高斯定理例题

Q
Байду номын сангаас
S
q
[D]
3、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以 、已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零， 肯定： 肯定： [ C ] （Ａ）高斯面上各点场强均为零 高斯面上各点场强均为零； （Ａ）高斯面上各点场强均为零； （Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零 穿过高斯面上每一面元的电通量为零； （Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零； （Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零 穿过整个高斯面上的电通量为零； （Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零； （Ｄ）以上说法均不对 （Ｄ）以上说法均不对 4、如图所示，两个无限长的半径分别为Ｒ１和Ｒ２的共轴 、如图所示，两个无限长的半径分别为Ｒ 圆柱面，均匀带电， 圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的带电量分别 处的Ｐ 为λ1,、λ2，则在外圆柱外面，距离轴线为 处的Ｐ点的电场强 、 ，则在外圆柱外面，距离轴线为r处的 度大小Ｅ 度大小Ｅ为： 答案： 答案：
2、点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷 被曲面Ｓ所包围，
q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： 到曲面外一点，如图所示，则引入前后： 到曲面外一点 （Ａ）、曲面 的电通量不变，曲面上各点的场强不变； 曲面Ｓ （Ａ）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变； （Ｂ）、曲面 的电通量变化，曲面上各点的场强不变； 曲面Ｓ （Ｂ）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强不变； ）、曲面 （C）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； ）、曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； ）、曲面 （D）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化。 ）、曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化。
r 1
Ｐr r
02
r2
r r ρ r1 E1 = 3ε 0 r r ρ r2 E2 = − 3ε 0
ρ
01
o1o2
r E1
r r r r r ρ r1 ρ r2 E = E1 `+E2 = − 3ε 0 3ε 0
ρ r r ρ (r − r2 ) = o1o2 = 1 3 ε0 3 ε0
r E2
13 如图所示 一厚度为 的无限大带电平板 其电荷体密 如图所示,一厚度为 的无限大带电平板,其电荷体密 一厚度为a的无限大带电平板 试证明: 度分布为ρ = kx (0 ≤x ≤ a)式中k 为正常数 试证明 中 为正常数,试证明
0
a
q
Ａ
d c a d b c q A
b
6、设电荷 体密度沿 x 轴方向按余弦规律ρ＝ρ０cosx分布 、 轴方向按余弦规律ρ 在整个间，试求间场强分布。 在整个间，试求间场强分布。 Yoz平面 平面 如图所示，由于cosx 解：如图所示，由于 S 为偶函数， 为偶函数，故其电荷分布 关于yoz平面对称，电场 平面对称， 关于 平面对称 x -x x′ dx′ x 强度亦关于yoz平面对称， 平面对称， 强度亦关于 平面对称 作面积为Ｓ，高为2x的长 Ｓ，高为 作面积为Ｓ，高为 的长 E E′ 方体（或柱体）， ），则利用 方体（或柱体），则利用 dV = Sdx′ 高斯定理得： 高斯定理得：
ρ0 cos x′Sdx′ 2ES = ∫ −x ε0
+x
r r ρ dV ∫∫ E ⋅ dS =V ε 0 ∫ S
=
2ρ0 S sin x
ε0
E=
ρ 0 sin x ε0
r ρ 0 sin x r E= i ε0
4π r′ dr′ 证明： 证明： 为圆心， 以Ｑ为圆心，半径 r作一 作一 球面为高斯面，则利用ＧＳ 球面为高斯面，则利用ＧＳ 定理与场分 布具有球对称性 的特点可得 Q + ∫ ρ dV r r 2 LL(1) ∫∫ E ⋅ dS = E4π r = ′
r
8、图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为ρ，球壳内半径 、图示为一个均匀带电球层，其电荷体密度为ρ 外半径为Ｒ 为零点。求球内外电场分布。 为Ｒ１，外半径为Ｒ２，为零点。求球内外电场分布。 为圆心， 解：以o为圆心，半径 r作一 为圆心 作一 球面为高斯面，则利用ＧＳ 球面为高斯面，则利用ＧＳ 定理与场分 布具有球对称性 的特点可得
2
S
7、有一带球壳，内外半径分别为a和b,电荷 密度ρ=A/r,在球心 、有一带球壳，内外半径分别为 和 电荷 密度ρ 在球心 Ｑ，证明当 证明当Ａ=Q/2πa2 时，球壳区域内的场强 处有一 点电荷 Ｑ，证明当 的大小与r无关 无关。 Ｅ的大小与 无关。
′
r′ r Ｑ
Q
S
ε0
A ρ dV = ∫ 4π r′ 2dr′ = 2π A(r 2 − a2 ) 代入（１） 代入（ ∫ a r′ Q A Aa2 A Q Aa2 1 E= ) 2 + − = +( − 2 2 4 π ε0r 2ε0 2 ε0r 2ε0 4 π ε0 2 ε0 r Q A 当 A= 2 E= 2π a 2 0 ε
S 1 2 a ∑q = ∫0 kxSdx = 2 kSx 0 1 = kSa2 2 1 2 1 2 E= ka 2ES = kSa 4ε0 2
a
ε0
0
x
a
(2) x<a
r r ∑q ∫ E ⋅ dS = E1S + E( x)S =
S
ε0
1 q = ∫ kx′Sdx′= kSx2 ∑ 0 2 1 kSx2 E1S + E( x)S = 2ε0 1 kx2 − E1 E(x) = 2ε 0
ka2 (1) 平板外空间的场强为均匀电场 大小为 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 4ε0 2 x= a 处E=0 (2) 平板内 2
解(1) 据分析可知平板外的电场是均匀电场, 据分析可知平板外的电场是均匀电场 作如图封闭圆柱面为高斯面
x dx
r r ∑q ∫ E ⋅ dS = 2ES =
S
E
x
x
E1 S
0
x
E(x)
a
1 1 2 kx − ka2 = 2ε0 4ε0
E( x) = 0
1 2 1 kx = ka2 2 4ε0
2a x= 2
r r ∫ ρ dV LL(1) 2 ∫∫ E ⋅ dS = E4π r =
S
0
r S
ε0
3
E=
r 3 − R1 ρ 2 3 ε0r R2 − R 1 ρ 2 3ε0r
3 3
R1 ≤ r ≤ R2 r ≥ R2
E = 0 r ≤ R1
9、如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。 、如图，求空腔内任一点Ｐ的场强。 解：求空腔内任一点场强， 求空腔内任一点场强， 去体密度为ρ的小球， 挖 去体密度为ρ的小球，相 当于不挖，而在同一位置处， 当于不挖，而在同一位置处， 放一体密度为放一体密度为 ρ的小球产生 的场强的迭加。 的场强的迭加。
1、一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过 、一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况， 高斯面的电通量发生变化？ 高斯面的电通量发生变化？ [ B ] （Ａ）、将另一点电荷 放在高斯面外； （Ａ）、将另一点电荷 放在高斯面外； （Ｂ）、将另一点电荷 放在高斯面内； （Ｂ）、将另一点电荷 放在高斯面内； （Ｃ）、将球心处的点电荷移动 但还在高斯面内； 将球心处的点电荷移动， （Ｃ）、将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内； （Ｄ）、将高斯面半径缩小 （Ｄ）、将高斯面半径缩小
λ1 + λ2 E= 2πε0r
λ1
r P
λ2
5、如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的Ａ角上，则 、如图所示，一个带电量为 的点电荷位于立方体的 角上， 的点电荷位于立方体的Ａ 通过侧面abcd的电通量为： 的电通量为： 通过侧面 的电通量为 q q
ε 如果放在中心处，则又是多少？ 如果放在中心处，则又是多少？ 24 0 6 ε