petri网的基本概念
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Petri网
迁移的使能条件：
对于Petri网N={P,T,F,K,W,M}，如果：
(∀p1)p1∈.t=>M(p1)≧W(p1,t)且 (∀p2)p2∈t.=>K(p2)≧M(p2)+W(t,p2)
则称t在M下使能，记为M[T>。
迁移的引发规则：
对于，如果∀p∈P，M'(P)可通过下式计算：M'(p)=
Petri网是一种适合于并发、异步、分布式软件系统规格与分析的形式 化方法。
Petri网分为位置/迁移Petri网和高级Petri网。
高级Petri网包括：谓词/迁移Petri网、有色Petri网、计时Petri网等。
位置/迁移Petri网
基本定义
Petri网结构——三元组结构N={P,T,F},其中：
前集和后集：
对于一个Petri网结构N={P,T,F}，设x=(PUT), 令：
.x={y|∃y:(y,x)∈F} x.={y|∃y:(x,y)∈F} 称.x为x的前集或输入集 x.为x的后集或输出集。
子网结构：
对于N1={P1,T1,F1},N2={P2,T2,F2},如果：
P1⊆P2;
M(p)-W(p,t),
若p∈.t-t.
M(p)+W(t,p),
若p∈t.-.t
M(p)-W(p,t)+W(t,p),
若p∈t.∩.t
M(p)
若p∉t.U.t
例子：
如下所示Petri网，令牌的变化可能存在3种方式： 对于图(a)，t1和 t2是使能的。
引发t1
注：给定Petri网初始
活性(续)：
放宽对活性的限制，Petri网迁移t的活性成分如下5级：
第七章Petri网基础
18
§7.2.1 共享资源模型6
p active1
p active 2
t request 1
prequesting 1
trequest2 pidle
p requesting 2
t start 1
pacces sin g 1
t start 2
pacces sin g 2 pbusy
事件之间的同步距离(synchronic distance)
公平性(fairness)
4
§7.1 Petri 网发展概述5
Petri网模型的主要分析方法依赖于： 可达树(reachability tree) 关联矩阵和状态方程(incidence matrix and state equation) 不变量(invariants) 分析化简规则 Petri网的的纵向扩展： 条件/事件(C/E)网
PetriNets-owner@daimi.au.dk]] PetriNets-request@daimi.au.dk]]
[[World Wide Web URL:
http://www.daimi.au.dk/PetriNets/pnl/]]
[[Read before posting:http://www.daimi.au.dk/PetriNets/pnl/faq.html]]
9
§7.2 Petri网模型简介1
直观理解什么是Petri网，它们如何应用。 一个PN的结构元素包括： 位置(place)：描述可能的系统局部状态(条件或状 况)，例如，队列、缓冲、资源等。 变迁(transition)：描述修改系统状态的事件、动 作，例如，信息处理、发送、资源的存取等。 弧(arc)：使用两种方法规定局部状态和事件之间 的关系：引述事件能够发生的局部条件状态；由 事件所引发的局部状态的转换。
Petri网详细介绍与学习
随着技术的发展，Petri网模型也在不断演进和扩展，出 现了许多高级Petri网模型，如有色Petri网、时间Petri网 、概率Petri网等。这些模型在处理复杂系统方面具有更 强的表达能力和灵活性。
模型改进
针对传统Petri网的不足，研究者们不断尝试对其进行改 进和优化，以提高其适用性和性能。例如，通过引入新 的元素或规则，改进Petri网的表达能力；优化Petri网的 推理算法，提高其推理速度等。
有界性、安全性与死锁
01
03
有界性
Petri网中的每个库所至多 包含有限个标记，且每个 变迁最多可以消耗和产生 有限个标记。
安全性
Petri网中不存在死锁状态 ，即对于任意一个状态， 总存在一个后继状态。
死锁
当Petri网中存在一个状态 ，从该状态无法通过任何 变迁到达其他状态时，称 该状态为死锁状态。
Petri网与其他建模方法的融合
融合方法
为了更好地描述和分析复杂系统，研究者们尝试将 Petri网与其他建模方法进行融合。例如，将Petri网与 流程图、状态图等图形化建模方法相结合，可以更直 观地描述系统的结构和行为。
融合优势
通过融合不同的建模方法，可以取长补短，提高对复 杂系统的描述和分析能力。同时，这种融合也有助于 推动不同领域之间的交叉和融合，促进多学科研究的 开展。
实例分析学习
案例分析
分析不同类型Petri网的特点和适用场景，如同步Petri 网、时间Petri网和有色Petri网等。
通过学习经典的Petri网实例，深入理解Petri网的实际 应用和建模技巧。
对比不同Petri网实例的建模效果，提高对Petri网的实 际操作能力和应用水平。
实践应用学习
模型改进
针对传统Petri网的不足，研究者们不断尝试对其进行改 进和优化，以提高其适用性和性能。例如，通过引入新 的元素或规则，改进Petri网的表达能力；优化Petri网的 推理算法，提高其推理速度等。
有界性、安全性与死锁
01
03
有界性
Petri网中的每个库所至多 包含有限个标记，且每个 变迁最多可以消耗和产生 有限个标记。
安全性
Petri网中不存在死锁状态 ，即对于任意一个状态， 总存在一个后继状态。
死锁
当Petri网中存在一个状态 ，从该状态无法通过任何 变迁到达其他状态时，称 该状态为死锁状态。
Petri网与其他建模方法的融合
融合方法
为了更好地描述和分析复杂系统，研究者们尝试将 Petri网与其他建模方法进行融合。例如，将Petri网与 流程图、状态图等图形化建模方法相结合，可以更直 观地描述系统的结构和行为。
融合优势
通过融合不同的建模方法，可以取长补短，提高对复 杂系统的描述和分析能力。同时，这种融合也有助于 推动不同领域之间的交叉和融合，促进多学科研究的 开展。
实例分析学习
案例分析
分析不同类型Petri网的特点和适用场景，如同步Petri 网、时间Petri网和有色Petri网等。
通过学习经典的Petri网实例，深入理解Petri网的实际 应用和建模技巧。
对比不同Petri网实例的建模效果，提高对Petri网的实 际操作能力和应用水平。
实践应用学习
Petri网基本概念及介绍
Petri网基本性能
• 有界性 通常，库所表示制造系统中的工件、工具、 托盘以及AGV的存放，还用于表示资源的可 利用情况，有界性是检查被Petri所描述的系 统是否存在溢出的有效尺度，防止确保不 会重复启动某一正在进行的操作。
Petri网基本性能
• 活性 • 对于一个变迁T，在任意标识m下，若存在 某一变迁序列Sr,该变迁序列的激发使得此 变迁T使能，责成该变迁是活的（Live）
Petri网基本概念及介绍
201512145
Petri网基本概念
• Petri网是一种网状模型，包括事件和条件两 个节点类型，在这样的图形中，分布着表 示状态资源或信息的托肯(Token)，按照触 发规则进行状态的演化，从而反映系统运 行的全部过程。事件一般用“变迁”表示， 条件用“库所”表示，托肯用库所内的小 黑点表示，库所和变迁之间用有向弧连接。
Petri网基本性能
• 可达性具体应用：
①系统按照一定轨迹运行，系统能否实现一 定状态，典型问题是生产调度计划的验证；
②要求达到一定状态，如何确定系统运行轨 迹； 第一个问题可描述为：给定Sr初始标识以及 期望达到标识Mr，验证之；
给定m0和mr,寻找sr使得m0[Sr>mr.
Petri网基本性能
• 有界性 有界性反映系统运行过程中对资源变量的 需求，它意味着，Petri网艺在其所有可能的 状态标识下，网的各位置节点中的托肯数 必为有界的。在理论分析时常可假定位置 容量为无穷，但在实际系统设计中，必须 使网络中的每个位置在任何状态下的标志 数小于位置的容量，这样才能保证系统的 正常运行，不至于产生溢出现象。
这是一个状态机
Petri网基本概念
Petri网基本概念
T2、T3 并发并且该网为一个标记图
Petri网的应用
经典Petri网
注意！ 有向弧是有方向的 两个库所或变迁之间不允许有弧 库所可以拥有任意数量的令牌 有两个变迁都被允许的可能，但是一次只能发生一个变迁
Petri网的定义
定义2.1 PN的结构是由4要元描述的一有向图： PNS=（P，T，I，O） 此处： （1）P={p1，…，pn}是库所的有限集合，n>0为库所的个数； （2）T={t1，…，tm}是变迁的有限集合，m>0为库所的个数； P∩Ｔ=⊙（空集） （3）I：P×T→N是输入函数，它定义了从P到T的有向弧的重复数或权 （Weight）的集合，这里N={0，1…}为非负整数集； （4）O：T×P→N是输出函数，它定义了从T到P的有向弧的重复数或权的集 合。
4.可逆性和主宿状态(Reversibility and homestate)。 可逆性表明了一个物理系统可以由当前状态返回到初始状态。在自动制 造系统中常用于系统故障的修复以使系统从故障状态回到初始状态。 如果对于任意的M∈R(M0),M′是从M可达的,就称M′为主宿状态。这种情 况对应于一个实际的物理系统可以从当前某个状态返回到一个指定状态, 而不是初始状态。 5.可覆盖性(Coverability)。如果对于M∈R(M0)和M′∈R(M0)有 M′(p)≥M(p)，就称M是可覆盖的。
Petri网的运行规则
在PN中，我们以变迁t表示一事件，用变迁的使能（enabling）表示事 件因前提条件得以满足而能够发生。我们还用t的输入库所（通过指向t 的弧连接的库所）表示该事件的发生所需要的前提局部状态，用由输入 库所至t的输入函数定义这些要求局部前提状态实现的次数，而局部状 态的实现情况由库所中所包含的令牌（token）数目来表示。
2.有界性(Boundedness)和安全性（safty）。 在一个Petri网中的每一个位置中,令牌数不超过一个有限整数k,即 p∈P, M(p)≤k，称Petri网是k有界的,k=1时称为安全的。 通常，库所用于表示制造系统中的工件、工具、托盘以及AGV的存放区， 还用于表示资源的可利用情况。确认这些存放区是否溢出或资源的容量 是否溢出是非常重要的。PN的有界性是检验被描述的系统是否存在溢出 的有效尺度。
Petri网基本概念和分析方法
(b) t1, t2 是并发的, 且若 t2 在 t1 前点火,
则 t1 与 t3 冲突.
图 1.5. 对称与非对称
Petri 网的可达图是其可能状态和使能迁移关系的图表示.
(a) 一个 Petri 网
(b) 上述网的可达图 图 1.6. 可达图
3
北京师范大学信息科学学院
知识工程研究中心
二. Petri 网的行为
M(p) § M £(p). 对一个迁移 t, 用 Mt 记可以使能的最小状态. 定理. Petri 网(N, M0)中的迁移 t 是 L1-活性的 ‹ Mt 是可覆盖的.
5
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2.6 持续性 Petri 网(N, M)称为持续的, 如果(N, M)中任何两个使能迁移 t1, t2, t1 的点火不 会改变 t2 的使能性. 例如, 所有标记图都是持续的, 但持续的网不一定都是标记图.
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Petri 网: 基本概念和分析方法
记号: N = {0, 1, 2, … }, N+ = {0, 1, 2, … }.
一. 基本概念
一个 Petri 网由五个部分组成 PN = (P, T, F, W, M0), 其中: P 是位置(place)的有限集合; T 是迁移(transition)的有限集合; P … T = «, P » T ∫ «; F Œ (P ä T) » (P ä T)是有向弧的集合; w : F ö N+是弧的权函数; M0 : P ö N 是初始标记(初始状态). 注. 不带初始状态的 Petri 网记为 N = (P, T, F, W), 带有初始状态 M0 的 Petri 网则记为(N, M0). 若 PN 是一个 Petri 网, 则映射 M : P ö N 称为一个状态. 对 p œ P, 若 M(p) = k, 则称位置 p 标记有 k 个符号(token).
Petri网学习报告
Petri 网的基本理论1. 基本定义定义1.1 一个Petri 网（结构）N 是一个四元组),,,(W F T P ，P 和T 分别成为库所和变迁的集合，P 和T 非空、有限且不相交。
即φφφ≠≠T ,≠T P P ,。
φ≠⨯⨯⊆)()(P T T P F 称为流关系或有向弧的集合。
N →⨯⨯)()(:P T T P W 是一个映射，该映射为每一条弧分配一个权值，即若,F f ∈0)(>f W 若F f ∉，0)(=f W 。
称W 为Petri 网N 的权函数。
从图论上讲，Petri 网是一种双枝有向图，库所和变迁成为Petri 网的节点。
用图形表示Petri 网时，库所用圆圈表示，变迁用矩形或杠表示。
库所和变迁之间用有向弧连接，同一类型的节点间不能用有向弧连接。
定义1.2 若1)(,=∈∀f W F f ，Petri 网),,,(W F T P N =成为普通网。
否则N 称为一般网。
一个普通网可记作),,(F T P N =。
定义1.3 若1),(,),(=∈∀t p W F t p ，Petri 网称为PT-普通网。
定义1.4 Petri 网),,,(W F T P N =的标识M 是一个从P 到N 的映射。
),(0M N 称为网系统或标识网，0M 称为N 的初始标识。
在不引起混淆的情况下，简单称),(0M N 为Petri 网，),(0M N 有时也写成),,,,(0M W F T P 。
库所中的标识用称之为托肯的小黑点表示。
当托肯数较多时直接用数字表示。
定义1.5 令P p ∈是Petri 网),,,(W F T P N =的库所。
当且仅当0)(>p M 时称p 在M 下是被标记的。
当且仅当D 中至少有一个库所被标记时，称库所集P D ⊆在M 下是被标记的。
称∑∈=D p p M D M )()(为库所子集D 在M 下的托肯总和。
定义 1.6 令T P x ∈是Petri 网),,,(W F T P N =的节点。
第二章Petri网的基本概念及性质
活性
Petri网活性（Liveness）概念的提出源于对实际系统运行中是否会出现死锁的探索 的需要。
定义2.6. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识，tT。如果对任意 M R(M0)，都存在M’ R(M)，使得M’[t>，则称变迁t为活的。 如果每个 tT 都是活的，则称PN为活的Petri网。
有界性和安全性
定义2.4. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, pP。若存在正整数 B, 使得 M R(M0): M(p)B, 则称库所p为有界的(bounded)。 并称满足此条件的最小正整数B为库所p的界，记为B(p)。即 B(p)=min{B| M R(M0): M(p)B} 当B(p)=1时，称库所p为安全的（safe）。
（1） M0 R(M0)； （2）若M R(M0)，且存在tT，使得M[t>M’，
则M’ R(M0)
可达性
定理2.1. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网， M0为初始标识。则：
(1) 对任意M R(M0)，都有R(M) R(M0) ； (2) 对任意M1 , M2 R(M0)， R(M1)= R(M2)当且
(2.1)
从M可达的一切标识的集合记为R(M)，约定M R(M)
如果记变迁序列t1, t2, t3,,tk为，则(2.1)式也可记为M [ >Mk
可达性
设初始标识M0表示系统的初始状态，R(M0)给 出系统运行过程中可能出现的全部状态的集合。
定义2.2. 设PN=(P,T;F, M0)为一个Petri网, M0为初始标识。PN的可达标识集R(M0)定义为 满足下面两条件的最小集合：
t3
t5
(0, 0, 0, 1, 0)
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一个自由选择网（free-choice net ）。 （6 ）若? t1,t2 ? T (t 1 ≠ t2), ?t1 ? ?t2≠Φ → ?t1=?t2，则称N 为一个扩充
的自由选择网（extended free-choice net ）。
网与网系统
? 定义1.4. 四元组PN=(P,T;F,M 0) 称作Petri 网（网系统）当且仅当
第一部分 Petri网的基本概念
提纲
? 网与网系统 ? 库所/ 变迁系统与加权Petri 网 ? 并发与冲突
网与网系统
? Petri 网是一种网状信息流模型，包括库所和变迁两类节点，同时在 库所集上添加表示状态信息的托肯分布（标识）
? 库所表示条件、资源、等待队列和信道等 ? 变迁表示事件、动作、语句执行和消息发送/ 接受等 ? 一个变迁（事件）有一定数量的输入和输出库所，分别代表事件的前置
（4） M: P →{0,1,2, ? }是一个标识，满足??p ? P ：M(p) ?K(p) 其中，M 0是初始标识；
（5 ）引发规则：
M[t> （5.1）对于t ? T，
的引发条件
H2
? p ? ?t : M ( p) ? W( p, t)
?
? p ? t? ? ?t : M ( p) ? W(t, p) ? K( p)
单网（simple net ）。 （3 ）若?? p? P ，| ?p|=|p ?|=1 ，则称N 为一个T- 图（T-Graph ）或标
识图（marked graph ）。 （4 ）若?? t? T，| ?t|=|t ?|=1 ，则称N 为一个S-图（S-Graph ）或状态
机（state machine ）。 （5 ）若? t1,t2 ? T (t 1 ≠ t2), ?t1 ? ?t2≠Φ → | ?t1|=| ?t2|=1 ，则称N 为
有
?M ( p) ? 1
M ?(
p)
?
? ?M(
p)
?
1
??M ( p)
当 p ? ?t ? t ? 当 p ? t ? ? ?t 否则
网与网系统
p1
c1
t1
t3
B p2
t2
c2 t4
M01={1,0,0}
M02={0,1,0}
p1 t1
p2 t2
p3
p1 t1
p2 t2
p3
一个网系统的全部可能的运行情况由它的基网 N和初始标识M0完全确定。 因此，给出了基网和初始标识，也就唯一确定了一个网系统
一个库所的外延是变迁集 T的一个子集 一个变迁的外延是库所集 P的一个子集
网与网系统
p1
t1
B p2
t2
c1 t3
c2 t4
例：网N1=(P1,T1;F1)，其中
?t2 = {p 2}
t
? 2
=
{p
1,
B}
网与网系统
? 定义1.3. 设N=(P,T;F) 为一个网
（1 ）若对?? x? P ? T， ?x ? x?=Φ ，则称N为一个纯网（pure net ）。 （2 ）若对?? x, y ? P ? T，( ?x= ?y) ? (x ? =y ?) →x=y ，则称N 为一个简
? ?
Байду номын сангаас
M[t>M', ? p?
（5.2 ）若
t??
?t
: M ( p) ? W(t, 对p? P ，有
p) ?
W( p,t)
?
K
(
p)
? ?
2t
H2O
2
? M ( p) ? W( p, t) 当 p ? ?t ? t ?
M ?( p) ?
? ?
M
(
p)
?
W
(t
,
? ?
M
(
p)
?
W
(t
,
p) 当 p ? t ? ? ?t p) ? W( p,t) 当
网与网系统
? 定义1.2. 设N=(P,T;F) 为一个网，对?? x? P ? T，令 ?x = {y | y ? P ? T ? (y, x) ? F} x? = {y | y ? P ? T ? (x, y) ? F}
称?x为x 的前集或输入集， x?为x的后集或输出集。称?x ? x? 为元素x的外延。
网与网系统
? 定义1.1. 三元组N=(P,T;F) 称作网当且仅当： （1） P ? T≠Φ , P ? T=Φ ; （2） F? (P ?T) ? (T ? P); （3）dom(F) ? cod(F)=P ? T 其中， dom(F)={x ? P ? T | ? y? P ? T: (x, y) ? F} cod(F) ={x ? P ? T | ? y? P ? T: (y, x) ? F} 这里， P 表示库所（Place ）集合 T表示变迁（Transition ）集合 F是网的流关系（Flow ）
p?
t ??
?t
?? M ( p) 否则
条件和后置条件 ? 库所中的托肯代表可以使用的资源数量或数据
? Petri 网按引发规则使得事件驱动状态的演变，从而反映系统动态运 行过程
网与网系统
p1
t1
B p2
t2
c1 t3
c2 t4
例：网N1=(P1,T1; F1)，其中 P1 = {p 1, p2, c1, c2, B} T1={t 1, t2, t3, t4} F1={(p 1, t1),(t1, p2), ? }
提纲
? 网与网系统 ? 库所/ 变迁系统与加权Petri 网 ? 并发与冲突
库所/变迁系统与加权 Petri网
? 库所/ 变迁系统（简称P/T 系统）是在定义 1.4 的Petri 网基础上增加两个函数得到的
? 库所集上的容量函数 ? 有向边上的权函数
? 增加这两个函数的目的是使得对某些实际 系统建模显得方便
（1 ） N=(P,T;F) 为一个网；
（2 ）映射 M:P →{0,1,2, ? }( 非负整数集 ) 称为网 N 的一个 标识，其中， M 0是初始 标识；
（3 ）引发规则：
（3.1 ）变迁t ? T称为使能的当且仅当： ?? p ? ?t：M(p) ? 1，记作M[t>; （3.2 ）在M 下使能的变迁t可以引发，引发后得到一个新的标识M' ，记作M[t>M',对p? P ，
库所/变迁系统与加权 Petri网
? 定义1.5. 六元组 Σ=(P,T;F,K,W,M 0) 称作一个 库所/ 变迁网系统 ，其中
（1） N=(P,T;F) 为一个网；
（2） W: F →{1,2, ? }( 正整数集)称为权函数；
（3） K: P →{1,2, ? }( 正整数集)称为容量函数；
的自由选择网（extended free-choice net ）。
网与网系统
? 定义1.4. 四元组PN=(P,T;F,M 0) 称作Petri 网（网系统）当且仅当
第一部分 Petri网的基本概念
提纲
? 网与网系统 ? 库所/ 变迁系统与加权Petri 网 ? 并发与冲突
网与网系统
? Petri 网是一种网状信息流模型，包括库所和变迁两类节点，同时在 库所集上添加表示状态信息的托肯分布（标识）
? 库所表示条件、资源、等待队列和信道等 ? 变迁表示事件、动作、语句执行和消息发送/ 接受等 ? 一个变迁（事件）有一定数量的输入和输出库所，分别代表事件的前置
（4） M: P →{0,1,2, ? }是一个标识，满足??p ? P ：M(p) ?K(p) 其中，M 0是初始标识；
（5 ）引发规则：
M[t> （5.1）对于t ? T，
的引发条件
H2
? p ? ?t : M ( p) ? W( p, t)
?
? p ? t? ? ?t : M ( p) ? W(t, p) ? K( p)
单网（simple net ）。 （3 ）若?? p? P ，| ?p|=|p ?|=1 ，则称N 为一个T- 图（T-Graph ）或标
识图（marked graph ）。 （4 ）若?? t? T，| ?t|=|t ?|=1 ，则称N 为一个S-图（S-Graph ）或状态
机（state machine ）。 （5 ）若? t1,t2 ? T (t 1 ≠ t2), ?t1 ? ?t2≠Φ → | ?t1|=| ?t2|=1 ，则称N 为
有
?M ( p) ? 1
M ?(
p)
?
? ?M(
p)
?
1
??M ( p)
当 p ? ?t ? t ? 当 p ? t ? ? ?t 否则
网与网系统
p1
c1
t1
t3
B p2
t2
c2 t4
M01={1,0,0}
M02={0,1,0}
p1 t1
p2 t2
p3
p1 t1
p2 t2
p3
一个网系统的全部可能的运行情况由它的基网 N和初始标识M0完全确定。 因此，给出了基网和初始标识，也就唯一确定了一个网系统
一个库所的外延是变迁集 T的一个子集 一个变迁的外延是库所集 P的一个子集
网与网系统
p1
t1
B p2
t2
c1 t3
c2 t4
例：网N1=(P1,T1;F1)，其中
?t2 = {p 2}
t
? 2
=
{p
1,
B}
网与网系统
? 定义1.3. 设N=(P,T;F) 为一个网
（1 ）若对?? x? P ? T， ?x ? x?=Φ ，则称N为一个纯网（pure net ）。 （2 ）若对?? x, y ? P ? T，( ?x= ?y) ? (x ? =y ?) →x=y ，则称N 为一个简
? ?
Байду номын сангаас
M[t>M', ? p?
（5.2 ）若
t??
?t
: M ( p) ? W(t, 对p? P ，有
p) ?
W( p,t)
?
K
(
p)
? ?
2t
H2O
2
? M ( p) ? W( p, t) 当 p ? ?t ? t ?
M ?( p) ?
? ?
M
(
p)
?
W
(t
,
? ?
M
(
p)
?
W
(t
,
p) 当 p ? t ? ? ?t p) ? W( p,t) 当
网与网系统
? 定义1.2. 设N=(P,T;F) 为一个网，对?? x? P ? T，令 ?x = {y | y ? P ? T ? (y, x) ? F} x? = {y | y ? P ? T ? (x, y) ? F}
称?x为x 的前集或输入集， x?为x的后集或输出集。称?x ? x? 为元素x的外延。
网与网系统
? 定义1.1. 三元组N=(P,T;F) 称作网当且仅当： （1） P ? T≠Φ , P ? T=Φ ; （2） F? (P ?T) ? (T ? P); （3）dom(F) ? cod(F)=P ? T 其中， dom(F)={x ? P ? T | ? y? P ? T: (x, y) ? F} cod(F) ={x ? P ? T | ? y? P ? T: (y, x) ? F} 这里， P 表示库所（Place ）集合 T表示变迁（Transition ）集合 F是网的流关系（Flow ）
p?
t ??
?t
?? M ( p) 否则
条件和后置条件 ? 库所中的托肯代表可以使用的资源数量或数据
? Petri 网按引发规则使得事件驱动状态的演变，从而反映系统动态运 行过程
网与网系统
p1
t1
B p2
t2
c1 t3
c2 t4
例：网N1=(P1,T1; F1)，其中 P1 = {p 1, p2, c1, c2, B} T1={t 1, t2, t3, t4} F1={(p 1, t1),(t1, p2), ? }
提纲
? 网与网系统 ? 库所/ 变迁系统与加权Petri 网 ? 并发与冲突
库所/变迁系统与加权 Petri网
? 库所/ 变迁系统（简称P/T 系统）是在定义 1.4 的Petri 网基础上增加两个函数得到的
? 库所集上的容量函数 ? 有向边上的权函数
? 增加这两个函数的目的是使得对某些实际 系统建模显得方便
（1 ） N=(P,T;F) 为一个网；
（2 ）映射 M:P →{0,1,2, ? }( 非负整数集 ) 称为网 N 的一个 标识，其中， M 0是初始 标识；
（3 ）引发规则：
（3.1 ）变迁t ? T称为使能的当且仅当： ?? p ? ?t：M(p) ? 1，记作M[t>; （3.2 ）在M 下使能的变迁t可以引发，引发后得到一个新的标识M' ，记作M[t>M',对p? P ，
库所/变迁系统与加权 Petri网
? 定义1.5. 六元组 Σ=(P,T;F,K,W,M 0) 称作一个 库所/ 变迁网系统 ，其中
（1） N=(P,T;F) 为一个网；
（2） W: F →{1,2, ? }( 正整数集)称为权函数；
（3） K: P →{1,2, ? }( 正整数集)称为容量函数；