离散复利与连续复利
关于复利率的连续计算方法
《数理统计与管理》1998年第2期关于复利率的连续计算方法——析国内外经管类数学教材中普遍存在的一种方法错误摘要 本文分析了连续复利公式的形成背景，指出国内外经济、管理类数学教材中普遍存在的所谓复利率的连续计算的推导是错误的。
关键词：复利，分期计算，连续计算设初始本金为A 0，年利率为r ，由复利率计算公式，得t 年后的资金总额为t r A t A )1()(0+= （1）按国内外许多书中的讲法]81[-，若一年分m 期计算，每期利率取为m r /，则t 年后资金总额为 m t m m r A t A )/1()(0+= （2）令+∞→m ， 得 t r e A t A 0)(= （3）此即资金总额的连续计算公式，连续的意思是指，一年分无限多次计算，使计息期缩减为零。
分期计算公式（2）的构成是不合理的，从（1）到（2），解决问题的目标有两个：一是实现分期计算；二是力求保持实际年利率仍为 r 。
一年分为m 期，期利率取成m r /，就反映出这种愿望，实现这两个目标，可有下面两种方法。
一种是按单利折算，以我国现行一年期存款为例，一年期存款年利率为0.0567，按单利算法，将月利率说成上年利率的十二分之一，即0、004725。
但这仅是为了人们日常生活中考虑问题方便，执行时，并不以此为标准分月结算存款，相反，由月利率算年利率还必须是单利方法，月利率的十二倍就是年利率。
这样，无论将一年分成多少期考虑，实际年利率总保持不变。
另一种方法就是按复利折算。
将一年分为m 期计算，每期期利率应取为1)1(/1-+=m m r r ， （4）返回来，还用复利率的方法计算资金总额，即用m r 代替（2）中的m r /，所得结果还是（1）式。
这就实现了既分期计算又保持年利率不变的目标。
（2）式的问题在于，分期后的期利率是按单利折算，返回来用的却是复利方法，这样的结果就必然与原来的利率产生矛盾，与人们的初衷相背。
要达到分期计算和年利率r 实际不变这两个目的，在数学知识不普及的古代最容易让人想到和接受的方法就是（2）式。
现金流量及资金的时间价值讲义
• 3.排除沉没成本，计入机会成本 • 4.“有无对比”而不是“前后对比”
2.2 资金时间价值理论
一、资金的时间价值的概念 二、利息和率 三、单利和复利的计算
四、名义利率和有效利率
一、 资金的时间价值
• 引入：投资决策分析时，对于方案在整个计算期内的现 金流量可以求代数和吗？
2、资金时间价值本质：
资金作为生产要素，在扩大再生产及资金流通过程中， 随时间变化而产生的增值。
对于资金提供者而言，资金的时间价值是暂时放弃资 金使用权而获得的补偿；
对于资金使用者而言，资金的时间价值是使用资金获 取的收益中支付给资金提供者的部分，即使用资金应 付的代价。
如果资金使用者使用的是自有资金，资金的时间价值 是该项资金的机会成本。
3）线段的长短与金额成正比，并标明每笔现金流量金 额。
4）箭线与时间轴的交点即为现金流量发生的时点。
注意：回收固定资产残值的流动资金发生在经济寿命期末点。 习惯上，一般投资类现金流量视为发生在各期期初；而销售收入
、经营成本、利润税金则发生在各期期末。
（3）现金流量的三要素
现金流量的三要素: ➢ 大小：现金流量的大小（现金数额） ➢ 方向：流向（现金流入或流出） ➢ 作用点：（现金发生的时间点）
提问：如果其他条件相同，A、B两种方案应该选择哪一个？
以上例题说明： 现金收入与支出的经济效益不仅与资金量的大小有关，
而且与发生的时间有关。 这里隐含着资金具有时间价值的概念。
• 1、资金时间价值的概念： – 资金的时间价值是指资金的价值随时间的推移而发生 价值的增加，增加的那部分价值就是原有资金的时间 价值。
5
一、现金流量
• 1、研究假设：为了分析的方便，我们人为地将整个计算 期分为若干期，通常以一年或一月为一期，并假定现金 的流入流出是在年末/初或月末/初发生的。
连续复利公式范文
连续复利公式范文
A = P × e^(rt)
对于离散复利公式：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中n是复利的次数，nt是时间t内的复利次数。
现在考虑当n趋于无穷大时，我们可以得到：
lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e
其中e是自然对数的底数。
通过这一极限运算，我们可以将离散复利的公式转换为连续复利的公式。
根据连续复利公式，我们可以计算：
然而，需要注意的是，连续复利公式假定了利率在给定的时间段内是恒定的。
在实际情况中，利率可能会有所变化。
因此，连续复利公式只能用作近似计算，而对于具体情况下的复利计算，可能需要考虑更多的因素和数据。
总之，连续复利公式是描述复利计算的一种方法，它通过将复利的时间间隔推至极限来计算本金的增长情况。
它具有高精度和准确的优点，在财务和投资分析中有重要的应用。
然而，在实际应用中，需要注意连续复利公式是基于一些假设条件的，并不适用于所有复利计算的情况。
工程经济学04资金的时间价值与等值计算(改)
息期加以说明，则表示1年计息一次，此时的年利率就
是实际利率。如按月计息情况下，每年计息12次，则
年名义利率为月利率的12倍，而年实际利率应为年利
息与本金之比。
实际计算利息时不用名义利率，而用实际利率。名 义利率只是习惯上的表示方法。如“月利率1%，每 月计息一次”，也可表示为“年利率12%，每月计息
第四章 资金时间价值与等值计算
第一节 资金的时间价值
一、资金的时间价值 二、利息与利率
一、资金的时间价值概念
在日常生活中，将一笔资金存入银行，经过一段
时间后，银行会额外支付一定数额的利息，我们向银
行借贷一笔资金，偿还时，我们还需支付给银行额外
的利息；又如用一笔资金参股投资，当投资项目产品
销售出动后，我们会获得本金，同时也可能获得红
三、资金等值的计算公式
1．公式的符号说明
（1）现值（Present Value）
现值是指资金在某一基准起始点的现金流量，通
常把将来某一时点（或某些时点）的现金流量换算成
某一基准起始点的等值金额为“折现”或“贴现”。
折现后的资金金额便是现值。
➢ 值得注意的是“现值”并非专指一笔资金“现在”
的价值，它是一个相对的概念。如以第 个t时点作
P
200
(1
1 10%)5
200 0.6209 124.18(万元)
即若收益率达到10%，欲保证5年后获利200万 元，现在需投资124.18万元。
• （3）等额分付终值公式
•
等额分付终值公式也称年金终值公式的本利和。即
已知 A、 i 、n ，求 F。其现金流n 量图如图4-5所
《连续复利》课件
管理难度
实施连续复利策略需要投 资者具备一定的投资知识 和经验，以及对市场的敏 感度和判断力。
如何平衡连续复利的优缺点
制定合理的投资目标
投资者应该根据自身的财务状况和需求，制 定合理的投资目标，并确保目标的可实现性
。
分散投资
投资者应该定期评估投资组合的表现，并根 据市场变化和自身需求进行调整，以确保投
资组合与目标保持一致。
定期评估和调整
通过将资金分散投资到不同的资产类别和市 场，可以降低单一资产或市场波动对整体投 资组合的影响。
长期投资观念
连续复利策略强调长期回报，因此投资者应 该树立长期投资观念，避免短期市场波动的 影响。
05
连续复利的前景展望
连续复利的发展趋势
持续创新
随着科技的不断进步，连 续复利技术有望在更多领 域得到应用和创新。
连续复利的特点
连续复利具有时间连续性，即在极短的时间 间隔内，投资的收益会不断累积。
由于连续复利的时间连续性，它能够更好地 反映实际投资过程中收益的累积情况。
连续复利的计算公式与离散复利不同，其计 算公式更为复杂，需要使用微积分等高等数 学知识。
连续复利的应用场景
金融投资
连续复利可以用于计算金融投资的未来价值 ，例如股票、债券、基金等的未来价值。
3
资本资产定价模型（CAPM）
连续复利能够为资本资产定价模型提供更准确的 风险和回报参数，以帮助投资者制定有效的投资 组合策略。
04
连续复利的优缺点分析
连续复利的优点
高回报潜力
连续复利能够带来更高的回报， 尤其是在长期投资中。由于复利 的效应，资金随时间增长的速度
更快。
风险分散
通过将投资分散到多个资产类别或 市场中，连续复利策略有助于降低 投资风险，减少单一资产或市场波 动的影响。
离散复利和连续复利对投资者收益的影响分析
双 月刊
第１ 期
２ ０ １ ３年 １月
ｄ ｏ ｉ ： １ ２ 。 ３ ９ ６ ９ ０ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ １ — ９ １ ４ Ｘ． ２ ０ １ ３ ． Ｏ １ ． ０ ２ ３
离散复利和连续复利对投资者收益的影响分析
王 荣 波
关键词 ： 复利 ； 离散 ； 连续 ； 投 资收益
中图分类号 ： Ｆ ２ ３ ０ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ １ — ９ １ ４ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ １ — ０ ０ ２ ３ — ０ ３
经济 分析 中 ， 常常 要用 数 学 方法 来 分 析经 济 变 量 间 的 关 系 ，也 就 是 先 建 立 变 量 间 的 函 数 关 系 ， 然 后 用相 关 的数学 知识 分 析这些 经 济 函数 的特性 。微 积分 中的重要极 限ｌ ｉ ｍ（ １ ＋ 有 明显的经济意 义 ，
整个借 贷期 内的利息 ， 简 单 来 说 就 是 民 间 俗 称 的
“ 利滚利” 。
设 某 投 资者 以本金 Ｐ元 进 行一 项 投 资 ， 投 资 的 年 利 率为 ｒ （ ｒ ＞ Ｏ ） ， 如 果 以年 为单 位 计算 复利 ， 那么 ｎ
年后 他 的 资金 总额是 多５ ＂ － 呢？ 第 一 年 后 投 资 者 的 资 金 总额 是 Ｐ ｌ ＝ Ｐ 十 １ 十 ｒ ） ； 第 二 年 后 投 资者 的 资金 总额 是 Ｐ ２ ＝ Ｐ ｌ （ １ ＋ ｒ ） ＝ Ｐ
二、 离散 复利 计 算 模 型
设 某投 资 者 以本 金 Ｐ元 进行 一项 投 资 ， 投 资 的 年利率为 ｒ ， 如 果按 下 述不 同的结 算 方式 计 算 复利 ， 那 么 ｎ年后 他 的资 金总额 是 多少 呢 ？
经济数学微积分-极限存在准则两个重要极限
边形面积 所构成数
2、
n
…
10
102 103 104 105
…
…
…
数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列, 由极限存在准则Ⅱ 可知，该数列存在极限，
其极限就是无理数e=2.71828…
推广形式：
为某过程中的无穷大量 为某过程中的无穷小量
例6 解
例7 解
三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算
例1 解
由夹逼定理得
2、单调有界收敛准则
单调增加 单调数列
单调减少
几何解释:
例2 求数列 解
的极限.
由数学归纳法，数列{xn}单调递增. 数列{xn}单调有界
二、两个重要的极限
1、
即
又
当
时，
推广形式：
□为自变量某个变化过程中的无穷小.
例3 求 解 原式= 例4 解
例5 求圆的内接正 列的极限值.
常用等价无穷小:
证明：
例8 解
因此，
例9 解
因此，
例10 解
若分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小替换，而不会改变原式的极限．
例11 解
注意： 不能滥用等价无穷小替换.一般可 对分子或分母中乘积形式作等价无穷小替 换，对于和差形式中各无穷小一般不能分 别替换.
经济数学——微积分
1.7 极限存在准则两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、利用无穷小替换定理计算极限 四、连续复利 五、小结
一、极限存在准则
1、夹逼准则
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则.
连续复利的现值计算公式
连续复利的现值计算公式连续复利的现值计算公式是投资者在对未来投资收益做出预测时必须了解的一种重要计算方式。
它可以帮助投资者预期投资回报的大小，从而作出明智的投资决策。
关于“连续复利的现值计算公式”，需要先介绍两个重要概念复利和现值，这是利用其计算现值所必须掌握及了解的基本概念。
复利是指投资者收到的本金及其相关收益之和。
投资者在投资资金时，通常会得到一定的回报，这些回报可能是收益，也可能是损失。
复利的计算是把本金及其相关收益按照时间来计算的过程。
现值是把未来的收入、支出或者投资的资金以现在的价值来计算的一种金融概念。
现值计算是根据未来的投资回报和当前的投资成本，基于时间价值理论（Time Value of Money），用当前价格计算出一次性投资或者多期投资的价值。
现在，让我们来看看“连续复利的现值计算公式”。
续复利的现值计算公式的一般形式如下：PV=M * (1+r)^t其中，PV表示现值，M表示复利，r表示复利率，t表示投资期限。
根据连续复利的现值计算公式，投资者可以通过改变复利、复利率和投资期限三个变量中的任意一个来预测投资回报。
以张先生为例，他投资了100元，并取得了每年10%的复利。
假设他投资期限为5年，根据连续复利的现值计算公式，其现值为：PV=100*(1+0.1)^5PV=162.88从上述的实例中可以看出，张先生的投资总金额是162.88元，其中本金为100元，收益为62.88元。
此外，连续复利的现值计算公式也可用于对未来的投资收益做预测的时候。
假设张先生现在想预测他投资一年后的投资收益，在这种情况下，张先生可以使用连续复利的现值计算公式，把他的未来一年收益计算出来，即：PV=100*(1+0.1)^1PV=110从上面的实例中可以看出，张先生投资一年后的投资收益是110元，其中本金为100元，收益为10元。
由此可见，连续复利的现值计算公式对投资者而言是十分重要的。
它不仅可以帮助投资者估算投资回报，还可以帮助投资者更好的预测投资收益。