初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆巧解难题》
初二数学最新教案-初二数学竞赛辅导四：四点共圆 精品
初二数学竞赛辅导四：四点共圆
例题分析：
1、如图，设AB 为圆的直径，过点A 在AB 的同侧作弦AP 、AQ ，交B 处的切线于点R 、S ，求证：P 、Q 、S 、R 四点共圆
2、设A 为圆O 外一点，AB 、AC 和圆O 分别切于B 、C 两点，APQ 为圆O 的一条割线，过点B 作BR//AQ 交圆O 于点R ，连接CR 交AQ 于点M ，试证：A 、B 、C 、O 、M 五点共圆
3、如图，在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，BE 是CA 上的高，CF 是AB 边上的高，三条高线相交于点H ，从A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中可以找到多少组四点共圆
4、在A B C ∆中，0030,70=∠=∠ACB ABC ，P 、Q 为三角形内两点，010==∠QCB QBC ，020=∠=∠PCB PBQ ，求证：A 、P 、Q 三点共线
5、直线AB 和AC 与圆O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6厘米、4厘米，试求P 到BC 的距离
6、如图，已知在ABC ∆中，4:2:1::=∠∠∠C B A ，求证：BC
AC AB 111=+
7、在A B C ∆中，AB=AC ，D 为BC 中点，AC BE ⊥于E ，交AD 于P ，已知BP=3，PE=1，求PA
8、如图，AB 为定圆O 中的定弦（不是直径），作圆O 的弦199819982211,,,D C D C D C ，对其中的每一个i i D C i i ),19981(≤≤都被AB 平分于i M ，过i i D C ,分别作圆O 的切线，两切线交于i P ，求证：点1998321,,,,P P P P 与某定点等距离，并指出这定点是什么点？。
初二数学最新教案-初二数学竞赛辅导四：四点共圆 精品
初二数学竞赛辅导四：四点共圆
例题分析：
1、如图，设AB 为圆的直径，过点A 在AB 的同侧作弦AP 、AQ ，交B 处的切线于点R 、S ，求证：P 、Q 、S 、R 四点共圆
2、设A 为圆O 外一点，AB 、AC 和圆O 分别切于B 、C 两点，APQ 为圆O 的一条割线，过点B 作BR//AQ 交圆O 于点R ，连接CR 交AQ 于点M ，试证：A 、B 、C 、O 、M 五点共圆
3、如图，在ABC ∆中，AD 是BC 上的高，BE 是CA 上的高，CF 是AB 边上的高，三条高线相交于点H ，从A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中可以找到多少组四点共圆
4、在A B C ∆中，0030,70=∠=∠ACB ABC ，P 、Q 为三角形内两点，010==∠QCB QBC ，020=∠=∠PCB PBQ ，求证：A 、P 、Q 三点共线
5、直线AB 和AC 与圆O 分别相切于B 、C 两点，P 为圆上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为6厘米、4厘米，试求P 到BC 的距离
6、如图，已知在ABC ∆中，4:2:1::=∠∠∠C B A ，求证：BC
AC AB 111=+
7、在A B C ∆中，AB=AC ，D 为BC 中点，AC BE ⊥于E ，交AD 于P ，已知BP=3，PE=1，求PA
8、如图，AB 为定圆O 中的定弦（不是直径），作圆O 的弦199819982211,,,D C D C D C ，对其中的每一个i i D C i i ),19981(≤≤都被AB 平分于i M ，过i i D C ,分别作圆O 的切线，两切线交于i P ，求证：点1998321,,,,P P P P 与某定点等距离，并指出这定点是什么点？。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考探索的能力。
教学内容：1. 四点共圆的定义和性质2. 四点共圆的证明方法3. 四点共圆在实际问题中的应用教学准备：1. 课件和教学素材2. 几何画板或白板3. 练习题和答案教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用课件或实物展示四点共圆的实例，引导学生观察和思考。
2. 提问：你们能找出这个图形的特征吗？它是如何定义的？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解四点共圆的定义和性质，通过示例和几何画板进行演示。
2. 引导学生思考和讨论四点共圆的证明方法，给出几种常见的证明方法。
三、案例分析（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生运用四点共圆的知识进行解决。
2. 分组讨论和展示解题过程，互相交流和学习。
四、练习与巩固（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生独立完成。
2. 老师对答案进行讲解和解析，解答学生的疑问。
2. 提出一些思考题，引导学生进行深入思考和探索。
教学评价：1. 学生对四点共圆的定义和性质的理解程度。
2. 学生运用四点共圆知识解决实际问题的能力。
3. 学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
教学反思：本节课通过实例导入，引导学生观察和思考四点共圆的特征。
通过讲解和演示，让学生理解和掌握四点共圆的定义和性质。
通过案例分析和练习巩固，让学生运用所学知识解决实际问题。
整个教学过程注重学生的参与和思考，培养学生的合作交流能力。
在教学评价中，不仅要关注学生对知识的理解和应用能力，还要关注学生在课堂上的参与程度和合作交流的能力。
在今后的教学中，可以尝试更多的实际问题引入，增加学生的思考和探索空间，提高学生的学习兴趣和主动性。
六、实践操作（15分钟）目标：让学生通过实际操作，加深对四点共圆的理解和应用。
1. 利用几何画板或白板，让学生自己尝试绘制四点共圆的图形。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆的判定方法》
初中数学拓展课程精品教案
四点共圆的判定方法
一、知识准备
圆内接四边形的概念、性质
二、拓展导学
【问题呈现】
如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ，F 为AE 中点，
连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 【思路点拨】 在矩形ABCD 中，∠BCD=90°,如果能证B 、C 、D 、F 四点共圆，则由四点共圆（圆内接四边形）的性质即可得∠BFD=90°.那么如何证B 、C 、D 、F 四点共圆呢？
【知识背景】
1. 圆内接四边形（四点共圆）的判定方法
判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
判定方法（2）：如果线段同侧的二点到线段两端点连线的夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。
2. 四点共圆判定方法（1）的证明 判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（A ，B ，C ，D 四点共圆）。
教案：数学活动探究四点共圆的条件.docx
课题：活动2探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二T•四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学董金林设计理念：教学的实质是以教材屮提供的素材或实际生活屮的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学牛知识的构建、能力的培养、情感的升华。
一、教材及教学内容分析（-）教材的地位和作用分析探究四点共I员I的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。
四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三介形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究.圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。
另外，木堂课通过“活动探究”、“观察一猜想一证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，木堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。
（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程屮，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形）以及-•般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律（过対角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了特姝到一般的思想.同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件, 体现了转化的思想和方法.另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成口我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学牛应用数学的意识，从而帮助学牛积累有效的数学活动经验.二、目标及其解析㈠教学目标：知识技能：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个関的条件;2 .掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察=＞实验=＞猜想=＞论证”的过程，发展学生儿何直观能力；2.通过观察图形，提高学牛的识图能力。
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握解决四个节点共圆难题的方法和技巧，培养学生的物理思维和问题解决能力。
具体目标包括：- 理解什么是四个节点共圆问题- 掌握解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法- 运用所学知识解决实际问题- 提高逻辑思维和推理能力二、教学内容本课程将涵盖以下内容：1. 什么是四个节点共圆问题2. 解决四个节点共圆问题的基本步骤3. 实例分析：通过案例讲解如何应用解决方法4. 练与讨论：让学生进行练和思考，加深理解和掌握程度三、教学过程步骤一：引入通过简短的引导，激发学生对四个节点共圆问题的兴趣，引发思考。
步骤二：概念讲解向学生介绍四个节点共圆问题的定义和基本概念，确保学生对问题的理解。
步骤三：解决方法讲解向学生详细介绍解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法，包括：- 确定已知条件和待求条件- 利用几何知识分析问题- 运用相应公式或原理进行计算和推导步骤四：实例分析通过具体案例进行分析和讲解，让学生了解如何应用所学方法解决实际问题。
步骤五：练与讨论提供一些练题，让学生进行练和思考，加深对四个节点共圆问题解决方法的理解和掌握程度。
鼓励学生积极参与讨论，互相交流和分享解题思路。
四、教学评估教学过程中，教师可以通过以下方式进行评估：- 在引入环节观察学生对问题的反应和思考程度- 在概念讲解和解决方法讲解过程中观察学生对概念和方法的理解程度- 在练与讨论环节检查学生解题情况和解题思路五、教学资源- 幻灯片或投影仪展示教学内容和案例分析- 练题和答案- 黑板和粉笔六、教学延伸鼓励学生自主研究和探索更多有关几何问题的知识，例如如何解决更复杂的节点共圆问题，拓展学生的几何思维。
七、教学反思根据学生在课堂上的表现和理解情况，及时调整教学方法和步骤，注重培养学生的实际应用能力和创新思维能力。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
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四点共圆巧解难题
一、知识准备
四点共圆的概念、性质、判定方法
二、拓展导学 【问题解决】
例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得
CF ⊥AE ，即∠CFA=90°
∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆， 即F 在△ACD 的外接圆上
又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形
对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF.
解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那
么由点与圆的位置关系可得这四点共圆；
②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG ；
③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是
△AEC 的一条中位线，所以可证FG = CE =CA=CG ， 即FG=BG=DG=CG ；
④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）.
【难题呈现】
例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.
F
D
A
B
C
F A
G
F D
A
B C
求线段DE 的最小值.
【思路点拨】
1．求线段长度的最值问题常用方法有：利用轴对称转化；建立函数关系.
2．线段DE 是哪一个圆中的一条弦？这个圆的大小和线段DE 长有关吗？尝试用四点共圆来探求新的解决方法.
【巧解难题】
四点共圆法
60°
常规解法
60°
O P 2
P 1
E D
E D A
B
C
C
B
A
P
P
常规解法：分别延长PD 、PE 至点P 1、P 2，使PD=P 1D ，PE=P 2E ，连结P 1P 2 则可得DE 为△P P 1P 2的一条中位线
∴P 1P 2=2DE ，既当P 1P 2最小时，DE 也随之达到最小值. 连结AP ，AP 1，AP 2
由垂直平分线的性质可证：AP 1=AP= AP 2
由等腰三角形三线合一的性质可证：∠P 1AP 2=∠P 1AP+∠P 2AP=2×60°=120° ∴在顶角为120°的等腰△P 1AP 2中，P 1P 2 = AP 1=
AP
即当AP 最小时，P 1P 2也随之达到最小值
又∵由题意可得，当AP ⊥BC 时，AP 最小，且此时可求得AP=3 ∴此时P 1P 2=
，AP=3
∴DE min = P 1P 2min =
四点共圆法：①由PD ⊥AB 、PE ⊥AC 可证∠ADP+∠AEP=180°；则点A ，D ，P ，E 四点共圆
60°
E D A
B。