河海大学,材料力学,课件,力学,第六章,挠度
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河海大学材料力学课件
★构件不满足这些条件都有可能引起结构的破坏。
HOHAI UNIVERSITY
1940年，美国华盛顿州的塔克马新建成了一座索桥，但建成才4个月 就被每秒19米的横风所摧毁。后来弄清桥梁被毁是横风引起的自感应震动 造成的。这一原理弄清以后，带动了索桥技术的飞跃发展。日本明石海峡 大桥能承受每秒80米的狂风，这其中也包含了塔克马索桥的教训。 1952年，德哈维兰· 彗星式喷气式飞机问世后名噪一时，但在其后 不久连续发生坠落事故。后来才知道是当时并不知晓的金属疲劳的原理 在作怪，波音公司汲取了教训，把高空中的金属疲劳知识应用于新飞机 的开发，结果波音公司席卷了世界飞机市场。
FR
Fz
q FR
F1
Mz
Fx、Fy ——剪力 Fy： My： ——轴力
FR Mx Fx My
Fy
Mx、Mz——弯矩
——扭矩
HOHAI UNIVERSITY
第一章 绪论
二、应 力
△F
τ σ B
p
内力的集度
B
△A
σ—正应力 τ—切应力
ΔF — 微小面积△A上的 ΔA
平均应力
p lim
A0
F A
2、扭 转
MT
MT
F M
3、弯 曲
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第一章 绪论
外力及分类
一、按外力的分布状况分类 1、体积力（体力）
q
q
2、面积力（面力）
（1）集中力 （2）线分布力 非均布力( q =非常量) 均布力（q =常量）
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第一章 绪论
二、按外力作用时与时间的关系分类
（1）内容的系统性强
（2）有科学的研究方法
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1940年，美国华盛顿州的塔克马新建成了一座索桥，但建成才4个月 就被每秒19米的横风所摧毁。后来弄清桥梁被毁是横风引起的自感应震动 造成的。这一原理弄清以后，带动了索桥技术的飞跃发展。日本明石海峡 大桥能承受每秒80米的狂风，这其中也包含了塔克马索桥的教训。 1952年，德哈维兰· 彗星式喷气式飞机问世后名噪一时，但在其后 不久连续发生坠落事故。后来才知道是当时并不知晓的金属疲劳的原理 在作怪，波音公司汲取了教训，把高空中的金属疲劳知识应用于新飞机 的开发，结果波音公司席卷了世界飞机市场。
FR
Fz
q FR
F1
Mz
Fx、Fy ——剪力 Fy： My： ——轴力
FR Mx Fx My
Fy
Mx、Mz——弯矩
——扭矩
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第一章 绪论
二、应 力
△F
τ σ B
p
内力的集度
B
△A
σ—正应力 τ—切应力
ΔF — 微小面积△A上的 ΔA
平均应力
p lim
A0
F A
2、扭 转
MT
MT
F M
3、弯 曲
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第一章 绪论
外力及分类
一、按外力的分布状况分类 1、体积力（体力）
q
q
2、面积力（面力）
（1）集中力 （2）线分布力 非均布力( q =非常量) 均布力（q =常量）
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第一章 绪论
二、按外力作用时与时间的关系分类
（1）内容的系统性强
（2）有科学的研究方法
河海大学 材料力学 第六章 材料力学性能及实验应力分析基础第一节
二、 低碳钢拉伸
s
强化阶段 k
b
颈缩阶段
四个阶段
四个指标 一个概念
屈服阶段 弹 性 1 2 阶 段 e s p
g
sb
sp se
ss
O
O1 O2
h O3 e
三、其它塑性材料拉伸
青铜拉伸应力—应变图(无明显屈服阶段)
s sp 0.2
a p
s’
b
g
ห้องสมุดไป่ตู้
sb
sp se
O
0.2%
e
四、铸铁拉伸(cast iron)
sb
无
四个指标
两个强度指标： (1)屈服极限 ss 两个塑性指标：
(2)强化极限 sb
l1 l 0 100% (1)断后伸长率： l0
l1——试样拉断后标距的长度； l0——原标距长度。 塑性材料与脆性材料的量化标准：
A0 A1 100% (2)断面收缩率： A0
塑性材料: δ>5％的材料。（低碳钢、低合金钢和青铜等） 脆性材料: δ<5％的材料。（铸铁、混凝土、石料等）
(4)实验设备： 对试件施加载荷的电子万能材料试验机；
测量试样变形的引伸仪。
(5)实验记录： 拉伸图：横坐标——Dl，纵坐标——F； 应力—应变图：横坐标——e ，纵坐标——s 。
FN F s A A
拉伸图
e
Dl
l
应力—应变图(s—e 图) 应力—应变图(曲线) stress−strain curve
二、 低碳钢拉伸 低碳钢(low-carbon steel)： 含碳量低于0.3%的碳素钢材 (拉伸力学性能最具典型性)
二、 低碳钢拉伸
材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
材料力学中挠度的单位
材料力学挠度计算公式：
1、在跨中单个荷载F作用下的挠度是：F*L^3/(48EI)
2、在均不荷载q作用下的挠度是：5*q*L^4/(384EI)
3、在各种荷载作用下，利用跨中弯矩M可以近似得到统一的跨中挠度计算公式：0。
1*M*L^2/(EI)。
其中：p=kN=1000N，L=8。
16m=8 160mm，E=2。
1x10^5N/mm^2=210000N/mm^ 2，Ix=5280cm^4=52800000mm^4，计算结果单位= mm。
悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式:
Ymax=1ql^4/(8EI)。
;Ymax=1pl^3/(3EI)。
q为均布线荷载标准值(kn/m)。
;p为各个集中荷载标准值之和(kn)。
你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件。
扩展资料
挠度是在受力或非均匀温度变化时，杆件轴线在垂直于轴线方向的线位移或板壳中面在垂直于中面方向的线位移。
细长物体（如梁或柱）的挠度是指在变形时其轴线上各点在该点处轴线法平面内的位移量。
薄板或薄壳的挠度是指中面上各点在该点处中面法线上的位移量。
物体上各点挠度随位置和时间变化的规律称为挠度函数或位移函数。
通过求挠度函数来计算应变和应力是固体力学的研究方法之一。
材料力学课件PPT
梁的剪力与弯矩
1
梁的剪力
解析剪力对梁的影响和剪切应力。
2
梁的弯曲
讨论梁的弯曲行为和弯曲应力。
3
横截面性能
探索截面形状对梁的强度和刚度的影响。
梁的挠度
1 挠度与刚度
2 梁的支撑条件
3 挠度计算
研究梁的弯曲变形和挠度。
解释梁的不同支撑条件对 挠度的影响。
介绍计算梁挠度的工程方 法。
杆件的稳定性
1
稳定性概念
材料力学课件PPT
材料力学课件PPT是一个全面的教学工具，涵盖了力学基础、应力与变形、杆 件的轴向受力、梁的剪力与弯矩、梁的挠度、杆件的稳定性以及结构稳定裂 解和破坏形态。
力学基础
1
牛顿力学原理
解释物体运动和力的相互作用。
2
力的向量和标量
了解力量的方向和大小。
3
运动和加速度
讨论物体的运动和加速度。
应力与变形
应力
探讨物体所受力的影响。
塑性变形
讲解材料在超出弹性范围时的塑性行为。
弹性变形
解析材料的弹性性质和应变量。
断裂
探索材料的破裂过程和强度。
杆件的轴向受力
拉力
描述由拉力引起的变形和破坏。
压力
研究由压力引起的压缩变形和破坏。
剪力
解释由剪切力引起的变形和破坏。
扭矩
探讨由扭转力引起的变形和破坏。
介绍杆件的稳定性和失稳行为。
2
纯压杆件
研究纯压杆件的稳定性和临界长度。
பைடு நூலகம்
3
压弯杆件
探讨压弯杆件的稳定性和稳定方程。
结构稳定裂解和破坏形态
稳定性裂解
解释结构在突然失去稳定性时的裂解过程。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
河海大学工程力学,第六章 空间力系
若汽车左右不对称，如何 测出重心距左（或右）轮 的距离？
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例3
已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示.
求：其重心坐标
解:厚度方向重心坐标已确定， 只求重心的x,y坐标即可. 用虚线分割如图， 为三个小矩形，
其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
My cos(MO，y)= MO
Mz cos(MO，z)= MO
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四、简化结果的讨论 1. FR=0， MO ≠0 2. FR ≠ 0， MO =0 作用线过简化中心 3. FR ≠ 0， MO ≠ 0 合力偶m 合力FR
与简化中心位置无关，为什么？
一般 形式：
∑ Fiz =0
∑ Mx (Fi) =0
MO = 0 ∑ My (Fi) =0 ∑ Mz (Fi) =0
√
还有四力矩、五力 矩、六力矩形式
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空间约束：
1.空间铰
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2.轴承
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再对x轴用合力矩定理
则计算重心坐标的公式为
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对均质物体，均质板状物体，有
称为重心或形心公式
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2． 确定重心的悬挂法与称重法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
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3
EI w EI 2 EIw
Fb 2l
x
2
F 2
( x a )
3
2
C2
Fb 6l
2
x
F 6
( x a )
C2x D2
边界条件：x = 0 ，w1= 0。
x = l ，w2= 0。 连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
θmax
l w
B
x
wmax
w
Flx
2
Fx
3
2 EI
6 EI
当 x = l 时：
max w
xl
Fl
2
2 EI
w max w
xl
Fl
3
3 EI
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
q A l B
m
O
F
B C a4
q
D E
x
a1
A a2 a3
y
OA段：
EI w 0 EI w C 1 EIw C 1 x D 1
AB段：
EI w m ( x a1 ) ( x a1 ) 2
0
0
EI w m ( x a1 ) C 2
2
EIw m
C 2 x D2
ql
3
ml 3EI
24 EI
wc wc ( q ) wc ( m )
5ql
4
ml
2
384 EI
16 EI
例3：求wc ；已知AB杆弯曲刚度EI，BD杆拉伸EA。
F A C wc1 wc2 l θBF B D a
解： 采用逐段刚化法
wc = wc1+ wc2
=Fl3 /48EI +Fa/4EA
3( 2 EI )
2 ( 2 EI )
2 ( 2 EI )
( 2 EI )
§6-6 梁的刚度计算
梁的刚度条件为： wmax ≤ [w], 其中wmax ——梁的最大挠度， θmax ——一般是支座处的截面转角。 [w]、 [θ]——规定的容许挠度和转角。 θmax ≤ [θ]
a
qa
4
3
2
6EI
wDq
qa
w cq
qa
(2a )
2
Bq
3 EI
2 16 EI
qa
4
8EI
3 求 c、 w c
o
c cF
1 cq
2 cq
qa
3
qa
3
3
qa
3
3
A AF Aq
B BF Bq
23
qx
C
4
234
Cx D
边界条件
x 0 :
q
w 0
A
x l :
w 0
24 , D 0
w
θA
l
wmax
θB
B
x
得: C ql
3
w
ql
3
ql 4 EI
x
2
q 6 EI
x
3
24 EI
w
ql
3
x
ql 12 EI
x
3
q 24 EI
x
4
24 EI
3
C4
4
F
( x a2 ) 2 3
q
( x a3 ) 2 34
C 4 x D4
DE段：
EIw m( x a1 ) F ( x a2 ) q
0
( x a3 ) 2
2
q
3
( x a4 ) 2
2
EIw m( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2
例2：已知F、q、EI。求θA, θB ,θc和
wD, ,wc。
F=qa A
q
B C a x
D
a y a （a）
1 求 cF 、 A F , B F , w cF , w D F
o
解：
A F B F
CF
BF
F=qa A
q
B C a x
D
a
2
a （a）
F ( 2a ) 16 EI
EI w m ( x a1 ) F ( x a 2 ) EI w m ( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2
2
BC段：
( x a2 ) 2
2
C3
3
F
( x a2 ) 2 3
C 3 x D3
m
O a1
F
B C
a4
q
1
qa
3
4 EI
6 EI
3 EI
qa
3
4 EI
3
qa
3
qa
4EI qa 4EI
2
6EI qa 3EI
qa
4
12 EI
qa
4
qa
3
12 EI
4
w c w cF w cq w cq
qa
4
4
5 qa
4
4 EI
8 EI
3 EI
24 EI
wD wDF w Dq
( x a2 ) 2!
2
2
q
( x a3 ) 3!
3
3
( x a1 ) 2!
F
( x a2 ) 3!
q
( x a3 ) 4!
4
当x>ai时，x-ai=x-ai 当x≤ai时，x-ai=0
奇异函数
§6-5 用叠加法计算梁的挠度与转角 在线弹性范围内、小变形情况下，可
B
l 2
EI
2EI B C
l/2
l/2
B
w A w A1 w A 2
w A1 w B B
l 2
F
Fl/2
B
C
l F( 2 3 EI )
3 F(
l ) 2
3
Fl ( 2
l ) 2
2 F( (
l ) 2
2
Fl ( 2
l ) 2 l ) 2 16 EI 3 Fl 3
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tgθ=w’(x)——转角方程。顺时针
为正。
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程
1
( x )
w
1 w
2
3 2
1
(x)
M (x) EI
z
<<1
w
M
x
z
EI
O
M
x
M
O
M
x
M
w
M<0 w” > 0
w
M>0 w”< 0
解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
F A FB
M (x) ql 2
q
1 2
ql
qx 2
2
A
θA
l
wmax
θB
B
x
x
w
2
o
梁的挠曲线微分方程为 2 ql qx EI w x 2 2
积分
EI w
EIw
ql 2
ql 2
x
2
3
qx
3
2
x 23
§6-1 梁的位移---挠度及转角
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平 面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。 当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
θ F A w y C C F θ B x
θ F A w w C F θ B x
C
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线x方向的线位 移w。 w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
w max 的位置距梁中点仅 0 . 077 l 。
令
b
2
0,
w max
Fbl 9
2
2
0 . 0642
Fbl EI
2
。
3 EI
wc
Fbl
0 . 0625
Fbl EI
2
。
16 EI
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线
上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为 最大挠度。
§6-4 奇异函数法计算梁的变形
2
。
2
w max w 1
x x0
Fb （ l 9
b ）2
2
3
。
3 EIl
2 2
wc w1
x
l 2
Fb （ 3 l
4b ） 。 48 EI
当 F 作用于梁中点
C 时， w max w c 。
当 F 右 移 至 B 点 时 ， b 0， x 0 0 .5 7 7 l。
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
EI w EI 2 EIw
Fb 2l
x
2
F 2
( x a )
3
2
C2
Fb 6l
2
x
F 6
( x a )
C2x D2
边界条件：x = 0 ，w1= 0。
x = l ，w2= 0。 连续条件：x = a ，w1′= w2′， w1= w2
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
θmax
l w
B
x
wmax
w
Flx
2
Fx
3
2 EI
6 EI
当 x = l 时：
max w
xl
Fl
2
2 EI
w max w
xl
Fl
3
3 EI
例2：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程 和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。 设梁的抗弯刚度为EI。
q A l B
m
O
F
B C a4
q
D E
x
a1
A a2 a3
y
OA段：
EI w 0 EI w C 1 EIw C 1 x D 1
AB段：
EI w m ( x a1 ) ( x a1 ) 2
0
0
EI w m ( x a1 ) C 2
2
EIw m
C 2 x D2
ql
3
ml 3EI
24 EI
wc wc ( q ) wc ( m )
5ql
4
ml
2
384 EI
16 EI
例3：求wc ；已知AB杆弯曲刚度EI，BD杆拉伸EA。
F A C wc1 wc2 l θBF B D a
解： 采用逐段刚化法
wc = wc1+ wc2
=Fl3 /48EI +Fa/4EA
3( 2 EI )
2 ( 2 EI )
2 ( 2 EI )
( 2 EI )
§6-6 梁的刚度计算
梁的刚度条件为： wmax ≤ [w], 其中wmax ——梁的最大挠度， θmax ——一般是支座处的截面转角。 [w]、 [θ]——规定的容许挠度和转角。 θmax ≤ [θ]
a
qa
4
3
2
6EI
wDq
qa
w cq
qa
(2a )
2
Bq
3 EI
2 16 EI
qa
4
8EI
3 求 c、 w c
o
c cF
1 cq
2 cq
qa
3
qa
3
3
qa
3
3
A AF Aq
B BF Bq
23
qx
C
4
234
Cx D
边界条件
x 0 :
q
w 0
A
x l :
w 0
24 , D 0
w
θA
l
wmax
θB
B
x
得: C ql
3
w
ql
3
ql 4 EI
x
2
q 6 EI
x
3
24 EI
w
ql
3
x
ql 12 EI
x
3
q 24 EI
x
4
24 EI
3
C4
4
F
( x a2 ) 2 3
q
( x a3 ) 2 34
C 4 x D4
DE段：
EIw m( x a1 ) F ( x a2 ) q
0
( x a3 ) 2
2
q
3
( x a4 ) 2
2
EIw m( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2
例2：已知F、q、EI。求θA, θB ,θc和
wD, ,wc。
F=qa A
q
B C a x
D
a y a （a）
1 求 cF 、 A F , B F , w cF , w D F
o
解：
A F B F
CF
BF
F=qa A
q
B C a x
D
a
2
a （a）
F ( 2a ) 16 EI
EI w m ( x a1 ) F ( x a 2 ) EI w m ( x a1 ) F EIw m ( x a1 ) 2
2
BC段：
( x a2 ) 2
2
C3
3
F
( x a2 ) 2 3
C 3 x D3
m
O a1
F
B C
a4
q
1
qa
3
4 EI
6 EI
3 EI
qa
3
4 EI
3
qa
3
qa
4EI qa 4EI
2
6EI qa 3EI
qa
4
12 EI
qa
4
qa
3
12 EI
4
w c w cF w cq w cq
qa
4
4
5 qa
4
4 EI
8 EI
3 EI
24 EI
wD wDF w Dq
( x a2 ) 2!
2
2
q
( x a3 ) 3!
3
3
( x a1 ) 2!
F
( x a2 ) 3!
q
( x a3 ) 4!
4
当x>ai时，x-ai=x-ai 当x≤ai时，x-ai=0
奇异函数
§6-5 用叠加法计算梁的挠度与转角 在线弹性范围内、小变形情况下，可
B
l 2
EI
2EI B C
l/2
l/2
B
w A w A1 w A 2
w A1 w B B
l 2
F
Fl/2
B
C
l F( 2 3 EI )
3 F(
l ) 2
3
Fl ( 2
l ) 2
2 F( (
l ) 2
2
Fl ( 2
l ) 2 l ) 2 16 EI 3 Fl 3
2、转角：梁的截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tgθ=w’(x)——转角方程。顺时针
为正。
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程
1
( x )
w
1 w
2
3 2
1
(x)
M (x) EI
z
<<1
w
M
x
z
EI
O
M
x
M
O
M
x
M
w
M<0 w” > 0
w
M>0 w”< 0
解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
F A FB
M (x) ql 2
q
1 2
ql
qx 2
2
A
θA
l
wmax
θB
B
x
x
w
2
o
梁的挠曲线微分方程为 2 ql qx EI w x 2 2
积分
EI w
EIw
ql 2
ql 2
x
2
3
qx
3
2
x 23
§6-1 梁的位移---挠度及转角
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平 面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。 当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。
θ F A w y C C F θ B x
θ F A w w C F θ B x
C
1、挠度: 梁的截面形心在垂直于轴线x方向的线位 移w。 w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
w max 的位置距梁中点仅 0 . 077 l 。
令
b
2
0,
w max
Fbl 9
2
2
0 . 0642
Fbl EI
2
。
3 EI
wc
Fbl
0 . 0625
Fbl EI
2
。
16 EI
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线
上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为 最大挠度。
§6-4 奇异函数法计算梁的变形
2
。
2
w max w 1
x x0
Fb （ l 9
b ）2
2
3
。
3 EIl
2 2
wc w1
x
l 2
Fb （ 3 l
4b ） 。 48 EI
当 F 作用于梁中点
C 时， w max w c 。
当 F 右 移 至 B 点 时 ， b 0， x 0 0 .5 7 7 l。
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
D1=D2=0 因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：