函数极值的求法及其应用
函数极值求法及应用
函数极值求法及应用本文将介绍函数极值求法及其应用。
一、函数极值的定义函数极值是指函数在某一区间内的最大值和最小值。
在函数的导数为0或不存在的点处，函数可能取得极值。
二、求函数极值的方法1. 导数法首先，将函数y=f(x)对x求导得到其导函数y'=f'(x)。
然后，解以下方程组：y'=0或y'不存在求得的解即为函数的极值点。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其导函数y'=2x-2。
令y'=0，得到x=1。
此时，函数取得极小值y=0。
注意：在求解时需要注意导数不存在的情况，例如绝对值函数。
2. 二次函数法对于二次函数y=ax^2+bx+c，当a>0时，该函数的最小值为c-b^2/(4a)，当a<0时，该函数的最大值也为c-b^2/(4a)。
例如，对于函数y=x^2-2x+1，其a=1，b=-2，c=1。
因为a>0，所以y的最小值为1-(-2)^2/(4×1)=0。
3. 边界法当函数在一定区间内连续时，其取得极值的点只可能在该区间的边界处或导数不存在的点处。
因此，我们只需要求出函数在该区间的两个端点处的函数值，再比较这两个值和导数不存在的值的大小即可确定极值点。
例如，对于函数y=x^3-3x，当x∈[-1,2]时，极值点只可能在x=-1、x=2或导数不存在的点处。
函数在端点处的值为y(-1)=-2和y(2)=2，导数不存在的点为x=0。
因此，函数在x=0处取得极大值y=0，而在x=-1处取得极小值y=-4。
三、应用函数极值可以在优化问题中起到重要作用。
例如，在最小化成本的问题中，需要确定产量x的大小使得成本最小化。
假设某企业的生产成本函数为y=3x^2-4x+8，其中x为产量，y为成本。
该问题可以转化为求函数y的最小值。
通过求出函数的导数为0的点，我们发现函数在x=2/3处取得最小值y=6.67。
因此，该企业应该保持产量在2/3时，成本会最小。
一元函数求极值与应用
一元函数求极值与应用在数学中，一元函数求极值是一个重要的概念和应用。
它在多个学科和领域都有广泛的应用，例如经济学、物理学、工程学等。
本文将对一元函数求极值的概念、方法以及其应用进行论述。
一、一元函数求极值的概念一元函数是指只有一个自变量的函数，其一般形式可以表示为f(x)。
在一元函数中，我们关注的是函数在某个特定区间内的最大值和最小值，也就是极大值和极小值。
在求解一元函数的极值时，我们首先需要找到函数的驻点和临界点。
驻点是指函数在某一点上的导数等于零的点，也就是函数的极值点。
临界点是指函数在某一点上不存在导数的点，也可能是函数的极值点。
通过求解驻点和临界点，我们可以找到一元函数的极大值和极小值。
二、一元函数求极值的方法1. 导数法导数法是一种常用的求解一元函数极值的方法。
通过函数的导数，我们可以得到函数的斜率信息。
当函数的导数为零或不存在时，这些点可能是函数的极值点。
具体的求解方法是：(1) 求取函数的导数。
(2) 解方程f'(x)=0，求得函数的驻点。
(3) 确定驻点的类型，通过二阶导数或图像的凹凸性进行判断。
(4) 检查区间端点和临界点是否为极值点。
2. 区间划分法区间划分法是一种直观且容易理解的求解一元函数极值的方法。
通过将函数的定义域进行划分，分别求解每个子区间内的极值，最后比较得到全局的极值。
具体的求解方法是：(1) 将函数的定义域进行划分，可以选择等分或根据函数特性自行划分。
(2) 在每个子区间内求解极值，可以通过求导、构造等方法进行。
(3) 比较子区间内的极值，得到全局的极值。
三、一元函数求极值的应用1. 经济学中的应用在经济学中，很多问题都可以转化为一元函数求极值的问题。
比如，生产厂商要最大化利润，可以通过求解成本、收入等一元函数的极值来确定最佳生产规模。
又如，消费者要最大化满意度，可以通过求解效用函数的极值来确定最佳消费组合。
2. 物理学中的应用在物理学中，一元函数求极值被广泛应用于求解物理系统的最佳状态。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
极值
x
fx
fy
y
14
f x x 0
极值点必满足
f y y 0 ( x, y) 0
引入辅助函数 F f ( x , y ) ( x , y )
则极值点满足:
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 利用对称性可知, x y z 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价
y
最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?
提示: F 2( x z y z ) 2 x y ( x y z V0 )
2
则: 1) 当AC B 0 时, 具有极值
A<0 时取极大值;
A>0 时取极小值.
AC B 2 0 时, 没有极值. 2) 当
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定, 需另行讨论.
证明见第九节(同济P65，合肥工大P349) .
4
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
16
例5.
要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y , z 使在条件 x y z V0 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y 最小. 令 F 2( x z y z ) x y ( x y z V0 )
多元函数的极值
x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数，若M 0是f (x , y , z )的驻点，f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续，则当矩阵在M 0处为正定阵时( )，M 0为极小值点，为负定阵时( )，M 0为极大值点.类似的，可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。
初中数学中求函数极值的常用解法举例
初中数学中求函数极值的常用解法举例罗江县函数极值是指函数的最大值或最小值，此类问题在初中数学中比较常见。
它涉及的知识面广，综合性强，有着极为丰富的内涵，解法也颇具有技巧性。
解答这类问题需要根据具体的特点，采取不同的方法。
现举例介绍这类问题的常用解法，供大家参考。
一、配方法：配方法是初中数学中解题常用的方法，它是将已知代数式（等式）通过配方，变形成若干个完全平方式的形式，结合完全平方的非负性质，解决问题。
例1 ：若 x , y 为实数，求 A=5 x 2 + 5 y 2 − 8 xy + 2 x +2y +5 的最小值。
分析与解：A=（4x 2 − 8 xy + 4 y 2）+（x 2 + 2 x + 1）+（ y 2+ 2 y + 1 ）+ 3 = ( 2x − 2 y ) 2 + ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 +3显然，当 x = −1，y = − 1 时，A 有最小值3。
二、消元法：消元法是把代数式（等式）中的几个元素转化为以某一元素为主元的函数，再结合已知条件，经过运算，使问题简化，便于求解。
例2 ：若 2x + y + z = 40，3x+ y －z = 30 ，且x 、y 、 z 均为非负数，求 A = 5x + 3 y + 2z 的极值。
分析与解：由 2x + y + z = 40及3x + y − z = 30，得 x=2z －10，y=60－5z,又由 x ≥0，y ≥0得2z －10 ≥ 0， 60－5z ≥ 0,解得 5≤z ≤12，把 x=2z －10，y=60－5z 代入 A=5x+3y+2z得A=−3z+130，显然 A 是关于 z 的一次函数，且 A 随 z 增大而减小，所以 当 z=5 时，A 的最大值为115，当 z=12时，A 的最小值为94。
三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
函数极值的求法及其应用
目录摘要 (2)ABSTRACT (2)第一章引言 (4)第二章一元函数的极值 (5)2.1极值的充分条件 (5)2.2几种特殊函数的极值 (8)第三章多元函数的极值 (12)3.1无条件极值 (13)3.2条件极值 (15)第四章函数极值的应用 (19)参考文献 (24)致谢 (25)函数极值的求法及其应用曾浪数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。
本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。
关键词：函数；极值；应用The extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; applicationThe extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; application第一章引言函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。
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目录摘要 (2)ABSTRACT (2)第一章引言 (4)第二章一元函数的极值 (5)2.1极值的充分条件 (5)2.2几种特殊函数的极值 (8)第三章多元函数的极值 (12)3.1无条件极值 (13)3.2条件极值 (15)第四章函数极值的应用 (19)参考文献 (24)致谢 (25)函数极值的求法及其应用曾浪数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。
本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。
关键词：函数；极值；应用The extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; applicationThe extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; application第一章引言函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。
那么什么是极值呢？现实生活中我们常常遇到的如何使用料最省、路径最短等这样的问题，就属于极值问题。
在学习生活中，我们常常遇到这样的问题：如证明在圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小；给定某个特定的函数，求它在某个区间的极值等问题。
对极值问题的研究，在很早以前就有了痕迹。
早在古希腊时，数学家们就研究了等周问题。
在欧几里得的名著《几何原本》中，实际上已经证明了很多几何问题。
在生活中也存在很多求极值的问题。
我们都知道蜂房的构造是很吸引人的。
十八世纪初，法国学者马拉尔琪曾经测量蜂房的尺寸，发现六角形窝洞的六个角都有一致的规律：钝角等于109º28′，锐角等于70º32′。
法国物理学家列奥缪拉由此得到启发：蜂房的形状是不是用料最省，容积最大呢？列奥缪拉去请教巴黎科学院院士数学家克尼格。
这位数学家计算的结果是，要用最少的材料，制作成容积最大的菱形容器，它的角度应该是109º26′和70º34′。
这与蜂房的角度仅差2′。
苏格兰数学家马克劳林又认真再计算一次，得出的结果竟然和蜂房的实际角度完全一致。
后来发现，克尼格并没有错，而是他用的对数表印错了。
一九六四年二月，著名数学家华罗庚在对北京市中学生作报告时指出，蜂窝的构造问题，正确的提法应该是：在密峰的身长，腰围确定的情况下，尖顶六棱柱用料最省。
这样的提法不仅是纯粹的空间形式与数量关系的数学问题，而且这与生物体有机体统一起来了。
从这里我们可以看到，函数极值问题联系着我们的学习和生活。
学习中遇到的极值问题我们在学习导数和微积分相关知识后就可以解决了，生活中的碰到很多的实际问题都可以先建立起数学模型，再转变为我们数学中的问题来解决。
第二章一元函数的极值在说函数极值之前我们先来谈谈函数。
函数的定义如下:设给定两个变量x 和y，其变动区域为M和N,如果M中的每一个x值，总有一个确定的y值（在N内）和它对应，则变量y称为变量x的函数。
我们从函数的定义我们可以看到，函数主要由三部分组成，变量x的取值范围M，我们称它为函数y的定义域，函数y的取值范围N，我们称它为函数的值域，而函数y与x之间的一一对应关系，我们一般用表示。
我们生活中的很多实际问题可以归类转化为与函数有关的问题。
那么首先我们先来了解函数极值。
什么是极值呢？假设函数在的某领域内有定义，如果的值小于（或者大于）在附近的所有各点的函数值，那么称是函数的极小值（或极大值），记作,(或), 在大学数学里，极值的概念就更为精密了。
若函数y=在（a , b）上有定义且连续，对于一点有某一领域(-δ，+δ)完全含于（a , b）内，对于任意的x(-δ，+δ)，总存在，则称y=在处取得极大值，如果总存在，则称y=在处取得极小值。
这是最为严格意义上的极值定义即概念。
下面我们从书中的定理入手介绍函数极值的求法。
2.1极值的充分条件我们学过费马定理知道了如何判别极值，费马定理表述如下：如果函数在可导，且为的极值点，则。
这也告诉我们可导函数在点取极值的必要条件是。
定理2.1 ：设在点连续，在某邻域上可导。
（i）若当时，当时，则在点取得极小值。
（ii）若当时，当时，则在点取得极大值。
评价：华东师范大学版数学分析此定理给出了简单函数的极值的求法及其判别，下面我们举几个例子。
例1 求函数的极值。
解：因为函数在上有定义且连续，由题意可以得到，令得，当时，，函数递减；当时，函数递增。
所以函数在处取得极小值，分析：此题展示了如何求已知的一元函数的极值问题，运用到的知识有函数导数的关系，函数的单调性。
我们在求简单的函数的极值时，一般可以先求导函数，令导函数等于零，在求出稳定点，最后判断是极大值还是（极小值）。
例 2 如果函数既有极大值，又有极小值，a 应该满足什么条件？解：由题意可以得到，因为函数有两个极值。
所以方程有两个实数根，所以，所以求得。
既a的取值范围为.解析：本题在已知函数在有极值的情况下，考察它的导数的到的特性。
把极值问题转化为一元二次方程的根的判别式的问题，这样我们就跟清楚了。
例3 函数，求极值。
解：由题意，令得稳定点，列表讨论如下：x -1 1- 0 + 0 -↘极小值为-2 ↗极大值为2 ↘由表格我们可以清楚的看到，函数的极小值为，极大值为.解析：对于复杂函数求极值，我们可以先求出导函数和稳定点，再列出表格，我们就可以的到极值了。
总结：利用一元函数极值的第一充分条件求极值很简单，所对应的函数都是一阶可导的。
那么如果是二阶可导的函数呢？我们将在下面讨论。
定理2.2：设在某领域上可导，在出二阶可导，且，。
（i）若，则在取得极大值；（ii）若，则在取得极小值。
例4 求的极值点和极值.解：当时，令，求得稳定点.又因为.因此由定理2.2得为的极小值点。
极小值.分析：此题解决了一阶导数不能求出函数极值的问题，若函数二阶可导，我们可以根据函数在某点的二阶导数的正负性，确定函数在这个点取得极大值还是极小值。
如果我们求出二阶导数仍然没有办法判别出函数的极值，那么我们可以借助更高阶的导数来判别。
定理 2.3：设在的某邻域存在直到n-1阶导函数，在处n阶可导，且 (k=0,1,2…,n-1),,则（i）当n为偶数时，在处取得极值，且当，则在取得极大值；，则在取得极小值；（ii）当n 为奇数时，在处不取得极值。
分析：此定理是定理2的扩充。
教材没给出证明。
那么证明如下：证明：因为在处的n阶泰勒公式为:.由于 (k=0,1,2…,n-1),所以有：(1)又因为，，当时，和是同号的。
当n为奇数时，不能判断它的正负，故不能取得极值；当n 为偶数是总是正的。
所以当时，函数取得极大值；当时，取得极小值。
例5 求函数的极值解：，令得稳定点.又，所以，不是的极值点；,故是的极大值点，极大值，，是的极小值点，极小值为.到这里判定极值的充分条件就说完了。
那么我们会想会不会遇到有些函数不能够用这些方法呢？答案是肯定的。