高中数学人教版选修1-1(文科) 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数(II)卷
高中数学选修1课件1-3.3.2函数的极值与导数
4 e2
单调递减
因此，x＝0 是函数 f(x)的极小值点，极小值为 f(0)＝0；x＝2
是函数 f(x)的极大值点，极大值为 f(2)＝e42.
状元随笔
(1)求函数极值时要遵循定义域优先的原则，如第(1)小题，若 忽略了定义域，则列表时易将区间(0，e)错写成区间(－∞，e)．(2) 求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后根据极值的定义求 解．
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 16 单调递减 －16 单调递增
从表中可以看出，当 x＝－2 时，函数有极大值 f(－2)＝16.
当 x＝2 时，函数有极小值 f(2)＝－16.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，
f′(x)＝2x2x＋2＋11－24x2＝－2x－x21＋1x＋2 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1.
因为 y＝ln x 在(0，＋∞)内单调递增，y＝1x在(0，＋∞)内单调 递减，所以 f′(x)单调递增．
又 f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－12＝ln 42－1>0， 故存在唯一 x0∈(1,2)，使得 f′(x0)＝0. 又当 x<x0 时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x>x0 时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 因此，f(x)存在唯一的极值点．
A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3
解析：∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当 x＝1 时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得ab＝ ＝1－，3. 答案：A
4．函数 y＝3x3－9x＋5 的极大值为________.
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
3.3.2函数的极值与导数
1 3 的极值. 例1 求函数 f (x) = x − 4x + 4的极值 3 解: 1 3 ′(x) = x2 − 4. 因为 f (x) = x − 4x + 4, 所以 f 3 令 f ′(x) = 0, 解得 x = 2, 或 x = −2. 当 f ′(x) > 0 , 即 x > 2 , 或 x < −2 ; 当 f ′(x) < 0 , 即 − 2 < x < 2 .
导数为0的点不一定是极值点 • 2．导数为 的点不一定是极值点 导数为 的点不一定是极值点．
练习1 练习
下图是导函数 y 的图象, y = f ′(x) 的图象 试找出函数 y = f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. 的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点
y = f ′(x)
+
求导—求极点 列表 求导 求极点—列表 求极值 求极点 列表—求极值
x0
练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值
(1) f (x) = 6x − x − 2; (2) f (x) = x − 27x; 3 3 (3) f (x) = 6 +12x − x ; (4) f (x) = 3x − x . 解: 1 列表: (1) f ′(x) =12x −1, 令 f ′(x) = 0, 解得 x = . 列表 12
2 3
x
f ′(x)
f (x)
1 (−∞, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,+∞) 12 +
单调递减
49 − 24
单调递增
1 49 1 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f
2018秋新版高中数学人教A版选修1-1：第三章 导数及其应用 3.3.2
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题型一 题型二 题型三 题型四
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IANLI TOUXI
题型一
求函数的极值
【例 1】 求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-12x;
(2)f(x)=
2������ ������2+1
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【变式训练2】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值为-1,
试确定a,b的值,并求f(x)的单调区间.
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(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值 未必大于极小值,如图,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极 值点.
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2
x
-∞,- 3
f'(x) +
2 −3 0
2 - 3 ,1 1
-
0
(1,+∞) +
高中数学 选修1-1 专题3.3.2 函数的极值与导数-高二数学(文)人教版
1．函数极值的概念若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧________，右侧________，就把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧________，右侧________，就把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数()y f x =在0x x =处取得极值的充分条件是()f x '在0x x =两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数()y f x =的极值的方法是： 解方程()0f x '=．当0()0f x '=时：（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是________； （2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是_________．K 知识参考答案：1．()0f x '< ()0f x '> ()0f x '> ()0f x '< 2．0()0f x '= 3．极大值 极小值K —重点 利用导数求函数极值的方法 K —难点 函数极值的应用K —易错 对函数取得极值的充要条件理解不到位求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求()0f x '=的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x 值的大小入手）． 已知函数323()31f x ax x a=-+-（a ∈R 且0a ≠），求函数()f x 的极大值与极小值． 【答案】见解析．【解析】由题设知0a ≠，22()363()f x ax x ax x a'=-=-． 令()0f x '=得0x =或2x a=． 当0a >时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x (,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值． 当0a <时，随x 的变化，()f x '与()f x 的变化如下：x 2(,)a-∞2a2(,0)a0 (0,)+∞()f x ' – 0 + 0 – ()f x极小值极大值则3()(0)1f x f a ==-极大值，2243()()1f x f a a a==--+极小值．故3()1f x a =-极大值，243()1f x a a=--+极小值． 【名师点睛】函数的极大值不一定大于函数的极小值，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值也可能比极小值小．函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b =++∈R 在12x =，23x =处取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程．【答案】（1）6a =，5b =-；（2）42130x y --=．（2）21()6ln 52f x x x x =+-，则19(1)522f =-=-，得9(1,)2P -． 又由256()x x f x x-+'=，得(1)1562f '=-+=．从而，得所求切线方程为92(1)2y x +=-，即42130x y --=．已知2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减． 当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增． 所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增， 可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >， 所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增， 所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意．④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．1．函数()ln f a x x x =+在1x =处取得极值，则实数a 的值为 A ．0B ．1-C ．12-D ．122．函数2n 2)3l (f x x x x =+-的极值点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个3．如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法： ①()f x 在(3,1)-上是增函数； ②1x =-是()f x 的极小值点；③()f x 在(2,4)上是减函数，在(1,2)-上是增函数； ④2x =是()f x 的极小值点．以上说法正确的序号为 A ．①② B ．②③ C ．③④D ．④4．函数()2cos f x x x =+在[0,π]上的极小值点为 A ．0B ．π6C ．5π6D ．π5．设a ∈R ，若函数e ,x y ax x =+∈R 有大于零的极值点，则 A ．1a <- B ．1a >- C ．1e a >-D ．1ea <-6．设a ∈R ，若函数e 2,x y ax x =-∈R 有大于0的极值点，则A ．1e a <B ．1e a >C ．12a >D ．12a <7．函数3()3f x x x =-的极小值为________________．8．已知函数32()(6)1f x ax x a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________． 9．已知函数2()2ln f x x x =-，则函数()f x 的极大值为________________． 10．已知函数2()e (3)x f x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =的极值．11．已知函数()e 1x f x x a =--（a 为实数），()ln x g x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间； （2）求函数()g x 的极值．12．已知函数2()ln f x ax b x =+在1x =处有极值12． （1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()y f x =的单调性并求出单调区间．13．已知函数21()ln 2f x bx x x =--+存在极小值，则实数b 的取值范围为 A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2)D ．(0,2]14．设函数()f x 满足2e ()2()x xf xf x x x '+=，2(2e )8f =，则当0x >时函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值15．已知a ∈R ，若()()e xaf x xx =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞16．已知函数3221()3f x x a x ax b =+++，当1x =-时，函数()f x 的极值为712-，则(2)f =________________．17212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>1(,1)2a 的取值范围是________________．18．已知函数()(1)e x f x k x =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）．（1）当0x >时，求函数()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求实数k 的取值范围．19．已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（2）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．20．已知函数3211(),32f x ax a x =-∈R ． （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3,()3)f 处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g f x a x x x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．21．（2017新课标全国II ）若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e --C ．35e -D ．1 22．（2018北京文）设函数．（1）若曲线在点处的切线斜率为0，求a ；（2）若在处取得极小值，求a 的取值范围．23．（2018新课标全国Ⅰ文）已知函数e ln 1x a x --．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当1e a ≥时，．24．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．25．（2018新课标全国Ⅲ）已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．26．（2017江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．1．【答案】B 【解析】()1,(0,)af 'x xx =+∈+∞，函数在1x =处取得极值，则()01f '=，可得1a =-．故选B ． 2．【答案】A【解析】21621()62x x f 'x x xx -+=+-=，由()0f 'x =可得26210x x -+=，该方程无解，因此函数2n 2)3l (f x x x x =+-无极值点．故选A ．3．【答案】B4．【答案】C【解析】因为()2cos f x x x =+，所以()12sin f x x '=-，令()0f x '=，得π6x =或5π6x =，由()0f x '<可得π5π66x <<；由()0f x '>可得π06x ≤<或5ππ6x ≥>，所以函数()2cos f x x x =+在区间π5π(,)66上为减函数，在区间π[0,)6和区间5π(,π]6上均为增函数，所以函数()2cos f x x x =+的极小值点为5π6．故选C ．5．【答案】A【解析】因为e ,xy ax x =+∈R ，所以e xy a '=+，由题意知，e 0x a +=有大于0的实根，可得e x a =-，因为0x >，所以e 1x >，所以1a <-，故选A ． 6．【答案】C【解析】函数e 2,xy ax x =-∈R 的导数为e 2xy a '=-，函数e 2,xy ax x =-∈R 有大于0的极值点，即e 20x a -=有大于0的实根，所以函数e xy =与函数2y a =的图象在y 轴右侧有交点，所以1212a a >⇒>，故选C ． 7．【答案】2-【解析】2()33x f 'x =-，令()0f 'x =，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f 'x >，当11x -<<时，()0f 'x <，所以当1x =时，函数()f x 取极小值，且极小值是3()11213f =-⨯=-．8．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞【解析】因为32()(6)1f x ax x a x =++++，所以2()326f 'x a x ax =+++， 又因为函数()f x 有两个极值，所以()0f 'x =有两个不等的实数根，所以0∆>， 即2443(6)0a a -⨯+>，解得3a <-或6a >．故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞．9．【答案】1-10．【答案】（1）033=++y x ；（2）3()6e x f -=极大值，()2e x f =-极小值．【解析】（1）由题意可得2()e (23)e (3)(1)x xf 'x x x x x =+-=+-，故()30f '=-．又(30)f =-，故曲线()y f x =在点(0,()0)f 处的切线方程为x y 33-=+，即033=++y x ．（2）由()0f 'x =可得1=x 或3-=x ，()f 'x ，()f x 随x 的变化情况如下表所示，x(,3)-∞-3- (3,1)-1(1,)+∞()f 'x +-+()f 'x↗极大值↘极小值↗3()(3)6e x f f -=-=极大值，()(1)2e f f x ==-极小值．11．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．【解析】（1）由题意得()e x'a x f =-，当0a ≤时，()0f x'>恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <， 故函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减．12．【答案】（1）1,12a b ==-；（2）()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞． 【解析】（1）由题可得()2b f x ax x '=+，则22011ln12a b a b +=⎧⎪⎨⋅+=⎪⎩，所以121a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． （2）由（1）可知21()ln 2f x x x =-，则函数()f x 的定义域为(0,)+∞，211()x f x x x x--'=+=， 令()0f x '=，即210x x-=，解得1x =或1x =-（舍去）， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增． 所以函数()f x 的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞． 13．【答案】A【解析】211()x bx f 'x x b x x -+-=--+=，因为()f x 存在极小值，所以方程210x bx -+-=有两个不等的正根，设为1x ，2x ．故1212210240x x b x x b b ∆⎧+=>⎪=>⇒>⎨⎪=->⎩，所以b 的取值范围为(2,)+∞，故选A ．14．【答案】D【解析】由题意得23e 2()()x xf f xx x '-=，令2()e 2()x h x x f x =-， 则22e e (2)()e 2[()2()]e x x xxx h x f xf x x x x x-''=-+=-=，因此当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， 故2222e ()(2)e 22(2)e 2408h h f x ==-⨯=-⨯⨯=极小值，因此当0x >时，()0f 'x ≥恒成立，所以当0x >时函数()f x 既无极大值也无极小值，故选D ． 15．【答案】A16．【答案】53【解析】3221()3f x x a x ax b =+++，22()2f 'x a x a x ∴=++，)01(f '-=，12a ∴=-或1a =，当1a =时，2()210f 'x x x =++≥，此时函数()f x 没有极值，12a ∴=-，又7(1)12f -=-，1b ∴=-，32111()1342f x x x x ∴=+--，5(32)f ∴=．17．【答案】(1,2)【解析】由212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>可得2(1()2)x x f 'ax a =-++，因为函数()f x 在区间1(,1)2内有极值，且0a >，所以方程0()f 'x =在在区间1(,1)2内有解，即方程2(12)ax a x-++0=在区间1(,1)2内有解，解得1x a =或2x =(舍去)．构造函数(12)x y a a =-+和2y x=-，由0a >数形结合可得1x a =为函数()f x 的极大值点，故11(,1)2a ∈，即12a <<，则实数a 的取值范围是(1,2)．18．【答案】（1）当0k ≤时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间，无极值；当0k >时，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递増区间是(,)k +∞，极小值为e k-，无极大值；（2）22e 8(,)e-+∞．（2）由()4f x x <，可得(1)e 40xx k x ---<，因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41exxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记()1g x x =-4e x x -，则4(1)e 4(1)()1e ex x xx x x g -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]上单调递增，故2228e 8()()12e e x g g -≤=-=，所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞． 19．【答案】（1）极大值为7ln 36--，极小值为52-；（2）(,4]-∞． 【解析】（1）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =，所以23()ln 42f x x x x =+-，21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x -+--'=+-==>．当()0f x '>时，103x <<或1x >；当()0f x '<时，113x <<． 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-． （2）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343mh x x x x '=+--， 由()h x 在(1,)+∞上单调递减可得2()3430m h x x x x'=+--≤在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+在(1,)+∞上恒成立，令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增． 故()3344x ϕ>-+=，所以4m ≤， 故实数m 的取值范围是(,4]-∞．20．【答案】（1）390x y --=；（2）见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程；（2）由()()(sin )g x a x x x '=--，通过讨论确定()g x 的单调性，再由单调性确定极值．（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+---()()sin x x a x a x =---()(sin )x a x x =--， 令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()h x 在R 上单调递增， 因为(0)0h =，所以当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <． ①当0a <时，()()(sin )g x x a x x '=--，当(,)x a ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增； 当(,0)x a ∈时，0x a ->，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增．所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =--， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-． ②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值．【名师点睛】（1）求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．（2）若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 21．【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减，所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．22．【答案】（1）；（2）．23．【答案】（1）212ea =；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先确定函数的定义域，对函数求导，利用f′（2）=0，求得212ea =，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；（2）结合指数函数的值域，可以确定当a ≥时，f （x ）≥e e x ，之后构造新函数g （x ）=e ex，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果． 【解析】（1）f （x ）的定义域为，f′（x ）=a e x –．由题设知，f′（2）=0，所以212ea =． 从而21e 2e ()xf x =，21()e 2e xf x '=．当0<x <2时，()f x ' <0；当x >2时，()f x '>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥时，f （x ）≥e e x．设g （x ）=e ex，则e 1e x x-， 当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0． 因此，当1ea ≥时，．24．【答案】（1）当时，在上单调递减，当时在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．【分析】（1）首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；（2）根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果．（2）若2a >，令()0f x '=得，24a a x --=或24a a x +-=．当2244)()a a a a x --+-∈+∞时，()0f x '<；当2244a a a a x --+-∈时，()0f x '>，所以()f x 在2244(0,),()22a a a a -+-+∞单调递减，在2244(22a a a a -+-单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<．设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <，所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--． 25．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=， 这与0x =是()f x 的极大值点矛盾． 若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax==+-++++． 由于当1||min{}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||min{x <时，()0h x '>， 故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<， 所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-． 26．【答案】（1）2239a b a=+，3a >；（2）证明见解析；（3）(3,6]． 【思路分析】（1）先求导函数的极值：3a x =-，再代入原函数得33()1032793a a a abf -=-+-+=，化简可得2239a b a =+，根据极值存在条件可得3a >；（2）由（1+，构造函数23()=9t g t t+，利用导数研究函数单调性，可得(g g 即2>3b a ；（3）先求证()f x 的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于72-，构造差函数213()=9h a a a -+，利用导数研究其单调性，()h a 在(3,)+∞上单调递减．而7(6)=2h -，故可得a 的取值范围．【解析】（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -因为()f x '的极值点是()f x 的零点，所以33()1032793a a a abf -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >． 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤，因此a 的取值范围为(3,6]．。
人教高中数学选修1-1第三章 导数知识点
第三章 导数及其应用3.1.2 导数的概念1.函数)(x f 在0x x =处的导数：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率称为)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()()(00000'lim lim 。
3.1.3导数的几何意义1.导数的几何意义：函数)(x f 在0x x =处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处切线的斜率，即k xx f x x f x f x =∆-∆+=→∆)()()(0000'lim ；2.求切线方程的步骤：（注：已知点),(00y x 在已知曲线上） ①求导函数)('x f ；②求切线的斜率)(0'x f ；③代入直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，并整理。
3.求切点坐标的步骤：①设切点坐标),(00y x ；②求导函数)('x f ；③求切线的斜率)(0'x f ；④由斜率间的关系列出关于0x 的方程，解方程求0x ； ⑤点),(00y x 在曲线)(x f 上，将),(00y x 代入求0y ，得切点坐标。
3.2导数的计算1. 基本初等函数的导数公式：①0'=C ；②1)'(-=a a ax x ；③x x cos )'(sin =；④x x sin )'(cos -=； ⑤)0(ln )('>=a a a a x x ；⑥x x e e =')(；⑦)1,0(ln 1)(log '≠>=a a ax x a 且；⑧x x 1)(ln '=. 2. 导数运算法则：①)()()]()(['''x g x f x g x f ±=± ；②)()()()()]()(['''x g x f x g x f x g x f +=；③2''')]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=；④)()]([''x cf x cf = 3.3.1函数的单调性与导数（1）在区间],[b a 内，)('x f >0,⇔f (x )为单调递增；)('x f <0,⇔f (x )为单调递减。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章导数及其应用3.3.2
极小值点与极小值
• 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它 在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而 且在点x＝a的左侧________，右侧 _f_′(_x_)<_0_______，则f′(x把)>0点a叫做函数y＝f(x)的极小值 点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
• 对函数的极值的理解
• (1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大 或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内 最大或最小．
• (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区 间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
• (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系， 即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所 示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)．
x＝a 解的个数，可转化为函数 g(x)＝13x3－x 与函数 y＝a 图象交
点个数．函数 y＝a 的图象为平行于 x 轴的直线，下面研究 g(x)
＝13x3－x 的图象.
2分
由题意知，g′(x)＝x2－1，
令 g′(x)＝x2－1＝0，
解得 x＝1 或 x＝－1.
4分
∴当 x>1 或 x<－1 时，g′(x)>0；
由上表可知，函数 f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间
0，34上还是减函数，因此 x＝0 不是函数的极值点；而函数 f(x)
在区间0，34上是减函数，在区间34，＋∞上是增函数，因此在 x＝34处取得极小值，其值为－22576.
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2018学年高中数学人教A版课件选修1-1 第三章导数及其应用 3.3.2 精品
当 x 变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
－∞，－13
－13
f′(x)
＋
0
－13，1 －
1
(1，＋∞)
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以 f(x)的极大值是 f－13＝257＋a，极小值是 f(1)＝a－1.
阶
阶
段
段
一
三
3.3.2 函数的极值与导数
学
业
阶
分
段
层
二
测
评
1．理解极值的定义．(难点) 2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点) 3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)
[基础·初探] 教材整理 函数的极值与导数 阅读教材 P93 函数的极值与导数～P94 例 4 以上部分，P95 思考～P96 练习以 上部分，完成下列问题．
(2)求下列函数的极值： ①f(x)＝2x＋8x；②f(x)＝3x＋3ln x. 【导学号：26160086】 【自主解答】 ①∵f(x)＝2x＋8x， ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}， f′(x)＝2－x82， 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(2)极小值点与极小值 在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一点的___函__数__值__都不 ___小__于____x0 点的函数值．称点 x0 为函数 y＝f(x)的极小值点，其___函__数__值__f(_x_0)__ 为函数的极小值．
(3)极大值点和极小值点统称为_极__值__点____，极大值和极小值统称为函数的 ___极__值____．
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高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数（II）
卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共8题；共16分)
1. （2分）f′（x0）=0是函数f（x）在点x0处取极值的（）
A . 充分不必要条件
B . 既不充分又不必要条件
C . 充要条件
D . 必要不充分条件
2. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）已知非零向量，满足| |=2| |，若函数f（x）= x3+ | |x2+ x+1在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高二下·雅安期末) 已知函数在时取得极大值，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则
的图象的顶点在（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
（其中），
8. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知函数，有三个不同的零点，
则的值为（）
A .
B .
C . -1
D . 1
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 函数若函数在上有3个零点，则的取值范围为________．
10. （1分） (2016高二下·宝坻期末) 已知函数f（x）=2x3﹣ x2+ax+1在（0，+∞）有两个极值，则实数a的取值范围为________
11. （1分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极小值10，则的值为________．
三、解答题 (共3题；共35分)
12. （15分）(2019·南开模拟) 已知函数 .
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若，求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值.
13. （10分） (2018高三上·吉林期中) 设函数 .
（1）求函数的极小值；
（2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.
14. （10分） (2019高二下·四川月考) 设函数 .
（1）若点在曲线上，求曲线在该点处的切线方程；
（2）若有极小值2，求 .
参考答案一、单选题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共35分)
12-1、
12-2、答案：略
12-3、13-1、
13-2、
14-1、答案：略14-2、答案：略。