概率论与数理统计答案(东华大学出版)第六章
15华工概率论与数理统计第五、六章作业答案
概率论第五章答案 5.1 解：因 E[ X + Y ] = E[ X ] + E[Y ] = 0
故 P ( X + Y ≥ 6) = P ( X + Y − E[ X + Y ] ≥ 6) ≤
Var[ X + Y ] 36
而 Var[ X + Y ] = Var[ X ] + Var[Y ] + 2 cov( X , Y )
∑
9
因
* 8S 9
2
σ
2
~ χ 2 (8)
X 10 − X 10 σ 3( X 10 − X ) 3 所以 T = 服从 t (8) 分布 . = *2 *2 S9 10 8S 9
σ2
8
X 6.7 解：由题意知 2 = i ~ χ 2 (4) . σ i =6 σ Z3
∑
σ
Z1
因 {X n } 是独立同分布的随机变量序列，且
2 2 Var[ X n ] = E[ X n ] − (E[ X n ]) ⇒ E[ X n ] = 10 2
故 {Yn }是独立同分布的随机变量序列，且
E[Yn ] = E[ X 32n−2 + X 3n−1 X 3n ] = E[ X 32n−2 ] + E[ X 3n−1 ]E[ X 3n ]
E[ X i ] = 0 ，Var[ X i ] = 0.0075 .
因 P (48 ≤ Y60 ≤ 52) = P 48 ≤ 50 +
60
∑X
i =1
i
≤ 52
= P (−2 ≤
∑X
数理统计第6-9章答案
4.设总体
ξ N (1, 2) ， ξ1 , ξ 2 , , ξ 4 为其样本，记
2
η 得 服从 χ (m) 分布，自由度 m 取何值？ 解：
i =1 ξ − η = k[∑ 4] ，试问 k 取何值时，使 i
ξ N (1, 2)
∑ξ
i =1
4
i
N (4,16) ⇒
4
∑ξ
i =1
ξ1 N (a,
σ2
) = N (20,
与极小值的分布。
| ξ − ξ2 | 的 分 布 ， 解 ：（ 1 ） . 当 样 本 容 量 n = 2 时 ， 极 差 的 分 布 即 为 1
η = ξ1 − ξ 2 N (0, 2σ 2 )
) P{| η |< x= } P{| F|η | ( x= =P{| φ |<
3.设总体 服从正态分布
ξ
N (0, σ ) ， ξ1 , ξ 2 , , ξ 4 为其样本，试问
η=
解：
(ξ1 − ξ 2 ) 2 (ξ3 + ξ 4 ) 2 服从什么分布？
ξ1 − ξ 2 N (0,
) 2 2 ⇒ ξ3 + ξ 4 σ ξ3 + ξ 4 N (0, ) N (0,1) σ 2 2
公式，得
1 fη ( y1 ,= y2 , , yn ) (2π ) exp{− (Ty ) '(Ty )}| J | 2 n − 1 = (2π ) 2 exp{− y ' y} 2 ∴η N n (0, I n )
−
n 2
其中，
I n 为单位矩阵。
2 ξ 服从正态 N (a, σ 2 ) ， ξ1 , ξ 2 , , ξ n 为其样本， ξ 与 S n 分为样本均值及方差. 2 ξ , ξ , , ξ n 相互独立，试求统计量 ξ 又设 n +1 服从正态 N ( a, σ ) ，且与 1 2
(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示所得球上的数字，求ξ的分布律。
解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：ξ-3 1 2 {}i P x ξ=2/63/61/62、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，问ξ的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。
所以：ξ的分布律为：103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为：__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。
解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。
概率与数理统计第六章习题参考解答
《概率论与数理统计》第六章习题exe6-1解：10()0x b f x b ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他01()()2bb E X xf x dx x dx b +∞-∞==⋅=⎰⎰ 令11μ=A ，即2b X =，解得b 的矩估计量为ˆ2b X = 2ˆ2(0.50.60.1 1.30.9 1.60.70.9 1.0) 1.6899bx ==++++++++= exe6-2解：202()()()3x E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞-==⋅=⎰⎰令11μ=A ，即,3θ=X 解得θ的矩估计量为ˆ3X θ= Exe6-3解：（1）由于12222()()()()(1)()E X mpE X D X E X mp p mp μμ==⎧⎨==+=-+⎩令 ⎩⎨⎧==.2211μμA A 求解得221111p m p μμμμ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，p, m 的矩估计量为22211(1)ˆ11ˆˆA A n S pA nX X m p ⎧--=-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Exe6-4解：（1）()E X λ= 令11μ=A ，即,λ=X 解得λ的矩估计量为ˆX λ= {}),2,1,0(!===-x e x x X P xλλ{}),2,1,0(!===-i i xi x e x x X P iλλ似然函数11111(){}()!!niii x n nx ni ni i i ii eL P X x e x x λλλλλ=--===∑====∏∏∏11ln ()()ln ln(!)nni i i i L n x x λλλ===-+-∑∑1ln ()0nii x d L n d λλλ==-+=∑解得λ的最大似然估计值为 11ˆnii x x n λ===∑ （2）由（1）知1ˆ(6496101163710)7.210x λ==+++++++++= Exe6-5解：（1）似然函数1(1)111(){}(1)(1)ni i i nnx x ni i i L p P X x p p p p =--==∑===-=-∏∏∑-==-ni i nx np p 1)1(1ln ()ln (1)ln ni i L p n p x p ==+-⋅∑)1ln()(ln 1p n x p n ni i --+=∑=1(1)ln ()01nii x d L p ndp pp=-=-=-∑01)(ln 1=---=∑=pnxp n dp p L d ni i解得p 的最大似然估计值为 11ˆnii npxx===∑ （2）155ˆ5174926px ===++++ Exe6-6解：由22()2()x f x μσ--=（1）2σ已知，似然函数22122()()2211()(,)ni i i x nx n nii i L f x e μμσσμμ=----==∑===∏2211ln ())()2nii L n x μμσ==---∑21ln ()1(22)02nii d L x d μμμσ==--=∑即11()0nniii i x n xμμ==-=-=∑∑解得μ的最大似然估计值 1ˆnii xx nμ===∑（2）μ已知，似然函数为212222)(222)(12122121),()(σμσμπσσπσσ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛====----==∏∏ni i i x n x ni n i i e ex f L21222)(21)ln(2)2ln(2)(ln μσσπσ-∑---==n i i x n n L 0)()(212)(ln 2122222=-+-=∑=μσσσσni ixn L d d解得∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ，故2σ的最大似然估计值为 .)(1ˆ122∑=-=n i i i x x n σ Exe6-7解：（1）矩估计量2220()()()(3)2xt x xt xx E X xf x dx x e dx e dx t e dt θθθθθθθθ=--+∞+∞+∞+∞--∞==⋅===Γ=⎰⎰⎰⎰令2X θ=，得ˆ/2X θ= 似然函数211()(,)ix n nii i i x L f x eθθθθ-====∏∏1111ln ()(ln 2ln )ln 2ln nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑令21ln ()210ni i d L n x d θθθθ==-+=∑解得θ的最大似然估计值为111ˆ22ni i x x n θ===∑ （2）2311()(,)2ixnni i i i x L f x e θθθθ-====∏∏331111ln ()[2ln ln(2)]2ln ln(2)nnnii i i i i i x L x x n x θθθθθ====--=--∑∑∑ 令2321ln ()1602nii d L n xd θθθθθ==-⋅-=∑013)(ln 1223=+⋅-=∑=ni ixn d L d θθθθθ解得θ的最大似然估计值为 111ˆ33n ii x x n θ===∑（3） ),(~p m B X ，m 已知{}∏∏=-=-===ni x m x x m ni i i i ip p C x X P p L 11)1()(1111ln ()[ln ln ()ln(1)]ln ln ln(1)()i inx m i i i nnnx m i i i i i L p C x p m x p C p x p nm x =====++--=++--∑∑∑∑令 11ln ()01n ni ii i x nm x d L p dp p p==-=-=-∑∑即1111(1)1n nniiii i i x xxnmppp p p===+==---∑∑∑ 解得p 的最大似然估计值为 1ˆnii xxpmnm===∑ Exe6-8解：(1)似然函数为{}{}{})1(2)1(2121)(522θθθθθθθ-=⋅-⋅==⋅=⋅==X P X P X P L)1ln(ln 52ln )(ln θθθ-++=L 令 0115)(ln =--=θθθθL d d 解得θ的最大似然估计值为.65ˆ=θ Exe6-9解：1212222)()(22)(12)(111212121),,(),,(),(σβαβασβασβασπσπσπβαβαβα∑∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛=====+-+---+--=---===∏∏∏∏ni i ni i i i i i y x ny ni x ni n i i Y n i i X e eey f x f L))()((21ln 2)2ln(),(ln 21212βαβασσπβα+-∑+--∑---===ni i ni i y x n n L0))()((22),(ln 112=+-+--=∂∂∑∑==βαβασβααni i n i i y x L0)()((22),(ln 112=+----=∂∂∑∑==βαβασβαβni i n i i x x L 联立 解得,2ˆ,2ˆyx y x -=+=βα故βα,的最大似然估计量为 .2ˆ,2ˆYX Y X -=+=βαExe6-10解：（1）由1/2EX μθ==，得θ的矩估计量ˆ2X θ= ˆ()2()2()22E E X E X θθθ===⋅= 故θ的矩估计量ˆ2X θ=是θ的无偏估计量。
东华大学《概率论与数理统计》课件 第6章样本与抽样分布
X
的
n
一
个
样
本的
观察
值
,
则g( x1 , x2 , xn )是统计量g( X1 , X 2 , X n )的观察值.
例1 设总体X 服从两点分布b(1, p) ，其中p 是未知参数，
X1,
,
X
是
5
来自X的简
单
随机样本.试指出
X1
X
，
2
max
1 i 5
X
i
,
X5 2 p,
( X5 X1)2
哪些是统计量,哪些不是统计量，为什么？
从国产轿车中抽5辆进行耗 油量试验
样本容量为5 抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同条件下，进行n次重复、独立观察，其结果依次记 为 X1,X2,…,Xn.这样得到的随机变量X1,X2,…,Xn.是来自总体的一个简单 随机样本，其特点是：
1. 代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体X有相同的分布. 2. 独立性：X1,X2,…,Xn相互独立.
k同分布,
E(
X
k i
)
k
k 1, 2, , n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1 , A2 , , Ak ) P g(1, 2 , , k )
其中g为连续函数.
矩估计法的理论依据
2. 经验分布函数
设X1, X2,
,
X
是
n
总
体
F的
一
个Hale Waihona Puke 本，用S(
x
则称变量
t X Yn
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
《概率论与数理统计》习题及答案 第六章
《概率论与数理统计》习题及答案第 六 章1．某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为λ的泊松分布，从产品中抽一个容量为n 的样本12,,,n X X X L ，求样本的分布.解 样本12(,,,)n X X X L 的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为11221(,,,)()nn n ii i P X k X k X k P Xk ======∏L 1!ikni i e k λλ-==∏112!!!ni i n k n e k k k λλ=-∑=L 0,1,i k =L ，1,2,,,i n =L 2．加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/λ的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取n 件零件构成一个容量为n 的样本，求样本分布。
解 零件的加工时间为总体X ，则~()X E λ，其概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩于是样本12(,,,)n X X X L 的密度为1121,0(,,,)0,.nii ix nnx i n i e x f x x x e λλλλ=--=⎧∑⎪>==⎨⎪⎩∏K 其它 1,2,,i n =L 3．一批产品中有成品L 个，次品M 个，总计N L M =+个。
今从中取容量为2的样本（非简单样本），求样本分布，并验证：当,/N M N p →∞→时样本分布为（6.1）式中2n =的情况。
解 总体~(01)X -，即(0),(1)L MP X P X N N==== 于是样本12(,)X X 的分布如下 121(0,0)1L L P X X N N -===⋅-，12(0,1)1L M P X X N N ===⋅-12(1,0)1M L P X X N N ===⋅-，121(1,1)1M M P X X N N -===⋅- 若N →∞时M p N →，则1Lp N→-，所以2002012(0,0)(1)(1)P X X p p p +-==→-=-012112(0,1)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-102112(1,0)(1)(1)P X X p p p p +-==→-=-2112212(1,1)(1)P X X p p p +-==→=-以上恰好是（6.1）式中2n =的情况.4．设总体X 的容量为100的样本观察值如下：15 20 15 20 25 25 30 15 30 25 15 30 25 35 30 35 20 35 30 25 20 30 20 25 35 30 25 20 30 25 35 25 15 25 35 25 25 30 35 25 35 20 30 30 15 30 40 30 40 15 25 40 20 25 20 15 20 25 25 40 25 25 40 35 25 30 20 35 20 15 35 25 25 30 25 30 25 30 43 25 43 22 20 23 20 25 15 25 20 25 30433545304530454535作总体X 的直方图解 样本值的最小值为15，最大值为45取14.5a =，45.5b =，为保证每个小区间内都包含若干个观察值，将区间[14.5,45.5]分成8个相等的区间。
概率论与数理统计六七章习题答案
第六章大数定理和中心极限定理一、大纲要求(1)了解契比雪夫不等式；(2)了解辛钦大数定律,伯努利大数定律成立的条件及结论；(3)了解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的条件和结论,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.二、重点知识结构图三、基本知识1. 马尔科夫不等式若X 为只取非负值的随机变量,则对任意常数0ε>,有{}EXP X εε≥≤.2. 契比雪夫不等式若DX 存在,则{}2DXP X EX εε-≥≤.3. 辛钦大数定律定理 1 设12,,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有有限的数学期望()a X E n =，则对任意的0ε>,有{}lim 0n n P X a ε→∞-≥=4. 伯努利大数定律定理2 设()p n B X n ,~，其中n=1,2, …，0<p<1 。
则对任意ε>0，有5．独立同分布的中心极限定理定理3 (林德伯格-列维定理) 设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量,22,,0,i i EX a DX σσ==<<∞则对任意实数x 有12lim )()n n P X X X na x x →∞⎫++-≤=Φ⎬⎭式中, ()x Φ是标准正态分布(0,1)N 的分布函数,即2/2()t x e dt +∞--∞Φ=6. 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理定理3(棣莫佛-拉普拉斯定理) 设12,,,,n X X X 独立同分布,i X 的分布是{}{}1,01,(01)i i P X p P X p p ====-<<则对任意实数x ,有12lim )()n n P X X X np x x →∞⎧⎫⎪++-≤=Φ⎬⎪⎭0lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εp n X P n n四、典型例题例1 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,则根据契比雪夫不等式{}6_____P X Y +≥≤.解 因为 ()0E X Y E X E Y +=+= ()2c o v (,D X Y D X D Y X Y +=++2DX DY ρ=++ 1420.52=+-⨯⨯= 根据契比雪夫不等式{}2DXP X EX εε-≥≤所以 {}3163612P X Y +≥≤= 例2 某保险公司经多年资料统计表明,在索赔户中被盗户占20%,在随意抽查的100家索赔户中以被盗的索赔户数为随机变量,利用中心极限定理,求被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值.[分析]本题的随机变量服从参数100,0.2n p ==的二项分布.如果要精确计算,就要用伯努利二项公式:{}291001001514300.20.8kk k k P X C -=<<=∑.如果求近似值,可用契比雪夫不等式估计.解 由于~(100,0.2)X N ,所以1000.220EX np ==⨯=168.02.0100)1(=⨯⨯=-=p np DX{}1430P X P <<=<<=Φ(2.5)-Φ(-1.5)()927.0)5.1(5.2=-Φ+Φ因此被盗的索赔户大于14户且小于30户的概率近似值为0.927.例3 某车间有200台机床,它们彼此工作独立,开工率都为0.6，工作时耗电都为1kW,问供电所至少给这个车间多少度电，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产.解 用X 表示工作的机床台数,则~(200,0.6)X B .设要向车间供电a kW,则有由棣莫佛-拉普拉斯定理得{}P o X a P ⎧⎫<≤=<≤020p q ⎛⎫⎛⎫⎫⎫≈Φ-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭⎭()0.999 3.1≈Φ≥=Φ即3.1≥ 因此120 3.48141a ≥+= 例4 用契比雪夫不等式确定当掷一均匀硬币时,需掷多少次,才能保证使得出现正面的频率在0.4~0.6之间的概率不小于90%,并用正态逼近计算同一个问题.解 设需掷n 次，用n S 表示出现正面的次数，则1~(,)2n S B n ，有契比雪夫不等式得0.40.60.50.1n n S S P P n n ⎧⎫⎧⎫<<=-<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭211110022110.900.014n n n⨯⨯≥-=-≥ 所以10002504n ≥=. 由棣莫佛-拉普拉斯定理得0.40.6n S P P n ⎧⎫<<=<⎨⎬⎩⎭(((0.2210.90=Φ-Φ-=Φ-≥即(Φ≥0.95,查表得 1.645>,故68n ≥.例5 假设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量,且()k k i a X E =(1,2,3,4)k =,证明当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.证 由12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列可知, 22212,,,nX X X 独立同分布,且有()22a X E i =, 2242i DX a a =-2211n n i i EZ EX a n ===∑, 2242211n n i i a a DZ DX n n=-==∑由林德伯格-列维定理可知,对任意x 有⎰∞--∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--x t n n dte x n a a a Z P 22242221lim π即n Z 近似服从正态分布2422(,)a a N a n-. 例6 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度超过3m ，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解 设10i X ⎧=⎨⎩()31,2,,1003i m i i m = 当所取的第根木柱短于当所取的第根木柱不短于 则()~1,0.2i X B ,记1001i i X X ==∑,则()~100,0.2X B .由棣莫佛-拉普拉斯定理得{}{}30130P X P X ≥=-<1P =-≤()302011 2.50.0062100.4-⎛⎫≈-Φ=-Φ= ⎪⨯⎝⎭例7 假设男婴的出生率为2243,某地区有7000多名产妇,试估计她们的生育情况.[分析] n 重伯努利实验中A 出现的频率nu n依概率收敛于它的概率p ，当n 很大时，有n u np ≈.解 设10i X ⎧=⎨⎩()1,2,,7000i i = 第名产妇生男婴否则显然, 12,,,n X X X 独立同分布且均服从01-分布2243p ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1nn i i u X ==∑表示7000名产妇中生男婴的人数,有伯努利大数定理得()2243n u n n →→∞ 由于7000n =已是足够大,因此227000358143n u ≈⨯≈即该地区估计有3581名男婴出生.例8 某电视机厂每月生产10000台电视机,但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管,该车间每月应生产多少只显像管?解 设显像管正品数为X ,月总产量为n ,则有()~,0.8X B n ,从而 0.8E X n =, ()n p np DX 16.01=-=为了使电视机都装上正品的显像管,则每月至少生产10000只正品显像管,即所求为{}100000.997P X n ≤<=由棣莫佛-拉普拉斯定理得{}100000.997P X n P ≤<=≤<=即997.05.016.08.016.08.010000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≤-n n n X n n P(0.997Φ-Φ=由题意可知,0<,且n 较大,即(1Φ≈,所以0.997Φ=2.75=,故)(1027.14只⨯≈n因此,每月至少要生产41027.1⨯只显像管才能以0.997的概率保证出厂的10000台电视机都能装上正品的显像管.例9 一养鸡场购进1万个良种鸡蛋,已知每个鸡蛋孵化成雏鸡的概率为0.84，每只雏鸡发育成种鸡的概率为0.90，试计算这批鸡蛋得到种鸡不少于7500只的概率.解 设{}k A k =第只鸡蛋孵化成雏鸡, {}k B k =第只鸡蛋育成种鸡,令 ()11,2,,100000k k k B X k B ⎧==⎨⎩ 当发生当不发生 则诸k A 独立同分布,且{}{}{}{}{}{}1k k k k k k k k P X P B P A P B A P A P B A ===+0.840.900.756=⨯+={}{}244.00===k k B P X P显然, 100001kk X X==∑表示10000个鸡蛋育成的种鸡数,则()~10000,0.756X B ,而64.1844244.07560)1(,7560756.010000=⨯=-=⨯=p np np根据棣莫佛-拉普拉斯定理可得()~0,1nkXnpN -=∑于是,所求概率为{}10000756075001k X P X P ⎧⎫-⎪⎪≥=≥≈-Φ⎪⎪⎩⎭∑()1.400.92=Φ= 因此,由这批鸡蛋得到的种鸡不少于7500只的概率为92%.五、课本习题全解6-1 设11nn i i Y X n ==∑,再对n Y 利用契比雪夫不等式:{}12222220n i i n n n n D X DY n P Y EY n n εεεε=→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭-≥≤=≤−−−→∑ 故{}n X 服从大数定理. 6-2 设出现7的次数为X ,则有 ()~10000,0.1,1000,900X B E X n p D X === 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}100096810001696810.14303015X P X P --⎧⎫⎛⎫<=<=-Φ=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭6-3 11,212i i EX DX ==由中心极限定理可知,10110i X -⨯∑,所以101011616110.136i i i i P X P X ==⎧⎫⎧⎫>=-≤=-Φ=-Φ=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑6-4 设报各人数为X ,则.100,100==DX EX . 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得()0228.021*********}120{=Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-=≥DX EX X P X P6-5 设()11,2,,100000i i X i i ⎧==⎨⎩ 第个人死亡第个人没有死亡,则{}{}10.006,00.994i i P X P X ====总保险费为51210000 1.210⨯=⨯(万元)(1) 当死亡人数在达到51.210/1000120⨯=人时,保险公司无收入.4100.00660,0.1295np =⨯==所以保险公司赚钱概率为)()12100000.129512060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()7.771=Φ=因而亏本的概率为10P P '=-=.(2)若利润不少于40000，即死亡人数少于80人时,)()12100000.12958060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()2.590.9952=Φ= 若利润不少于60000，即死亡人数少于60人时,)()12100000.12956060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()00.5=Φ=若利润不少于80000，即死亡人数少于40人时,)()12100000.12954060P X X X np ⎧⎫⎪++-≤⨯-⎬⎪⎭()2.5920.0048=Φ-=6-6 设总机需备Y 条外线才能有95%的把握保证每个分机外线不必等候,设随机变量()11,2,,2600i i X i i ⎧==⎨⎩ 第架电话分机用外线第架电话分机不用外线,则{}{}10.04,00.96P X P X ====0.04,0.040.00160.0384i i EX DX ==-=由中心极限定理可得16%950384.026004.02602601≈=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=Y Y Y X P i i6-7 密度函数为 ()10.50.50x f x -<<⎧=⎨⎩当其他故数学期望为 0.50.50E X x d x -==⎰()0.52220.5112DX EX EX x dx -=-==⎰(1)设i X 为第i 个数的误差,则9973.01)3(251515300130013001=-Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑∑∑===i i i i i i DX X P X P30030011151150.0027i i i i P X P X ==⎧⎫⎧⎫>=-≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑(2)110210.9440.77n i i P X n =⎧⎫≤=Φ-≥⇒≤⎨⎬⎩⎭∑ (3)3001210.99714.855i i Y P X Y Y =⎧⎫⎛⎫≤=Φ-≥⇒≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑6-8 kg kg EX 32105,105--⨯=⨯=σ (1)设i X 为第i 个螺钉的重量,则23100510,5100.05nEX --=⨯⨯⨯=0228.0)2(105.051.51.510011001=Φ-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑==σn nEX X P X P i i i i(2)设()1.11,2,,5000.1i i Y i i ⎧==⎨⎩ 第个螺钉的重量超过5kg第个螺钉的重量不超过5kg,则33.3)1(4.11=-=p np np9951.0)58.2(33.34.1120)1(450050015001=Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯<∑∑==p np np Y P Y P i i i i ％6-9 设随机变量()11,2,,10000i i X i ⎧==⎨⎩ 第个人按时进入掩体其他,按时进入掩体的人数为Y ,则()1,~10000,0.9ni i Y X Y B ==∑,所以有10000.9900,9000.190EY DY =⨯==⨯=设有k 人按时进入掩体，则916884645.19090095.090900===-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φk k k k 或所以至少有884人,至多有916.六、自测题及答案1.设随机变量X 服从(),B n p ,则对区间(),a b ,恒有lim _______.n P a b →∞⎧⎫⎪⎪<≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭2.一大批产品中优质品占一半,现每次抽取一个,看后放回再抽,问在100次抽 取中取到优质品次数不超过45的概率等于_______.3. 129,,X X X 相互独立, ()1,11,2,9i i EX DX i === ,则对任意给定的0ε>,有( ).9922119922111(A)11(B)119(C)91(D)919i i i i i i i i P X P X P X P X εεεεεεεε--==--==⎧⎫⎧⎫-<≥--<≥-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫-<≥--<≥-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑4.设12,,,,n X X X 为独立随机变量序列,且()1,2,i X i = 服从参数为λ的泊松分布,则有().()()()()111(A)lim (B)0,1(C),(D)n i n ni i n i i n i i X n P x x n X N n X N n n n P X x x λλλ→∞===⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭⎧⎫≤=Φ⎨⎬⎩⎭∑∑∑∑当充分大的时，近似服从当充分大的时，近似服从当充分大的时，5.设12,,X X 为独立随机变量序列,且服从服从参数为λ的指数分布,则( ).()()()()112211(A)lim (B)lim 1(C)lim (D)lim n n i i i i n n nni i i n n n X X P x x P x x n X n X n P x x P x x n λλλλλλ==→∞→∞=→∞→∞⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤=Φ≤=Φ⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤=Φ≤=Φ⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑∑∑6.设随机变量12,,,n X X X 相互独立, 12n X X X X =+++ ,根据林德伯格-列维定理,当n 充分大时, X 近似服从正态分布,只要12,,,n X X X ( )(A)(B)(C)(D)有相同的数学期望有相同的方差服从同一指数分布服从同一离散型分布7.某校有1000名学生,每人以80%的概率去图书馆自习,问图书馆至少应设多少个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位坐?8.某种电子器件的寿命(小时)具有数学期望μ(未知),方差2400σ=.为了估计μ,随机地取n 只这种器件,在时刻0t =投入测试(设测试是相互独立的)直到失败,测得寿命为12,,,nX X X ,以11ni i X X n ==∑作为μ的估计,为了使{}10.95P X μ-<≥,问n 至少为多少?9.利用中心极限定理证明11lim !2i n n n i n e i -→∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑ [答案]1. 由棣莫佛-拉普拉斯定理可得22lim t b a n P a b dt -→∞⎧⎫⎪⎪<≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎰2. 令Y 表示100次抽取中取得优质品的次数()11,2,,1000i i X i i ⎧==⎨⎩ 当第次取到优质品当第次没有取到优质品则 ()1001,~100,0.5i i Y X Y B ==∑那么 1000.5,1000.50.E Y D Y =⨯=⨯⨯=由棣莫佛-拉普拉斯定理可得{}504515Y P Y P P -⎧⎫≤=≤=≤-⎨⎬⎩⎭()()11110.84130.1587≈Φ-=-Φ=-=3.由题意可得 99119,9i i i i EX EX DX DX ======∑∑又因为 9211i i DXP X EX εε=⎧⎫-<≥-⎨⎬⎩⎭∑故(D)项正确.4.因为()1,2,i X i = 服从参数为λ的泊松分布,故,i i EX DX λλ==,由林德伯格-列维定理得()lim n i n X n P x x λ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ 当n 充分大时,1nii X=∑近似服从(),N n n λλ分布,故C 项正确.5.由题意可知 211,i i EX DX λλ==由林德伯格-列维定理可得()22limntixnX nP x dt xμ-→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤==Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑⎰即()l i mninX nP x xλ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑6.由于林德伯格-列维定理要求12,,,nX X X独立同分布,且具有有限的数学期望与方差.因此C项正确.7.设X表示同时去图书馆上自习的人数,并设图书馆至少有n个座位,才能以99%的概率保证去上自习的同学都有座位,即n满足{}0.99P X n≤≥.因为()~1000,0.8X B,所以{}⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈≤2.08.010008.01000`2.08.010008.01000`nnXP8000.9912.65n-⎛⎫=Φ≥⎪⎝⎭查表得8002.3312.65n-≥,故829.5n≥.因此图书馆至少应有830个座位.8.由于12,,,nX X X独立同分布,且2,400i iEX DXμσ===.由林德伯格-列维定理得{}1P X Pμ⎫⎛-<=<≈Φ-Φ⎝⎭⎝⎭21210.95=Φ-=Φ-≥⎝⎭⎝⎭即0.975Φ≥⎝⎭,查表得 1.9620≥,故2400 1.961536.64n≥⨯=.因此n至少为1537.9.设{}n X为独立同服从参数为1的泊松分布的随机变量序列,则1nkkX=∑服从参数为n的泊松分布,因此有101!!k k n n nn nn k k k k n n P X n e e e k k ---===⎧⎫≤==+⎨⎬⎩⎭∑∑∑由林德伯格-列维定理可得()11lim lim 02n k n k n n k X n P X n P →∞→∞=⎧⎫-⎪⎪⎧⎫≤=≤=Φ=⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭∑∑ 所以11lim lim !k n n n n k n n k k n e P X n e k --→∞→∞==⎧⎫⎡⎤⎧⎫=≤-⎨⎨⎬⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭∑∑ 11lim lim 2n n k n n k P X n e -→∞→∞=⎧⎫=≤-=⎨⎬⎩⎭∑第7章数理统计的基础知识一、大纲要求(1)理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,了解直方图和样本分布函数的意义和作用.(2)了解2χ分布、t分布、F分布的概念和性质,了解分位数的概念并掌握查表计算.(3)了解正态总体的抽样分布.二、重点知识结构图三、基本知识1.总体和个体在数理统计中,把研究对象的全体称为总体或母体,把组成总体的每一个研究对象(元素或单元)称为个体.总体分为有限总体和无限总体.有限总体是指其总体中的成员只有有限个.相应的,无限总体是指其总体中的成员有无限个.2．样本在一个总体中,抽取n 个个体12,,,n X X X ,这n 个个体总称为总体X 的样本或子样, n 称为样本容量.样本特性:① 代表性，样本中的每一个分量()1,2,i X i n = 与总体X 有相同的分布。
概率论与数理统计第六章习题答案
第六章习题6-11、由一致估计的定义，对0ε∀>{}{}{}()1212max ,,,max ,,,n n P X X X P X X X θεεθεθ-<=-+<<+()()F F εθεθ=+--+()0, 0, 01, X x xF x x x θθθ<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩及(){}()()()()1212max ,,,n n X X X X X X F x F x F x F x F x ==⋅⋅⋅()1F εθ∴+=(){}()12max ,,,1nn x F P X X X εθεθθ⎫⎛-+=<-+≈- ⎪⎝⎭{}()12max ,,,111()nn x P X X X n θεθ⎫⎛∴-<=--→→∞ ⎪⎝⎭2、证明：EX μ=()1111111ni i n n i i i i nn n i i i i i i i i a X E a E X a a a a μμ======⎫⎛⎪ ⎪ ==⋅=⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 11niii nii a Xa==∴∑∑是μ的无偏估计量3、证明： ()() ()()22D E E θθθ=-()() ()()()2222E D E D θθθθθθ∴=+=+> 2θ∴不是2θ的无偏估计量4、证明：()~X P λEX λ∴=，()()222E X DX EX λλ=+=+()22E X EX λ∴-=，即()22E X X λ-=用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =代替相应的总体矩()2E X 、EX所以得2λ的无偏估计量： 22111n i i A A X X n λ==-=-∑ 5、()~,X B n p ，EX np ∴=()()()()22222111E X np p n p np n n p EX n n p =-+=+-=+-()()()()222111E X EX E X X p n n n n -⎫⎛∴=-=⎪ --⎝⎭所以用样本矩2211n i i A X n ==∑，1A X =分别代替总体矩()2E X 、EX得2p 的无偏估计量： ()()()222121111ni i i A A p X X n n n n =-==---∑6、()~,1X N m ，()i E X m ∴=，()1i D X =，(1,2)i =()()()11212212121333333E m E X X E X E X m m m ⎫⎛∴=+=+=+= ⎪⎝⎭()()()1121221414153399999D m D X X D X D X ⎫⎛=+=+=+= ⎪⎝⎭同理可得： ()2E m m =， ()258D m =， ()3E m m =， ()212D m =123,,m m m ∴都是m 的无偏估计量，且在 123,,m m m 中， 3m 的方差最小习题6-21、（1）()11cccEX x c xdx cx dx θθθθθθθθ+∞+∞-+-=⋅==-⎰⎰EXEX cθ∴=-，令X EX =X X c θ∴=-为矩估计量，θ的矩估计值为 x x cθ=-，其中11n i i x x n ==∑似然函数为：()()11211,,,;nnn n n ii i i L x x x c xcx θθθθθθθ-+-====∏∏ ，i x c > 对数似然函数：()()()1ln ln ln 1ln nii L n n c x θθθθ==+-+∑求导，并令其为0，得：1ln ln ln 0ni i d L nn c x d θθ==+-=∑ 1ln ln Lnii nx n cθ=∴=-∑，即θ的最大似然估计量为 1ln ln Lnii nXn cθ==-∑（2）21111EX EX x x dx EX θθθθθ-⎫⎛=⋅=⇒= ⎪--⎝⎭⎰ 以X EX =，得： 21X X θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭为θ的矩估计量θ的矩估计值为： 21x x θ⎫⎛=⎪ -⎝⎭，其中11ni i x x n ==∑ 而()1121211,,,;n nnn i i i i L x x x x x θθθθθ--==⎫⎛==⎪⎝⎭∏∏ ，01i x ≤≤()()1ln ln 1ln 2nii nL x θθθ=∴=+-∑令1ln 11ln 022ni i d L n x d θθθ==+⋅⋅=∑， 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ ∴=⎪⎪⎝⎭∑ 所以θ的最大似然估计量 21ln L ni i n x θ=⎫⎛⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭∑ （3）()~,X B m p ，EXEX mp p m∴=⇒=p ∴的矩估计量： 111n i i X p X X m mn m====∑p ∴的矩估计值为： 11n i i p x mn ==∑ 而()()()111211,,,;11nniii i ii i i nnx m x m x x x x n mm i i L x x x p Cpp C pp ==--==∑∑=-=⋅⋅-∏∏ ，0,1,,ix m = ()()()111ln ln ln ln 1i nnn x mi i i i i L p C x p m x p ====+⋅+-⋅-∑∑∑令() 111ln 111101n n n i i L ii i i d L x m x p x x dp p p mn m ====⋅--⋅=⇒==-∑∑∑ p ∴的最大似然估计量为： 1L p X m=2、（1）()01;2EX xf x dx xdx θθθθ+∞-∞===⎰⎰令11n i i EX X X n ===∑，22X X θθ∴=⇒=2X θ∴= （2）由观测的样本值得：6111(0.30.80.270.350.620.55)0.481766i i x x ===+++++≈∑20.9634x θ∴== 3、由1111122EX X θθθθθ+=⨯+⨯++⨯== 21X θ∴=-为θ的矩估计量 4、设p ：抽得废品的概率；1p -：抽得正品的概率 引入{1, i i X i =第次抽到废品0,第次抽到正品，1,2,,60i =()1i P X p ∴==，()01i P X p ==-，且i EX p =所以对样本1260,,,X X X 的一个观测值1260,,,x x x由矩估计法得，p 的估计值为： 601141606015ii p x ====∑，即这批产品的废品率为1155、()()2212213132EX θθθθθ=⨯+⨯-+⨯-=-，()1412133x =⨯++=EX x = ， 3526x θ-∴==为矩估计值 ()()()()()()()34511223312121i i i L P X x P X x P X x P X x θθθθθθ========⋅⋅-=-∏()()ln ln25ln ln 1L θθθ=++-令() ln 1155016Ld L d θθθθθ=⨯-=⇒=- 6、（1）λ的最大似然估计 LX λ=， ()0LX P X e e λ--∴=== （2）设X ：一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数()~X P λ∴，122n =得样本均值：5011(044142221394452) 1.123122122r r x r s ==⨯⋅=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()1.12300.3253x P X e e --∴====习题6-33、从总体中抽取容量为n 的样本12,,,n X X X 由中心极限定理：()~0,1,/X U N n nμσ-=→∞（1）当2σ已知时，近似得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,X u X u n n αασσ⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭ （2）当2σ未知时，用2σ的无偏点估计2s 代替2σ：~(0,1),/X N n s nμ-→∞于是得到μ的置信度为1α-的置信区间为：22,s s X u X u n n αα⎫⎛-⋅+⋅⎪ ⎝⎭一般要求30n ≥才能使用上述公式，称为大样本区间估计 4、40n = 属于大样本，2,X N n σμ⎫⎛∴⎪ ⎝⎭ 近似μ∴的95%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中642x =，3σ=，40 6.32n =≈，21.96u α=()23642 1.966420.9340x u n ασ⎫⎛⎫⎛∴±⋅=±⨯≈±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故μ的95%的置信区间上限为642.93，下限为641.075、100n =属于大样本，2~,X N n σμ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭近似μ∴的99%的置信区间近似为：2x u n ασ⎫⎛±⋅⎪ ⎝⎭其中10x =，3σ=，100n =，22.58u α=()()2310 2.58100.7749.226,10.774100x u n ασ⎛⎫⎛⎫∴±⋅=±⨯=±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可知最少要准备10.77410000107740()kg ⨯=这种商品，才能以0.99的概率满足要求。
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第六章 数理统计基本概念与抽样分布第一节 数理统计基本概念Page2031、 设总体ξ分布为下述情形（1）(,)B k p ξ；（2）ξ服从参数为λ的指数分布；（3）(,1)N ξμ，14,ξξ为取自总体4n =的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律（或联合密度）。
解答：（1）因(,)B k p ξ，所以{}(1),0,1,l l k l k P l C p p l k ξ-==-=，故样本空间为1414{(,,)|,,0,1,,}X k k k k k ==，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====111444(1)(1)k k k k k k k k k k C p p C p p --=-⋅⋅-，14,,0,1,,k k k =；（2）因()ξπλ，所以{},0,1,!kP k e k k λλξ-===，故样本空间1414{(,,)|0,1,}X k k k k ==，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====141414,,,0,1,!!kke e k k k k λλλλ--=⋅⋅=；（3）因(,1)N ξμ，所以2()()ex p ()2x f x μ-=-()x -∞<<∞，故样本空间1414{(,,)|,,}X k k k k R =∈，2114()(,,)exp()22x f x x μπ-=-⋅⋅24())2x μ--14(,,)x x -∞<<∞。
2、 设样本观察值12,,,n x x x 中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为(1)(2)()k x x x <<<，取(1)(2)(),,,k x x x 得频数分别为12,,k n n n ，1()ki i n n ==∑，显然有样本均值_()11k i i i x n x n ==∑，样本方差_22()11()1k i i i S n x x n ==--∑。
（1） 求证：_222()11[()]1k i i i S n x n x n ==--∑；（2） 有一组25n =的样本观察值，其数据如下，试求_x 、22,s b 。
解答：（1）_22()11()1k i i i S n x x n ==--∑__22()()11(2())1k i i i i n x x x x n ==-⋅+-∑=2()11[1k i i i n x n =-∑ __2()12()]k ki i i i i i x n x x n ==-+∑∑___22()11[2()]1k i i i n x x n x n x n ==-⋅+-∑ _22()11[()]1k i i i n x n x n ==--∑。
（2）_11(8*05*17*33*42*6)285732i i ix n x n =⋅=++++=++++∑∑，_2222222221111[()](8051733426252)1243i i s n x n x n =⋅-=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅-⋅=-∑， _2222112411[()] 3.52253i i n b n x n x s n n -=⋅-==⋅=∑ 3、 设123,,ξξξ为取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ未知但2σ已知。
问下述样本函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？ （1）()123,ξξξ+；（2）()321ii ξμ=-∑；（3）32211i i ξσ=∑；（4）123max(,,)ξξξ；（5）(1)(3)1()2ξξ+；（6）131()ξξσ+。
解答：因统计量是样本的连续函数且不包含任何未知参数。
由题意，μ未知但2σ已知，因此可知除（2）不是统计量外，其余5个都是统计量。
4、 在计算样本均值与样本方差时，常常对数据作线形变换,i i x ay b-=1,2,,i n =，使iy 成为较简单的整数以简化运算，求证：__222x y x b y as b s ⎧⎪=+⎨=⎪⎩。
其中：__1111,n n i i i i x x y y n n ====∑∑，__22221111(),()11n n xi y i i i s x x s y y n n ===-=---∑∑。
解答：因为,i i x a y b-=所以(1,,)i i x a by i n =+=，_1111()n ni i i i x x a by n n ====+∑∑ _11n i i a b y a b y n ==+=+∑；__2221111()(())11n n x i i i i s x x a by a b y n n ===-=+-+--∑∑ 2_21()1n i i b y y n ==--∑。
5、 设某工厂生产轴承，从某天的产品中随机抽取10根，测量直径如下（单位：mm ）：14.6、14.7、15.2、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8、 14.7。
试用原始数据和作变换(14)*10y x =-后的数据分别求_x 和2xs ，并比较哪种方法计算方便。
解答：_1(14.614.715.214.914.815.015.115.214.814.7)14.910x =+++++++++=， 10222222222221(14.614.715.214.914.815.015.115.214.814.7)ii x==+++++++++∑2220.52=，10_22211(10())0.04679xi i s x x ==-⋅=∑。
通过变换(14)*10y x =-，我们可得i y ：6、7、12、9、8、10、11、12、8、7，得_9y =，2 4.67y s =，由上题的公式可知6、 设总体ξ分布为下述情形（1）(,)B k p ξ；（2）()ξπλ；（3）2(,)N ξμσ，1,ξ,nξ为取自总体的样本，_ξ与2S 分别为样本均值与样本方差，试分别求__2(),(),()E D E S ξξ。
解答：有定理6.1及其推论、定理6.2可知：2__22(),(),()E D E S nσξμξσ===。
（1）因(,)B k p ξ，则_(),E k p ξμ==2_(1)()kp pD nn σξ-==，22()(1)E S kp p σ==-；（2）因()ξπλ，则2__22(),(),()E D E S nnσλξμλξσλ======；（3）因2(,)N ξμσ，则2__22(),(),()E D E S nσξμξσ===。
第二节 抽样分布与分位数Page2171、 在正态总体2(52,6)N 中随机抽取一个容量为36的样本，求样本平均值落在50.8和53.8之间的概率？解答：因从正态总体2(52,6)N 中抽取容量为36的样本，由6.2节的推论可知，其样本均值_2(52,6/36)N ξ=(52,1)N ，因此_52(0,1)N ξ-，由此_{50.853.8}P ξ≤≤ _{1.252 1.8}P ξ=-≤-≤=(1.8)( 1.2)0.8599(10.8461)0.706Φ-Φ-=--=2、 设总体2(20,3)N ξ，今从中抽取容量分别为10和15的两个独立样本，试问这两个样本的平均值之差的绝对值大于0.3的概率有多大？解答：由题意，令_ξ表示样本容量为10的样本均值、_η表示样本容量为15的样本均值，且_ξ与_η相互独立。
由6.2节的推论可知，_(20,0.9)N ξ、_(20,0.6)N η，因此由例 3.16可知：__(0,1.5)N ξη-，所以__{||0.3}P ξη->=__2(1{0.3})P ξη--≤2(1=-Φ=0.8065。
3、 设总体(10,3)N ，问样本容量n 取多大时，才能以0.95的概率保证样本平均值与总体期望之差的绝对值不超过0.3？ 解答：因样本均值_(10,3/)N n ξ，即__0.95{||0.3}2{0.3}1P P ξμξμ≤-≤=-≤-，即得：0.975Φ≥ 1.96≥，因n 为整数可得：129n ≥。
4、 已知14,,ξξ是2(0,2)N 的一个样本，令221234(2)(34)a b ηξξξξ=-+-，问,a b 取什么值时，η服从2χ分布？并给出自由度。
解答：因14,,ξξ是2(0,2)N 122)ξξ-344)ξξ-相互独立，且由例3.16可知它们分别服从(0,20)N a 、(0,100)N b ，要使η服从2χ分布，只要122)ξξ-与344)ξξ-均服从标准正态分布，即令0.05,0.01a b ==即可，此时，可知2(2)ηχ。
5、 设总体2(0,0.3)N ξ，从中抽取容量为10的样本，求满足1021{}0.05i i P ξλ=>=∑的最大的λ。
解答：因总体2(0,0.3)N ξ，所以0.3(0,1)N ξ，即从中抽取的容量为10的样本，去我们有10221((10)i ξχ=∑，所以10210.05{}i P ξλ==>∑1021{(/0.3)}0.09i P λξ==>∑查表可知18.3070.09λ=，即 1.64763λ=。
6、 设1,,n ξξ为取自2()m χ总体的样本，求样本均值_ξ的期望与方差。
解答：由定理6.1及其推论知：2__(),()E D nσξμξ==，因1,,n ξξ为取自2()m χ总体的样本，因此(),()2E m D m ξξ==，即__2(),()m E m D nξξ==。
7、 设1,,n ξξ为取自2(0,)N σ总体的样本，令（1）211nii ηξ==∑；（2）2211n i i n ηξ==∑；（3）231n i i ηξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑；（4）2411n i i n ηξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑。
求常数i k ，使i i i k ζη=服从2χ分布。
解答：1,,n ξξ为取自2(0,)N σ总体的样本，所以互相独立，且(0,1)iN ξσ1,,i n =，21(0,)nii N n ξσ=∑(0,1)niN ξ∑。
因此：（1）121k σ=，则2111211nii k ζηξσ===∑221()()ni i n ξχσ==∑；（2）22nk σ=，则2222222111()()nni ii i k n ξζηξχσσ=====∑∑；（3）321k n σ=，则222333211()(1)n i ni i k n ξζηξχσ=⎛⎫ ⎪===⎝⎭∑∑；（4）4k 21σ=，则222444211()(1)n i nii k n ξζηξχσ=⎛⎫ ⎪===⎝⎭∑∑。