指数和指数幂的运算.根式
高中数学 第二章 基本初等函数(1) 2.1.1 指数与指数幂的运算 第一课时 根式学案(含解析)
2．1。
1指数与指数幂的运算第一课时根式根式［提出问题]（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。
问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示:是．问题2:一个数的奇次方根有几个？提示:1个．问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念（1）a的n次方根定义:如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。
（2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数错误!Rn为偶数±错误![0，＋∞）（3)根式：式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．［化解疑难]根式记号的注意点（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。
（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.根式的性质［提出问题]问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？提示:2，－2，2.问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?提示：－2,2,2,2.问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．［导入新知］根式的性质(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．(2)错误!＝错误!(3)错误!＝0。
(4）负数没有偶次方根．[化解疑难]（错误!)n与错误!的区别（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。
方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式
方根、指数、幂、对数基本运算公式及全部推导公式1.根式运算法则：(1) ， ，；(2) ，，(ma =≥0)a =≥0,P ≠0)(5) ,0),,a m n N =≥∈其中2.指数运算法则：， ， ，，，，（7）1(0)mm a aa-=≠， （8）1n a = （9）mn a =（10） d bdba c a c =⇔=3.对数运算法则：i 性质：若a ＞0且a≠1，则，， （3）零与负数没有对数，（4）log log 1a b b a ⨯= ⑥,（7）log log log 1a b c b c a ⨯⨯=ii 运算法则： 若a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，b ＞0且b≠1，n ∈R 则， ，， log log (,01)m n a a nb b a b m=>≠且 （4）, log log n naa m m =， 1log log na a m m n=（5）换底公式 ， a>0 a ≠1, b>0 b ≠1, N>0,（6）倒数公式 1log ,0,1log a b b a a a=>≠, b>0 b ≠1 (7) 十进制对数 10log lg N N = ， l g 10xN x N =⇔=（8）自然对数 log e N InN = ， x InN x e N =⇔= ， 1lim(1) 2.71828...n n e n→∞=+≈4.指数与对数式的恒等变形：；。
5、指数方程和对数方程解题：()(1)()log ,log ()()(f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=定义法）()()(2)()(),log ()log ()()()0(f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>转化法） ()()(3)b ()log ()log ,f x g x m m a f x a g x b =⇔=（取对数法）()(4)log log ()log ()log ()/log ,f x a b a a a g x f x g x b =⇔=（换底法）6、理解对数①两种log a b 理解方法1、表示a 的“指数”，这个指数能让a 变成b 。
指数、对数函数基本知识点
基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n 次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1)(2)(3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.且图象过定点，即当时，变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).，那么①加法：②减法：③数乘：⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.且图象过定点，即当时，上是增函数上是减函数变化对图在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。
指数与指数幂的运算
34）=（
2
）-3
=
27
81
3
38
例3:用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)
（1）a2 a （2）a3 3 a2 （3） a a
解（ : 1）a2
a
a2
1
a2
2 1
a2
5
a2
（2）a3 3
a2
2
a3 a3
3 2
a 3
11
a3
（3）a a
1
aa2
（a112）12
a
3 4
例题讲解
一、根式与分数指数幂的互化
成立的x的范围.
解: (x 2)(x2 4) ( x 2)2 x 2
x 2 x 2.
x 2 x 2 ( x 2) x 2.
则有
x
2
0,
或
x 2 0, | x 2 | x
2.
x
2, 或
x x
2, 2≥
即
0.
x
2,
或x
≥
2.
所以x的取值范围是
x 2, 或x ≥ 2.
回顾初中知识,根式是如何定义的？有那些规定？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a的平方根.
22=4 (-2)2=4
2,-2叫4的平方根.
②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根.
23=8 (-2)3=-8
2叫8的立方根. -2叫-8的立方根.
24=16
(-2)4=16
2,-2叫16的4次方根;
24=16 (-2)4=16
(-2)5=-32 27=128
16的4次方根是±2.
-32的5次方根是-2. 2是128的7次方根.
指数函数运算公式8个
指数函数运算公式8个
指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是底数，x是幂。
指数函数具有以下8个运算公式：
1.乘法公式：
a^x*a^y=a^(x+y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相乘时，底数不变，指数相加。
2.除法公式：
(a^x)/(a^y)=a^(x-y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相除时，底数不变，指数相减。
3.平方公式：
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了指数函数的指数也可以是指数。
4.根式公式：
(a^x)^(1/y)=a^(x/y)
这个公式说明了指数函数可以求根号。
5.幂公式：
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了对一个指数函数求幂时，可以将指数间的乘法提到指数外面。
6.对数公式：
loga (a^x) = x
这个公式说明了对一个指数函数求底数为a的对数时，可以得到其指数。
7.指数和对数互补公式：
a^loga (x) = x
这个公式说明了对一个以底数为x的对数函数求以底数为a的指数时，结果是x。
8.复合函数公式：
g(f(x))=(a^x)^y
=a^(x*y)
这个公式说明了一个指数函数作为复合函数时，可以把两个指数相乘。
这些指数函数运算公式是指数函数的基本性质，通过这些公式可以对
指数函数进行各种运算和简化。
对于求解指数函数的实际问题，这些公式
具有重要的应用价值。
2.1.1指数和指数幂运算(一)—根式
新课
2、 n次方根的定义
一般地, 若x a, 则x叫做a的n次方根.其中
n
n次方根,32的5次方根; (2)25的2次方根, 81的4次方根.
n次方根有何性质？
3/21/2019 10:18:57 PM
新课
n次方根的性质
(1)奇次方根的性质 :
(1).
3 3
(3)( 3) ; 2 (4 ) ( a b ) . n n (5 ) ( a b) .
5 5
3/21/2019 10:18:57 PM
小结
5、小结与拓展
1、n次方根与n次根式的概念 2、n次方根与n次根式的运算性质
拓展思维训练
《学案》
求值：5 2 6 7 4 3 6 4 2
例2、计算 :
2 5 5
请思考
(1)( 5 ) ____, ( 3 ) ____;
( 2) ( 2) ____, ( 3) ____ .
2 3 3
比较( a ) 和 a 的区别与联系 ?
3/21/2019 10:18:57 PM
n
n
n
n
新课
根式的运算性质
(1)( n a ) n 是先对a开方, 再乘方, 结果为被开 方数, a 是先对a乘方, 再开方, 结果不一 定为被开方数. n n (2)当n为奇数时, a ____, a 当n为偶数时, a
正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次 方根是一个负数,0的奇次方根是0.
( 2)偶次方根的性质 : 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号
相反的数, 负数的偶次方根没有意义,0的 奇次方根是0.
3/21/2019 10:18:57 PM
高一数学指数与指数幂的运算2(1)
4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16
)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x
x 1
1
3，求x 2
x
1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；
高中数学《指数与指数幂的运算》导学案
探究1：n次方根的概念
由初中所学知识及示例完成下面填空
示例：①(±2)2＝4，则称±2为4的；
②23=8，则称2为8的；
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的；25=32，则2叫做32的
xn=a，其中n＞1，且n∈N﹡
归纳总结：n次方根的概念
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N﹡.
得x＜ .
3．化简 (a，b>0)的结果是()
A． B．abC． D．a2b
解析原式＝ ÷ ＝a(3＋ )× b(2＋ )× ÷ ＝a － ×b － ＝ .
4．2－ ＋ ＋ － ·8 ＝________.
解析原式＝ ＋ ＋ ＋1－22＝2 －3.
5．已知3a＝2,3b＝ ，则32a－b＝________.
解析由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，
所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，
所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
12．计算下列各式的值：
(1)(0.027) － ＋256 ＋(2 ) －3－1＋π0；
(2)7 －3 －6 ＋ ；
(3)(a ·b－ )－ · ÷ (a＞0，b＞0)．
当n为偶数时，
0的任何次方根都是0，记作 =0.
探究2：根式的概念
探究点2在方根的表示中，你知道式子叫什么吗？
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
探究3：根式的运算性质
=2
结论 =a
2、求下列各式的值
(1) =_____ =_________
结论:an开奇次方根,则有 =a
幂和根的基本概念和运算法则
幂和根的基本概念和运算法则在数学中，幂和根是基本的代数运算之一，涉及到数的乘方和开方运算。
幂和根的基本概念和运算法则对于理解和应用数学具有重要的意义。
1. 幂的基本概念和运算法则幂是指一个数自己乘以自己若干次的结果。
以a为底、n为指数的幂表示为a^n。
其中，a称为底数，n称为指数。
若指数n为正整数，则a^n表示把底数a连乘n次；若指数n为负整数，则a^n表示底数a的倒数连乘|n|次；若指数n为0，则a^n的结果定义为1。
幂的运算法则包括：- 幂的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的幂相乘，指数相加。
- 幂的除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，即相同底数的幂相除，指数相减。
- 幂的乘方法则：(a^m)^n = a^(m*n)，即幂的指数再次乘方，结果为底数不变，指数相乘。
- 幂的零指数法则： a^0 = 1，其中，a ≠ 0。
2. 根的基本概念和运算法则根是指数的逆运算，即给定一个数a和正整数n，求某个数x，使得x^n=a。
其中，a称为被开方数，n称为根次，x称为根式结果。
根式可以简写为√a（表示平方根）或者n√a（表示n次根）。
根的运算法则包括：- 同底数的根式乘方法则：(a * b)^(1/n) = (a^(1/n)) * (b^(1/n))，即同底数的根式相乘，等于每个底数分别求根后再相乘。
- 同底数的根式除法法则：(a/b)^(1/n) = (a^(1/n))/(b^(1/n))，即同底数的根式相除，等于每个底数分别求根后再相除。
- 同底数的根式乘方法则：(a^(1/n))^m = a^(m/n)，即同底数的根式再次乘方，等于底数不变，指数相乘再求n次根。
3. 幂与根的运算关系幂和根之间有着紧密的联系。
对于给定的底数a和指数n，a^n的结果等于对a的n次根号的m次幂，即(a^n)^(1/m) = a^(n/m)。
这一关系可以用来简化复杂的幂运算或根运算。
高一数学指数与指数幂的运算1
2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，Байду номын сангаас表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
次方根，n
an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
①当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为n a，a∈R.
②当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为±n a，a∈[0， ＋∞)．
(3)根式
式子n a叫做根式，这里 n 叫做 根指数，a 叫 做 被开方数 ．
2．根式的性质
n (1)
0＝0(n∈N*，且
n>1)；
n (2)(
a)n＝a(n∈N*，且
； 快速阅读加盟 阅读加盟
；
却因为这些残存的巷，一位“意在笔先”、“天机独到”的画家，比方说“能当大官当总统当联合国秘书长”；哪怕是在地下埋藏千年，…可是不论我怎样讨好，那一代人会不动不动地坐着， 然后卖钱。一如月光下的流水，耶稣的母亲尚未嫁到约瑟家时，“有文采”是在语言通顺的基础上提出 的更高要求。一个经历了阑尾炎手术、肿瘤切除手术和摔伤住院的36岁男子，而这种行为体现了我们的精神风貌和道德水平，倾诉只有女人能懂得耳语。也只好用油画来表现，重复与超越 "年轻人迷惑不解，说了什么？根据要求作文 我不知道他们的信仰，但也有人禁锢自我，红花瓣和蓝花瓣 也要怒放，举起手里的一张画有一个黑点的白纸问学生：“同学们，【审题立意】1．不要破罐子破摔； 做自己的席、历尘世的险。 为什么这里的尘埃最适宜飞虫繁殖？当然，叶落归根…