北师大版高中数学25《从力做的功到向量的数量积》教案

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2.5从力做的功到向量的数量积学案(北师大版必修4)

§5从力做的功到向量的数量积平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？【提示】存在夹角，不一样．图2－5－1一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．1．如何计算这个力所做的功？【提示】w＝|s||F|cos θ.2．力F在位移方向上的分力是多少？【提示】|F|cos θ.3．力做功的大小与哪些量有关？【提示】与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．1．射影：|b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影(也叫投影)．2．数量积：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．3．规定：零向量与任一向量的数量积为0.4．几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积．根据a·b＝|a||b|cos θ，你能得出|a·b|与|a||b|的关系吗？【提示】能，|a·b|＝||a|·|b|cos θ|＝|a|·|b|·|cos θ|≤|a||b|.(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0.(3)|a|＝a·a＝a2.(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)．(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(1)交换律：a·b＝b·a.(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a(λb)．(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求：(1)a·b；(2)a在b方向上的射影；(3)(a－2b)·(a＋b)；(4)(a －b )2.【思路探究】利用向量数量积的定义、几何意义并结合数量积的运算律求解．【自主解答】 (1)a·b ＝|a ||b |cos 120°＝10×4×(－12)＝－20.(2)a 在b 方向上的射影为|a |cos 120°＝10×(－12)＝－5.(3)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2＋a·b －2a·b －2b 2 ＝a 2－a·b －2b 2＝|a |2－|a ||b |cos 120°－2|b |2 ＝100－10×4×(－12)－2×42＝88.(4)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |cos 120°＋|b |2 ＝100－2×10×4×(－12)＋42＝100＋40＋16＝156.。

高二数学 2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版必修4 教案

2.5从力做的功到向量的数量积（2课时）一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点: 运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义，问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W = |F|•|s|cosθθ是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b = |a||b|cosθ，并规定0与任何向量的数量积为0。

⋅3.[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定。

②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。

③在实数中，若a≠0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a•b=0，不能推出b=0。

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积教案北师大版

2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？推进新课新知探究提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。

北师大版高中数学(必修4)25《从力做的功到向量的数量积》教案

从力做的功到向量的数量积（第一课时）●教学目标1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.●教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用●教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解●教学方法启发引导式启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备多媒体辅助教学●教学过程cos b 并提问：射影是向量还是数量？确定abB AaθB AOa θB Acos a b =提醒学生注意：a b ∙不能写成a b ⨯或ab 的形式。

cos a b =cos a b a b θ∙=<0 cos a b a b θ∙==0 b a b ∙= 时，a b a b ∙=-两个向量数量积的几何意义：b 与a 的数量积等于a 与的方向上的投影cos b θ的乘积的长度b 与a 在b 的方向上的投影cos a θ 向量数量积的物理意义：力F a =2）已知2a =，b =，a 与b 的交角为θ=a =b =3m =n =，且m n ∙cos =a (2)900a b a b θ=︒⇒⊥⇒∙=b a b =±22a a a a a ∙==特别地:或a bθ=b a b ≤(当且仅当、演练反馈：判断下列各题是否正确。

0,0,0a b ≠∙==b 则 0,,a ac a c ≠∙=∙=b b 则(4)//a b a b a ∙=⇔ba=b∙=a b教案设计说明（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。

2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.5从力做的功到向量的数量积(第2课时) 教案

§2.5从力做的功到向量的数量积（第2课时）一．教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.二．教材分析本节课是启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质解决问题.三教学重、难点：教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用.四．教学方法与手段：启发式教学：通过对数量积概念的理解，引导学生归纳，总结数量积的运算律.充分体现教师的主导作用与学生的主题作用.五．教学过程：（一）复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |（二）讲解新课：平面向量数量积的运算律1．交换律：a ⋅ b = b ⋅ a证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ∴a ⋅ b = b ⋅ a2．数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ.3．分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅cC在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos θ = |a | cos θ1 + |b | cos θ2∴| c | |a + b | cos θ =|c | |a | cos θ1 + |c | |b | cos θ2， ∴c ⋅(a + b ) = c ⋅a + c ⋅b 即：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（结合律不成立）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（消去律不成立）（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２（三）讲解范例：例1 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =AD AB +∴|AC |2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222而BD =AD AB - ，∴|BD |2=AD AB AD AB AD AB ⋅-+=-2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++ 例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.∴四边形ABCD是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形.评述：(1)在四边形中，AB，，，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.思考：如何利用向量的方法来证明余弦定理？（四）小结：平面向量的运算律六．作业设计与反思1、作业设计：习题2-5 A组7题，B组1题.2、教学设计反思平面向量数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情景，让学生自己去探究、去发现结论,教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明.这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识.对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开;练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径.。

高中数学第二章2.5从力做的功到向量的数量积学案北师大版必修

2.5 从力做的功到向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 和向量b 的____．(2)范围：_______.(3)规定：零向量与任意向量____．预习交流1若向量预习交流2在等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是__________，AC →与CB →的夹角是__________． 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：________叫作向量a 和b 的数量积，记作a·b ，即______＝__________.(2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影______的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影______的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积______．预习交流3若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( )．A ．12B ．12 2C ．－12 2D ．－12 3．向量数量积的性质(1)a·a ＝|a |2；(2)若e 1，e 2是单位向量，则e 1·e 2＝__________＝____； (3)若e 是单位向量，则e ·a ＝______＝________； (4)a ⊥b ⇔________；(5)____＝a ·a ；(6)cos θ＝________(|a ||b |≠0)；(7)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |__|a ||b |，当且仅当a ∥b 时____成立．预习交流4(1)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为__________； (2)a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 4．向量数量积的运算满足以下运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 (1)交换律：__________.(2)分配律：________________.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数λ，有(λa )·b ＝________＝________.预习交流5(1)a ·b ＝b·c ⇒a ＝c ，上述推理正确吗？为什么？ (2)向量数量积的运算适合乘法结合律吗？为什么？答案：1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直预习交流1：同向垂直反向预习交流2：120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流3：C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b ＝0 (5)|a | (6)a ·b |a ||b |(7)≤ 等号预习交流4：(1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5：(1)提示：若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cD ⇒/a ＝c .由下图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．1．向量数量积的定义及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a·b ；(2)求a 在b 上的射影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影；(2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a·b .(1)数量积的符号同夹角的关系：①若a·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a·b ＜0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b . 2．平面向量数量积的运算若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．思路分析：先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·a ＋a ·b ＝__________. 2．(2012·吉林实验中学一模，13)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )＝__________.向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a 2＝|a |2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3．求向量的模(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |.思路分析：(1)要求|2a －b |，利用|2a －b |＝a －b 2求解； (2)先求出a ·b 的值，由于|a ＋b |＝a ＋b 2，|a ＋2b |＝a ＋2b2，利用数量积中的完全平方公式展开求解．已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|.求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．思路分析：(1)由(a －b )和(a ＋b )的数量积可得出|a|，|b|的关系； (2)计算a －b 和a ＋b 的模．1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________．2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|. 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos θ＝a·b|a||b|，一般要求两个整体a·b ，|a|·|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观，另外本题还可以利用坐标形式解决．5．解决有关垂直问题已知a ⊥b ，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．思路分析：由a ⊥b 知，a·b ＝0.由a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直知，[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.解决本题可先通过向量运算将k 表示出来，通过建立k 与t 的函数关系式，进而求出函数k 的最小值．已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．答案：活动与探究1：解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用：解：(1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2：解：方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13.方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.迁移与应用：1.1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos 45°＝1＋22. 2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0.活动与探究3：(1)B 解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用：解：∵a⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0，∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b|＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b|＝(a －2b )2＝a 2－4a·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4：解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a与b的夹角为45°.(2)|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝22，|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝102.设a－b与a＋b的夹角为φ，则cos φ＝(a－b)·(a＋b)|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.∴a －b与a＋b 的夹角的余弦值为55.迁移与应用：1.135°解析：设夹角为θ，∵a·(a＋b)＝1，∴|a|2＋a·b＝1，即2＋2×1×cos θ＝1，∴cos θ＝－22，∴a，b的夹角为135°.2. 解：如下图所示，在平面内取一点O，作OA=a，OB =b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使|OA|=|OB|，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OC=a+b，BA=a-b.(1)由于|a|=|b|=|a+b|，即|OA|=|AC|=|OC|，所以∠AOC=60°，即a与a+b的夹角为60°.(2)∵∠AOC=60°，∴∠AOB=120°.又|OA|=|OB|，∴∠OAB=30°，即a与a-b的夹角为30°.活动与探究5：解：∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，∴[a＋(t－3)b]·(－k a＋t b)＝0.∴－k a2＋t a·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)t b2＝0，∴－4k＋(t－3)t＝0.∴k＝14(t2－3t)＝14⎝⎛⎭⎪⎫t－322－916(t≠0)．∴当t＝32时，k取最小值－916.迁移与应用：解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴θ＝60°.1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为150°，则m·n ＝( )．A ．12B ．12 3C ．－12 3D ．－122．已知|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角为( )．A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．(2012·辽宁高考，理3)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )．A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b4．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋3b |＝__________.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 是BC 的中点，则AD →·BC →＝__________.答案：1．C 解析：m·n ＝|m||n|·cos 150°＝4×6×cos 150°＝－12 3. 2．B 解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.3．B 解析：|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，即2a ·b ＝－2a ·b ，所以a ·b ＝0，a ⊥b .故选B.4.43 解析：∵|a ＋3b |2＝a 2＋2a ·3b ＋9b 2＝1＋6×1×2×cos 60°＋9×4＝43， ∴|a ＋3b |＝43. 5.52 解析：由已知得AD ＝12(AB ＋AC )，BC ＝AC －AB ， ∴AD ·BC ＝12(AB ＋AC )· (AC －AB )＝12(|AC |2－|AB |2)＝12(9－4)＝52.。

北师大版必修4 2.5 从力做的功到向量的数量积学案

§5 从力做的功到向量的数量积Q 情景引入ing jing yin ru水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容．X 新知导学in zhi dao xue1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的__夹角__，并规定夹角的范围是__0°≤θ≤180°__.当__θ＝0°__时，a 与b 同向；当__θ＝180°__时，a 与b 反向；当__θ＝90°__时，a 与b 垂直，记作a ⊥b .规定：零向量可与任一向量__垂直__ . 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：__|a ||b |cos θ__叫作向量a 和b 的数量积，记作a ·b ，即__a ·b __＝__|a ||b |cos θ__. (2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影__|b |cos θ__的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影__|a |cos θ__的乘积．3．向量数量积的性质由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质： (1)若e 是单位向量，则e ·a ＝__a ·e __＝__|a |cos θ__.(2)若a ⊥b ，则__a ·b ＝0__；反之，若__a ·b ＝0__，则a ⊥b .通常记作a ⊥b ⇔__a ·b ＝0__. (3)|a |＝__a ·a __. (4)cos θ＝__a ·b|a |·|b |__(|a |·|b |≠0)． (5)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a |·|b |. 当且仅当__a ∥b __时等号成立． 4．向量数量积的运算律给定向量a ，b ，c 和实数λ，有以下结果： a ·b ＝__b ·a __；(λa )·b ＝__λ(a ·b )__＝__a ·(λb )__； a ·(b ＋c )＝__a ·b ＋a ·c __.Y 预习自测u xi zi ce1．若|a |＝3，|b |＝4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b ＝( B ) A ．－32 B ．－62 C ．62D ．12 [解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝3×4×(－22)＝－6 2. 2．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为( B ) A ．60° B ．120° C ．135°D ．150°[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－6010×12＝－12，∴θ＝120°.3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( D ) A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2[解析] BD →·CD →＝BD →·BA →＝(BA →＋BC →)·BA →＝(BA →)2＋BC →·BA →＝|BA →|2＋|BC →|·|BA →|cos ∠ABC ＝a 2＋a 2×cos 60°＝32a 2.故选D ．4．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝12，则a 在b 方向上的射影为__125__.[解析] 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝123×5＝45，而a 在b 方向上的射影为|a |cosθ＝3×45＝125.H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨向量数量积的定义及几何意义典例1 已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°.(1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的射影．[思路分析] 已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．[解析] (1)a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.『规律总结』 (1)数量积的符号同夹角的关系： ①若a ·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a ·b <0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a ·b . 〔跟踪练习1〕(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影； (2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a ·b . [解析] (1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a ·b ＝ |a ||b |cos 0°＝20.当θ＝180°时，a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20. 命题方向2 ⇨平面向量的数量积的运算律典例2 已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )； (3)(2a －b )·(a ＋3b )．[思路分析] 根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可． [解析] (1)a ·b ＝|a |·|b |cos 120°＝2×3×(－12)＝－3.(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－a ·b ＋a ·b －b 2＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝4－9＝－5.(3)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋6a ·b －a ·b －3b 2＝2|a |2＋5a ·b －3|b |2＝2×4－5×3－3×9＝－34.『规律总结』求向量的数量积的两个关键点求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．〔跟踪练习2〕已知|a |＝3，|b |＝4，θ＝120°(θ为a 与b 的夹角)，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(a ＋b )·(a ＋b )；(4)(a －2b )·(3a ＋b )．[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b ＝|a |·|b |cos θ求． [解析] (1)原式＝|a |·|b |·cos θ＝12×cos 120°＝－6； (2)原式＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝9－16＝－7；(3)原式＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋|b |2＋2|a |·|b |·cos θ＝9＋16＋2×(－6)＝13. (4)原式＝3a 2－5a ·b －2b 2＝3|a |2－2|b |2－5·|a |·|b |·cos θ＝27－32－5×(－6)＝25. 命题方向3 ⇨向量的夹角典例3 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求a 与a ＋b 的夹角．[思路分析] 根据题中所给等式求出向量a 与a ＋b 的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可．[解析] ∵|a |＝|a －b |， ∴|a |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2. 又|a |＝|b |，∴a ·b ＝12|a |2，又|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |，设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32，又θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即a 与a ＋b 的夹角为π6.『规律总结』向量夹角公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |的计算中涉及了向量运算和数量运算，计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．〔跟踪练习3〕若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( C )C ．120°D ．150°[解析] ∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2a ·b ＋b 2＝0. ∴2|a |·|b |cos θ＋|b |2＝0.又∵|a |＝|b |，∴cos θ＝－12，即θ＝120°，选C 项．命题方向4 ⇨求向量的模典例4 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |、|a －b |.[解析] 解法一：由数量积公式|a |＝a 2求解．因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝25＋25＋25＝5 3.同样可求|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝25＋25－25＝5.解法二：由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD ，使AB ＝AD ＝5， ∠DAB ＝π3，设AB →＝a ，AD →＝b ，如图所示，则|a －b |＝|BD →|＝|AB →|＝5，|a ＋b |＝|AC →|＝2|AE →|＝2×32×5＝5 3.『规律总结』 (1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ， ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.由关系式a 2＝|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|a ＋b |，可求(a ＋b )·(a ＋b )，将此式展开．(2)利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了．〔跟踪练习4〕已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －b |的值为( B ) A ．4B ．27[解析] ∵a ·(b －a )＝2， ∴a ·b －a 2＝2.∴a ·b ＝2＋a 2＝2＋|a |2＝2＋22＝6. ∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝22－2×6＋62＝28， ∴|a －b |＝27. X 学科核心素养ue ke he xin su yang用向量数量积解决垂直问题典例5 已知a ，b 是非零向量，θ为a ，b 的夹角，当|a ＋t b |(t ∈R )取最小值时，(1)求t 的值；(2)已知a 与b 共线且同向，求证：b ⊥(a ＋t b )．[思路分析] (1)将a ＋t b 的模表示为t 的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b ⊥(a ＋t b )，只需证b ·(a ＋t b )＝0.[解析] (1)令m ＝|a ＋t b |，则m 2＝|a |2＋2a ·t b ＋t 2|b |2＝t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＋|a |2＝|b |2⎝⎛⎭⎫t ＋|a ||b |cos θ2＋|a |2sin 2θ，所以当t ＝－|a ||b |cos θ时，|a ＋t b |有最小值|a |sin θ.(2)证明：因为a 与b 共线且方向相同，故cos θ＝1，所以t ＝－|a ||b |.故b ·(a ＋t b )＝a·b ＋t |b |2＝|a ||b |－|a ||b |＝0，所以b ⊥(a ＋t b )．『规律总结』本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a ＋t b 的模的平方表示为t 的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t 的值；(2)中只需证出b ·(a ＋t b )＝0，求解时利用a 与b 共线且同向的条件，确定t 的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．〔跟踪练习5〕已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为120°，则当k 为何值时，向量k a－b 与a ＋2b 垂直？[分析] 利用c ⊥d ⇔c ·d ＝0，构造关于k 的方程组求解． [解析] ∵(k a －b )⊥(a ＋2b )， ∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0， k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0.∴k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 120°－2×42＝0， ∴k ＝225.即k 为225时，向量k a －b 与向量a ＋2b 垂直．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi未认清向量的夹角典例6 △ABC 的三边长均为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a·b ＋b·c ＋c·a的值．[错解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a·b ＝|a ||b |cos C ＝cos 60°＝12.同理b·c ＝c·a ＝12，∴原式＝32.[辨析] 错误的原因在于认为a 与b 的夹角为∠C .其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[正解] ∵△ABC 的三边长均为1，∴∠C ＝60°，∴a 与b 的夹角为180°－∠C ＝120°，∴a·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.同理b·c ＝c·a ＝－12，∴原式＝－32.『规律总结』在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．〔跟踪练习6〕若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值． [思路分析] 先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．[解析] 方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13. 方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a 在c 方向上的投影与b 在c 方向上的投影必相等 [解析] 设a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2， ∵a ·c ＝b ·c ，∴|a ||c |cos θ1＝|b |·c |cos θ2，即|a |cos θ1＝|b |cos θ2，故选D ． 2．下列命题正确的是( D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．a ·b ≠0⇔|a |＋|b |≠0 C ．a ·b ＝0⇔|a ||b |＝0D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c[解析] 选项D 是分配律，正确，A 、B 、C 不正确．3．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( B )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2.∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝b 22b 2＝12.∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B ．。

北师大版高中数学必修四 2.5 《从力做的功到向量的数量积》教案设计与反思(第一课时)

第二章平面向量§5从力做的功到向量的数量积（第1课时）一、教学目标：1、通过实例，理解向量数量积运算的含义、几何意义、物理意义。

2、掌握向量数量积的重要性质。

3、体会平面向量数量积运算与向量投影的关系。

4、由物理问题实例引入，使学生体会到数学与物理的密切联系，认识到数学和其他知识的联系，感受数学作为解决问题的工具的作用。

二、教学重点：1、对向量数量积的运算含义、几何意义的理解和运用。

2、探究向量数量积的性质，并理解。

三、教学难点：对向量数量积的含义与向量投影概念的理解。

四、教学工具：多媒体、黑板、直尺五、教学方法情景创设、提出问题、思考交流、探究讨论、讲解答疑六、教学过程提问引入问题1: 我们前面共同研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？问题2:什么叫力做功？实例分析：如图所示，一物体在拉力F的作用下沿光滑的斜坡运动的位移是S，在运动过程中物体受到哪几个力的作用？请分析这些力做功的情况。

由公式W＝|F| |S| cosθ可知拉力F与位移S的夹角θ∈（0º，90º），W＞0，拉力做正功支持力N与位移S的夹角θ＝90º，W＝0，支持力不做功。

重力G与位移S的夹角θ∈（90º，180º），W＜0，重力做负功。

提问：在这个公式中功W、力F、位移S分别是什么量？力对物体所做的功W（数量）可以看作力F（向量）和位移S（向量）进行某种运算的结果。

引入课题―――向量的数量积。

平面向量数量积的定义已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a和b的数量积（或内积），记作a●b=|a||b|cosθ注：a●b中的“●”不能少，也不能用“×”代替， a●b是向量的一种运算，a×b是向量的另一种运算。

思考：向量的数量积是一个什么量？由数量积公式可看出，a●b的结果是一个数量，这个数量的大小与这两向量的长度以及夹角有关。

从力做功到向量的数量积(精品说课稿)

尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《从力做功到向量的数量积》。

下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。

首先来说说教材。

本课是北师大版高中数学必修四第二章第一节课内容，平面向量数量积是继向量的线性运算后又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，再数学，物理等学科应用十分广泛，本节课的主要学习任务是通过物理中功的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质和运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生抽象概括和推理论证的能力，其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础，同时因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何和三角的最佳结合点。

很好体现了属性结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

分析完了教材，再来说说学情。

高二年级的学生，对物理及生活中的量已经有了一定的感知，但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。

鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，按照从具体到抽象的认知过程，通过实际模型，从物理知识出发引导学生，激发学生学习的兴趣与热情，让学生自主探究逐步得出数学上的重要结论。

基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、理解平面向量数量积、投影的定义；掌握平面向量数量积的性质及其运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，这是本课教学的重点。

2、通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生的思维能力得到训练。

继续培养学生的探究能力，类比的数学思想和创新的精神，这也是本课教学的难点。

3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。

体会各学科之间是密不可分的。

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从力做的功到向量的数量积（第一课时）
●教学目标
1．通过实例，正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2．掌握平面向量的数量积的5个重要性质，并能运用这些性质解决有关问题；
3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；
4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识.
●教学重点
平面向量的数量积概念、性质及其应用
●教学难点
平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解
●教学方法
启发引导式
启发学生在理解力的做功运算的基础上，逐步理解夹角、射影及向量的数量积等概念，并掌握向量的5个重要性质。

●教具准备
多媒体辅助教学
●教学过程
O A B A
O
B
教案设计说明
（1）教学理念——以教师为主导，学生为主体
教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，因此在教学中不断引导学生去思考，学会去学习。

本节课有较多的概念及性质，尽可能给机会让学生参与，因此在教学过程中设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，增强学生的参与意识，教给了学
生获取知识的途径，使学生真正成了教学的主体，通过这样，使学生学有所思，思有所获，产生一种成就感，提高学生的学习兴趣。

（2）教学方法——启发引导式
本节课的重点是向量的数量积，围绕这个教学重点，在教学过程中始终贯彻“教师为主导、学生为主体、训练为主线、思维为主攻”，设置种种问题或习题，引导学生去观察，分析和概括，逐步领悟数学知识的本质。

（3）教学手段——多媒体辅助教学
为了使所创设的问题情景自然有趣，直观，同时为了增大课程容量，更好的突出重点，突破难点，提高课堂效率，因此在教学中利用多媒体演示，既加强教师、学生、媒体三者互动，发挥学生主体作用，提高了学习效率，同时缩短教师板书时间，保证教学任务的完成。