分数指数幂与根式
根式与分数指数幂
（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3
理解分数指数幂的概念,掌握有理数指数幂的运算性质掌握指数函数.
因此A点坐标为(1,2)．
答案：(1,2)
加法和减法是一级运算，乘法和除法是二级运算，当引进分数指数幂后，乘方 和开方也可看作同一级运算．利用指数的运算性质，可将根式与指数幂进行互 化运算，同时指数运算也是研究指数函数图象和性质的基础．
【例1】 计算下列各式：
学习指数函数的图象与性质是为研究其它函数图象与性质提供了典型范例，
复合，因此其单调性的判断类似于函数y＝
2．作为选择题，本题的关键是判断函数y＝ 利用单调性，必要时还可考虑求函数的值域等．
＝1＋
的奇偶性和单调性，主要是
3．学习函数的性质和图象，关键在于对具体函数的性质和图象进行系统的研究 和把握，建议可借助于几何画板等手段作出常见的整式函数如 y＝x3＋x，y＝ x3－x；分式函数如：
A．0 B．1 C．2 D．3
)
解析：A＝{x∈Z|1≤2－x<3}＝{0,1}，B＝{x∈R|log2x>1，或log2x<－1} ＝(0， )∪(2，＋∞) ，2]，∴A∩(∁RB)＝{0,1}．
∴∁RB＝(－∞，0]∪[ 答案：C
4．方程3x－1＝
的解是________．
解析：3x－1＝3－2，∴x－1＝－2，解得x＝－1. 答案：－1 5．(2010·高三调研)如图，过原点O的直 线与函数y＝2x的图象交于A、B两点， 过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC 平行于y轴，则点A的坐标是________． 解析： 设 A点坐标是 (x,2x)，则 C(x,4x)， B(x0,4x)，由 B点在函数 y＝ 2x的图象上， 则 ＝4x，则x0＝2x，又O，A，B在一条直线上 ，解得x＝1，
>0时，方程①有解．解得－1<y<1.
高考数学复习点拨 根式和分数指数幂的学习指导
高考数学复习点拨 根式和分数指数幂的学习指导由于分数指数幂的概念是借助n 次方根给出的，而n 次根式又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去学习认识新知识自然是比较困难的．且n 次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．根式和分数指数幂的互化既是重点也是难点．根据不同需要，灵活进行互化是解决有些问题的有效途径．根式的运算，一般先化为分数指数幂后用分数指数幂的运算性质进行运算比较方便．例1 计算： （1）48373)27102(1.0)972(03225.0＋－＋＋－－π；（2）31213125.01041027.010])833(81[])87(3[)0081.0(⨯⨯⨯－＋－－－－－－.解析：（1）原式＝48373)2764()101()925(32221＋－＋＋－－．1004837316910035＝＋－＋＋＝． （2）原式＝⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯313103.01021])23(3[)13(])103[(313)31(3)41(41414－＝－－＋－－－－－ 031＝－点评：一般地，遇到小数应化成分数；遇到指数是负数，可以对调底数的分子和分母，将负指数化为正指数．例2 化简下列各式： （1）))((21211x x x x x －＋＋－-；（2）323222323222－－－－－－－－－－－＋＋yx y x yx y x ．解析：注意题中各式的结构特点． （1）原式＝2323321321)()(x x x x－＝－－－．（2）原式＝32323323323232332332)()()()(－－－－－－－－－－－＋＋yx yxyx yx])()[()()(23232322322323232232－－－－－－－－＋＋－＋－＝yy xxyy xxxyxy xy 3322)(2＝－＝－－． 点评：解题时要从总体上把握代数式的结构特点．例3 若a ＜b ＜c ，化简33332)(b a a b b a －＋－＋＋． 解析：∵a ＜b ＜c ，∴a ＋b ＜0，b －a ＞0，a －b ＜0∴原式＝b a a b a b b a b a a b b a ＋＝－－＋－＋－＝－－＋－＋＋3．点评：本题灵活应用：当n 是奇数时，a a n n＝． 例4 求使23－x 有意义的x 的取值范围．解析：3231xx＝－因此x ∈（0，＋∞）．例5x x x x ⋅．解析：原式＝1615815214747212321)()(xx x x x x x x x x x x x ＝＝＝＝＝⋅⋅⋅．。
分数指数幂化为根式题目
分数指数幂化为根式题目
将分数、指数和幂化为根式是代数中常见的操作，可以通过以
下方式进行转换：
首先，我们来看如何将分数化为根式。
对于一个分数 a/b，其
中 a 和 b 是整数且 b 不等于 0，可以将其化为根式形式，
√a/√b。
这是因为根式可以用来表示分数的平方根。
例如，分数
4/9 可以化为根式形式为√4/√9 = 2/3。
接下来是指数的化为根式。
对于一个数的 n 次方，可以用根式
表示为该数的 n 次根。
例如，对于 2 的 3 次方，可以表示为∛2。
同样地，对于 a 的 n 次方，可以表示为 a 的 n 次根。
最后是幂的化为根式。
幂表示一个数的指数次方，可以用根式
表示为该数的指数次根。
例如，对于 3 的平方，可以表示为√3。
对于 a 的 b 次方，可以表示为 a 的 b 次根。
综上所述，我们可以将分数、指数和幂化为根式形式，这样可
以更直观地理解和计算数学表达式。
在代数运算中，这种转换可以
帮助我们简化表达式、求解方程和进行数学推导。
希望这些解释能够帮助你更好地理解如何将分数、指数和幂化为根式。
2.1.1 根式与分数指数幂
n 次方根
1.根式的概念
xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 (1)a 的 n 次方根：如果________
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
a R ________ ，a∈________ ；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为
n
(0，＋∞) ±n a ，a∈___________. ________
例1.计算下列各式：
(1)(0.064) ＋[(－2)3] ＋16
1 27 2 (2)－ 8 3 ＋(0.01) 2 .
1 3
4 3
－0.75
；
3 (2m2 n
3 5 10
) (m n3 )6
1 2
解：(1)原式＝(0.43) ＋(－2)－4＋(24)
1 1 1 3 3
3
1 1 1 2 3 6
＝2×3＝6.
1 2 2 1 2 1 2 2
(3)原式＝
(m n ) (m n ) (m n )(m n )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2m＋n ＝ . m－n
式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.
3.计算： (2m2 n ) (m n3 )6 (m, n N ) 解：原式=(2m2 n )
10
3 5 10
3 5 10
1 2
(m n3 )6
6
1 2
分数指数幂与根式(课堂PPT)
4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
40 9
26
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式．
负数没有偶次方根．
10
注意问题
特别注意：0的 n次方根等于0.
4.1.1n次方根与分数指数幂-新人教版高中数学优秀教案
第四章 指数函数与对数函数4.1指数4.1.1n 次方根与分数指数幂学习要求1.理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．2.能利用根式的性质对根式进行运算．3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．教学重难点重点：根式概念的理解；分数指数幂的理解；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学过程一、创设情境良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现，这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑，考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年~前2300年.你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数.指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用。
例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律.追问：初中我们学习指数的有关运算：n m n m a a a +=.；n m n m a a a -=÷，mn n m a a =)(；m m b a m b a =⋅)(其中N n m R b a ∈∈,,,二、复习巩固，引入新课1.n 次方根的概念问题2：初中我们学过平方根、立方根的概念,你能回顾出这些概念吗?请举例说明。
若,2a x =则x 叫做a 的平方根,记作:a ±，例如，±2就是4的平方根若,3a x =则x 叫做a 的立方根,记作:3a ，例如，±2就是8的立方根追问：类比平方根、立方根,你能给出4次方根、5次方根,，n 次方根的定义吗?师生活动 学生独立完成,然后进行全班交流，教师进行点评的基础上,给出完整的定义.教师要注意学生在写a 的4次方根时可能出现的错误。
一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根. 其中1>n ，且*N n ∈.2. n 次方根的性质（1）当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。
根式和分数指数幂
12 3
8 = (8 ) = 8
2 3
n m n n m n
2 3 3
2 3
n
a =
m
(a ) = a (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1)
⒈正分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述： 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 n 次幂 ∈ 且
小结： 分数指数幂的意义及运算性质 小结 ①
指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， ②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。 这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是倒数： 数指数幂的意义相仿，就是倒数：
m − n
a
=
1 a
m n
=
1
n
(a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且
a
m
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈R). ∈
1.正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义 m
a
n
=
− m n
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③(ab)n=an bn(n∈Z).
注意： ①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的 底数不能等于0的规定.
1. 回答下列各题（口答）：
【练一练】
① a 2· a3= a5 ② (b4)2= b8
③ (m · n)3=. m3 ×n3
复习知识
指数
4 16
2
底
幂
复习知识
4 ?
2
乘方运算
? 16
4
2
7 40 7 40
回顾：分数指数幂的定义
规定正数的正分数指数幂的意义：
a a (a 0, m, n N 且n 1)
n m
m n
规定正数的负分数指数幂的意义：
a
m n
1 a
m n
1
n
a
m
(a 0, m, n N 且n 1)
0的正数次幂等于0， 0的负数次幂无意义，0的0次幂无意义。
( 2) a a = a a a
3
2 3
3
(3) a a = (a a ) (a ) a
1 2
1 2
3 4
题型一
将根式转化分数指数幂的形式．（a>0,b>0)
5 6
1. a a a
4 3
3
a
3a 4 4 4 2. ( ) 3 a b 3 27b
3
8 3
3
3. ( a b) (a b)
wxckt@
/wxc/
f (m) 成立，求实数
m
的取值范围。
指数 （3）
题型三
分数指数幂的运算 1、系数先放在起运算。 2、同底数幂 进行运算，乘的指数 相加，除的指数相减。
1.(2x y )(3x y )(4x y )
原式 (2) 3 (4) x
n
为奇数时，它可为正、可为负、可为零． n a n为偶数时，它表示非负数．
a 中的 a 一定是正数或非负数吗？ 当 n为偶数时，它有意义的条件是 a 0； 当 n为奇数时，它有意义的条件是 a R ．
2）n
两个等式
( 2) 2
2
( 2 ) 2 ( 3) 3
1 4
1 4
1 2
1 2
a b a b
1 2
1 2
1 2 1 2
3.(2 x 3 y )(2 x 3 y )
1 4
1 2
1 4
1.已知a a 3, 则a a
2 1 1 3 2 6
1 6
5 6
(2)(m n )
1 4 8
1 4
3 8 8 3 8 3
b
1 1 5 2 3 6
(m ) (n ) m 3 n 3 m 3 n
2
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例3．定义在 2, 2 上的偶函数 f ( x) ，当 x 0 时，
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
3 4
1 1000
125 (2)( ) 27
c
9 (3)( 36 ) 49 25
3 2
216 343
已知10 2,10 3,10 5, 求10
b
3a 2b c
的值。
40 9
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。 3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
12
2 ; ② ( a) a a a ③ 3 a 3 a ;④ (3 a ) 3 a .其中恒成立 的个数为( )
2.给出下列4个等式：①
2
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 )
1 3.已知 a ，则化简 4 ( 2a 1) 2的结果是( 2 A. 2a 1 B. 2a 1 C. 1 2a D. 1 2a
5
3
27 8 32
3
32 x 11
5
x
5
11
结论：当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正 数，负数的 n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根 只有一个，记为 x n a ．
4 2 3 9 4 2 16
2
得出结论 2
2 4 3 9
2 16 6 x 12
例5 计算
(1)( 3 25 125)
4
5 (2)
a2 a
3
a
2
( a 0)
(1)( 3 25 (5 5 5 5
2 3 2 3 3 2
125 )
1 4 1 4
4
5
(2) a a a
6
a2 a a2
1 2 3
5 ) 5
1 4
a2
5
5
3 1 2 4
4 8
3 4 5
( 8) • (3 ) • a •
10 3 4
3
( 10)
2 2
(a b ) a
12
练一练：
1.求下列各式的值 （１）
（３）
3
4
(8)
3
（２） （４）
5
( 10)
2
(3 ) 4
(3 ) 5
（５）
（６）
4
( a b)
4
(a b)
4
5
a
10
a
rs
(ab) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例１ 用分数指数幂的形式表示下列各式:
（式中a>0）
(1)a a
2
( 2) a a
3 3
1 2
2
(3) a a
1 2
2 3
解：
(1)a a = a 2 a a
2
3 3 2
2
a
a
3 2 1 2
5 2
11 3
3 4
4. a
9 24
b
3
a b
9 4
3 8
小结：1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。
练习：用分数指数幂表示下列各式 ⑴
（ 2）
4
a
1
3
= =
a
3 4
7
x
3
x
3 (x>0) 7
1 2 3 4
(3)
ab
4
( a b)
2
4和- 4叫做16的平方根
开方运算
2 8
3
2叫做8的立方根
引入新课
? 9
4
? 32
5
要求：用语言描述式子的含义
3称为9的四次方根 2 称为-32的五次方根
n次方根概念
? a
n(n 1, n N 那么这个数叫做 a的 n方根．
如果一个数的 数学符号表示： 若x
3
1 2
m
5 2
例２
3 1 3 16 4 求值：8 、 100 、 ( ) 、 ( ) . 81 4
2 3
1 2
(1)8 (2
(2)100
1 2
2 3
2 3 3
) 2
1
1 2
3
2 3
2
2
=4
1 2
=
1 (10 2 )
100
1 10
1 3 (3)( ) = 4
16 (4)( ) 81
3 3
5
5
(2)
2
n
( a) a 3 4 3 4 2 5 5 (3 ) 3 为奇数 n a
n n
a |a|
n
n 为偶数
例1：求下列各式的值。
3 4
27 ， 32 ，2 ，
5 3 6
16 ， 16 ，256
4
x 12
6
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的 n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a (a 0) 的形式． 负数没有偶次方根．
注意问题
特别注意：0的 n 次方根等于0. 1） n 思考：
a 一定表示一个正数吗？
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
f ( x)单调递减，且 f (1 m)
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@ /wxc/
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
111 4 2 4
1 4
1 3
1 2
2 3
1 4
2 3
y
22 1 3 3 3
24 y
2.
7 (2 ) 9
100
0.5
10 0.1 (2 ) 27
2
2 3
37 3 48
0
3.(a b )(4a b) (12a b c) 2 1 4 31 2 1 解：原式 (4) 12a b c