浅谈在几何教学中“基本图形”的作用

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浅谈在几何教学中“基本图形”的作用

学生在做几何题时，看到题目首先想到的是这个题目有没有做过，而不是想如何根据已有的知识方法去分析它。 做几何题最关键的是根据已知条件，联系到所学过的知识定理，经过推理论证，最后解决问题。但有些知识定理学生不一定就能很好的理解，这时就可引导学生看到题目中的条件就想到相应的基本图形。利用这种方法分析问题时，学生可以把抽象的问题形象化，在解决问题时可以起到事半功倍的效果。下面就谈谈在几何教学中如何发挥“基本图形”的作用。

1．建立基本图形与几何知识的双向联系

在教学过程中把基本的定义定理以基本图形的形式反映出来，建立最基本的基本图形库，引导学生用几何语言表述相关的定义定理。想到几何知识就联想到与之相关的几何图形，看到几何图形就想到相应的几何知识。改变那种把性质定理的文字表述与图形割裂开的学习方法。

建立基本图形与几何知识的双向联系，是分析解决问题的先决条件，没有这种基本的关联，训练思维能力就缺少了必要的载体。教师在平时的课堂教学中，就渗透这种理解、记忆几何知识的方法。

如三角形外角基本图（图1）， 学习三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和的时候，想到三角形的外交相关的性质，就想到图1，看到图1的形状就想到∠1=∠A+∠B ，再如三线八角基本图（图2），同位角基本图（图3），内错角基本图（图4）等，看到这种图形就能以这些图形为索引，联想到相关联的知识。

2．把经常在习题中出现的基本形态作为基本图形。

尽管数学练习千变万化，但是绝大多数题目都能从中提炼出一些基本元素，在教学中帮助学生梳理、提炼这些基本图形，遇到问题时分离这些基本图形，基本图形残缺时，构造基本图形，这样可以以这些基本图形为载体，培养学生的空间想象能力，分析推理能力。

_ 图1

_

1

图2

_2

_1

图3

_2

_1

图4

A

B

2

一种是简单的基本图形。例如，三角形全等的基本图形（如图5）；直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的基本图形；三角形相似的基本图形，（如图5、6、7），还有弦切角定理、切线长定理基本图形等，这些都是比较简单的常见的全等、相似的基本形状，易于掌握和应用。

另一种是比较复杂，经常在习题中考题中出现，也可以提炼为基本图形。例如：河边取水基本图（如图8），问题是：从A 处到小河m 取水拿到B 处，怎么选取水点才能使所走的总路程最近？这个利用轴对称的知识把问题转化为两点之间线段最短的问题，提炼出一个基本图形，在四边形中，圆的有关问题中，平面直角坐标系中都有很多的的应用。

再如梯形ABCD 中（如图9），有三对面积相等的三角形，S 2=S 4 ， S 1+ S 2=S 4+S 1 S 2+S 3+S 4+S 3 ，还有同底的三角形的面积比等于底边之比 S 1： S 3=DO:BO ；还有相似三角形的面积比与线段比的关系 S 1: S 3=AO 2：CO 2等，把此图作为基本图形，可以很容易的解决一大类相关问题。

3．把反映重要数学规律的图形作为基本图形。

尽管几何部分有很多知识点，但是某块内容的有关练习都有很多共性之处，可以把其中最有共性、最本质的基本元素提炼出来作为基本图形，给解决问题带来便捷。

例如，圆中有关的线段计算问题，如图10，由半径、弦的一半、弦心距组成的“垂径三角形”是一个很重要的基本图形，很多圆的计算问题都可以转化为这个基本图形，在直角三角形中OAP 中求解。在半径、弦、弦心距（还有拱高）这4个量中只要知道2个量就可以求其余2个量。

图5

D

C

O

B

A F

E

C

B

A

图6

图7

A

B

C

D

E

S 2

·A ·

P

·B

·A ′

图8

m

O D C

B

A 图9

S 1 S 3 S 4

A

3

再如：在锐角三角函数应用的有关计算中，很多问题都可以归结为图11的模型，图中在已知两个特殊角的前提下，再已知AD 、CD 、AC 、BC 、AB 、BD 六条边中1条可求其余5条边，或者已知边角的三个特殊条件(必须有一边），即可求出其余未知量，把问题转化为或构造出这个基本图，使问题迎刃而解。如图12中的问题就可以归结为这个基本图形解决。

4．利用基本图形分析法分析几何问题的基本教学模式。

看到一个几何问题，采用分析法和综合法相结合的分析模式，在平时的教学中渗透、培养学生采用基本图形分析法分析问题的能力。

在分析问题时首先根据单个的条件和结论联想基本知识和基本图形，若解决问题有困难，再综合两个或多个条件，必要时需把结论进行转化，从图形中寻找基本图形。若不能找到，则看有没有某个基本图形的一部分，然后根据条件或者结论思考怎样添加辅助线能构造出基本图形。

当图形比较复杂、不能把注意力集中在图形的某个部分进行思考的时候，可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来，在图形的旁边重新画出，以便更方便地进行思考分析。

例如：如图13（1）：DE 是三角形ABC 的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，求三角形DMN 和四边形ANME 的面积之比。

水平地面

C

A

B

E

M

E F

C

(3)

N

A

E F

C

(2)

N

D E

F

M (4)

(1)

D

A B

N E

C

M

分析：看到中位线联想到：中点、平行线、1：2、A字相似图；由M为中点想到：与三角形DMN有关的“8”字全等基本图形。但是图中没有这样的基本图形，由此想到添加辅助线构造基本图形，过E作EF平行于AB交CN于F，就会分离出图（2），图中的面积比等于相似比的平方；图（3）中的同高的三角形的面积比等于底边的比；图（4）中的“8”字全等基本图形；由于图形比较复杂，所以从中把需要关注的基本图形从中分离出来，这样，设三角形DNM的面积为单位1，就可以求出四边形ANME的面积为5.

5．分析基本图形与数学思想方法相融合

分析问题应在基本的数学思想方法指导下进行。如无处不在的转化思想，数学建模思想，数形结合思想，分类讨论思想等。重要的是借助于基本图形，使解题思路产生在学生的最近发展区。解决一个问题有困难时可考虑把它转化为其它问题考虑，转化前、后都应考虑基本图形。

例如：八年级上册的一道课后作业：如图14，找出图中的

同位角、内错角、同旁内角。

可以根据分类讨论的思想，把图中的三线八角基本图形分离

出来，分类时可以按照谁做第三条直线的线索进行。然后在每个

基本图形中找同位角、内错角、同旁内角就容易得多，而且能做到不重不漏。如下图，学生能很很容易的从每个图中找出同位角、内错角、同旁内角。

图

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