单利、复利和连续复利
第一章(单利与复利)石版学生上课用
（四）名义利率和有效利率的计算
1. 名义利率与实际利率 计息期有时是半年、一季、一月。计息期不同， 同一笔资金在占用时间相等的情况下，利息额有 差异。在计息期与利率的时间单位不一致时，就 出现了名义利率与实际利率的差异。 1）名义利率r “年利率为r，一年计息m次”，称r为名义利率。
（一）利息的计算 1․资金时间价值的概念 在工程经济分析时，不仅要着眼于方案资金 量的大小（资金收入和支出的多少），而且也 要考虑资金发生的时间。资金的价值是随时间 变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移 而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的 时间价值。其实质就是资金作为生产要素，在 扩大再生产和其资金流通过程中，资金随时间 的变化而产生增值。
（4）箭线与时间轴的交点为现金流量发生的 时间单位。 现金流量的三要素：大小、方向、作用点。
现金流量及现金流量图
1000
累 计 现 金 （ 千 元 ） 1251
I
G H
(+)
0 1 2 3
1251
4
O
A F B C E D c）工程项目累计现金流量图 n （年）
a）借方现金流量图 0 1 2 3 4
1000
b）贷方现金流量图
例：在下列关于现金流量图的表述中，错误的 是（ ） A.以横轴为时间轴，零表示时间序列的起点 B.多次支付的箭线与时间轴的交点即为现金 流量发生的时间单位初 C.在箭线上下注明现金流量的数值 D.垂直箭线箭头的方向是对特定的人而言的 答案：B
例 ：多选题 正确绘制现金流量图，必须把握的要素是（ A. 现金数额 B. 现金流量的方向 C. 折现率的大小 D. 现金运动的期间 E. 现金发生的时间点 答案：ABE
2. 多次支付的情形
连续复利公式
定理三：如果债券市场折现率在整个期限内没 有发生变化，则债券的价格折扣或价格升水会 随到期日的接近而减少，或者说其价格日益接 近票面金额。 定理四：如果债券市场折现率在整个期限内没 有发生变化，则附息债券的价格折扣或价格升 水会随到期日的接近而以一个不断增加的比率 减少。（不过对于只有一笔现金流的债券，债 券的价格折扣或价格升水会随到期日的接近而 以一个恒定的比率减少。）
第四章 债券定价
第一节 货币时间价值
一、货币时间价值含义
指按照一定的利率水平，货币经历一定 时间的投资与再投资所增加的价值。 为什么货币有时间价值？存在不同的理 论来解释。 衡量货币时间价值大小的指标是利率， 即单位时间单位货币所得利息的多少， 或单位时间单位货币的增加值的大小。
二、终值及其计算
（5）汇率和国际间利差的变化。 对于开放型的一国金融市场来说，当本国货币 升值时，国外资金会流入本国市场，从而增加 对本币债券的需求，促使债券价格上升；反之， 当本国货币贬值时，国内资金会流出本国市场， 从而减少对本币债券的需求，促使债券价格下 降。 另外，如果不同国家的市场利率有差异，则资 金会流向高利率的国家和地区，这样也会导致 国内债券市场供求发生变化。
2、影响债券价格的内部因素 （1）税收待遇。 （2）流动性。 （3）信用等级。 （4）提前赎回条款。
二、债券定价定理
定理一：如果一种债券的票面利率和折 现率一样，则债券的价格将等于票面金 额。 定理二：如果市场的折现率下降，债券 的价格就会上涨；如果市场的折现率上 升，债券的价格就会下跌。
（二）含权债券定价原理 含权债券可以看成是普通债券与期权的结合。 一个发行人可赎回债券的价格包含两种价值： 一是假设该债券为不含期权债券的价值，二是 可赎回期权价值。Pc=P-c 投资人可回售债券的价格也包含了两种价值： 一是假设该债券为不含期权债券的价值，二是 可回售期权价值。 Pp=P+p
资金的时间价值复利计算
计算方式
单利的计算公式为 P * r * n ，其中 P 是本金，r 是年利率 ，n 是时间（年）。复利的计
算公式为 (1 + r)^n，其中 r 是年利率，n 是时间（年）。
利息增长
单利的利息是固定的，而复 利的利息会随着时间的推移 而增加。
复利计息方式
01
年度复利
每年计算一次复利，适合长期投资 。
月度复利
每月计算一次复利，适合短期投资 。
03
02
半年度复利
每半年计算一次复利，适合中短期 投资。
日度复利
每日计算一次复利，适合超短期投 资。
04
复利计中，复利计息的收益会远远超过单利计息 。
时间价值
资金的时间价值是复利计息的核心，时间越长，复利 计息的收益越高。
利率影响
利率的高低对复利计息的收益有较大影响，利率越高 ，收益越大。
PART 03
复利计算公式
REPORTING
简单复利计算公式
总结词
简单复利计算公式适用于单期复利的 情况，即本金在期末一次性获得利息 。
详细描述
简单复利计算公式为： FV=P×(1+r)^n，其中FV表示未来值 ，P表示本金，r表示年利率，n表示投 资期限（年）。
02
资金的时间价值反映了资金在不 同时间点上的等价关系，是评估 投资项目经济效益的重要依据。
影响因素
投资收益率
风险水平
投资收益率越高，资金的时间价值越 大。
风险水平越高，资金的时间价值越大 。
时间跨度
时间跨度越长，资金的时间价值越大 。
时间价值的重要性
投资决策
资金的时间价值对于投资决策具 有重要意义，投资者需要根据不 同时间点的资金价值进行比较和 评估。
利息理论第一章——利息度量
n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365， 利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)
技术经济学2：资金等值计算
r = (1+ r1)(1+ r2)(1+ r3) –1 ≈ r1 + r2 + r3
21:39:56
技术经济学
32-5
第二章 资金的时间价值与资金等值
§2 利息与利率
资金时间价值的计算与银行利息的计算相同，下面简单 回顾一下其计算。
现金流入 (CIt)
012
……
3 4 5 …… n-1 n
21:39:56
现金流出 (COt)
图2-1 现金流量图
技术经济学
时间(t)(年）
32-15
二、资金等值
第二章 资金的时间价值与资金等值
利用资金时间价值的概念，为不同时点上不同数量的 现金流量的比较提供了重要的理论基础，即资金等值。
资金等值是指在考虑时间因素的情况下，不同时点发生 的绝对值不等的资金可能具有相同的价值（即效用相同）。
32-17
第二章 资金的时间价值与资金等值
偿还方案 年数
3.一次还 1 本付息法 2
3
4
5
∑
4.等额支 1
付法
2
3
4
5
∑
年初所欠 金额
30000 31800 33708 35730.48 37874.31
30000 24678 19036.7 13056.9 6718.3
年利息额 年终所欠金 偿还本 年终付款总
名义利率 实际利率 r（%） i (%)
12.000
半年
2
6.000
12.360
季
4
月
12
周
52
3.000 1.000 0.2308
易纲《货币银行学》【复习笔记+课后习题详解+考研真题与典型题详解】(利率的计算)【圣才出品】
第三章 利率的计算3.1 复习笔记一、利率的分类1. 年利、月利和日利按计算利息的时间长短，可以将利率分为年利、月利和日利。
（1）年利是以年为时间单位计算利息，通常以百分之几计算；（2）月利是以月为时间单位计算利息，通常以千分之几计算；（3）日利是以天为时间单位计算利率，习惯叫“拆息”，通常以万分之几计算。
（4）年利率与月利率之间的换算关系是：月利乘12为年利率；年利除以12为月利。
2. 固定利率与浮动利率（1）固定利率是指在整个借贷期限内，利率不随借贷供求状况而变动的利率，它适用于短期借贷。
（2）浮动利率是指在借贷期限内随市场利率的变化而定期调整的利率，它适用于借贷时期较长，市场利率多变的借贷关系。
3. 市场利率与官方利率市场利率是指由货币资金的供求关系决定的利率，货币供大于求，市场利率下跌，货币求大于供，市场利率上升。
（1）市场利率是不受限制的利率，其水平高低由市场供求的均衡点决定。
（2）官方利率是由政府金融管理部门或者中央银行确定的利率，是国家手中为了实现宏观调节目标的一种政策手段。
以时间长短为标准，可以将利率划分为短期利率与长期利率。
短期利率一般指借贷时间在一年以内的利率；长期利率一般指借贷时间在一年以上的利率。
利率的高低与期限长短、风险大小有着直接的联系。
5. 名义利率和实际利率在经济活动中，区别名义利率和实际利率，至关重要。
是赔是赚不能看名义利率，而要看实际利率。
实际利率有两种，一种是事后的实际利率，它等于名义利率减七实际发生的通货膨胀率；一种是事前的实际利率，它等于名义利率减去预期的通货膨胀率。
二、复利与终值1. 单利与复利单利和复利是两种不同的计息方法。
单利是指以本金为基数计算利息，所生利息不再加入本金计算下期利息。
单利的计算公式为：J表示利息额，P表示本金，r表示利率，n表示时间，S表示本金与利息之和。
在现实中，更有意义的往往是复利。
复利也称利滚利，计算时，要将每一期的利息加入本金一并计算下一期的利息。
连续复利终值
玫瑰花事件的思考上海市曹杨中学顾慧珠一、问题背景：拿破伦玫瑰花事件1797年3月，法兰西总统拿破仑在卢森堡第一国立小学演讲时，潇洒地把一束价值3路易的玫瑰花送给该校的校长，并且说了这样一番话：“为了答谢贵校对我、尤其是对我夫人约瑟芬的盛情款待，我不仅今天呈献上一束玫瑰花，并且在未来的日子里，只要我们法兰西存在一天，每年的今天我都将派人送给贵校一束价值相等的玫瑰花，作为法兰西与卢森堡友谊的象征。
”从此卢森堡这个小国即对这“欧洲巨人与卢森堡孩子亲切、和谐相处的一刻”念念不忘，并载之入史册。
后来，拿破仑穷于应付连绵的战争和此起彼伏的政治事件，并最终因失败而被流放到圣赫勒那岛，自然也把对卢森堡的承诺忘得一干二净。
谁都不曾料到，1984年底，卢森堡人竟旧事重提，向法国政府提出这“赠送玫瑰花”的诺言，并且要求索赔。
他们要求法国政府：一、要么从1798年起，用3个路易作为一束玫瑰花的本金，以5厘复利计息全部清偿；二、要么在法国各大报刊上公开承认拿破仑是个言而无信的小人。
法国政府当然不想有损拿破仑的声誉，但电脑算出来的数字让他们惊呆了：原本3路易的许诺，至今本息已高达1375596法郎。
最后，法国政府通过冥思苦想，才找到一个使卢森堡比较满意的答复，即：“以后无论在精神上还是在物质上，法国将始终不渝地对卢森堡大公国的中小学教育事业予以支持与赞助，来兑现我们的拿破仑将军那一诺千金的玫瑰花信誓。
”为什么1798年的3路易到1984年就成了1375596法郎？二、问题提出：在普通复利计算中，所给定或采用的利率一般都是年利率，即利率的时间单位是年，而且在不特别指明时，计算利息的计息周期也是以年为单位，即一年计息一次。
在实际工作中，所给定的利率虽然还是年利率,由于计息周期可能是比年还短的时间单位，比如计息周期可以是半年、一个季度、一个月、一周或者为一天等等，因此一年内的计息次数就相应为2次、4次、12次、52次、或365次等等。
复利法的概念
复利法的概念
复利法则表示的是投资本金翻番的时间。
复利法则又称为72定律，具体以投资人投资项目的投资款翻一番所需花费的时间正好是72除以年度回报率。
知识拓展：
复利和单利的区别主要体现在:
1、计息方式不同。
复利是在计算利息时，某一计息周期的利息是由本金加上先前周期所积累利息总额来计算的计息方式，也就是通常所说的"利滚利”。
单利是无论一笔资金存期多长，只有本金计取利息，而以前各期利息在下一个利息周期内不计算利息。
2、利息计算结果不同。
同样的利率水平，同样的本金，用单利和复利计算利息的结果中，复利由于在计算利息时，加上了先前周期积累的利息，因此最终利息会高于单利的利息。
米什金《货币金融学》【教材精讲】(理解利率)【圣才出品】
第4章理解利率4.1 本章要点●利率（interest rate）是借款的成本或为借入资金支付的价格，由于使用资金是有成本的，所以货币具有时间价值，不同时期收到的等额货币具有不同的价值；将来收到的资金折算成今天的价值，叫现值；今天收到的资金将来的价值叫终值。
●信用市场工具大致包括普通贷款、固定支付贷款、息票债券、贴现债券。
●债券的现价与利率是负相关的，当市场利率上升时，债券价格下跌，当市场利率下降时，债券价格上升。
债务工具的到期收益率是使未来支付的现值与债券当前价值相等的利率。
●由于市场利率的波动，债券的价格也会随之波动，回报率是债券的利息收入与债券价值变动之和占债券购买价格的比率。
只有持有期与到期期限一致的债券的回报率才与最初的到期收益率相等。
●名义利率是未调整通货膨胀因素的利率，实际利率是是指剔除通货膨胀率后的真实利率。
费雪方程式表明，名义利率等于实际利率加上预期的通货膨胀率。
4.2 重难点导学一、利率的计算将来收到的1美元不如现在收入的1美元值钱，我们称之为货币的时间价值。
1.终值：终值：现在的1美元，在将来某个时点的价值。
单利、复利和连续复利单利：以首期的本金为基数计算的各期利息P t＝P0（1＋r×t）复利：在每期届满时，将应得利息加入本金再计息的方式P t＝P0（1＋r）t连续复利：P t＝P0 ×e r n2.现值现值（present value）将来支付的现在的价值。
3年后的133美元，即$100×（1+i）3相当于今天的100美元，即如果利率为15％，2年后的250美元的现值是多少?假定你购买纽约州政府彩票获得2000万美元的头奖，这意味着你将在未来的20年中每年获得100万美元。
你赢了多少钱？是2000万美元?二、四种类型的信用市场工具根据偿付时间安排的不同，信用市场工具可以分为四种基本类型。
1．普通贷款（simple loan）。
贷款人向借款人提供一定数量的资金，借款人必须在到期向贷款人归还本金，并支付额外的利息。
复利-完全攻略篇
复利-完全攻略篇日期：2009-06-11 想彻底了解复利的读者，一定得详加阅读，本篇对复利有精辟的解说，让你完全了解复利的意义及其计算方式。
单利了解复利之前一定得先知道单利是什么，因为单利与复利之间有着密不可分的关系。
复利一定有付息期间，也就是在当期的最后一天，才将利息加到本金上，在期间内所产生的利息均是以单利计算。
例如「每月」付息一次的复利，只有在每月的最后一天才以「单利」算出利息，然后再将此利息加上期初的本金，做为下一期计息的本金。
这样的复利也称作月复利。
同样道理，若每季计息一次，就称作季复利，意思是当季内产生的利息都是以「单利」计算。
单利的意义：不论付息期间是多久，所兹生的利息均不会加入本金再循环计息，也就是说计息的本金从期初到期末都是一样的。
这样单利公式就变得很简单：设期初本金为PV，名目利率为Rn，期间为"t" 年，所以一年会产生的利息金额就是PV* Rn，再乘上期间"t"，就是单利的公式了：利息= PV*Rn*t期末终值(FV)= PV + 利息= PV + PV*Rn*t= PV*(1+Rn*t) ---------公式(1)Rn为名目年利率，t 为年数，不足一年以小数或分数表示。
例如一季就是(t=1/4)，Rn*t 等于Rn/4。
依此类推一个月(t = 1/12)，一日(t=1/365)，半年(t=1/2)。
上图是100元随着时间(单位：年)以单利成长，可以看出不论时间多长、利率多少，终值或未来值都是以直线上升。
例一：张三跟朋友借款100万元，约定利息以年利率6%『单利』计算，3年后还款。
请问3年后张三必须归还朋友本金及利息总共多少钱？本金(PV) = 1,000,000年利率(Rn) = 6%年数(t) = 3期末终值(本利和)= 1000000*(1+6%*3)= 1,180,000例二：李四跟朋友借款10万元，约定利息以年利率10%『单利』计算，借款3个月，请问期末李四必须偿还朋友多少钱？本金(PV) = 100,000年利率(Rn) = 10%年数(t) = 3/12期末终值(本利和)=100000*(1+10%*(3/12)) = 102,500Excel档案下载这里提供一个Excel档案供读者下载，里面共有四张工作表，都是本篇会用到之试算，分别为：•单利•复利•复利次数之影响•实质利率复利单利的计息方式对贷款者(出借方)似乎不是很公平，因为利息必须等到期末才拿得回来。