根式与分数指数幂 课件

(4) x2＋2xy＋y2＝ x＋y2＝|x＋y|
＝x－＋xy－y
x＋y≥0， x＋y<0.
【变式与拓展】 1.求下列各式的值： (1) 3 (16)3 ； (2) 6 (3)6 ； (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2. 解：(1) 3 (16)3 ＝－16. (2) 6 (3)6 ＝|－3|＝3. (3) 3.14－π2＋ 3.14＋π2＝|3.14－π|＋|3.14＋π|＝2π.
根式与分数指数幂
1.根式的概念 (1)a 的 n 次方根：如果__x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方 根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为 ___n_a____，a∈____R____；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为 ___±_n_a___，a∈___(0_，__＋__∞__) _. (2)根式：式子 n a 叫做___根__式___，这里 n 叫做根__指__数__，a 叫 做__被__开__方__数____. 练习 1：8 的 3 次方根是___2___，16 的 4 次方根是__±__2__.
a≥0， a<0.
题型 1 根式的求值、化简 【例 1】 求下列各式的值：
(1) 3 (2)3 ；
(2) －92；
(3)( 5 2 )5;
(4) x2＋2xy＋y2.
思维突破：运用根式的性质及运算公式计算.
解：(1) 3 (2)3 ＝－2.
(2) －92＝|－9|＝9.
(3)( 5 2 )5＝2.
2.计算( 3)2，3 43 ，n (2)n .从特殊到一般，思考( n a )n，n an
的结果.
答案：( 3)2＝3， 3 43 ＝4， n (2)n ＝－ 2，2， n为n为 偶奇 数数 . ，
( n a )n＝a.当 n 是奇数时， n an ＝a；当 n 是偶数时， n an ＝
|a|＝a－a
(3)对于根式 n an ，在化简时，要注意 n 的奇偶性及 a 的正
负，即 n an ＝a |a|
n为奇数， n为偶数.
2.分数指数幂.
(1)分数指数幂
a
m n
不能理解为mn 个
a
相乘.
(2)根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式不同.
(3)有理数包括整数和分数，由整数指数幂扩充到分数指数 幂后，指数概念就扩充到了有理数指数幂.
幂
n∈N*，且 n>1)
性质
0 的正分数指数幂等于_____0_______， 0的负分数指数幂___没__有__意__义___
练习
3：9
3 2
＝___2_7___；8
2 3
1 ＝___4____；0
3 2
＝___0____.
【问题探究】 1.(±2)2＝4，那么±2 就叫做 4 的____________； 33＝27，那么 3 就叫做 27 的____________； (±3)4＝81，那么±3 就叫做 81 的____________. 依此类推，若 xn＝a，那么 x 叫做 a 的______________. 答案：二次方根 立方根 四次方根 n 次方根
当根指数相同时，不论根指数是奇数还是偶数， 根式的大小取决于被开方数的大小.
【变式与拓展】 3.比较 2， 3 3 ， 6 6 的大小.
解：∵ 2＝ 6 23 ＝ 6 8 ， 3 3 ＝ 6 32 ＝ 6 9 ， 又∵6<8<9， ∴ 6 6 < 6 8 < 6 9 .故 6 6 < 2< 3 3 .
题型 3 分数指数幂与根式的互化 【例 3】 将下列分数指数幂化为根式(其中 a>0)：
4
(1)5 3 ；
(2)2
1 2
；
3
(3)a 2 ；
5
(4)a 2 .
思维突破：根据分数指数幂的意义计算.
4
解：(1)5 3 ＝ 3 54 .
(2)2
1 2
＝
2 2.
3
(3)a 2 ＝ a3.
(4)a
5 2
＝
1 a5.
题型 2 根式的比较大小 【例 2】 比较 5， 3 11， 6 123 的大小. 思维突破：先化为统一的根指数，再进行比较. 解：∵ 5＝ 6 53 ＝ 6 125 ， 3 11＝ 6 112 ＝ 6 121， 又 121<123<125， ∴ 6 121< 6 123 < 6 125 . 故 5> 6 123 > 3 11.
为分数指数幂时，底数不能为负数，题中－9<0，故结果没有意 义.
解： 4 (9)2 ＝ 4 92 ＝ 4 34 ＝3.
[方法·规律·小结]
1.理解 n 次方根及根式的概念. (1)正数 a 的偶次方根有两个，记为±n a ；实数 a 的奇次方 根有一个，记为 n a . (2)对于根式 n a ，若 n 为大于 1 的偶数，则 a≥0.
2.根式的性质 (1) n 0 ＝____0____(n∈N*，且 n＞1).
(2)( n a )n＝____a____(n∈N*，且 n＞1).
(3) n an ＝____a____(n 为大于 1 的奇数).
(4) n an ＝____|a_|_______＝
a －a
的偶数).
a≥0， a＜0 (n 为大于 1
练习 2： 3 (7)3 ＝__－__7____； 4 (2)4 ＝____2____.
3.分数指数幂的意义
正分数
指数幂 分
m
规定：a n ＝___n _a_m___(a>0，m，n∈N*， 且 n>1)
数
1
指
负分数
规定：
a
m n
＝
1
m
＝_____n _a_m_____(a>0，m，
数 指数幂
an
2.化简： (1) 4 (m n)4 ＋ 3 (m n)3 ； (2) 5＋2 6＋ 7－4 3. 解：(1)原式＝|m－n|＋(m－n) ＝2m－n m≥n，
0 m<n. (2)原式＝ 3＋2 6＋2＋ 4－4 3＋3 ＝ 32＋2 6＋ 22＋ 22－4 3＋ 32 ＝ 3＋ 22＋ 2－ 32 ＝| 3＋ 2|＋|2－ 3|＝ 3＋ 2＋2－ 3＝ 2＋2.
【变式与拓展】
4.将下列分数指数幂化为根式：
1
(1)2 5 ；
1
解：(1)2 5 ＝ 5 2 .
1 (2)2
1 3
；
1 (2)2
1 3
＝2
1 3
＝
3
2.
2
(3)3 3 ＝ 3 32 .
2
(3)3 3 .
【例 4】 求值： 4 (9)2 .
2
1
易错分析：常见错误为 4 (9)2 ＝(－9) 4 ＝(ห้องสมุดไป่ตู้9) 2 .根式转化