指数与指数幂的运算(根式及其性质)
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
指数与对数函数知识点总结
（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果 x n a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 根，其中 n >1，且 n ∈ N * ． 负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 0 。
当 n 是奇数时，n a n a ，当 n 是偶数时， n an | a | a (a 0) a (a 0)
2、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
定义域 R 值域 y＞ 0 在 R 上单调递 增 非奇非偶函数 函数图象都过 定点（ 0， 1）
6 5 4 3 2
11
-4
-2
0
-1
2
4
6
Hale Waihona Puke 定义域 R 值域 y＞0 在 R 上单调递 减 非奇非偶函数 函数图象都过 定点（ 0，1）
数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+∞）．
注意： ○1 对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义，
注意辨别。如： y
2log 2 x ， y
x log 5
都不是对数函数，
5
而只能称其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制： (a 0 ，且 a 1) ．
2、对数函数的性质：
a>1
函数 图象都过定 点（ 1， 0）
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
a n n am (a 0,m, n N * , n 1)
m
an
1
m
an
1 ( a 0, m, n N * , n 1) n am
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
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(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
定义
函数y logax(a 0且a
1）叫做对数函数
a1
0a1
x1
x1
yx 1
y
y logax
yy logax
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
Ox
定义域
(0,,0)，即当x
1时，y 0．
奇偶性
非奇非偶
② 对数函数对底数的限制：（a 0，且a1）． 三、对数函数的图像和性质：
指数函数及其性质
、指数与指数幂的运算
一）根式的概念
1、如果xna,a R,x R,n1，且n N，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a
函数名称
指数函数
定义
函数y ax（a 0且a1）叫做指数函数
图象
a1
0a1
y 1yy ax
(0,1)
Ox
y axy
y 1(0,1)
Ox
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
在第一象限内，a越小图象越高， 越靠近y轴；
图象影响
在第二象限内，a越大图象越低， 越靠近x轴．
在第二象限内，a越小图象越低， 越靠近x轴．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
1）
在[a，
b]上，
f (x)
ax(a 0且a
1)值域是[f (a),f(b)]或[f(b),f(a)]
2）
若x
0，则
对数函数及其性质
、对数与对数的运算
一）对数
1．对数的概念： 一般地， 如果ax
N (a
0,a
1），那么数x叫做以．a为．底．N的对数， 记作：
x
高一数学指数与指数幂的运算1
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…
指数与根式的运算定理
指数与根式的运算定理在数学中，指数与根式的运算定理是指数和根式之间运算的一些基本规则和性质。
这些定理在代数和计算中经常被使用，能够帮助我们简化复杂的指数和根式的运算过程。
以下将介绍一些常见的指数与根式的运算定理。
一、指数的乘法和除法定理1. 指数相乘：对于相同的底数，指数相乘等于底数不变，指数相加。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)。
2. 指数相除：对于相同的底数，指数相除等于底数不变，指数相减。
例如，a^m / a^n = a^(m-n)。
二、指数的幂次和根式的运算定理1. 指数的幂次：对于一个数的指数的幂次，等于底数不变，指数乘以幂次。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
2. 幂次的根式：对于一个数的幂次的根式，等于底数不变，指数除以根指数。
例如，(a^m)^(1/n) = a^(m/n)。
三、根式的乘法和除法定理1. 根式相乘：根指数相同的根式相乘，等于根指数不变，底数相乘。
例如，√a * √b = √(a*b)。
2. 根式相除：根指数相同的根式相除，等于根指数不变，底数相除。
例如，√a / √b = √(a/b)。
四、指数与根式的混合运算定理在进行指数与根式的混合运算时，可以先将指数转化为根式，再进行根式的运算。
例如，(a^m)^(1/n) = (√a^m)^n = (√(a^m))^n = (a^m)^(n/1) = a^(m*n)。
以上是指数与根式的运算定理的简要介绍，通过运用这些定理，我们可以更加方便地进行复杂指数和根式的运算。
然而，在具体的问题中，我们还需要根据题目要求和实际情况灵活运用这些定理，以达到更加准确和高效的计算目的。
总结：指数与根式的运算定理提供了一些基本的规则和性质，可以帮助我们简化复杂的指数和根式的运算过程。
在实际运用中，我们需要熟练掌握这些定理，并根据实际情况进行灵活运用，以便更好地解决数学问题。
指数与指数函数图像及性质(学生版)
指数与指数函数图像及性质【知识要点】 1．根式（1）如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.其中1>n ，且*∈N n 。
（2）如果a x n=，当n 为奇数时，n a x =；当n 为偶数时，n a x ±=()0>a .其中n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 其中1>n ，且*∈N n 。
(3)()()*∈>==N n n a a nnn ,1,00。
,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中1>n ，且*∈N n 。
2.分数指数幂(1)正分数指数幂的定义: n m n m a a =()1,,,0>∈>*n N n m a (2)负分数指数幂的定义: nm nm aa1=-()1,,,0>∈>*n Nn m a(3) 要注意四点：①分数指数幂是根式的另一种表示形式； ②根式与分数指数幂可以进行互化； ③0的正分数指数幂等于0； ④0的负分数指数幂无意义。
(4)有理数指数幂的运算性质:①sr sra a a +=⋅()Q s r a ∈>,,0；② ()rs sra a =()Q s r a ∈>,,0；③()r r rb a ab =()Q r b a ∈>>,,0,0.3.无理数指数幂(1)无理数指数幂的值可以用有理数指数幂的值去逼近; (2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
4．指数函数的概念：一般地，函数()0,1xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
5．指数函数的图像与性质第一课时【典例精讲】题型一 根式、指数幂的化简与求值1.n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mnmn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【例1】计算下列各式的值．（1（2（3；（4)a b >.【变式1】 求下列各式的值：（1*1,n n N >∈且）；（2【例2】计算)21313410.027256317--⎛⎫--+-+⎪⎝⎭【变式2】化简34的结果为（ ）A ．5B ．C ．﹣D ．﹣5【变式3】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________.题型二 根式、指数幂的条件求值 1. 0a >时，0;b a > 2. 0a ≠时， 01a =； 3. 若,r s a a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【例3】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++【变式1】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【变式2】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.【变式3】已知11223a a -+=，求33221122a aa a----的值.【变式4】（1）已知122+=xa，求xx xx a a a a --++33；（2）已知a x=+-13，求6322--+-x ax a .【例4】计算下列各式的值：（1）246347625---+-；（2）()2x 3442<--+-x x x ；（3）12121751531311++-+++++++n n ；（4）()54 2222233=++--xxxx x 其中.【变式5】化简或计算出下列各式：（1）121316324(1243)27162(8)--+-+-；（2）化简65312121132ab b a b a ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3【课堂练习】1. 若()0442-+-a a 有意义,则a 的取值范围是()A.2≥aB.42<≤a 或4>aC. 2≠aD. 4≠a 2. 下列表述中正确的是() A.()()()273336263=-=-=- B.32213421313a a a a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅ C.无理数指数幂na (n 是无理数)不是一个确定的实数 D.()()()⎩⎨⎧≤-≥=00a a a a a nn3. 已知0>a ,则的值2313123131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--a a a a 为 ()A.3232-+aa B.4 C. 3232--aa D. 4-4. 计算：()=-+-0430625.0833416π ______.【思维拓展】1.化简⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----2141811613212121212121的结果是 ( )A.13212121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B.132121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- C.32121-- D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3212121第二课时题型三 指数函数的概念【例1】已知函数()2()33x f x a a a =-+是指数函数，求实数a 的值。
2.1.1指数与指数运算(根式)
P50探究 例如，3 33 = 3 ，5（-3）5 = -3
32 = 3 ，（-3）2 = 3
当n为奇数时, n an a;
当n为偶数时, n
an
| a |
a, a 0, a,a 0.
例1、求下列各式的值:
(1)3 (8)3 ＝－8 (2) (10)2 ＝︱－10︱＝10
P59A1
(3)4 (3 )4 ＝︱3－π ︱＝ π －3
(4) (a b)2 (a b) ＝ ︱a－b ︱=a－b
分析：
当n为奇数时，n an a
a(a 0)
当n为偶数时，n an a
-a (a<0)
补充练习：
（1） 5 －3）3 =-3
（3） （－3）4 = 92 = 9 =9
（4） （ 2－ 3）2 =︱ 2－ 3︱= 3－ 2
(5)
6 = （ 3）2 =︱x3︱
(6)
5－2 6 = （ 3）2－2 2 3 （ 2）2
= （ 3－ 2）2 =︱ 3－ 2 ︱ = 3－ 2
小结
a2
(3) a6 的三次方根是____
(4) 0 的七次方根是____0___
思考：a的n次方根有几个？
① n 为奇数时，a 的 n 次方根只有1个．记为：n a
正数的奇次方根是正数, 例如，3 8=2 负数的奇次方根是负数, 例如，3 -8=-2 零的奇次方根是零.
② n为偶数时，aa 0 的 n次方根有2个．记为： n a
例如，81的4次方根 4 81= 3.
（其中4 81=3， -4 81=-3）
n 0 0；负数没有偶次方根．
4、式子 n a 叫做根式． n 叫做根指数，a 叫
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问题4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面
的说法，这里的x分别叫什么名称？
问题5:推广到一般情形，a的n次方根是一个
什么概念？试给出其定义.
一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.
知识探究（二）：方根性质和根式概念
问题1:-8的立方根，16的4次方根，32的5次
1、化简4（3a 3）4 2、若5 a 8，化简 (a 5)2 (a 8)2
理解根式的概念及性质 两个公式
一线精练 课本39页第1题
方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立 方根分别是什么数？怎样表示？
问题2:设a为实常数，则关于x的方程 x3=a，
x5=a分别有解吗？有几个解？
问题3:一般地，当n为奇数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题4:设a为实常数，则关于x的方程 x4=a，
x6=a分别有解吗？有几个解？
问题5:一般地，当n为偶数时，实数a的n次
方根存在吗？有几个？
问题6:我们把式子n a(n N, n 1) 叫做根式，
其中n叫做根指数，a叫做被开方数.那么， a的n次方根用根式怎么分类表示？
当n是奇数时，a的n次方根为 n a .
当n是偶数时,若a>0，则a的n次方根为 n a;
若a=0，则a的n次方根为0； 若a<0，则a的n次方根不存在.
根式
an a am n am
an
a0
am n ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
n
b
a n
abn
知识探究（一）：方根的概念
问题1:４的平方根是什么？任何一个实数都 有平方根吗？一个数的平方根有几个？
问题2:-27的立方根是什么？任何一个实数
都有立方根吗？一个数的立方根有几个？
问题3:一般地，实常数a的平方根、立方根
知识探究（三）：根式的运算性质
知识探究（三）：根式的运算性质
知识探究（三）：根式的运算性质
例2、下列说法正确的是
(1)4 a 4 a (2)a0 1 (3)正数的n次方根是一个正数 （4）负数n次方根是一个负数 (5)a的n次方根用n a表示(n 1, n N * )
例3、研究下列式子成立的范围 (1) (x 5)(x2 25) (5 x) x 5 (2) a2 2a 1 a 1