2.1.1根式的运算(1)
广东省廉江市实验学校人教A版高中数学必修一：2-1-1-1课件
x 3
【延伸探究】1.若将典例 3中“ ” 4 x 3 改为 4 x“ 3 ”,则x有何限定条件? 【解析】由于根指数4是偶数 , 要使 4 x 3 有意义,则需要x-3≥0,即x≥3.
2.若将典例 3中“ 5 ”改为 4 x 3 x 3 “ ”,则x有何限定条件? 【解析】由于根指数5是奇数,因此 x+3可以是任意实数,故此时x取全体实 数.
(3)当n为大于1的偶数时 , 只有当 n a a≥0时有意义, n a 当a<0时无意义. (a≥0)表示a在实 数范围内的一 n a 个n次方根,另一个是.
n与 2. 对 ( ) 两式的理解 n n n a a n (1)( ) :当n为大于1的奇数 n n n a a 时,( ) 对任意a∈R n=a,当n为大于1的 都有意义, 且 ( ) n n a a 偶数时,( )n n a 只有当a≥0时才有意义 ,且 ( )n=a(a≥0).
类型二 无限制条件的根式的运算 【典例】(2016·临汾高一检测)化简
1 1 .
3 3 （ 3 10） ( 3 3－ 10 )3
【解题探究】典例中对于分母中含有 根号的式子应如何进行化简? 提示:可利用根式的性质
1
3 3
n
an
=a(n为奇
10－3－(3 10) 6.
3 3 ( 3 － 10 ) （3 10）
(2) n n
:对任意a∈R都有意义,且当n为 a 大于1的奇数 a，a 0, n n n n a 时 =a;当n为大于1 , a, a的偶数时 a,a＜0. = 3 2 3 3 ＝－3， 3 ＝|－3|＝3. 如 特别提醒:对于根式,要特别注意n的取 值范围为n>1且n∈N*这一限定条件.
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第二章 2.1 2.1.1 第1课时 根
第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
课时作业
第二十四页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
解析：4 0.062 5＋
245－
3
27 8
＝4 0.54＋ 2 522－ 3 323＝12＋52－32＝32. 答案：32
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
4．化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3. 解析：由题得 a≥1， ∴( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3 ＝a－1＋|1－a|＋1－a ＝a－1.
原式＝[a
2 3
·(a－3)
1 2
]
1 3
·(a
5 2
·a
13 2
)
1 2
＝a
2 9
·a
1 2
·a
5 4
·a
13 4
＝a
5 18
·a－2＝a
41 18
＝
1
.
a2·18 a5
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[易错警示]
错误原因
纠错心得
避免错误的方法是先将根式化
错解中主要是在进行化简时，根 为分数指数幂，然后按分数指数
C．1 或 2a－1
D．0
(2)当 a、b∈R 时，下列各式总能成立的是( )
A．(6 a－6 b)6＝a－b
8 B.
a2＋b28＝a2＋b2
4 C.
a4－4
b4＝a－b
D．10 a＋b10＝a＋b
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[解析] (1)a＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝1 或 2a－1，故选 C. (2)取 a＝0，b＝1，A 不成立． 取 a＝0，b＝－1，C、D 不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B 正确，故选 B. [答案] (1)C (2)B
2.1.1指数与指数幂的运算
二、课堂设问，任务驱动
内 14 问题2: 当 生 物 死 亡 后 ， 它 机 体 原 有 的 碳 会 按 确 这个时间称为“半衰期 ，根据此规律，人们 得了 ” 获 生 物 体 内 碳 含 量 与 死 亡 年 数之 间 的 关 系 14 t 1 5730 P( ) 2 由此可知：
t
定 的 规 律 衰 减 ， 大 约 每 过5730 衰 减 为 原 来 的 一 半 ， 经 年
2年后 2002 ),我国GDP可望为 ( 年 2000 年的 1 7.3% ) 倍; (
2
3年后( 2003 ),我国GDP可望为 年 2000 年的(1 7.3% )3 倍; 从2000 年起, x年后,我国GDP 可望为 2000 年的y倍,则
y (1 7.3% )x 1.073x ( x N * , x 20)
(1) a a a
r s
r s
rs
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab)r a r br (a 0, b 0, r Q).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析： 题型1、利用根式的性质化简、求值 ； 题型2、有条件的根式的化简 ； 题型3、分数指数幂的运算 ； 题型4、根式化为指数式。
4
c 5 c (c 0).
5 4
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
三、新知建构，交流展示
a
m n
a (a 0, m` n N , 且n 1)
n m
正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
2)规定:
a
m n
人教版高中数学必修1第二章知识点汇总 (1)
人教版高中数学必修一第二章知识点汇总第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．①这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．①n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．①正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,mm n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ①()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈①()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．①负数和零没有对数．①对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ①减法：log log log a a aM M N N-= ①数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ①log a N a N =①log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ①换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；①从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；①将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．①函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．①若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．①一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．①过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．①单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．①奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．①图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠①顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠①两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．①已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ①若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ①当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ①对称轴位置：2bx a=- ①判别式：∆ ①端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔①x 1≤x 2＜k ⇔①x 1＜k ＜x2 ⇔ af (k )＜0①k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔①有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合①k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由①推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （①）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ①若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ①02b x a->，则()M f p =(①)当0a <时(开口向下)xxxxx xx①若2b p a -<，则()M f p = ①若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ①若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ①02b x a->，则()mf p =．xfxf xfxxx。
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
高中数学-根式
∵－3<x<3，
∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.
当－4<x－1<0，即－3<x<1 时，
|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；
当 0≤x－1<2，即 1≤x<3 时，
数 学
|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
必
修 ①
· 人 教
∴ x2－2x＋1－ x2＋6x＋9＝－ －24x－2
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
[解析]
5
(1)
－25＝－2.
6
(2)
π－46＝6
4－π6＝4－π.
4
(3)
x＋24＝|x＋2|＝－x＋x－2 2
x≥－2 x<－2 .
数
7
(4)
x－77＝x－7.
学
必
修
①
·
人
教
A
版
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
『规律方法』 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然 后运用根式的性质进行化简或求值．
修
① n次方根的个数要求．
·
人
教
A
版
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
[解析] (1)∵(±9)2＝81，∴81 的平方根为±9，即 a＝±9. 又(－2)3＝－8，∴－8 的立方根为－2，即 b＝－2. ∴a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7，∴a＋b＝－11 或 7.
(2)①由于 6 为偶数，所以 x＝±6 2016.
[分析]
去根号，化为含绝 对值的形式
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1
n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。
分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。
教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。
将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。
教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。
对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。
根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。
但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。
二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。
然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。
教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。
由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。
然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。
通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。
三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
高中数学步步高必修1课件2.1.1(二)
讲授新课
1. 正数的正分数指数幂的意义:
m
a n n am (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式; (2)根式与分数指数幂可以进行互化.
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定:
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定:
2.1.1指数与指数幂 的运算(二)
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质:
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质:
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n a mn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质:
当n为偶数时,
n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时, (n a )n a.
复习引入
3. 引例: 当a＞0时,
10
① 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 ; ②
③
④
是否可以呢？
讲授新课
1. 正数的正分数指数幂的意义:
m
a n n am (a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
复习引入
2. 根式的运算性质: ① 当n为奇数时,
复习引入
2. 根式的运算性质:
① 当n为奇数时, n a n a;
复习引入
2. 根式的运算性质:
① 当n为奇数时, n a n a;
当n为偶数时,复习引入2. 根式的运算性质:
① 当n为奇数时, n a n a;
当n为偶数时,
n
高中数学人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)指数函数 高质作品
.
【小结】一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数， 还要分清 n 为奇数和偶数两种情况.
【思考】 n an ( n a)n 是否成立，举例说明.
n 为奇数， n an a
n 为偶数,
n
an
| a |
a, a,
a0 a0
练习：1. 求出下列各式的值
(1) 7 (2)7
补充例 2 计算：（1）
1
1
； （2） 5 2 6 5 2 6
3 (2 5)3 3 (2 5 )3
【当堂训练】
1.化简 3 27 的值是（
）.
（A）3 （B）-3 （C） 3 （D）-9
2.下列说法正确的是（
）.
（A） 64 的 6 次方根是 2
（B） 6 64 的运算结果是 2
（C） n 1且 n 时， (n a )n a 对于任意实数 a 都成立
2．填空
（1） n 3 n 3 ，则 n 的取值集合是
.
（2） n a n a ，则 a
.
推广： np amp n am （a 0）.
3.（1） 5 32 ； （2） 3 a6 .
4.若 a2 2a 1 a 1, 求a的取值范围 .
【变式训练】求等式 (a 3)(a2 9) (3 a) a 3 成立的实数 a 的范围.
②若 n 是偶数，负数 有偶次方根，例如 4 ， 4 32 不存在
而正数的 n 次方根（ n 是偶数）有
个，它们互为
.
这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号
表示，例如 4 16 = ，
正数 a 的负的 n 次方根用符号 所以，16 的 4 次方根为
表示， 4 16 = ，