拓扑学第四章-紧致性
拓扑学中的连通性与紧致性
拓扑学中的连通性与紧致性拓扑学是数学的一个分支，研究的是空间的性质和结构，而连通性和紧致性是拓扑学中最基本和重要的概念之一。
本文将重点介绍拓扑学中的连通性和紧致性的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的重要性。
一、连通性的定义和性质连通性是研究空间中点的连续变化的概念，它描述了空间中是否存在切割或分离的现象。
具体地说，对于一个拓扑空间，如果它不是两个或更多个非空不交开集的并集，那么它被称为是连通的。
一个连通空间不会被一个线或一个曲线分成两部分，换句话说，连通空间中的两点可以通过一条连续的曲线相连。
连通性具有以下性质：1. 连通性是保持连续映射的重要性质，即在连通空间和连通空间之间的连续映射的像仍然是连通的。
2. 连通性与路径连通性的关系：如果一个空间是连通的，那么它也是路径连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
3. 连通分支：一个连通空间可以由多个连通的子集组成，这些子集被称为连通分支。
二、紧致性的定义和性质紧致性是描述空间中点集是否能被有限个开集所覆盖的概念。
具体地说，对于一个拓扑空间，如果其任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么它被称为是紧致的。
紧致性具有以下性质：1. 紧致性是保持连续映射的重要性质，即在紧致空间和连通空间之间的连续映射的像仍然是紧致的。
2. 紧致性与有界性的关系：在度量空间中，紧致性等价于有界闭集的性质。
但在一般的拓扑空间中，紧致性与有界性无关。
3. 紧致集的性质：紧致集在一些性质上类似于有限集，比如紧致集的闭包仍然是紧致的。
三、连通性与紧致性的关系连通性和紧致性是拓扑学中两个重要的概念，它们有一定的关系：1. 紧致空间的连通性：紧致空间一定是连通的。
因为如果紧致空间不是连通的，那么可以将其分解成非空不交的连通子集，这样就存在一个无限的开覆盖，从而违反了紧致性的定义。
2. 连通空间的紧致性：连通空间不一定是紧致的。
例如，实数集上的开区间是连通但不紧致的。
3. 连通紧致性：连通并且紧致的空间被称为连通紧致空间。
拓扑学中的紧致流形与流形同胚
拓扑学是数学中的一个分支，研究空间形态上的性质。
其中，流形是拓扑学中的一个关键概念。
流形是指在局部上与欧几里德空间同胚的空间。
而在拓扑学中，紧致性是一个非常重要的性质。
本文将介绍紧致流形以及流形同胚的相关概念和性质。
首先，我们来了解什么是紧致性。
在拓扑学中，紧致性是指一个空间在拓扑结构下没有无限序列的收敛子列逃逸到无穷远的性质。
简单来说，紧致性可以理解为一个空间有限而有界。
一个空间如果同时满足Hausdorff分离公理和紧致性公理，则称为紧致空间。
接下来，我们来讨论什么是流形。
流形是一个局部上与欧几里德空间同胚的空间，即对于流形上的每一点，都存在一个邻域与欧几里德空间中的开集同胚。
流形可以是有限维或无限维的。
有限维流形是我们日常生活中更容易理解的，比如曲线、曲面等。
而无限维流形则涉及到更高级的数学对象。
那么，紧致流形就是同时具备紧致性和流形性质的空间。
紧致流形在数学研究中扮演着十分重要的角色。
紧致性保证了有限性和有界性，使得我们能够更好地进行研究和分析。
同时，流形性质保证了空间的局部性质与欧几里德空间的同胚性，使得我们可以借助欧几里德空间中的工具和技术来研究流形。
除了紧致性和流形性质外，我们还可以讨论流形之间的同胚。
同胚是指两个空间之间存在一个一一对应的映射，并且这个映射以及它的逆映射都是连续的。
流形同胚的概念可以理解为两个流形之间存在一种相似性，即它们的结构和性质是等价的。
研究流形同胚的一个重要问题是如何判断两个流形是否同胚。
在低维流形中，常用的方法是通过刻画流形的拓扑不变量来进行判断。
比如，欧几里德空间中的拓扑不变量是欧拉数，对于一维流形即曲线，欧拉数是0；对于二维流形即曲面，欧拉数是2-2g，其中g是曲面上的洞的个数。
通过计算拓扑不变量，我们可以判断流形之间是否同胚。
然而，在高维流形中，判断同胚关系就更加困难了。
在拓扑学中，尚未找到适用于所有高维流形的拓扑不变量。
因此，从数学角度上讲，给出两个高维流形是否同胚的判断依据仍然是一个开放的问题。
拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学是数学中的一个分支，研究的是集合中的空间结构和变形性质。
在拓扑学中，紧致性与连通性是两个重要的概念。
本文将介绍拓扑学中的紧致性与连通性的定义、性质以及它们在数学和实际应用中的意义。
一、紧致性紧致性是拓扑学中一个基本而重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限子覆盖。
换句话说，对于一个紧致空间的任意开覆盖，我们都可以从中选出有限个开集作为子覆盖，使得这些开集覆盖着整个空间。
紧致性具有许多重要的性质。
首先，闭子空间的紧致性是从父空间继承下来的。
也就是说，如果一个空间是紧致的，那么它的闭子空间也是紧致的。
其次，紧致性是一种传递性。
如果一个空间是另一个空间的闭子空间，并且这个闭子空间是紧致的，那么这个空间也是紧致的。
这一性质使得我们在研究紧致性时可以通过从小空间到大空间的层层推广来得到更多的结论。
紧致性在数学中有广泛的应用。
在函数空间和度量空间中，紧致性是很多定理的基础。
例如，连续函数在紧致空间上具有最大值和最小值，积分在紧致空间上具有有界性等。
二、连通性连通性是另一个重要的概念，它描述了拓扑空间的不可分割性。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能被分解为两个非空的、不相交的开集并集。
换句话说，连通空间不可以被插入一个不连通的空间。
连通性也具有一些重要的性质。
首先，连通性是保持在闭子空间之间的。
也就是说，如果一个空间是连通的，那么它的闭子空间也是连通的。
其次，连通性可以通过路径连通来定义。
如果一个空间中的任意两点都可以通过一条连续曲线相连，那么这个空间是路径连通的。
路径连通空间一定是连通的，但连通空间不一定是路径连通的。
连通性在许多领域中具有重要意义。
在数学中，连通性可以用于证明一些重要的性质，例如黎曼曲面的互同性定理。
在实际应用中，连通性可以帮助我们分析网络、图像等复杂系统。
总结起来，拓扑学中的紧致性和连通性是两个基本而重要的概念。
紧致性描述了拓扑空间的覆盖性质，而连通性描述了拓扑空间的不可分割性。
紧致性与闭包不可交换
紧致性与闭包不可交换紧致性和闭包是拓扑空间理论中重要的概念，它们分别描述了集合的紧致性和包含关系的性质。
本文将讨论紧致性与闭包的关系，重点阐述它们之间的不可交换性。
一、紧致性紧致性是指一个拓扑空间中是否能覆盖所含所有开集的有限子集。
如果一个拓扑空间中的每个开覆盖都存在有限子覆盖，那么该空间被称为紧致空间。
紧致性是拓扑空间理论中一个非常重要的性质，具有许多重要的应用。
紧致性与闭包的关系如下：对于一个紧致空间中的任意子集，它的闭包一定是紧致的。
这个结论可以通过紧致性的定义以及闭包的性质来证明。
证明：设X是一个紧致空间，A是X的一个子集。
如果A的闭包是X本身，那么A是紧致的，因为任何开覆盖都可以由X的开集与X\A中的开集组成，由于X是紧致的，可以选择有限个开集来覆盖X，而这些开集加上X\A中的开集就可以构成A的有限子覆盖。
如果A的闭包不是X本身，设x∈X\A，那么由于A的闭包是闭集，所以x有一个邻域N与A没有交集。
考虑X的开覆盖C={N}\(X\A)，显然C是A的一个开覆盖，由于X是紧致的，存在有限子集D⊂C覆盖X，由于每个开集都与X\A相交，所以D也是A的一个有限子覆盖。
综上所述，A的任意一个开覆盖都存在有限子覆盖，即A是紧致的。
二、闭包闭包是指一个集合中包括自身和其所有极限点的集合。
对于一个拓扑空间中的任意子集，它的闭包是该子集在该拓扑空间中的最小闭集。
闭包与紧致性的关系如下：对于一个紧致空间中的任意子集，它的闭包一般来说不一定是紧致的。
这个结论可以通过反例来证明。
反例：考虑实数集R上的标准拓扑，取A=(0,1)，那么A的闭包是闭区间[0,1]，显然闭区间[0,1]是紧致的，但A本身是不紧致的，因为可以找到A的一个开覆盖C={(1/n,1-1/n)|n∈N}，它没有有限子覆盖。
由此可见，紧致性与闭包之间不可交换的性质体现在了某些情况下闭包是紧致的，而原本的集合不紧致。
结论综上所述，我们可以得出紧致性与闭包之间的不可交换性：对于一个紧致空间中的任意子集，它的闭包一定是紧致的；但对于一个紧致空间中的某个子集来说，它的闭包一般来说不一定是紧致的。
拓扑学中的完备空间与紧性
拓扑学中的完备空间与紧性拓扑学是数学的一个分支，研究空间及其性质的学科。
在拓扑学中，完备空间与紧性是两个非常重要的概念。
本文将介绍完备空间和紧性的定义、性质以及它们在拓扑学中的应用。
一、完备空间完备空间是指具有某种度量的空间，在这个度量下，所有的柯西序列都有极限。
柯西序列是指一个序列，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得序列中所有下标大于N的项的距离都小于ε。
完备空间可以用来描述序列的连续性和极限的存在性。
完备空间的定义可以扩展到一般的度量空间和赋范空间。
对于度量空间来说，完备性是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的某个点。
对于赋范空间来说，完备性也是指该空间中的任意柯西序列都收敛于该空间内的某个点。
完备空间的一个重要性质是，任何收敛序列在完备空间中都有极限。
这个性质对于研究序列的极限和连续函数的性质非常有用。
例如，在实数轴上，任何收敛序列都有极限，所以实数轴是一个完备空间。
二、紧性紧性是指给定一个拓扑空间，若其每个开覆盖都有有限子覆盖，那么该拓扑空间是紧的。
换句话说，紧性是一种性质，用于描述拓扑空间中点集的紧凑性和有限性。
在拓扑学中，紧性是一种非常重要的概念，它与连续性、紧致性以及有界性有密切的联系。
紧性有许多等价的定义。
其中一种定义是：若拓扑空间的每个无穷开覆盖都存在有限子覆盖，则该空间是紧的。
紧性的一个重要性质是，闭子空间的紧性是继承于父空间的。
也就是说，若给定一个紧空间，其闭子空间也是紧的。
这一性质使得紧性在拓扑学的研究中非常有用。
三、完备空间与紧性的关系在一些特定的情况下，完备空间与紧性之间存在一定的关联。
例如，完备的度量空间上的闭子集一定是紧的。
这个结论可以通过证明闭子集的柯西序列在该子集中有极限来得出。
此外，如果一个拓扑空间是完备的且紧的，那么根据Heine-Borel定理，该空间是有界闭集。
这个定理在分析学中有着重要的应用。
四、应用举例完备空间与紧性在拓扑学、函数分析、实变函数等领域有广泛的应用。
拓扑学中的紧致性与连通性
拓扑学中的紧致性与连通性拓扑学作为数学的一个分支，研究的是空间的性质和结构，其中的两个重要概念分别是紧致性和连通性。
本文将对这两个概念进行介绍，并探讨它们在拓扑学中的重要性和应用。
一、紧致性紧致性是指一个空间的每个开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
直观来说，如果一个空间中的点可以用有限数量的开集覆盖，那么这个空间就是紧致的。
紧致性在拓扑学中具有重要地位，它是很多定理中的关键条件。
例如，紧致性保持了一些重要的性质，如有界性和连续映射的像的紧性。
此外，紧致空间还满足有限交性质和有限并性质，这也使得它们在分析学、代数学以及几何学等领域中得到广泛应用。
紧致性与离散空间、无限空间等概念有着密切关系。
离散空间中的每个子集都是开集，因此离散空间是紧致的。
而无限空间，如实数轴，是不紧致的，因为它可以被开区间覆盖无穷多次而无法被有限子覆盖。
二、连通性连通性是指一个空间是连通的，即该空间中不存在将其分割成两个非空不相交开集的性质。
简单来说，如果一个空间不可以被分成不相交的两部分，那么这个空间就是连通的。
连通性也是拓扑学中十分重要的概念。
它在很多定理中发挥着关键作用，例如中间值定理和过渡性质定理等。
而不连通的空间则可以被看作是由多个连通分量组成的。
连通性与路径连通性密切相关。
路径连通性是指两个点之间存在一条连续的路径，而连通性是指空间中的每对点都是路径连通的。
连通性是路径连通性的自然推广和扩展。
三、紧致性与连通性的关系在一般的拓扑空间中，紧致性与连通性并无必然联系。
然而，在一些特殊的拓扑空间中，紧致性和连通性之间存在一定的关系。
定理1：若一个空间是紧致的，则该空间是连通的。
定理2：若一个空间是连通的，则该空间的闭子集也是连通的。
这两个定理表明，紧致性和连通性具有一定的传递性和保持性。
紧致性保持了连通性，并且连通性在某种程度上保持了紧致性。
四、紧致性与连通性的应用紧致性和连通性在拓扑学以及其他数学领域中具有广泛的应用。
在分析学中，紧致性与闭区间上的连续函数有关，例如魏尔斯特拉斯定理表明，闭区间上的连续函数是一致连续的，并且取得最大最小值。
拓扑学中的紧致性与连续映射
拓扑学中的紧致性与连续映射拓扑学是数学的一个分支，研究空间中的点与集合之间的关系。
在拓扑学中，紧致性和连续映射是两个重要的概念。
本文将介绍紧致性和连续映射的基本概念、性质以及它们在拓扑学中的应用。
一、紧致性紧致性是拓扑学中的一个重要概念。
在数学中，我们常常需要考察一个集合是否具有紧致性，这可以通过以下方式来定义：定义：一个拓扑空间X是紧致的，如果它的每一个开覆盖都存在有限子覆盖。
上述定义可以进一步说明紧致性的特点：对于一个拓扑空间X的任意开覆盖，我们都可以从中选取有限个开集，使得它们覆盖整个X。
这也就是说，拓扑空间X的任何开覆盖都存在有限子覆盖。
紧致性的一个重要性质是有限覆盖性质。
有限覆盖性质指的是对于任意的紧致拓扑空间X和它的一个开覆盖，都存在有限子覆盖。
这个性质在拓扑学的证明中经常被使用。
紧致性在实际问题中有广泛的应用。
例如，在实分析中，根据有界闭区间上的最值定理可以得到最大最小值的存在性，这是基于紧致性的结果。
二、连续映射连续映射是拓扑学中另一个基本概念。
在数学中，我们通常研究两个拓扑空间之间的映射，而其中的连续映射是一类特殊的映射。
定义：设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。
如果对于Y中任意的开集V，其原像f^(-1)(V)是X中一个开集，那么称映射f是连续的。
简而言之，连续映射是指原空间中的开集在映射后保持开集性质。
连续映射有一些基本的性质。
首先，对于任意的拓扑空间X，其自身上的恒等映射是连续的。
其次，连续映射的合成仍然是连续的。
此外，如果X和Y分别是紧致拓扑空间，那么连续映射f:X→Y将紧致集映射为紧致集。
三、紧致性与连续映射的关系紧致性和连续映射之间有着紧密的关系。
事实上，连续映射保持紧致性，即原空间中的紧致集在映射后仍然是紧致的。
定理：若f:X→Y是一个连续映射，其中X是紧致空间，那么f(X)在Y中是紧致的。
这个定理说明了连续映射对于紧致空间的映射性质。
通过连续映射，我们可以将一个紧致空间映射为另一个紧致空间。
拓扑学中的紧致空间判定准则
拓扑学中的紧致空间判定准则拓扑学是研究空间及其性质的数学学科，其中一个重要的概念是紧致空间。
紧致空间在数学和物理学中有广泛的应用，因此判定一个空间是否紧致是非常重要的。
本文将介绍拓扑学中的紧致空间判定准则，重点讨论Tychonoff定理和Heine-Borel定理。
1. Tychonoff定理Tychonoff定理是基于直积拓扑空间的一个重要定理，它提供了一种判定紧致空间的方法。
给定一族拓扑空间{X_i}，其中每个空间X_i都是紧致的，那么它们的直积空间X = ∏(X_i)也是紧致的。
Tychonoff定理的证明可以通过Zorn引理和紧致性的等价性来完成，但由于篇幅的限制，详细的证明过程在此不再展开。
2. Heine-Borel定理Heine-Borel定理是拓扑学中判定实数空间上紧致性的重要定理。
这个定理提供了一种判定有界闭集合的紧致性的准则。
对于实数空间R^n中的子集A，它是紧致的当且仅当A是有界的和闭的。
也就是说，如果集合A在R^n中既有界又闭，那么A是一个紧致集合。
Heine-Borel定理的证明可以利用覆盖定理和有限子覆盖的概念，但在这里我们不再详细阐述具体的证明过程。
3. 紧致空间判定准则在拓扑学中，我们可以利用Tychonoff定理和Heine-Borel定理来判定紧致空间。
具体步骤如下：步骤1：对于给定的拓扑空间，判断它是否可以表示为一族拓扑空间的直积。
如果能够表示为直积空间，那么应用Tychonoff定理，得出该空间是紧致的。
步骤2：对于实数空间R^n中的子集，判断该子集是否同时满足有界性和闭性。
如果满足条件，应用Heine-Borel定理，得出该子集是紧致的。
通过上述两个判定准则，我们可以判断一个空间或者子集是否是紧致的。
这些定理为拓扑学的研究提供了有力的工具和方法。
结论拓扑学中的紧致空间判定准则对于研究空间的性质及其应用具有重要意义。
Tychonoff定理和Heine-Borel定理为我们提供了判定紧致空间的有效准则，为解决实际问题提供了数学上的支持。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性（简单复习）定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。
如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的；如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1） 有限子集总是列紧的。
（2） 列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3） 若A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。
（4） 在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则A 列紧 ⇒ A 是闭集。
（5） 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。
是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖； 若中只有有限个子集，称为有限开覆盖；若X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间（有的书成为紧空间） ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间⇔紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。
因此，列紧性并未触及到问题的本质。
进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。
并且从实分析理论中知道：“实数空间R 的子集为有界闭集⇔它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。
这种描述的优点：①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。
解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛？定义3 设X 为拓扑空间，如果X 的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称X 为紧致空间。
★ 显然，每一紧致空间也都是Lindel öf 空间（X 的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。
定义4 设A 为拓扑空间X 的非空子集，若A 作为X 的子空间是紧致的，则称A 为X 的紧致子集。
例1 实数集R 不是紧致空间。
因为{(,)}n n n N =-∈为R 的开覆盖，但是中任何有限子集族1122{(,),(,),,(,)}k k n n n n n n ---的并集为1212(max{,,,},max{,,,})k k n n n n n n -，它不能覆盖R ，即没有有限子覆盖（解释：要覆盖R 只有n →∞。
但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。
例2 R 的开区间(0,1)不是紧致的。
因为开区间族：111(,1),(,1),,(,1)23n是(0,1)的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖(0,1)。
例3 R 的子空间1{0}{}A n N n =⋃∈（N 为正整数集）是紧致的。
因为，任给A 的一个开覆盖，中有一个成员包含0，记这个成员为U （开区间）。
于是，开区间U 除了有限个“1n ”外，它要包含A 的所有其余的点，因此，对于A 中的每一个U 未包含的点，从中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。
例4 任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。
● 重新看一下定义4：说A 为拓扑空间X 的紧致子集，是指A 中的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。
因此，下面的定理是必要的。
定理1 拓扑空间X 的子集A 是X 的紧致子集⇔每一由X 的开集构成的A 的覆盖都有有限子覆盖。
证明：()⇒ 假设A 是紧致的。
令{}B αα∈Γ=是由X 的开集组成的A 的一个覆盖，那么，{}B A αα⋂∈Γ就是A 中开集所组成的A 的一个开覆盖。
由于A 是紧致的，从而有一个有限子族12{,,,}m B A B A B A ααα⋂⋂⋂可以覆盖A ，即它就是的一个覆盖A 的有限族。
()⇐ 反之，设A 的每一由X 的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。
设{}U αα=∈Γ为A 的由X 的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为12{,,,}n U U U ααα 而12()()()n U A U A U A A ααα⋂⋃⋂⋃⋃⋂= 故A 是X 的紧致子集。
定理2 设为拓扑空间X 的基，若由的成员构成的X 的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则X为紧致空间。
证明： 设是X 的任一开集。
对于A∀∈，则A 是开集，故存在的子族A，使得A B A B ∈=。
令A A ∈= （即，覆盖中所有成员A 的中集族）由()A B A B A B B A X ∈∈∈∈===即，是中成员构成的X 的覆盖。
如果有有限子覆盖，不妨设为12{,,,}.n i B B B B∀∈。
故存在i A ∈，使得i i A B ∈，从而i i B A ⊂。
于是，的有限子集族12{,,,}n A A A 一定是X 的子覆盖。
所以，X 为紧致空间。
定理3 紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。
证明： 设A 是紧致空间X 的闭子集，于是C A 是X 的一个开集。
如果是X 的任一开覆盖，不难看出{,}C A 构成X 的一个开覆盖。
又因为X 是紧致的，故{,}C A 中存在有限集族12{,,,,}C m U U U A 是X 的有限子覆盖，而12{,,,}m U U U 是A 的一个有限子覆盖，即闭集A 的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，A 是紧致的。
●下面的几个定理不加以证明的给出。
定理4 每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。
定理5 若12,,,n X X X 均为紧致空间，则积空间12n X X X ⨯⨯⨯为紧致空间。
定理6 设:f X Y →是从拓扑空间X 到Y 的连续映射，若A 是X 的紧致子集，则()f A 是Y的紧致子集。
上述定理的解释：▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。
实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点N ）；2R 的单点紧致化同胚于球面2S 。
同时，从定理4 又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。
即，紧致性不是可遗传性质。
▲定理6说明：紧致集在连续映射下的象也是紧致集。
Hausdorff 空间： 闭集 ⇐ 紧致子集紧致Hausdorff 空间： 闭集 ⇔ 紧致子集另外，由定理9，我们得到如下结论。
推论3 每一紧致的Hausdorff 空间都是4T 空间。
注释：根据紧致Hausdorff 空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。
则由定理9，有不相交邻域，则是4T 空间。
推论4 每一紧致的Hausdorff 空间都是3T 空间。
注释：由紧致Hausdorff 空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8，则是3T 空间。
于是，我们又推出如下关系：★ 对于紧致空间：Hausdorff 空间 ⇔ 正则空间 ⇔ 正规空间注：已知： 正规空间 ⇒ 正则空间 ⇒ Hausdorff 空间 （↖）又，紧致空间是Lindelöf 空间，而对Lindelöf 空间有3T ⇔4T ，于是正则空间 ⇔ 正规空间又由推论3和4，故有（↖）成立。
定理10 从紧致空间到Hausdorff 空间的连续映射必为闭映射。
证明： 设X 为紧致空间，Y 为Hausdorff 空间。
:f X Y →为连续映射。
设A 是X 的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3），则()f A 是Y 的紧致子集（由定理6）。
由推论1，()f A 是闭集。
故f 为闭映射。
定理11 X 为紧致空间，Y 为Hausdorff 空间，:f X Y →是在上的一一连续映射，则f 是同胚。
证明： （提示：只要证明1:f Y X -→是连续的）在第二章§2-5“连续映射与同胚”中定理1（3）已有结论：“:F U V →，若V 的闭集在F 下的原象是闭的，则F 连续”在此，记1,,F f U Y V X -===；于是利用定理10，有1f -是连续的。
故f 是同胚。
★ 关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看。
§4-4 几种紧致性的关系（简介）在微积分学中，实数空间R 的子集A 上，下述命题是等价的：（1）A 是有界闭集；（2）A 的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3）A 中每一无限子集都有聚点在A 中；（4）A 中每一序列都有收敛的子序列收敛于A 中的点；★ 同时，（2）可以写成（5）A的每一可数开覆盖都有有限子覆盖（注：由（5）不能推出（2）！即，（5）不是（1）～（4）的等价命题）定义6设X为拓扑空间，如果X的每一可数开覆盖都有有限子覆盖，则称X为可数紧致空间。
●下面的命题都是显然的。
命题1每一紧致空间都是可数紧致空间。
命题2每一Lindelöf的可数紧致空间都是紧致空间。
注释：Lindelöf空间——每一开覆盖有可数子覆盖。
如果它又是可数紧致空间，则每个可数子覆盖都有有限子覆盖，则X每个开覆盖都有有限子覆盖，故X是紧致空间。
●前面介绍了度量空间的列紧性，列紧性也可以移植到拓扑空间中。
定义7设X为拓扑空间，如果X的每一无限子集都有聚点，则称X为列紧空间。
（说明：许多书对列紧的定义不一致）定理12 每一可数紧致空间都是列紧空间。
（不证明）定义8 设X为拓扑空间，如果X中每一序列都有收敛的子序列，则称X为序列紧致空间。
定理13每一序列紧致空间都是可数紧致空间。
C的可数紧致空间都是序列紧致空间。
每一满足第一可数公理1●由上述定理，我们可归纳出如下关系：§4-5 局部紧致与仿紧紧致性是一种很好的拓扑性质，如，紧致空间上的函数有界，并且达到最大、最小值。
但是，E也不是紧致的（n E的闭子集是紧致的）。
紧致性的条件太强，以至于n维欧氏空间n本节介绍紧致性的两个方面推广——局部紧致和仿紧的。
∈都有一个紧致的邻域，则称X为局部紧致定义9设X为拓扑空间，如果X的每一点x X空间。
注释：“x X∈，都有一个紧致的邻域”，表示至少存在一个，并不是说x的所有邻域都是紧致的。