上海中考数学初三相似三角形讲义
陈老师家庭课堂辅导讲义
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．１∶2
11、在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高.将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为
A．9.5 B．10.5
C．11 D．15.5
11题图12题图13题图
12、如图，在Rt ABC
△中，90
ACB
∠=°，3
BC=，4
AC=，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）
A．
3
2
B．
7
6
C．
25
6
D．2
13、如图所示，已知点E F
、分别是ABC
△中AC AB
、边的中点，BE CF
、相交于点G，2
FG=，则CF的长为（）
A．4 B．4. 5 C．5 D．6
14、三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图7所示）.现测得20cm50cm
OA OA'
==
，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．
14题图15题图
15如图，Rt ABC
△中，90
ACB
∠=°，直线EF BD
∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若1
3
AEG EBCG
S S
=
△四边形
，则
CF
AD
=．
16．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AC=12，BC=9．则它的重心G到C点的距离是．
17题图
A
F E
C
B
G
B
C
A
16题图
17．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6cm ，BG ＝1.2cm ，CD ＝1.5cm ，CH ＝_____cm
18.如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在线段 BD 、AB 上，EF ∥AD ，DE ∶EB =2∶3，EF =9，那么BC 的长为 ．
19如图，已知AD ∥EF ∥BC ，且AE ＝2EB ，AD ＝8 cm ，AD ＝8 cm ，BC ＝14 cm ， 则S
梯形A 。
EFD
︰S 梯形BCFE ＝____________．
20将三角形按照如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．若以点B ′，F ，C 为顶点的三角
形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．
【请呗忘记总结回顾】
第三部分：综合题分析
1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BE 平分∠ABC ， DE ∥BA ． 如果CE =24， AE =26， AB =45，求DE 和CD 的长．
D
A
B
C
F E
18题图
20题图
E
5、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于
一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB
6、在ABC
∆和AED
∆中, AB·AD＝AC·AE,CAE
∠＝BAD
∠,
ADE
S
∆
＝4
ABC
S
∆
.
求证∶DE＝2BC.
7、如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，
E
D
C
B
A
F E D
C B A
D C B A
且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．
【关键词】直角三角形的有关计算、相似三角形有关的计算和证明 【答案】
（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM （写出两对即可） 以下证明△AMF ∽△BGM ．
∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ∴△AMF ∽△BGM ． （2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝22分
又∵AMF ∽△BGM ，∴
AF BM
AM BG
=
∴22228
33
AM BM BG AF ⨯===g
又42cos454AC BC ===o ，∴84
433
CG =-
=，431CF =-= ∴222245
1()33
FG CF CG =+=+=
8、（本题12分）如图1,在平行四边形ABCD 中,CD AC =. （1）求证：ACB D ∠=∠；
（2）若点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两点,且CAD EAF ∠=∠.(如图2)
① 求证:ADF ∆∽ACE ∆；
② 求证:EF AE =.
（图1） （图2）
2、(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P 重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；
EF ，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。
当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是（3）令2y
否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。
温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！。
最新沪科版九年级相似三角形知识点汇总讲义
相似三角形·基本知识讲义知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1.比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2.比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3.比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4.比例外项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5.比例内项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6.第四比例项：在比例dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7.比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为ab b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质:bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cd a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC BC AB AC =即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
沪科版九年级上册数学 22.2 相似三角形判定
沪科版九年级上册数学相似三角形相似三角形要点提示1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则___________.2. 两个角对应相等的两个三角形__________.3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.4. 三边对应成比例的两个三角形___________.性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等4321（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. ③三边对应成比例，两三角形相似.EA DCBCBA④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等.②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例分析1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15.求△ A′B′C′最短边的长.2.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )3.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加 的条件是_________4.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ）BCAD第3题A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5基础强化1.如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（ ）A.DB AD ＝EC AE B.BC DE ＝EC AE C.AD AB ＝AE AC D.EC DB ＝ACAB2.下列判断中，正确的是（ ）A.各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似C.各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D.邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似3.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对4.已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5.如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A.△ABE ∽△DGEB.△CGB ∽△DGEC.△BCF ∽△EAFD.△ACD ∽△GCF6.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE 与△ABC 的面积之比为：__________.7.如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________ A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：78.若两个相似多边形面积比为9:4，则它们的周长比是 9.如图，已知DE ∥BC ，AD = 1，DB = DE =2， 则 BC =ABCD10.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，FC = 5.4cm ，CE = 2.7 cm ，BE = 3.2 cm ，求DC 的长；能力提高1.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）A.1B.23 C.2 D.252.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则 AC ︰BC 的值为（ ）A.9︰4B.9︰2C.3︰4D.3︰2ABC DEF3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______．4.如图，在矩形ABCD中，E是BC中点，且DE⊥AC，则CD︰AD＝__________．5.一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30 cm、40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？真题演练1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为________.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE ，EF ⊥AE ，则CF 等于( )A. B.1 C. D.23.如图，△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，连接DE ，线段BE 、CD 相交于点2332O.若OD＝2，则OC＝________.4.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC 的长.。
沪科版九年级上册数学教学课件 第22章 相似形 相似三角形的判定 第1课时相似三角形
D'
E'
B
C
△ADE∽△ABC，且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
问题3：试着运DE与△ABC中，∠A=∠A.
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
E
再证明两个三角形的边成比例，
过点D作DF∥AC，交BC于点F.
AD AB
=
DE BC
=
EA CA
D
E
B
C
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
问题3：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点
D作BC的平行线DE，交AC于点E.△ADE与△ABC之间
有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
△ADE∽△ABC
A
平行移动DE的位置，结论还成立
D
E
△AD'E'∽△ABC 我们发现:
课程讲授
2 利用平行判定三角形相似
练一练：如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC
上，DE∥BC,若BD=2AD，则下列结论正确的是（B ）
A.
AD 1 AB 2
B. AE 1
EC 2
C. AD 1
EC 2
D. DE 1
BC 2
课程讲授
1 相似三角形的有关概念
练一练：如图，△ABC∽△AED,∠AED=∠B,那么下
∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴
AD AB
=
AE AC
BF = AE BC AC
∵ 四边形DFCE为平行四边形，
∴ DE=FC，
B
AD ∴ AB
沪科九年级数学上册第22章3 相似三角形的性质
类比全等三角形的研究方法，来研究相似三角形的性质
全等三角形
相似三角形
C
C'
C
C'
图形 A
B A'
B'
整体：形状相同，大小相同，完全重合
AB
A'
B'
整体：形状相同，大小不一定不同，不 一定能重合
性质 角：对应角相等 线段：对应边相等 对应边上的高线、中线相等 对应角的角平分线相等
角： 对应角相等
线段：对应边成比例，都等于相似比 对应边上的高线之比等于相似比吗？ 对应边上的中线之比等于相似比吗？ 对应角的角平分线之比等于相似比吗？
求这两个三角形的周长比和面积比.
解：∵ 两个三角形相似，且一对对应边分别为32 cm，12 cm ， ∴两个三角形的相似比为32∶12= 8∶3. ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比是8∶3. ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴两个三角形的面积比是64∶9.
典型例题
60 cm
D
C
2
2
2
AB AC BC 2
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2，
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
相似三角形的性质定理1：
相
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的
似
比都等于相似比.
三
角
形
的
性
质
用相似三角形的性质定理1解决问题：
定
①找到对应的相似图形，并确定其相似比；
42 x 8
解这个方程，得x=18，42–x=24. 答：这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.
沪科版数学九年级上册22.3相似三角形的性质课件共13张PPT
面积的比等于相似比的平方
1、两个相似多边形的面积比为4:1，则它们的 相似比为_______，周长比为_______。
2、如果把一个三角形的三条边长都扩大为原来 的100倍，则面积扩大为原来的_______倍，周长 扩大为______倍。
3、如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍， 则边长为原来的_____倍，周长为原来的______倍。
相
对应高的比
似
三
对应角平分线的比
都等于相似比
角
形
对应中线的比
如图AD、 A′D′ 分别是锐角△ABC和锐角 △A′B′C′的高,且△ABC∽ △A′B′C′,则
AD:A’D’=AAB:A’B’. ∵ △ABC∽ △A′B′C′,
∴∠B=∠B’
又因为AD、 A′D′ 分别是
△ABC和△A′B′C′的高
AB BC CA AB BC CA k AB BC CA
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A A’
B
D
C
B’
D’ C’
△ABC～△A’B’C’，相似比为K
S 1/2 ·BC ·AD =
BC · AD =
= K2
S’ 1/2 ·B’C’ · A’D’ B’C’ · A’D’
K
K
例 已知： △ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别 为 60cm 和 72cm ，且 AB = 15cm ， B′C′= 24cm .求：BC、AC、 A′B′、 A′C′.
B
D
C ∴∠ADB=∠A’D’B’=90° 在△ABD和△A′B′D′中
A′
∠B=∠B’
∠ADB=∠A’D’B’ ∴ △ABD∽ △A′B′D′,
沪科版九年级数学上册22.3相似三角形的性质课件
BE
DE
∴
=
GF
FC
BE
EF
∴
=
EF
FC
∴
EF2=BE·FC
D A
E F
G
C
如图:已知∠BAC=90°,BD=DC, DE⊥BC交AC于E,交BA的延长 线于F.试说明：AD2=DE·DF
C
D
E
分析： 由AD2=DE·DF，得
F AD
DF
=
DE AD
故只要说明△ADE∽ △FDA即可
A
B
点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后找相似三角形（或平行线）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
AF:FC=2 :3，
S△ABC=S， B
E
C
求平行四边形BEFD
的面积。
如图,△ABC是一
A
块锐角三角形余料,
边BC=120毫米,高 AD=80毫米,要把它
ME
N
加工成正方形零件,
使正方形的一边在
BC上,其余两个顶 B Q D P C 解：设正方形PQMN是符合要求的
点分别在AB、AC上, △ABC的高AD与PN相交于点E。设 正方形PQMN的边长为x毫米。
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午9时58分22.4.1221:58April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二9时58分44秒21:58:4412 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
如图,在 ABCD中,E是AB上一 点,AC与DE相交于F,AE:EB=1:2, 求∆AEF与∆CDF的相似比.若∆AEF 的面积为5平方厘米,求∆CDF的面积。
(沪科版)中考数学总复习课件【第19讲】相似三角形
判定
4.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角
对应相等 ，那么这两个三角形相似 ________
第19讲┃相似三角形
直角 三角 形相 似的 判定
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
对应成比例 ，那么这两个直角三角形相似 斜边和一条直角边____________
第19讲┃相似三角形
8．[ 2014·南宁] 如图 19－9， ， AB∥FC，D 是 AB 上一点， DF 交 AC 于点 E，DE＝FE，分别延长 FD 和 CB 交于点 G. (1) 求证：△ADE≌△CFE； (2) 若 GB＝2，BC＝4，BD＝1 ，求 AB 的长．
图 19 －9
第19讲┃相似三角形
2 2 2 2
第19讲┃相似三角形
例4
[2014·陕西] 某一天，小明和小亮来到一河边，想用
遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情 况下，先在河岸边选择了一点B( 点B 与河对岸岸边上的一棵树的底 部点D所确定的直线垂直于河岸)． ①小明在点B面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐 正好落在树的底部点D 处，如图19－11 所示，这时小亮测得小明眼 睛距离地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下， 并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这 时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6 米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米． 根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
第19讲┃相似三角形
【教你读题】 1．初读题，可以知道这是一道测量问题．
沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第2讲 相似三角形
D ABCE相似三角形是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的判定和相似三角形的性质；重点是根据已知条件灵活运用不同的判定定理对三角形相似进行判定，并结合相似三角形的性质进行相关的证明，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合，以及相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中，A A ∠=∠， ADEB ∠=∠，AEDC ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===． 由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．相似三角形内容分析知识结构模块一：相似三角形的判定知识精讲2 / 16ABC A 1B 1C 1根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ∆∽ABC ∆．3、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：A BCDEABCDEABCDEABCA 1B 1C 1ABCA 1B 1C 14、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．5、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．6、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．ABCA 1B 1C 14 / 16AB CABCDEABCP【例1】 如图，已知点P 是ABC ∆中边AC 上一点，联结BP ，要使ABP ∆∽ACB ∆，那么应添加的一个条件为____________，或____________，或____________．【例2】 下列命题正确的是（ ） A ．有一个角是40°的两个等腰三角形相似 B ．有一个角是106°的两个等腰三角形相似 C ．面积相等的两个直角三角形相似 D ．两边之比为3 : 5的两个直角三角形相似【例3】 下列4⨯4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC ∆相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【例4】 如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，:3:5AD DE =，AE = 8， BD = 4，则DC 的长等于（ ）A ．415B ．125C ．174D ．154例题解析ABCDPA BCDE FP【例5】 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似；乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A ．两人多对B ．两人都不对C ．甲对乙不对D ．甲不对，乙对【例6】 如图，ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN =______．【例7】 如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB的延长线相交于点E ，BP // DF ，且与AD 相交于点P ，则图中有______对相似的三角形．【例8】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90ABC ∠=︒，AB = 8，AD = 3，BC = 4，点P 为AB 边上一动点，若PAD ∆与PBC ∆是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图1图211 1 1111 AB CNM6 / 16A BCDEFAB CDE FGABCDEF 【例9】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC = 3，AC = 4，AB 的垂直平分线DE 交BC的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32B ．76C ．256D ．2【例10】如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F为线段DE 上一点，且AEF B ∠=∠．（1）求证：ADF ∆∽DEC ∆；（2）若AB = 8，AD =63，AF =43，求AE 的长．【例11】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且CDE ABD ∠=∠．（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=．【例12】如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠．【例13】 在ABC ∆中，AB = 40，AC = 24，BC = 32，点D 是射线BC 上的一点（不与端点重合），联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似，求BD 的值．ABCDEAB C DE FG H QAB CDNM【例14】正方形ABCD 的边长为1，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ，求当BM 为多少时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为多少？【例15】 如图，将边长为6 cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG ∆的周长为______cm ．【例16】如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 4 cm ，BC = 2 cm ，D 为BC的中点，若动点E 以1 cm /s 的速度从A 点出发，沿着A B A →→的方向运动，设点E 的运动时间为t 秒，联结DE ，当t 为何值时，BDE ∆是直角三角形？【例17】如图，ABC ∆中，4AB = 5AC ，AD 为ABC ∆的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG = FD ，联结EG 交AC 于点H ，若点H 是AC 的中点，求AGFD的值．A BCDE A BCDEF G H8 / 161、 相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2、 相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 3、 相似三角形性质定理3相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例18】如果两个相似三角形的面积之比是9 : 25，其中小三角形一边上的中线长是12cm ，那么大三角形对应边上的中线长是______cm ．【例19】在ABC ∆中，DE // BC ，且D 在AB 边上，E 在AC 边上，若:1:4ADE BCED S S ∆=，则:ADE ABC C C ∆∆=______，:AD DB =______．【例20】如图，梯形ABCD 中，AD // BC ，90B ACD ∠=∠=︒，AB = 2，DC = 3，则ABC∆与DCA ∆的面积比为（ ）A ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 9D ．2:3【例21】【例22】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．可以有3个D ．有无数个模块二：相似三角形的性质知识精讲例题解析ABCDABCD E ABCDE【例23】如图，D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，23AD AE DE AB AC BC ===，且ABC ∆与ADE ∆的周长之差为15 cm ，求ABC ∆与ADE ∆的周长．【例24】如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE // AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______．【例25】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，将ABC ∆沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN // AB ，MC = 6，23NC =，那么四边形MABN 的面积是______．【例26】如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 6，AD = 9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线与F ，BG AE ⊥于G ，则EFC ∆的周长为______．【例27】如图，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED // BC 交AB于点D ．（1）求证：AE BC BD AC =；（2）如果3ADE S ∆=，2BDE S ∆=，DE = 6，求BC 的长．AB CDEABCDNMABC DEFG10 / 16ABCD PQ【例28】如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB = 10，BC = 6，在线段AB 上取一点D ，作DF AB ⊥交AC 于点F ，现将ADF ∆沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为1A ，AD 的中点E 的对应点记为1E ，若11E FA ∆∽1E BF ∆， 则AD =______．【例29】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 3，点D 、E 分别在BC 、AC上，且BD = CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF // AB ，则BD 的长为______．【例30】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD AB ⊥于点D ．点P从点D 出发，沿线段CD 向点C 运动，点O 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）设CPQ ∆的面积为S ，求S 与t 之间的关系式，并确定运动过程中是否存在某一时刻t ，使得:9:100CPQ ABC S S ∆∆=？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，CPQ ∆为等腰三角形？ABCD E F A 1E 1 AB CDEA BCABCDE FGABCDE【习题1】 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 如图，D 是ABC ∆的边AC 上一点，CBD ∠的平分线交AC 于点E ，AE = AB ，则长度为线段AD 、AC 长度比例中项的线段是______．【习题3】 如图，在ABC ∆中，D 、F 是AB 的三等分点，DE // FG // BC ，分别交AC 于E 、G ．记ADE ∆、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123::S S S =______．【习题4】 如图，D 是ABC ∆的边BC 上一点，已知AB = 4，AD = 2，DAC B ∠=∠，若ABD ∆的面积为a ，则ACD ∆的面积为______．随堂检测ABCD12 / 16AB CPN MQA BCDEG Hx y xy xy xy O O O O 3 45 3 45 3 45 3 45 AB C D E FMG H【习题5】 如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 4，动点P 从A 点出发，按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动，记P A = x ，点D 到直线P A 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【习题6】 如图，已知点D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，BC = 3BD ，CE ⊥AD ，则AE CE =______．【习题7】 在同一时刻，两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB = 2 m ，它的影子BC = 1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM = 1.2 m ，MN = 0.8 m ，则木竿PQ 的长度为______m ．【习题8】 如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为点G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：ABE ∆∽ECF ∆；（2）找出与ABH ∆相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 的中点，BC = 2AB ，AB = 2，求EM 的长．【习题9】 如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC = 3，点E 、F 、G 、H分别在矩形ABCD 的各边上，EF // AC // HG ，EH // BD // FG ，求四边形EFGH 的周长．A B CDPx yA BC DEABCDEFmH【习题10】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC = 10 cm ，AD = 8 cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3 cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2 cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t > 0）．（1）当t = 2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF ∆的面积存在最大值，当PEF ∆的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使PEF ∆为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．14 / 16AB C DE A BCDEABCDE AB C D O【作业1】 如图，在ABC ∆中，DE // BC ，12AD DB =，则下列结论正确的是（ ） A ．12AE AC =B ．12DE BC = C ．13ADE ABC ∆=∆的周长的周长D ．13ADE ABC ∆=∆的面积的面积【作业2】 如图，在ABC ∆中，点D 和点E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能判定ABC∆∽AED ∆的是（ ）A ．AEDB ∠=∠B ．ADEC ∠=∠ C ．AD AC AE AB=D ．AD AE AB AC=【作业3】 一副三角尺按如图所示的方式叠放，则AOB ∆与DOC ∆的面积之比为____________．【作业4】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆两边AB 、AC 上，且AD = 31，DB = 29，AE = 30，EC = 32．若50A ∠=︒，则关系式“○1ADE B ∠>∠；○2AED C ∠=∠；○3ADE C ∠>∠；○4AED B ∠=∠”中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【作业5】 在ABC ∆中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的一条直线截ABC ∆，使截得的三角形与ABC ∆相似，我们不妨称这种直线为过点P 的相似线．如图，36A ∠=︒，AB = AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的ABC ∆的相 似线最多有______条．课后作业AB CPAB O xyAB CDE FGOAB CDEFA B CDE F NM【作业6】 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG 、DE ，DE 和FG 相交于点O ，设AB = a ，CG = b （a > b ），下列结论：○1BCG ∆≌DCE ∆；○2BG DE ⊥；○3DG GO GC CE=；○4()22EFO DGO a b S b S ∆∆-=，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【作业7】 已知，在菱形ABCD 中，CF ⊥AB ，垂直为E ；CE 与BD 相交于点F ．（1）求证：AB CFBE EF=；（2）求证：22DF DB BC =．【作业8】 如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD 交BD 与点E ，点F 、M 分别是AB ，BC 的中点，BN 平分ABE ∠交AM 于点N ，AB = AC = BD ，连接MF ，NF ． （1）判断BMN ∆的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN ∆与BDC ∆之间的关系，并说明理由．【作业9】 如图，AOB ∆为等腰三角形，顶点A 的坐标为（2，5）底边OB 在x 轴上，将AOB ∆绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得''A O B ∆，点A 的对应点'A 在x 轴上，求点'O 的坐标．16 / 16ABCD EF GP Q【作业10】 已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点，沿PE 翻折得到BPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ． （1）如图，当BP = 1.5时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP = x ，DG = y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE ∆与FHG ∆相似，求BP 的长．。
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第5讲 相似三角形的判定(二)(全)
ABCA 1B 1C 1相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．1、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．相似三角形的判定（二）内容分析知识结构模块一：相似三角形判定定理3知识精讲2 / 17ABCDEFABCDE F【例1】 根据下列条件判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2AB cm =，3BC cm =，4CA cm =，10DE cm =，15EF cm =，20FD cm = （2）1AB cm =，2BC cm =， 1.5CA cm =，6DE cm =，4EF cm =，8FD cm =．【例2】 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC ∆与DEF ∆．求证：ABC ∆∽FDE ∆．【例3】 如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 的中点．求证：DEF ∆∽ABC ∆．【例4】 ABC ∆的边长分别为a 、b 、c ，111A B C ∆的边长分别为a 、b 、c ，则ABC∆与111A B C ∆（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．例题解析ABCD E FABCDEA BCDE ABCD【例5】 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==． 求证：ABD ∆∽ACE ∆．【例6】 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，23CD =，4AD =． 求证：ABC ∆∽ACD ∆【例7】 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆．【例8】 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E 是AD 的中点．（1）求证：CDE ∆∽EAB ∆；（2）CDE ∆与CEB ∆有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．4 / 171、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．【例9】 在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由． （1）55A ∠=︒，35D ∠=︒；（2）9AC =，12BC =，6DF =，8EF =； （3）3AC =，4BC =，6DF =，8DE =； （4）10AB =，8AC =，15DE =，9EF =．模块二：直角三角形相似的判定定理知识精讲例题解析ABCA 1B 1C 1ABC DA 1B 1C 1D 1AB CDABCD AB CDF G【例10】 如图，在ABC ∆和111A B C ∆中，AD BC ⊥，1111A D B C ⊥，垂足为D 和1D ，且111111AC AB ADAC A B A D ==． 求证：ABC ∆∽111A B C ∆．【例11】 如图，四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AD a =，BC b =，AC ab求证：DC BC ⊥．【例12】 如图，AB AD ⊥，BD DC ⊥，且2BD AB BC =．求证：ABD DBC ∠=∠．【例13】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ．求证：CF CA CG CB =．6 / 17ABCDE FA B CDEFMABCD EF【例14】 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．【例15】 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD // BC ，BC CD =，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒．将BEC ∆绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到DCF ∆，连接EF 交CD 于点M ．已知5BC =，3CF =，求:DM MC 的值．【例16】 如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ，求证：CEF ∆∽CBA ∆．【例17】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =； （2）求证：BF AE FD BA =．BCDE FGABCDEF【例18】 求证：如果一个三角形的两边和第三边的高与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．【例19】 如图，在Rt BDC ∆中，点E 在CD 上，DF BC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：FG BC CE BG =．【例20】 如图，90CAB ∠=︒，AD CB ⊥，ACE ∆、ABF ∆是正三角形．求证：DE DF ⊥．8 / 17ABC DEPAB CD1、 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2、 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3、 相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4、 直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．【例21】 根据下列条件，能判定ABC ∆和DEF ∆相似的个数是（）．（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒；（3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）6AB =，2CB =，2AC =，3DE =，1EF =，2DF =． （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【例22】 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ）． （A ）APB EPC ∠=∠ （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点 （D ）:2:3BP BC =【例23】 已知ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 是角平分线，求证：ABC ∆∽BCD ∆．模块三：相似三角形的判定综合知识精讲例题解析ABCDEFGH1 23ABCD EABCDENM【例24】 在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【例25】 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为多少？【例26】 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似．【例27】 如图，AB AC =，2AC AD AE =，求证：BC 平分DBE ∠．10 / 17AB C DE FAB CDEF A B CMACDEM【例28】 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．【例29】 如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =．【例30】 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．【例31】 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．ABCD EF【例32】 如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值．12 / 17A BCD E FGHK AB CDEF【习题1】如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC ∆相似的是（）（A ）BCD ∆ （B ）BDE ∆ （C ）BFG ∆（D ）FGH ∆【习题2】下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【习题3】如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =，则AC =．【习题4】在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离．随堂检测ABCDEF ABCDEA BCDEOA BCPQ【习题5】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE⊥于F ，联结DF ． 求证：BD DFBE AE=．【习题6】已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E 在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值．【习题7】如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，过点B 作BE //CD交CA 的延长线于点E ，求证：2OC OA OE =．【习题8】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动到C 点，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动到A 点．若点P 、Q 分别同时从B 、C 出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？14 / 17ABCDEOABCPQN【习题9】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，O 是AB 的中点，将45°角的顶点置于点O ，并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ，连接点D 、E ．（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明； （2）设AD x =，BE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当x 为何值时，ODE ∆是等腰三角形？【习题10】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CQ 是斜边AB 上的中线，6AC =，10AB =，点P 是BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），经过点P 、Q 的直线与直线AC 交于点N ，若PNC ∆与ABC ∆相似，求BP 的值．ABCDEFAB CD EF【作业1】如图，ABC ∆与DEF ∆在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形的顶点位置，试判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，为什么？【作业2】下列每组中的两个三角形，相似的是（） （A ）ABC ∆中，35A ∠=︒，50B ∠=︒；'''A B C ∆中，'35A ∠=︒，'105B ∠=︒ （B ）ABC ∆中， 1.5AB =， 1.25BC =，38B ∠=︒；'''A B C ∆中，''2A B =，'' 1.5B C =，'38B ∠=︒（C ）ABC ∆中，12AB =，15BC =，26CA =；'''A B C ∆中，''20A B =，''25B C =，''40C A =（D ）Rt ABC ∆中，斜边5AB =，直角边3BC =；'''Rt A B C ∆中，斜边''15A B =，直角边''12A C =【作业3】如图，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，交AD 于点F ，则图中相似三角形的对数是（）． （A ）3对（B ）4对（C ）5对（D ）6对课后作业16 / 17ABCDE FGABCDE FABCDEFG【作业4】如图，在ABC ∆中，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF AC ⊥于F ，DG BE ⊥于G ．求证：AF AC BG BE =．【作业5】如图，D 是AC 上的点，BE 平行于AC ，BE AD =，AE 分别交BD 、BC于点F 、G ，CAE CBD ∠=∠． 求证：BF 是FG 和EF 的比例中项．【作业6】已知，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且13EB AF AB AD ==，求证：AEF FBD ∠=∠．ABCDEFABP QR12ABCDPQ 【作业7】 如图，正方形ABCD 中，2AB =，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意点，DQ AP ⊥于Q ．（1）求证：DQA ∆∽ABP ∆；（2）当点P 在BC 上变化时，线段DQ 也随之变化．设PA x =，DQ y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．【作业8】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ． 求证：33AE AC BF BC =．【作业9】如图，A 是等边PQR ∆的边RQ 的延长线上的点，B 是QR 延长线上的点．（1）若1260∠+∠=︒，求证：2QR AQ BR =；（2）若12AQ QR =，当RB 与QR 满足什么条件时，BRP ∆∽PQA ∆？（3）BPQ ∆有可能与PQA ∆相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．。
沪科版九年级数学上册 相似三角形 知识点大总结
沪科版九年级数学上册 相似三角形 知识点大总结知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写b a ,n m ,nmb a =成．注：在求线段比时，线段单位要统一。
n m b a ::=（2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，d c b a ,,,b a 和d c 和d c b a ,,,简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d cb ,,．②a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，a d cb =()ac a b cd b d==在比例式：：中，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有a b b d =：：。
2b ad =（3）黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即AB )(,BC AC BC AC >AC BC AB 和，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中2AC AB BC =⋅AB C AB ≈0.618．即简记为：AB AC 215-=AB AC BC AB AC ==长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除bc ad =了可化为，还可化为，d c b a ::=d b c a ::=，，，，，．b a dc ::=c ad b ::=c d a b ::=b d a c ::=a b c d ::=a c b d ::=（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)：．a cb d b da c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d±±=⇔=注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a（5）等比性质：如果，那么．)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ba n f db m ec a =++++++++ 注：①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例k 计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322032≠+-f d b 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等. AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。