关于抽象代数中两个结论的证明_关于自由Abel群及高斯整数环的注记

定理 1[1] 群范畴中存在自由对象
根据文献[1]中定理Ⅱ.1.1，在 Abel 群范畴中同 样存在自由对象。 下面用另一种方法证明该结论， 这要引用上面的定理 1 及下面的两个引理：
引理 1[2] 如果 f：G→H 是群同态，N 是 G 的正规 子群，并且 N奂Kerf，则存在唯一的同态 f：G/N→H， 使得对所有 a∈G，f（N）=f（a），Imf=Imf，Kerf=Kerf/N。
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金华职业技术学院学报
2010年
理证毕。 对 整 数 集 Z，令 Z[i]={a+bi︳a，b∈Z}，易 知 Z[i]
关于数的加法，乘法均成整环，称之为高斯整数环。 文献[2，3]中都证明了 Z[i]是欧氏环，下面给出该结 论的另一个证明。
定义 2 设 D 是一个整环，若存在 D-{0}到非负 整数集 N 的一个映射 f， 使得对任意 a，b∈D，b≠0 均有 q，r∈D，满足
About the Proof of Two Conclusions in Abstract Algebra
— ——A note on Free Abel Group and Gaussian Integral Ring YU Min1，JIAO Ya-min2
（Shanxi Economy-Trade School，Xian 710075，China） Abstract:Reference [1]，[2]，[3] have given traditional demonstration of two conclusions in Abstract Algebra that there exists Free Abel Group and Gaussian Integral Ring is Euclidean Ring. This article indicates a new method of proof. Key words：Free Abel Group，Euclidean Ring，prove
设另有同态映射 h：F1→A，使得 hi1=f1，则 hπ 是 F 到 A 的同态，且（hπ）i=h（πi）=hi1=f1，这样，对于群 A，及 f1：X→A，有两个同态 F 到 A 的 hπ 及 g，使得 gi=（hπ）i=f1，由于 F 是自由群，故 hπ=g，注意到 π 是 同态满射，即对坌x∈F1，必有 a∈F 使 π（a）=x，从而 h（x）=h（π（a））=hπ（a）=g（a）=f1π（a）=f1（π（a））=f1（x），
时
，n>r1>
n 2
，从而
0>
r1-n>-
n 2
，即 0>r>- n 2
，|r|< n 2
；
② 若 r1<0，取 r=n+r1，q=q1-1，则 a= q1n+ r1=（q1-1）
参考文献：
n+（r1+n）=`qn+r。
此时，n>
-r1>
n 2
，从而
0>-r1-n>-
n 2
，即
0<r<
n 2
，|r|<
（r）f（β軌），f（ββ軌）=f（β）f（β軌），f（β軌）>0，从而 f（r）<f（β）。
这里应用了如下结论：
坌α，β∈Z[i]，f（α）f（β）=f（αβ）。
事实上，令 α=a+bi，β=c+di，则
f（αβ）=f（（ac-bd）+（ad+bc）i） =（ac-bd）2+（ad+bc）2 =（a2+b2）（c2+d2）= f（α）f（β）。
第 10 卷第 3 期 2010 年 6 月
金华职业技术学院学报
关于抽象代数中两个结论的证明
— ——关于自由 Abel 群及高斯整数环的注记
于 敏 1，焦亚民 2
（陕西省经贸学校，陕西 西安 710075）
Vol．10 No．3 Jun． 2010
摘要： 对抽象代数中如下两个结论：（1）存在自由 Abel 群；（2）高斯整数环是欧氏环。在文献[1]、[2]、[3]中都给出了 传统理论意义上的证明。 此文分别给出一种不同于已有文献的证明方法。
di，β≠0，由于 ββ軌=c2+d2>0，故据（2）有 q，r0∈Z[i]，使
得 αβ軌=q（ββ軌）+ r0，r0=0 或 f（r0）<f（ββ軌）。
取 r=α-qβ，则 α=qβ+r。 若 r≠0，由于 rβ軌=αβ軌-q（β
β軌）= r0， f（r0）<f（ββ軌），于是 f（rβ軌）<f（ββ軌），注意到 f（rβ軌）=f
引理 2 [2] G 是一个群，a，b∈G，aba-1b-1 称为 a 和 b 在 G 中的换位子，G 的所有换位子生成的子群 [G，G]称为 G 的换位子群（或导群）。 [G，G]是 G 的正 规子群，且其商群 G/[G，G]是 Abel 群。 此外，若 K 是 G 的正规子群而 G/K 是 Abel 群，则[G，G]哿K。
综上所述，Z[i]是欧氏环。
[1] HUNGERFORD THOMAS w. Algebra[M]. New York：Springer-Verlag，1974. [2] 姚慕生. 抽象代数[M]. 上海：复旦大学出版社，1998. [3] 胡冠章. 应用近世代数[M]. 北京：清华大学出版社，1999.
q2β+r2，|r1|≤
β 2
，|r2|≤
β 2
，
这里 q1，q2，r1，r2∈z，
取 q=
q1+ q2i，r= r1+ r2i， 则 α=qβ+r， 而 r=0 或 f （r）= r12+
r22≤
β2 4
+ β2 4
<β2=f（β）。
现设 α，β 是 Z[i]中任意两个元素，α=a+bi，β=c+
这说明 h=f1。 综上所述，F1 是 Abel 群范畴中的自由对象。 定
收 稿 日 期 ：2010－01－22 作者简介：于 敏（1963- ），女，陕西西安人，陕西省经贸学校讲师，研究方向为代数研究；焦亚民（1960- ），男，陕西西安人，陕西 省 经 贸 学 校 高级讲师，研究方向为代数研究。
g（x）=g（aba-1b-1）=g（a）g（b）g（a-1）g（b-1）= g（a）g（a-1）g（b）g（b-1）=g（aa-1）g（bb-1）=0
这里应用了 A 的可换性，O 是 A 中的单位元，于是由 引理 1，存在唯一的同态 f1：F1=F/[F，F]→A 使得 g=f1π， 从而 f1i1=f1（πi）=（f1π）i=gi=f1，即只要取 i1=πi，则对任 意 Abel 群 A 及映射 f1：X→A，均存在同态映射 f1：F1→ A，使得 f1i1= f1。 下证满足此性质的 f1 是唯一的。
根据以上定义、定理、引理，可以用新的方法证 明以下命题：存在自由 Abel 群。
定理 2[1] Abel 群范畴中存在自由对象
证明 由定理 1，群范畴中存在自由对象 F，令 F1
F→G，使得 fi=f，于是，对于任意 Abel 群 A 及映射 f1： X→A，均存在唯一的同态映射 g：F→A，使得 gi=f1。
和
r，使得
a=qn+r，其中
|r|≤
n 2
。
由于整数环是欧氏环，故对任意整数 a，n，n>0，
存在整数 q1，r1，使得 a=q1n+r1，|r1|<n。
如
果|r1|≤
n 2
，则取 r=r1，q=q1，结论（1）成立。
如
果|r1|>
n 2
，分两种情况讨论：①
若 r1>0，取 r=
r1-n，q=q1+1，则 a= q1n+ r1=（q1+1）n+（r1-n）=qn+r。 此
由于 F 是群范畴中的自由对象， 故对任意非空
空集合，i：X→F 是集合之间的映射，称 F 在集合 X 上
集合 X， 有集合间的映射 i：X→F， 使得对任意群 G
是自由的， 是指 ＆ 的每个对象 A 和集合之间的映射
及集合间的映射 f：X→G，均存在唯一的同态映射 f：
f：X→A，均存在 ＆ 中唯一的态射 f：F→A，使得 fi=f。
取 i1=πi，其中 π 为 F 到 F1=F/[F，F]的正则射影 （即坌x∈F，π（x）=x[F，F]，是 x 所在的陪集），则 i1 是 X 到 F1 的映射。 由于 g 是 F 到 A 的同态，[F，F]是 F 的正规子群，易知[F，F]哿Kerg（对任意 x∈[F，F]），存 在 a，b∈F 使 x= aba-1b-1，而
关键词：自由 Abel 群；欧氏环；证明 中图分类号：O153 文献标识码：A 文章编号：1671－3699（2010）06－0023－02
关于范 畴 中 的 自 由 对 象 ，自 由 群 ，文 献[1]中 有 如下的定义和结论。
定义 1 假设 F 是范畴 ＆ 中的一个对象，X 为非
是 F 关于其换位子群[F，F]的商群 F/[F，F]，由引理 2，F1 是 Abel 群。 下证 F1 即是 Abel 群范畴中自由对象。
n 2
。
总之，（1）成立。
欲证坌α，β∈Z[i]，β≠0，存在 q，r∈Z[i]，使 α=qβ+ r，r=0 或 f（r）<f（β）分两步证明，首先证明下述结论：
（2）对任意的 α=a+biZ[i]，β∈z，β>0，存在 q，r Z
[i]，使 α=qβ+r，r=0 或 f（r）<f（β）。
对于 a，β 及 b，β 应用结论 （1） 得：a=q1β+r1，b=