人教版数学九年级上册《正多边形和圆》同步练习

人教版数学九年级上册《正多边形和圆》同步练习24.3 正多边形和圆一．选择题（共12小题）1．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则那个正六边形外接圆半径是（）A．B．5C．D．52．下列关于圆的叙述正确的有（）①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于那个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续通过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）A．0.5B．0.7C．﹣1D．﹣15．如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成漂亮的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A．B．C．D．6．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2B．1C．D．7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF=8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．10B．20C．18D．209．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．10．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2020次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（1，）D．（﹣1，）11．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，那个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm12．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（）A．6B．12C．6D．6二．填空题（共6小题）13．圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是cm．14．正六边形的边长为4cm，它的半径等于cm．15．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于．16．如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为．17．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB的度数为度．18．如图，有一个正六边形图片，每组平行的对边距离为3米，点A是正六边形的一个顶点，现点A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好落在数轴点A′上，则点A′对应的实数是．三．解答题（共6小题）19．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．（1）求证：AB=EF；（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．20．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为；（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？假如是，求出n的值；假如不是，请说明理由．21．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．22．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．24．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：正多边形正方形正五边形正六边形…正n边形∠BQM的度数…参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE=10，因此那个正六边形外接圆半径是，故选：B．2．【解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，因此①正确；圆的切线垂直于过切点的半径，因此②错误；正多边形中心角的度数等于那个正多边形一个外角的度数，因此③正确；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，因此④正确．故选：C．3．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线的长为2，∴正方形的外接圆的直径为2，∴正方形的外接圆的面积=2π，故选：C．4．【解答】解：如图，在如此连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观看图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，故选：D．5．【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH==，∴“三叶轮”图案的面积=（﹣×1×）×6=π﹣，故选：B．6．【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，因此圆的半径为，因此该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=，故选：B．7．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108°，BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=×（180°﹣∠C）=36°，∴∠ABD=108°﹣36°=72°，∴∠EAB+∠ABD=180°，∴AE∥BD，故本选项不符合题意；B、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB==72°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣72°）=54°，∵FA切⊙O于A，∴∠OAF=90°，∴∠FAB=90°﹣54°=36°，∵∠ABD=72°，∴∠F=72°﹣36°=36°=∠FAB，∴AB=BF，故本选项不符合题意；C、∵∠F=∠CDB=36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；D、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF=∠AHD=90°，∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，∴∠ADF=108°﹣36°﹣36°=36°=∠F，∴AD=AF，∴FH=DH，当∠F=30°时，AF=2AH，FH=DH=AH，现在DF=AF，∴现在∠F=36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；故选：D．8．【解答】解：作出正方形MNQR，如图所示：△AMB中，AM=x，则BM=x，AB=x，正八边形的边长是x．则正方形的边长是（2+）x．依照题意得：x（2+）x=20，解得：x2=10（﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．故选：B．9．【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，它们的边长相等，由正六边形能够分割为6个全等的三角形，则阴影部分与空白部分的面积比为：=．故选：A．10．【解答】解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2020÷6=336 (2)∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2020次，与点E重合，在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH=∴顶点A的坐标为（1，），故选：A．11．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，∴a=2．故选：A．12．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG=30°，∴边心距OG=OB•sin∠OBG=12×=6；故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．∵OH⊥BC，∴BH=CH=6，在Rt△OBH中，OH=BH•tan30°=6×=2（cm），故答案为：2．14．【解答】解：∵此多边形为正六边形，∴∠AOB==60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=4cm，故答案为：415．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是5，因而面积是×5×=cm2，因而正六边形的面积cm2．故答案为cm2．16．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，故答案为84°．17．【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，∴OA⊥AE，OC⊥CD，∴∠OAE=∠OCD=90°，∵∠BCD=108°，∴OCB=108°﹣90°=18°故答案为18．18．【解答】解：如图作BH⊥OC于H．∵BC=BO，BH⊥OC，∴CH=HO=，在Rt△CBH中，∵cos30°=，∴CH=，由题意OA′=6BC=6，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．【解答】解：（1）∵正五边形ABCDE，∴AB=AE，∠BAE=108°，∴∠ABE=∠AEB=36°，同理：∠BAF=∠BCA=36°，∴∠FAE=∠AFE=72°，∴AE=EF，∴AB=EF；（2）设AB=x，由（1）知；∠BAF=∠AEB，∵∠ABF=∠ABE，∴△ABF∽△EBA，∴，即，解得：（舍去），∴五边形ABCDE的边长为1+．20．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，则它的内接正方形的边长为R，它的内接正六边形的边长为R，内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1；故答案为：：1；（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，理由：连接OA，OB，OE，在正方形ABCD中，∠AOB=90°，在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°，∴∠BOE=30°，∵n==12，∴BE是正十二边形的边．21．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长AB=OA=a；正六边形的周长=6AB=6a；∵OM=OA•sin60°=a，正六边形的面积S=6××a×a=a2．22．【解答】解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC=4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD=60°，∴∠COH=30°，∴圆心O到CD的距离=4×cos30°=2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积=×4×2×6=24cm2．23．【解答】解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=24．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，正n边形ABCD…中，∠BQM=，故答案为：90°；108°；120°；．。