2010高中数学竞赛标准讲义数列

2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列

一、基础知识

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如 1, 2, 3,…，n ,….数列分有穷数列和无穷数 列两种，数列｛a n ｝的一般形式通常记作a i , a 2, a 3,…,a n 或a i , a 2, a 3,…,a n …。其中a i 叫做数 列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n 表示｛a n ｝的前n 项和，则S l =a i ,当n>1时，a n =S n -S n-1.

定义2等差数列，如果对任意的正整数 n ,都有a n+1-a n =d (常数)，则｛a n ｝称为等差数列， d 叫做公差。若三个数a, b, c 成等差数列，即2b=a+c ,则称b 为a 和c 的等差中项，若公差 为 d,贝U a=b-d, c=b+d.

定理2等差数列的性质：1)通项公式a n =a 1+(n-1)d ； 2)前n 项和公式：

S n =n(a 1 竝 二 吃 ; 3) a n -a m =(n-m)d ，其中 n, m 为正整数；4)若 n+m=p+ q ,贝U 2 2

a n +a m =a p +a q ； 5)对任意正整数p, q ,恒有a p -a q =(p-q)(a 2-a 1); 6)若A , B 至少有一个不为零， 则｛a n ｝是等差数列的充要条件是 Sn=A n 2+B n.

定理3等比数列的性质：1) a n =a 1q n-1

; 2)前n 项和S n ,当q"时，0=內(17);当q=1

1

- q

时，S n = na 1； 3)如果a, b, c 成等比数列，即b 2=ac(b = 0),则b 叫做a, c 的等比中项；4)若 m+n=p+q ,贝U a m a n =a p a q 。

定义4极限，给定数列｛a n ｝和实数A ,若对任意的；>0,存在M ，对任意的n>M( n € N ),都 有|a n -A|< ；，则称A 为n —+x 时数列｛a n ｝的极限，记作lim a n 二A

A —JpQ

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列｛a n ｝的公比q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列， 其前n 项和S n 的极限(即其所有项的和)为 旦(由极限的定义可得)。

1

-q

定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：(1) p(n o )成立；(2)当p(n)时n=k 成立时能 推出p(n)对n=k+1成立，则由(1),( 2)可得命题p(n)对一切自然数n 》n o 成立。

竞赛常用定理

定理4第二数学归纳法：给定命题 p(n)，若：(1) p(n o )成立；(2)当p(n)对一切n W k 的 自然数n 都成立时(k >n o )可推出p(k+1)成立，则由(1),( 2)可得命题p(n)对一切自然 数n 》n o 成立。 定理5对于齐次二阶线性递归数列X n =ax n-1+bx n-2，设它的特征方程x 2=ax+b 的两个根为a ,

B ：(1)若a = B ，贝U X n =

C 1a n-1+C 2 B n-1，其中C 1, G 2由初始条件X 1, x 2的值确定；⑵若a = B ，则 x n =(ci n+C 2)a n-1，其中C 1, c 2的值由X 1, X 2的值确定。 二、方法与例题

1 •不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。

例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1) o , 3, 8, 15, 24, 35,…；2) 1, 5, 19, 65,…；3) -1 , o , 3, 8, 15,…。

【解】1) a n =n 2-1 ； 2) a n =3n -2n ； 3) a n =n 2-2n.

定义3等比数列，若对任意的正整数

n ,都有空

=q ，则｛an ｝称为等比数列, q 叫做公比

a n

例2 已知数列｛a n｝满足a i = ^,a i+a2+…+a n=n2a n, n》1,求通项a n.

2

1 2

【解】因为a i=，又a i +a2=2 • a2,

2

所以a2= — , a3= --r-a2-，猜想a n - (n》1).

3x2 32-1 3x4 n(n+1)

证明；1)当n=1时，&1=丄，猜想正确。2)假设当n W k时猜想成立。2"

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] a k+1,,

1 1 1

所以=k(k+2)a k+1,

2 疋1

3 汉2 k 汉(k+1)

即1_丄J—1…•丄l=k(k+2)a k+1,

2 2

3 k k +1

k 1

所以--- =k(k+2)a k+1,所以a k+1= - .

k+1 (k+1)(k+2)

由数学归纳法可得猜想成立，所以a n 1.

n(n +1)

1

对任意n€ N+,有a n>1.

例 3 设0

a n

【证明】证明更强的结论：1

1) 当n=1时，1

2) 假设n=k时，①式成立，即1

, 1 1 1+a+a2 1+a ,

1a a k 1 a a 1.

a k1+a 1+a 1+a

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2 .迭代法。

数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n€ N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4 数列｛a n｝满足a n+pa n-1+qa n-2=0, n>3，q = 0，求证：存在常数c，使得

2 2 n

a n 1 pa n 1 • a n+qa n cq =0.

【证明】a n 1 ' pa n 1 • a n+1 +qa* 1 = a* 2 (pa n+1+a n+2)+qa n ・1 =a n+2 • (_qa n)+qa* 1 = q(a21 -a n a n 2) = q[a：1+a n(pq n+1+qa n)]=q(a： 1 pa n 仙qa f).

若a； ' pa?a1 •qa；=0，则对任意n, a：「pa“ 何+qa；=0，取c=0 即可.

若a； ' pa2a * qa； =0，则｛a；1 • pa n^a n + qa；｝是首项为a； ' pa?a1 • qa；，公式为q 的等比数列。

所以a；」pa n 1a n+qa2 = (a| pa?a1 qa；) • q n.

1

取 c = _(a； ' pa1 a2 ' qa；) • 即可.

q

综上，结论成立。

例 5 已知a1=0, a n+1=5a n^..24a；1，求证：a n都是整数，n€ N+.

【证明】因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n》1时a n+1>a n.

1 1 1