“双星”问题及天体的追及相遇问题

“双星”问题及天体的追及相遇问题一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为π的奇数倍。

3、对于天体追及问题的处理思路：(1)根据GMmr2＝mrω2，可判断出谁的角速度大；(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2π的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于π的奇数倍。

在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。

题型一双星规律的应用【例题】2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬X 射线调制望远镜卫星“慧眼”。

“慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国国X 射线探测卫星的空白，实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。

“慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象。

在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为L ，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为T ，引力常量为G ，则双黑洞总质量为（）A. 2324L GT πB. 23243L GT πC. 3224GL T πD. 2324T GLπ 【答案】A【解析】对双黑洞中的任一黑洞：2121122m m G m r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭得22122m G r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 对另一黑洞：2122222m m G m r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭得21222m G r L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 又12r r L +=联立可得：2221122222m m G G r r L L T T ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()()2211222m m G r r L T π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即222M G L L T π⎛⎫= ⎪⎝⎭双黑洞总质量2324L M GTπ=。

故A 项正确。

点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。

【类题训练1】引力波现在终于被人们用实验证实，爱因斯坦的预言成为科学真理．早在70年代有科学家发现高速转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离将（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变D. 可能变大也可能变小 【答案】B【解析】:双星靠相互间的万有引力提供向心力,有:212122m m G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭212222m m G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭计算得出231224r m m GT π+= ,计算得出()23124r T G m m π=+【类题训练2】因为双星的总质量减小,周期减小,可以知道双星间距离在减小. 所以B 选项是正确的.若某双星系统A 和B 各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动。

已知A 星和B 星的质量分别为m 1和m 2，相距为d ，下列说法正确的是（ ）A. A 星的轨道半径为112m d m m +B. A 星和B 星的线速度之比为m 1：m 2C. 若A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m '的星体对它的引力，则()32212'm m m m =+D. 若在O 点放一个质点，它受到的合力一定为零 【答案】C【解析】试题分析：双星系统是一个稳定的结构，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，角速度相等，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解．双星系统中两个星体做圆周运动的周期相同，即角速度相同，过程中，两者之间的引力充当向心力，故22121112222m m Gm r m r d ωω==，又知道12r r d +=，解得2112m r d m m =+，1112m r d m m =+，A 错误；两者的角速度相同，故有1212v v r r =，即112221v r m v r m ==，B 错误；A 星受到的引力为122m mF G d=，放在O 点的星体对其的引力为121''m m F G r =，两者等效，则有121221'm m m m G G d r =，代入2112m r d m m =+可得()32212'm m m m =+，C 正确；若在圆心处放一个质点，合力()20121020122222212210Gm m m m m m mm m F G G r r d m m +⎛⎫=-=-≠ ⎪⎝⎭，D 错误．题型二 追及问题原理的理解【例题】太阳系中某行星运行的轨道半径为0R ，周期为0T ．但科学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔0t 时间发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星，则这颗未知行星运动轨道半径为 ( )A ． 20003)(T t t R R -= B ．Tt tR R -=000C ． 200030)-(t Tt R R = D ．0023T t t R R -=【解析】：由题意可知轨道之所以会偏离那是因为受到某颗星体万有引力的作用相距最近时 万有引力最大偏离程度最大。

设未知行星的周期为T 则：1000=-T t T t 则0000T t T t T -=根据开普勒第三定律232030TR T R =得200030)(T t t R R -=选A【类题训练1】将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径m r 111103.2⨯=，地球的轨道半径为m r 112105.1⨯=，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为 A ．1年B ．2年C ．3年D ．4年【解析】已知地球绕太阳的公转周期为年11=T 设火星的公转周期为2T 根据开普勒第三定律22322131T rT r =得年2)(31212≈=r r T T 又根据 121=-T tT t 化简得年21221≈-=T T T T t 【类题训练2】如图所示，A 、B 为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A 为地球同步卫星，A 、B 卫星的轨道半径的比值为k ，地球自转周期为T 0．某时刻A 、B 两卫星距离达到最近，从该时刻起到A 、B 间距离最远所经历的最短时间为（ ）A.()321k+ B.031k - C.()321k - D.031k +【答案】C【解析】由开普勒第三定律得：3322A BA Br r T T =，设两卫星至少经过时间t 距离最远，即B 比A 多转半圈，12B A B A t t n n T T -=-=，又0A T T =，解得：()321t k =-，故选项C 正确。

点睛：本题主要考查了开普勒第三定律的直接应用，注意只有围绕同一个中心天体运动才可以使用开普勒第三定律。

【类题训练3】如图所示，A 为太阳系中的天王星，它绕太阳O 运行的轨道视为圆时，运动的轨道半径为R 0，周期为T 0，长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔t 0时间发生一次最大偏离，即轨道半径出现一次最大．根据万有引力定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行星(假设其运动轨道与A 在同一平面内，且与A 的绕行方向相同)，它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离，由此可推测未知行星的运动轨道半径是( )A.000t R t T - B. 3000t R t T ⎛⎫ ⎪-⎝⎭20030t T R t ⎛⎫- ⎪⎝⎭20300t R t T ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D【解析】设未知的行星的周期为T ，依题意有：0001t t T T -=，则0000t T T t T -=，根据开普勒第三定律：220022T R T R=，联立解得：20300t R R t T ⎛⎫= ⎪-⎝⎭D 正确，ABC 错误．故选：D 。

【类题训练4】如图建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”。

设某人造地球卫星在赤道上空飞行,卫星的轨道平面与地球赤道重合,飞行高度低于地球同步卫星。

已知卫星轨道半径为r,飞行方向与地球的自转方向相同,设地球的自转角速度为ω0,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方,该卫星过多长时间再次经过这个位置( )23g r R 203g r R ϖ+203g -r R ϖ203g -r Rϖ【答案】D【解析】试题分析：在地球表面重力与万有引力大小相等，根据卫星的轨道半径求得卫星的角速度，所以卫星再次经过这个位置需要最短时间为卫星转动比地球转动多一周，从而求得时间对卫星，万有引力充当向心力，故22Mm G m r rω=，结合黄金替代公式2GM gR =可得卫星的角速度为23gR r ω=所以当卫星再次经过该建筑物上空时，卫星比地球多转动一周，故有()02t ωωπ-=，解得203t gRrω=-D 正确．。