东城区2011高三二模数学文科

北京市东城区2010-2011学年度综合练习（二）

高三数学 （文科）2011.5

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1、设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，则()U A B = ð

（A ）{1，2，3，4} （B ）{1，2，4，5} （C ）{1，2，5} （D ）{3}

2、若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为

（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 3、如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得

落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为

（A ）7.68 （B ）8.68 （C ）16.32 （D ）17.32 4、如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等

腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为 （A ）

43 （B ）8

3

（C ）4 （D ）8 5、已知3

sin 4

θ=

，且θ在第二象限，那么2θ在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限

6、已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C

的焦点到直线l 的距离是

（A ）2

2

（B ）2 （C ）223 （D ）22 7、△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++= ，且||||OA AB =

，则

CA CB ⋅

等于

（A ）

3

2

（B

（C ）3 （D

）

正视图

侧视图

俯视图

8、已知函数2

1,

0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9、已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且(1)2f -=,那么(0)(1)f f += ．

10、不等式组0,

10,3260x x y x y ≥⎧⎪

--≥⎨⎪--≤⎩

所表示的平面区域的面积等于 .

11、在△ABC

中，若45,B b ∠=︒=，则C ∠= .

12、某地为了建立调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三

个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 ．

13、已知某程序的框图如图，若分别输入的x 的值为2,1,0，执行该程序后，输出的y 的值

分别为,,a b c ，则a b c ++= ．

14、已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首

项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且

1123,a b b a <<，那么a = ；

若对于任意的*

N n ∈，总存在*

N m ∈，使得

3n m b a =+成立，则n a = ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15、（本小题共13分）

已知πsin()410

A +

=π(0,)4A ∈．

（Ⅰ）求cos A 的值；

（Ⅱ）求函数()cos 25cos cos 1f x x A x =++的值域．

C

1

16、（本小题共13分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S （*

n ∈N ）．

（Ⅰ）证明:数列{}n a 是等比数列；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足*1()n n n b a b n +=+∈N ，且12b =，求数列{}n b 的通项公式．

17、（本小题共13分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点，四边形11B BCC 是正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ．

18、（本小题共13分）

已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈)．

（Ⅰ）若2=a ，求证：)(x f 在(1,)+∞上是增函数； （Ⅱ）求)(x f 在[1,)+∞

上的最小值． 19、（本小题共14分）

已知椭圆的中心在原点O

，离心率e =，点M 为直线1

2

y x =

与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM 的直线l 交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 20、(本小题共14分)

已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,2

11ab b b

a a =+=

当2≥n ，*n ∈N 时，111

1,2

----=+=

n n n n n n b a b b a a ． （Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列； （Ⅱ）求证：)(2

1

11n n n n b a b a -<

-++； （Ⅲ）是否存在常数,0>C 使得对任意*

n ∈N ，有C b a n n >-，若存在，求出C 的取值

范围；若不存在，试说明理由．