地看到区间上函数单调性和最小值的变化情况.让学生认识了参数对最小值变化的影响，整体地理解了问题结构，促使学生采用分类讨论的思想进行问题解决.解：①当t1.3.用几何画板探究复合函数的最值例3.求函数f（x）=4x-2x+1-3在区间[-1，a]上的最小值，其中a>-1.分析：令2x=t，原函数变为y=t2-2t-3，所以原函数是一个以t=2x 为内函数，y=t2-2t-3为外函数的复合函数.当a变化时，内函数在给定区间上的图像变化，导致外函数的单调性变化，从而原函数在给定区间上的单调性发生变化.学生理解的难点在于复合函数单调性变化的根本所在，不能直观地看到三个函数单调性和最值的变化情况.课件解析：在几何画板中绘制出内函数t=2x在[-1，a]上的图像，这里a在x轴上所对应的点可拖动变化.再绘制出函数y=t2-2t-3在区间[12，2a]上的函数图象和原函数在[-1，a]上的图像.特别强调，几何画板可以保证当a变化时，2a随之变化.这样可直观地观察到t=2x在区间[-1，a]上的图像变化时，可同时观察到外函数y=t2-2t-3在[12，2a]上图象的变化及复合函数在[-1，a]上的图像变化.如图（3.1），拖动点a在（-1，0]是运动时，外函数在[-1，a]上单调递增，内函数y=t2-2t-3在区间[12，2a]上单调递减，从而复合函数在[-1，a]上单调递减.如图如图（3.2），拖动点a在（0，+∞）是上运动时，外函数在[-1，a]上单调递增，内函数y=t2-2t-3在区间[12，1]上单调递减，在（1，2a]上单调递增，从而复合函数在[-1，0]上单调递减，在（0，a]上单调递增.在上述两种变化中，最值也随之发生变化，所以该问题可分两类进行解决.解：令t=2x，则原函数是以t=2x为内函数，y=t2-2t-3为外函数的复合函数，其中内函数恒单调递增.①当-1②当a>0时，外函数y=t2-2t-3在[12，1]上单调递减，在（1，2a]上单调递增，从而原函数在[-1，0]上单调递减，在（0，a]上单调递增.此时原函数在x=0处取得最小值为-4.综上所述，ymin=4a-2a+1-3，-10.4.用几何画板进行解题教学的合理性分析用几何画板制作课件进行解题教学，弥补了传统教学仅从问题分析到讲解的不足.达到了以下几个优点.首先，几何画板动态直观地地合理表征了问题结构，让学生整体地把握了问题的核心.其次，几何画板在变化过程中保证了问题结构不变，促使了学生数学思想方法形成，如上述两个例子中均培养了学生分类讨论思想和数形结合思想.第三，几何画板让学生从整体到局部、从宏观到微观地理解和掌握了问题结构，丰富了学生大脑中的问题模型，培养了学生在问题解决中化归转化策略的使用.如，求二次函数f（x）=x2-2ax-3在区间[1，3]上的最小值，便能在上述问题解决的基础上，很好地归结为上述已经解决的问题模式.用几何画板进行数学解题教学，达到了“学生认识问题的全信息、形成对数学问题的整体认识、良序知识结构的形成和策略选择多样化和能力提高[2]”的目的.也符合学生认知特点，有助于促进学生进行合理的问题表征，激发学生学习探究数学问题的兴趣，能直观感知问题结构状态转化，促进了解题思想的形成，加强了解题策略的选择，丰富了便于激活的问题模式.所以使用几何画板进行数学解题教学是合理的，只要深入分析数学问题，用几何画板细致地设计课件，便能将枯燥无味的解题教学变得生动有趣、直观形象.参考文献：[1]陶维林编著.几何画板实用范例教程（第2版）[m].北京：清华大学出版社，2008：43.[2]汤炳兴、叶红著.中学数学解题学习[m].北京：化学工业出版社，2011：59，60.。
《几何画板》在二次函数教学中的应用举例
《几何画板》在二次函数教学中的应用举例1. 使用《几何画板》可以实现二次函数的动态演示，让学生能够直观的理解二次函数的形式。
通过画出各种不同的二次函数图形，可以让学生了解二次函数的不同特性，比如抛物线的凹凸、拐点的概念、参数的变化对图形的影响等。
2. 使用《几何画板》可以动态演示二次函数的性质，如图形的对称性、凹凸性、极值点、函数单调性等。
通过动态演示，让学生更加深入的理解二次函数的性质，并能灵活的运用到实际问题中。
3. 使用《几何画板》可以实现二次函数的参数的变化，让学生更加直观的理解参数的变化对图形形状的影响，从而更好的理解参数的概念。
4. 使用《几何画板》可以实现二次函数的拟合演示，让学生通过实际操作体会拟合的概念，并能灵活的运用到实际问题中，从而更好的掌握拟合的技巧。
5. 使用《几何画板》可以动态演示二次函数的函数式到图形的变换，让学生更加深入的理解函数式和图形之间的关系，从而更好的理解函数的定义。
6. 使用《几何画板》可以实现二次函数的求解演示，让学生更加直观的理解求解二次函数的方法，掌握求解二次函数的技巧，从而更好的完成求解题目。
7. 使用《几何画板》可以实现二次函数的图形应用演示，让学生更加深入的理解二次函数的实际应用，比如抛物线在运动学中的应用，或者抛物线在抛物线面积计算中的应用等。
8. 使用《几何画板》可以实现二次函数的实际例题演示，让学生更加深入的理解二次函数的实际应用，运用所学的知识完成实际问题的求解，从而增强学生的实际操作能力。
9. 使用《几何画板》可以模拟二次函数的实际操作演示，让学生通过实际操作体会操作的乐趣，提高学生的操作能力，从而更好的完成实际问题的求解。
10. 使用《几何画板》可以实现二次函数的竞赛题演示，让学生更加清楚的理解竞赛题的结构，并能够更加灵活的运用所学的知识完成竞赛题的求解。
应用几何画板解决初中数学的函数问题
应用几何画板解决初中数学的函数问题
几何画板是一款很好的应用软件，可以帮助初中生解决数学中的一些函数问题。
在初
中数学中，函数是一个很重要的概念，通过画图可以更直观地理解函数的性质和特点。
下
面我将详细介绍如何使用几何画板解决初中数学中的函数问题。
几何画板提供了丰富的几何图形绘制工具，包括直线、射线、线段、角等，可以用来
表示函数关系。
当我们遇到一个函数问题时，首先需要确定函数的表达式或者函数的性质，然后根据这些信息在几何画板上绘制相应的图形。
对于一元一次函数y=ax+b，我们可以通过绘制直线来表示。
我们需要确定直线的斜率a和截距b，并将其绘制在坐标系上。
在绘制时，可以调整直线的斜率和截距的值，观察直线在坐标系上的图像变化。
几何画板还提供了一些特殊函数的绘制工具，如指数函数、对数函数、正弦函数、余
弦函数等。
这些函数在初中数学中也经常出现，通过几何画板可以更好地理解这些函数的
性质和特点。
除了绘制函数图形外，几何画板还可以进行一些简单的运算和问题求解。
对于给定的
函数关系，可以通过几何画板求解函数的零点、极值点、拐点等。
还可以求解两个函数的
交点，求解函数的一些特殊点等。
通过使用几何画板，初中生可以更加直观地理解函数的性质和特点，提高数学学习的
效果。
几何画板的使用方法简单易懂，对于初学者来说也不会造成太大的困扰。
几何画板在二次函数最值问题中的应用
几何画板在二次函数最值问题中的应用作者：钟俊浪来源：《中学教学参考·理科版》2014年第03期用几何画板可以动态地表现函数图像的变化过程，化抽象为形象.解决函数最值时我们用图像分析法能直观、容易地得出结论，但含参数的二次函数的最值问题，由于参数是可变的，用传统的静态图像有很多学生是比较难掌握的.利用几何画板进行数学动态教学，通过具体的感性的图像呈现，能给学生留下深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感地去把握它.结合几何画板画出含参数的函数图像，结合图像的动态变化过程为学生创设数形结合的情境，体现数学的本质.从而更好地理解在哪里取最大值、哪里取最小值，帮助学生直观地发现、总结出自己的结论.下面以二次函数为例来说明几何画板动态教学的应用.一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.图1二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.图23.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-11时，函数的最大值为f （t+2），最小值为f（t）.三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F 【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.4.拖动参数t，观察图像的变化，然后保持参数t不变，再拖动点x，观察其函数值的变化，得出函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值（图略）.5.当t≤-1时，函数的最大值为f（1），最小值为f（-1）；当-11时，函数的最大值为f（-1），最小值为f（1）.（责任编辑黄桂坚）。
_几何画板_在求函数的极值点和极值中的应用
数学中函数的极值不仅在实际问题中占有重要 的地位 ,而且也是函数性态的一个重要特征 ,首先来 介绍一下有关函数的极值问题.
1 函数的极值点和极值
设函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 内有定义 , x0 是 ( a, b) 内的一点. 若存在点 x0 的一个邻域 ,对于邻域内 任何异于 x0 的点 x ,不等式 f ( x) < f ( x0 ) ( f ( x) > f ( x0 ) )成立 , 称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值 (极小值 ) ; 称 x0 是函数 f ( x) 的极大值点 (极小值 点 ). 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 ;使 函数取得极值的点统称为极值点. (见图 1)
最后求函数 f ( x) 在开区间 ( 0, 1 )的最大值和 最小值. 通过前面的求解发现 , f ( x) 在区间 ( 0, 1) 只有一个驻点 x2 = 0. 33 ;而且 f ( x2 ) 是极小值 ,这 个极小值就是最小值. 所以 ,函数 f ( x) 在开区间 (0, 1)只存在最小值 , x2 = 0. 33是函数的最小值点 ,且 最小值为 f ( x2 ) = - 0. 19 ,不存在最大值. (见图 2)
《几何画板》在函数中的一些应用
《几何画板》在函数中的一些应用数学科学主要是抽象思维和理论思维，但是形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。
一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。
正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。
”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展给学校教育带来了一场深刻的变革。
用计算机辅助教学，改善人们的认知环境越来越受到重视。
从国外引进的教育软件《几何画板》已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
它学习入门容易，操作简单，还有其强大的图形和图象功能、方便的动画功能都被许多数学教师看好。
作为一名高中数学教师，我就《几何画板》在函数教学中的作用谈几点自己的体会：“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。
就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。
”函数的两种表达方式（解析式和图象）之间常常需要结合。
为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中常常是教师手工绘图，但手工绘图不精确且速度慢。
《几何画板》有快速直观的显示及变化功能，可以克服上述弊端，提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
一、《几何画板》在函数性质中的应用具体说来，教师在讲解函数单调性时，手工绘图太具有局限性，看不出函数值随自变量的变化的变化趋势。
但是用《几何画板》可以在图像上标记点A，度量点A的纵、横坐标的数值，点A在图像上生成动画后，学生可以通过纵、横坐标值的变化直观的观察和理解函数的单调性（如图1）。
图1《几何画板》也可以根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，图2二、《几何画板》在含参数函数中的应用《几何画板》可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=asin(wx+b)的图象时，传统教学只能将a、w、b代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以点a、w、b的纵坐标的值x为参数作图（如图3），当拖动点w、b时分别改变三角函数的最值、周期和首相，拖动点a则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
几何画板之函数
几何画板之函数用《几何画板》来研究函数的图像和性质西乡四中王荣刚一、首先简单介绍《几何画板》的功能：1、《几何画板》有超强的作图功能，而且做出的图形不会像word那样容易“散架”。
作图时最大的特点是遵循了“尺规作图”法则，使做出的图形有了一定内涵。
2、能根据函数表达式作函数图像，这样在研究函数图像和性质时就容易多了。
本文就从这点入手，写一点自己使用《画板》的体会和感受。
3、度量和计算功能。
《画板》可以将你作出的图形根据要求进行度量，包括线段长度，角的度数，面积，点的坐标等等。
当然也可以进行函数计算。
4、动态演示功能。
《画板》可以用简单的几步达到flash样的动画效果，在平移、旋转、圆与圆之间的关系等教学中效果很好。
当然说了这么多，很多老师一定会觉的《画板》学起来非常不易，可恰恰相反，我带的两个班80%的学生都会用（这不是吹牛），而且我只用了20分钟时间，也就是半节课的时间就教会了学生。
所以说，学会《画板》比备一节课轻松多了，而且你将会在使用中发现越来越多的惊喜。
下面，我就《画板》作函数图像来研究函数性质与规律发表一点自己的看法，以期共享。
二、如何用《画板》作函数图像：打开《几何画板》，点击“绘图”—“绘制新函数”，出现如下面板（图1）：后面的事情就容易的多了，只要你会按计算器，那么一切都在你的掌控之中。
三、下面就是我在讲函数时用《画板》和学生探究的地方。
1、正比例函数和一次函数。
师：在同一坐标系下作函数y=1/2x，y=x，y=2x，y=3x 图像（图2）。
由图像你们发现了什么？生：当k>0时，图像在一、图1三现象，且k越大，直线的倾斜度也越来越大（也可以说越来越陡）。
当然，等画完k<0后，学生会发现这里应改成︱k︱越大直线的倾斜度也越来越大。
2、反比例函数。
师：在同一坐标系下作反比例函数y=0.1/x，y=2/x，y=8/x的图像（图3），由图像你发现了什么？生：反比例函数y=k/x，当k>0时，图像分布在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；图像既是图3中心对称图形（坐标原点是对称中心）也是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是y=x和y=–x；而且同学们还发现，当k值越大时，图像离坐标原点也越来越远（这点性质是书上没有介绍的）。
应用几何画板软件探讨多元的条件极值问题
摘 要 ：对于多元条件极值问题 ，利用几何 画板软件把约束条件 图形化，在此基础上构 建问题 的 图形 ，观 测 图形 状 态，寻 求解题 思路 。
关键词 ：几何画板 ；条件极值 ；图形化
Ｄｉｃ ｓｉ ｎ ｏ ｉ ｅ ｓｆｅ ｏ ｄ ｔｏ ａ ｘ ｒ ｍ ｕ 、 ｈ ｇ ｏ ｅｅ Ｓ ｓ ｕ ｓｏ ｎ ｄ ｖ ｒ ｉ ｄ ｃ ｎ ｉｎ ｌｅ ｔｅ ｍ ｔ ｅ ｍ ｔ ｒ’ ｉ ｉ ｓ ｅｃ ｐ ｄ ｓ ｆｗａ ｅ ｋ ｔ ｈ ａ ｏ ｔ ｒ
０ 引言
长 ａ的线段 ， 设线段标签为 ａ 。用点平移 的办法画
在初等数学教学中， 学生只学过一元函数的极值 线段的 目的在于对长度的精确控制。为方便起见固 。 问题 ， 对于多元 的条件极值 ， 由于难以理解其几何意 定距离 ａ的值取 ３
义而影响解题思路。如果应用几何画板软件， 把问题 进行直观表达， 通过软件的度量、 函数、 轨迹等功能动
ｓ ｅｃ ｐ ｄ ｓｆ ｒ ， ｂ ｉ ｉｇ ｇａ ｈｃ ｂ ｕ ｑ ｅｔ ｎ ｏ ｉ ａ ｉ， ｏ ｓｒｉｇ ｇａ ｈｃ ｔｔ ｆｒ ｋ ｔｈ ａ ｏｔ ｅ ｗａ ｕｌ ｎ ｒｐ ｉｓ ａ ｏ ｔ ｕ ｓ ｏ ｓ ｎ ｔ ｓ ｂ ｓｓ ｂ ｅｖｎ ｒｐ ｉｓ ｓａｅ， ｏ ｄ ｉ ｈ ｐｏ ｌｍ—ｏｖｎ ｄ ａ． ｒｂｅ ｓ ｌｉｇｉｅ ｓ Ｋｅ ｒ ｓ ｇ ｏ ｔｒ Ｓｓ ｅｃ ｐ ｄ ｏ ｄｔ ｎ ｌｅ ｔ ｍｕ ；ｇａ ｈｃ ｙ ｗｏ ｄ ： ｅｍｅｅ ’ ｋ ｔｈ ａ ；ｃ ｎ ｉｏ ａ ｘｒ ｉ ｅ ｍ ｒ ｐ ｉａ ｌ
２ ９ ・— ３ ・ － —
（） ２ 分别以Ａ 日 ｃ为圆心 ， ，、为半径， 、、 以ｘｙ 依次 在 Ｂ 、ＡＡ Ｃ Ｃ ，Ｂ上截取 Ｐ Ｑ Ｒ三点， 、、 构造三角形 Ｐ Ｒ Ｑ，