1.有理数
第一章 有理数
第一章有理数一、知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数；2)有理数的分类: ①②2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10 .有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，. 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或(a-b)n=(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a³10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
第一单元—有理数
负整数-1、 负整数 、-2… 负分数-0.1… 负分数 正整数 1、2… 、 正分数0.1、 正分数 、…
2） ） 有理数
正数
分数
1.2.2数轴 数轴 注意： 、 注意：1、数轴及画法 1）数轴是一条直线，不是曲线、折线，也不是线段或射线，它向两 ）数轴是一条直线，不是曲线、折线，也不是线段或射线， 个方向无限延伸。 个方向无限延伸。 2）数轴是有方向的，通常取向右或向上的方向为正方向，向左或向 ）数轴是有方向的，通常取向右或向上的方向为正方向， 下的方向为负方向。 下的方向为负方向。 3）在数轴上一个适中的位置取一点表示数0，这个点叫做原点，记 ）在数轴上一个适中的位置取一点表示数 ，这个点叫做原点， 作0. 4）选取适当的长度为单位长度（单位长度必须一致），从原点向右， ）选取适当的长度为单位长度（单位长度必须一致），从原点向右， ），从原点向右 每隔一个单位长度取一个点，依次表示数1， ， 从原点向左， 每隔一个单位长度取一个点，依次表示数 ，2，3…从原点向左，每隔一个 从原点向左 单位长度取一个点，依次表示数-1， ， 单位长度取一个点，依次表示数 ，-2，-3… 2、任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，一般地，设a为正 、任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，一般地， 为正 则数轴上表示的数a的点在原点的右边 与原点的距离是a个单位长度 的点在原点的右边， 个单位长度， 数，则数轴上表示的数 的点在原点的右边，与原点的距离是 个单位长度， 表示数-a的点在原点的左边与原点的距离也是 个单位长度。 的点在原点的左边与原点的距离也是a个单位长度 表示数 的点在原点的左边与原点的距离也是 个单位长度。
1.2.3相反数 相反数 错题积累： 、在数轴上，如果点A、 分别表示互为相反数的两个数， 错题积累：1、在数轴上，如果点 、点B分别表示互为相反数的两个数， 分别表示互为相反数的两个数 并且这两个点的距离是9，那么这两个点所表示的数分别是_______. 4.5， 并且这两个点的距离是 ，那么这两个点所表示的数分别是 ，-4.5 2、下列各组数中互为相反数的组数是（ D ） 、下列各组数中互为相反数的组数是（ A、1/3和-1/3 、 和 C、-（-2）和+（+2） 、（ ） （ ） B、-（-1）和+（-1） 、（ ） （ ） D、1/4和-0.2括：
1、有理数的意义
有理数的意义一、学习目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．二、要点疏理要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．三、典型例题类型一、正数与负数1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是__________粒.四、巩固练习一、选择题1.（2014•甘肃模拟）下列语句正确的（）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0℃表示没有温度．A. 0B.1C.2D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )A．0是整数 B．0是偶数C．0是正整数 D．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A．前进-18米的意义是后退18米B．收入-4万元的意义是减少4万元C．盈利的相反意义是亏损D．公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )A．甲站的东边70千米处 B．甲站的西边20千米处C．甲站的东边30千米处 D．甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（）A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量B．有最大的数C．没有最小的数，也没有最大的数D．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是（）A．－1 B．2 C．0．5 D．二、填空题1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作．2．在数中，非负数是______________；非正数是__________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .5．（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作________米．6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是毫米，加工要求最大不超过毫米，最小不小于毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元（4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，____________ ，____________ ，...____________ ，...(2)-1,,-,,,,,____________ ,____________ ,...____________ ,...。
第1讲有理数五大概念
第1讲有理数五大概念第一章有理数第1讲有理数五大概念知识导航1.正数和负数2.有理数3.数轴4.相反数5.绝对值方法技巧熟练掌握有理数的五大概念，依据定义解题【板块一】正数和负数题型一正数和负数的意义－－－－表示相反意义的量【例1】用正负数表示下列各题中具有相反意义的量：（1）足球比赛中，若输2个球记作－2，那么赢3个球记作；（2）若规定向东走3米记作＋3米，那么向西走5米记作米；（3）银行若存入3000元记作＋3000元，那么从中取出2000元记作；（4）负债100元也可以说成是拥有；题型二判断数的正负【例2】下列各数：0.6，－3，＋2，10%，0，－8，－1.2，＋，π，，。
（1）正数有；（2）负数有【例3】想一想:如果字母a表示一个有理数，那么“－a”是正数还是负数呢？题型三根据数的正负性求值或范围【例4】若a－1表示正数，2a－6表示负数，求整数a表示的数。
针对练习11.若规定海平面的高度为0米，且规定高出海平面的高度为正，一潜水艇在水面下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为，，鲨鱼比潜水艇高出米。
2.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度，已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（）A.甲地高出海平面100米B.丙地最低C.乙地比甲地低90米D.乙地比丙地高70米3.下列各数：＋5.9，，－7，0，，8中，正数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.大于－4且小于3的所有整数有（）A.3个B.4个C.5个D.6个【板块二】有理数知识导航有理数：整数和分数统称有理数。
（可以化为两个整数的比的数）1.按定义分类2.按性质分类非负数：正数和0统称非负数；非正数：负数和0统称非正数；非负整数：正整数和0统称非负整数；非正整数：负整数和0统称非正整数。
有理数 .1 有理数
13．下列说法中正确的有( C ) ①0 是整数；②－121是分数；③3.2 不是正数；④自然数一定是正数； ⑤负分数一定是负有理数． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
14．在＋3，－8，－117，272，0，－3.14，10，5%中，整数有 m 个，非负数有 n 个，则 m＋n 的值为__9__．
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1．本该过节的母亲却留在家里，要给 母亲过 节的家 人却外 出游玩 。这一 情节引 人入胜 ；令人 哑然失 笑；突 出了母 亲形象
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2．通读全文，我们能感受到：菜农是 一位憨 厚朴实 、热爱 生活、 追求内 心的宁 静、做 事专注 认真、 不怕别 人嘲笑 奚落的 人。
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3.读了本文，我明白了在当今世俗的 喧嚣中 应保持 自己内 心的宁 静，不 为世俗 所扰。 文中的 菜农能 够在喧 闹的菜 市场沉 浸于书 本的美 好中， 沉浸于 内心的 宁静中 。在生 活中， 我不会 因某次 月考的 成功而 骄傲。 而要保 持内心 的宁静 ，继续 努力前 行。
15．观察下列各组数的排列规律，接着写出后面的三个数． (1)－2，4，－6，8，－10，_1_2__，___－__1_4__，_1_6__，…； (2)－1，2，3，－4，5，6，－7，8，9，_－__1_0___，__1_1_，_1_2__，…； (3)1，0，－1，0，1，0，－1，0，1，0，－1，0，1，0，__－__1_____， _0___，_1___，….
整数 分数 正数 负数 自然数 有理数
1
5 7
0 －3.14 －12
19．如图，两个椭圆分别表示正数集合和整数集合．请在每个椭圆内填入6 个 数 ， 其 中 有 3 个 数 既 是 正 数 又 是 整 数 ， 这 3 个 数 应 填 在 __A__ 处 ( 填 “A”“B”“C”)，你能说出两个椭圆重叠部分表示什么数的集合吗？
第一章有理数-有理数(教案)
-难点解释：分数乘除时，分子分母的交叉相乘相除，以及结果的符号判定。
-数轴上的有理数比较：特别是负数的大小比较。
-难点解释：在数轴上，负数的绝对值越大，其值越小，对于学生来说是思维上的一个转换点。
-应用题的建模：如何将实际问题抽象为有理数运算问题。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与有理数相关的实际问题，如购物时如何计算总价。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，使用数轴来表示不同的有理数，并观察它们之间的关系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“有理数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
在讲授新课内容时，我尽量用简洁明了的语言解释有理数的性质和运算规则，并通过案例分析让学生们看到有理数在实际中的应用。然而，我也发现，仅仅依靠讲解和案例可能还不够，学生们需要更多的实践活动来加深理解。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生们亲自动手去解决问题，这样能够更好地帮助他们消化吸收所学知识。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了有理数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对有理数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
第1讲 有理数的概念(数轴、相反数)
有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。
2024年人教版七年级上册教学设计第一章 有理数第一章 有理数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“有理数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准2022》)指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.“数与式”是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母的运算和推理得到的结论具有一般性.课标的内容要求:①理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量;理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.②借助数轴理解相反数和绝对值的意义,初步体会数形结合的思想方法,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法.教师应把握数与式的整体性,一方面,通过对有理数的认识,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象,知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达;另一方面,通过代数式和代数式运算的教学,让学生进一步理解用字母表示数的意义,通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.在教学过程中,要关注数学知识与实际的结合,让学生在实际背景中理解数量关系和变化规律,经历从实际问题中建立数学模型、求解模型、验证反思的过程,形成模型观念;要关注基于代数的逻辑推理,能在比较复杂的情境中,提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力,以及有逻辑地表达与交流的能力.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级上册第一章“有理数”,本章包括两个小节:1.1正数和负数;1.2有理数及其大小比较.数及其运算是中小学数学课程的核心内容.小学已经安排了自然数、正分数及其运算等学习内容.本单元借助生活实例引入负数.通过添加负数这一类“新数”,使数的范围扩张到有理数.引入负数是实际的需要,也是学习后续内容,特别是“数与代数”内容的需要,学生可以从中体会根据实际和数学的需要引入“新数”的好处.有理数的概念可以利用数轴来认识、理解;同时,利用数轴又可以把这些概念串在一起.数轴是数形结合思想的产物.引进数轴后,可以用数轴上的点直观地表示有理数,为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具,同时也为学习有理数的运算法则做了准备.引入相反数的概念,一方面可以加深对相反意义的量的认识,另一方面可以为学习绝对值、有理数运算做准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.在数轴上,一个点由方向和距离(长度)确定;相应地,一个实数由符号与绝对值确定.这里,“方向”与“符号”对应,“距离”与“绝对值”对应,又一次体现了数与形的结合、转化.所以,绝对值概念可以促进对数轴概念的理解,同时也是学习数的大小比较、数的运算的基础.本单元重点是理解正负数、有理数和绝对值的相关概念;难点是在理解概念的基础上,养成良好的思维习惯.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级上册第一章有理数.学生在小学已经学习了自然数、正分数及其运算、用字母表示数的知识,这些都是学习本章的基础.实际上,小学学过的数及运算的知识,就是有理数及其运算的知识,数的范围限制在“正数和0”.因此,本单元内容的教学,首先要做好与以往算术知识和方法的衔接,在原有基础上自然引申出新的问题和思路.例如,对负数的认识,借助实际生活、生产中大量存在的“相反意义的量”,提出引入“新数”的需要,然后借助“大于0的数叫作正数”,自然引入“在正数前面加上符号‘-’(负号)的数叫作负数”.另外,本单元渗透了用字母表示数的知识,例如,用-a表示a的相反数;用字母表示求一个数的绝对值的结论;等等.这样,既使问题阐述得更简明、更深入,也使学过的数与代数的知识得到巩固、加强和提高.总之,加强与小学学过的数及运算的衔接,不仅有利于学生理解本单元知识,也有利于培养学生提出问题的能力.四、单元学习目标1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里a表示有理数).五、单元学习内容及学习方法概览有理数课时划分内容本质与研究方法1.1正数和负数通过提出问题,根据问题归纳正数和负数的概念;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生积极思考、合作交流的意识和能力续表有理数课时划分内容本质与研究方法1.2有理数及其大小比较1.2.1有理数的概念提出问题,根据问题归纳有理数的概念,并对有理数进行分类;培养学生观察、发现问题的能力,培养学生分类讨论的数学思想1.2.2数轴提出问题,根据问题归纳数轴的概念,让学生积极参与探究数轴的活动,并学会与他人交流合作;让学生感受在特定的条件下数与形是可有理数课时划分内容本质与研究方法以互相转化的,让学生体验生活中的数学1.2.3相反数通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征,培养归纳能力;渗透数形结合思想,感受事物之间的对应统一的辩证思想1.2.4绝对值提出问题,通过探索求一个数绝对值的方法让学生通过观察,发现规律,总结方法;培养学生积极参与数学活动,在数学活动中体验成功的乐趣1.2.5有理数的大小比较经历用数轴比较有理数大小的方法和形成过程,体会负数的大小比较与自己原有认知体系的不同;经历形式多样的数学活动,让学生通过观察、思考和自己动手操作,体验有理数大小比较法则的探索过程六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
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探究
5、如果用一个字母表示一 个数， 个数，那a可能是什么样的 一定是正数吗？ 数？一定是正数吗？ 不一定， 可能是正数， 答：不一定，a可能是正数， 可能是负数，也可能是0 可能是负数，也可能是0。
课 堂 小 结
生活中有更多的负 数等待你们去发现。 数等待你们去发现。
2.有理数 有理数
课 前 导 入
1、小明在书上看到，冬日的 一天，某地的最高气温为 15℃，最低气温达到-12℃， 平均气温是0 ℃，这里面的 数是什么数？ 15是正数 -12是负数 0既不是正数也不是负数
3／4，-1／2 ，0.2，-0.5， 它们又是什么数呢？
什么是整数集合、 什么是整数集合、 分数集合、 分数集合、有理数 集合？ 集合？
知 识 应 用
1、把下列各数填入相应的集合 、 内。
12／7，-3.1416，0，2008，-8／5， -0.23456，10%，10.1，0.67，-89
12／7 10% 2008 0.67 10.1 -3.1416 -0.23456 -8／5 -89
算是自然数。 生1：0算是自然数。 ： 算是自然数 是正负数。 生2：0是正负数。 ： 是正负数 生3：它哪个都不是，是特殊的数。 ：它哪个都不是，是特殊的数。
结论： 既不是正数 也不是负数。 既不是正数， 结论：0既不是正数，也不是负数。 是分界点。 是分界点。
生活中的应用
4 3 2 1 -1 -2
海口12~23 ℃
北京-5℃ 北京 ℃和5℃一样吗？ ℃一样吗？
-5℃和5℃不一样， -5℃表示 ℃ ℃不一样， ℃ 零下5度 摄氏度。 零下 度， 5℃表示零上 摄氏度。 ℃表示零上5摄氏度 -5℃和5℃不一样， -5℃表示 ℃ ℃不一样， ℃ 比零度还要低5摄氏度 摄氏度， ℃ 比零度还要低 摄氏度， 5℃表示比 零度高5摄氏度 摄氏度。 零度高 摄氏度。 -5℃和5℃不一样， -5℃比零 ℃ ℃不一样， ℃ 摄度冷， ℃表示比零摄氏度热。 摄度冷， 5℃表示比零摄氏度热。
我发现零下5摄氏度时 我发现零下 摄氏度时 这样写的-5℃ 这样写的 ℃。
北京最高温度是 5℃，最低温度 ℃ 是零下5 是零下 ℃ 。
哈尔滨 -12~3 ℃
北京-5~5℃ 青岛 0~6 ℃
拉萨 -20~ -3 ℃ 台北 5~10 ℃ 昆明 6~15 ℃
有负数吗？请你读出来。 有负数吗？请你读出来。
收入 转入24人 转入 人 三月份 2000元 元 支出 四月份 1600元 元
分 下半场 输2分
转出18人 五年级 转出 人
第二种方式： 用笑脸图、哭脸图表示 用笑脸图、
足球比赛 上半场 下半场 转学情况 四年级 五年级 帐目结算 三月 份 四月 份
第三种方式：
足球比赛 上半场 下半场
用+2、-2表示 、 表示
这节课我们的收获：
1、有理数的概念。 、有理数的概念。 2、有理数的分类。 、有理数的分类。 种分类方法） （2种分类方法） 种分类方法 3、数学方法：分类思想。 、数学方法：分类思想。
P14
1, 2
新 课 讲 解 整 数
我们学过的数： 我们学过的数： 0.1、5.32、 -0.5、 、 、 正整数，如：1、2、3…… 、 因为它们都可以化 -150.25等为什么被 等为什么被 零，0 为分数 列为分数呢？ 列为分数呢？
+2000 -1600
简明、 简明、清楚
足球比赛 上半场 下半场
转学情况 四年级 五年级
帐目结算 三月 份 四月 份
+2 -2
+24 -18
+2000 -1600
你知道像上面的数叫什么？ +2怎么读？ 读作：正2 读作： 你知道像下面的数叫什么？ -2怎么读？ 读作：负2 读作：
正数
负数
足球比赛 上半场 下半场
海平面 大海
陆地 台湾海峡最深处 海拔：-2311
生活中的应用
西 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 东 2 3 4 5
（3）上图每格表示 米，小华刚开始的位置在 处。 ）上图每格表示1米 小华刚开始的位置在0处
A 、 小华从 点向东行 米，表示为 ，那么从 点向 西 小华从0点向东行 点向东行5米 表示为+5，那么从0点向 行 3米，表示为（ ）米 米 表示为（ B 、 如果小华的位置是 米说明他是向（ 东）行（ 4 ）米。 如果小华的位置是+4米说明他是向 米说明他是向（ C、 如果小华的位置是 米说明他是向（西）行（ 5 ）米。 、 如果小华的位置是-5米说明他是向 米说明他是向（ -3
说不完。 说不完。
所有正数和0比 有什么关系？ 所有正数和 比，有什么关系？ 所有负数和0比 有什么关系？ 所有负数和 比，有什么关系？ 所有正数比0大 所有负数比 小 所有正数比 大，所有负数比0小。
负数 < 0 < 正数
讨论： 算正数吗 算负数吗？ 算正数吗？ 讨论：0算正数吗？算负数吗？
汇 报
-5℃是比零摄氏度还冷5摄氏度， ℃是比零摄氏度还冷 摄氏度 摄氏度， - 15℃是比零摄氏度还冷 摄氏度。 摄氏度。 ℃是比零摄氏度还冷15摄氏度 -15℃在-5℃下面。 ℃ ℃下面。
用你的动作和表情告诉 我-15℃时的感觉。 ℃时的感觉。
你能说几个正数和负数吗？ 你能说几个正数和负数吗？ +10、-20 、 +180、-207 、 +1080、-120 、 说得完吗？ 说得完吗？
生活中的应用
（4）刘翔在第十届世界田径锦标赛半决赛中， ）刘翔在第十届世界田径锦标赛半决赛中， 110米栏的成绩是 米栏的成绩是13.42秒，当时赛场风速为每 米栏的成绩是 秒 秒-0.4米。 米 讨论：风速怎么会有负的？ 风速和刘翔是对着跑的。 讨论：风速怎么会有负的？ 风速和刘翔是对着跑的。
请两生分别代表刘翔和风速表演，是相反的。 请两生分别代表刘翔和风速表演，是相反的。
正数（正整数） 正数（正整数）
②一把测量用的刻度尺上可以读出哪 几类有理数？ 几类有理数？
正数、分数、 正数、分数、零
③一支测量气温用的温度计，可以从 一支测量气温用的温度计， 上面读出哪几类有理数？ 上面读出哪几类有理数？
正数、 正数、零、负数
零上的温度用什么表示？ 零上的温度用什么表示？ 零下的温度用什么表示？ 呢 零下的温度用什么表示？0呢？ 零上的温度用正数表示。 零上的温度用正数表示。
零下的温度用负数表示。 零下的温度用负数表示。 0正好是零上温度和零下温度 正好是零上温度和零下温度 的分界点。 的分界点。
看温度计，读温度。 看温度计，读温度。
帐目结算 三月 份 四月 份
转学情况 四年级 五年级
+2 -2
+24 -18
+2000 -1600
你认为以上三种方法哪种更好？为什么？ 你认为以上三种方法哪种更好？为什么？ 第三种好。 第三种好。
足球比赛 上半场 下半场 转学情况 四年级 五年级 帐目结算 三月 份 四月 份
+2 -2
+24 -18
负整数，如：-1、-2、-3 …… 正分数，如：1／2、2／3、15／7、 0.1、5.32…… 负分数，如：-5／2、-2／3、-1／7、 -0.5、 -150.32……
分 数
练 一 练
依据生活情境回答问题： 依据生活情境回答问题： ①当夜空中繁星密布时，小贝贝在数 当夜空中繁星密布时， 星星，他所用到的数属于什么数？ 星星，他所用到的数属于什么数？
不能忘了 零哦！ 零哦！
分类要有标准 哦！
下列关于零的说法， 3、下列关于零的说法，正确的有 （
B
）
①0是最小的正整数 ②0是最小的有理数 ③0不是负数 ④0既是非正数也是非负数
A、1个 C、3个
B、2个 D、4个
4、判 断
√ （1）0是整数（ ） 是整数（ √ （2）自然数一定是整数（ ） 自然数一定是整数（
分数
新 课 讲 解
我们学过的数： 我们学过的数：
正整数，如：1、2、3…… 整 数 零，0 负整数，如：-1、-2、-3 …… 正分数，如：1／2、2／3、15／7、 分 0.1、5.32…… 数 负分数，如：-5／2、-2／3、-1／7、 -0.5、 -150.32……
正整数、 正整数、零、负整数统称为整数。 负整数统称为整数。 整数 正分数、负分数统称为分数。 正分数、负分数统称为分数。 分数 整数和分数统称为有理数。 整数和分数统称为有理数。 统称为有理数
……
正数集合
……
负数集合 12／7 -3.1416 10% -8／5 10.1
0
2008
-89
-0.23456
……
整数集合
……
分数集合
0.67
方法， 2、以下是两位同学给出的有理数的分类 方法， 你认为他们的分类正确吗 ？
正整数
正有理数
正分数
正数
有理数
负整数
有 理 数
整数 分数 负数 零
负有理数
负分数
-5℃。 ℃
看温度计，读温度。 看温度计，读温度。
-15℃。 ℃
比较两个温度 （5℃和15℃）哪 ℃ ℃ 个更冷？ 个更冷？
5℃更冷。 ℃更冷。
比较两个温度 （-5℃和-15℃） ℃ ℃ 哪个更冷？ 哪个更冷？
- 15℃更冷。 ℃更冷。
怎么能说明-15℃ 怎么能说明 ℃比-5℃更冷了？ ℃更冷了？ 温度计上有表示。 温度计上有表示。
1、先找到0℃这个分界点。看水银柱 、先找到 ℃这个分界点。 在0℃以上还是0℃零以下。 ℃ ℃零以下。 2、再看水银柱上升到哪一刻度，就读 、再看水银柱上升到哪一刻度， 成多少摄氏度。 成多少摄氏度。